1、第第5 5章章 极点配置与观测器的设计极点配置与观测器的设计舒欣梅舒欣梅西华大学电气信息学院西华大学电气信息学院11/14/2022u5.1 反馈控制结构反馈控制结构 u5.2 系统的极点配置系统的极点配置u5.3 状态解耦状态解耦 u5.4 观测器及其设计方法观测器及其设计方法 u5.5 带状态观测器的反馈系统带状态观测器的反馈系统 u5.6 MATLAB在控制系统综合中的应用在控制系统综合中的应用 第第5章章 极点配置与观测器的设计极点配置与观测器的设计11/14/2022l综合与设计问题综合与设计问题，即在已知系统结构和参数，即在已知系统结构和参数(被控系统数学模型被控系统数学模型)的基
2、础上，寻求控制规律，以使系统具有某种期望的性能。的基础上，寻求控制规律，以使系统具有某种期望的性能。l一般说来，这种控制规律常取反馈形式。一般说来，这种控制规律常取反馈形式。l经典控制理论用调整开环增益及引入串联和反馈校正装置来配经典控制理论用调整开环增益及引入串联和反馈校正装置来配置闭环极点，以改善系统性能；而在状态空间的分析综合中，除置闭环极点，以改善系统性能；而在状态空间的分析综合中，除了利用输出反馈以外，更主要是利用状态反馈配置极点，它能提了利用输出反馈以外，更主要是利用状态反馈配置极点，它能提供更多的校正信息。供更多的校正信息。l由于状态反馈提取的状态变量通常不是在物理上都可测量，需
3、由于状态反馈提取的状态变量通常不是在物理上都可测量，需要用可测量的输入输出重新构造状态观测器得到状态估计值。要用可测量的输入输出重新构造状态观测器得到状态估计值。l状态反馈与状态观测器的设计便构成了现代控制系统综合设计状态反馈与状态观测器的设计便构成了现代控制系统综合设计的主要内容。的主要内容。11/14/20225.1 反馈控制结构反馈控制结构 xAxBuyCxDuu=V-Kx则闭环系统则闭环系统 的结构如图的结构如图 5-1 所示。所示。给定系统给定系统在系统中引入反馈控制律在系统中引入反馈控制律5.1.1 状态反馈状态反馈11/14/2022状态空间表达式为：状态空间表达式为：()()(
4、)xAxBuAxB VKxABK xBVyCxDuCxD VKxCDK xDV11/14/20225.1.2 输出反馈输出反馈0D xABHC xBVyCx当当时，输出反馈系统动态方程为时，输出反馈系统动态方程为11/14/20225.1.3 状态反馈系统的性质状态反馈系统的性质 定理定理5-1 5-1 对于任何常值反馈阵对于任何常值反馈阵K K，状态反馈系统，状态反馈系统能控的充分必要条件是原系统能控。能控的充分必要条件是原系统能控。证明证明 对任意的对任意的K K阵，均有阵，均有0IIABKBIABKI上式中等式右边的矩阵上式中等式右边的矩阵 0IKI，对任意常值都是非奇异的。，对任意常值
5、都是非奇异的。因此对任意的因此对任意的 和和K K，均有，均有 IABKBIABrankrank说明，状态反馈不改变原系统的能控性说明，状态反馈不改变原系统的能控性 11/14/2022 ：120311xxu 12yx完全能控能观，引入反馈完全能控能观，引入反馈3 1uxV 例例 系统系统K：120001xxv 12yx不难判断，系统不难判断，系统K仍然是能控的，但已不再仍然是能控的，但已不再能观测。能观测。K则闭环系统则闭环系统 的状态空间表达式为的状态空间表达式为11/14/2022 定理定理 5-2 5-2 给定系统给定系统DuCxyBuAxx:kxvu通过状态反馈通过状态反馈任意配置极
6、点的充任意配置极点的充完全能控完全能控。要条件要条件5.2.1 5.2.1 能控系统的极点配置能控系统的极点配置 5.2 5.2 系统的极点配置系统的极点配置 所谓所谓极点配置极点配置，就是通过选择适当的反馈形式和反馈矩阵，就是通过选择适当的反馈形式和反馈矩阵，使系统的闭环极点恰好配置在所希望的位置上，以获得所希使系统的闭环极点恰好配置在所希望的位置上，以获得所希望的动态性能。望的动态性能。11/14/2022证证:只就单输入系统的情况证明本定理只就单输入系统的情况证明本定理 充分性：因为给定系统充分性：因为给定系统 能控，故通过等价变换能控，故通过等价变换 Pxx 必能将它变为能控标准形必能
7、将它变为能控标准形 :xAxbuycxdu这里，这里，P为非奇异的实常量等价变换矩阵，且有为非奇异的实常量等价变换矩阵，且有111110aaaPAPAnn，11/14/2022100Pbb111nncPcdd 引入状态反馈引入状态反馈uvKx12nKkkk则闭环系统则闭环系统 K的状态空间表达式为的状态空间表达式为 :K()()xAbK xbvycdK xdv11/14/2022 其中，显然有其中，显然有112101()1nnnAbKakakak系统系统K的闭环特征方程为的闭环特征方程为0)()()(121211kaskaskasnnnnnn11/14/2022同时，由指定的任意同时，由指定的
8、任意 n个期望闭环极点个期望闭环极点 n*2*1*,可求得期望的闭环特征方程可求得期望的闭环特征方程0)()(*11*1*2*1*nnnnnasasassss通过比较系数，可知通过比较系数，可知 *1*212*11nnnnakaakaaka11/14/2022由此即有由此即有1*11*12*1aakaakaaknnnnn又因为又因为1uvKxvKP xvKx KKP所以所以 11/14/2022K阵的求法阵的求法根据能控标准形求解根据能控标准形求解求线性变换求线性变换P P阵，将原系统变换为能控标准阵，将原系统变换为能控标准形。然后根据要求的极点配置，计算状态形。然后根据要求的极点配置，计算状
9、态反馈阵反馈阵将将 变换为变换为直接求直接求K K阵方法阵方法根据要求极点，写出希望闭环特征多项式根据要求极点，写出希望闭环特征多项式令令求解求解1111,nnnnKaa aaaaK1KKP*1nisIABKfss11/14/20223100110001rankrank2bAAbb解：解：因为因为例例 给定系统的状态空间表达式为给定系统的状态空间表达式为uxx001110011000 xy110求状态反馈增益阵求状态反馈增益阵 K，使反馈后闭环特征值为，使反馈后闭环特征值为 2*131*3,2j系统是状态完全能控，通过状态反馈控制律系统是状态完全能控，通过状态反馈控制律能能配置闭环特征值配置闭
10、环特征值。任意任意11/14/20221)1)由由得得2)2)由由得得3)3)det()detssIAsssss32001102011,.aaa123210*,.aaa123488*()()()()()()sssssjsjsss 1233221313488,kaa aa aa3322118 7 211/14/20224)4)5)5)6)6)aaQbAbA ba2121110012112110011210110100001100100PQ11121001110011100121001872011233121kkP11/14/2022解法解法2 2：直接法：直接法解：设所需的状态反馈增益矩阵解：设
11、所需的状态反馈增益矩阵k k为为因为经过状态反馈因为经过状态反馈 后，闭环系统后，闭环系统 特征多项式为特征多项式为的的kkkk123uvkx detf ssIAbkdetsskkks 123000001001100000110skskkskkk3211212322111/14/2022比较两多项式同次幂的系数，有比较两多项式同次幂的系数，有 ：8,812,42321211kkkkkk得：得：即得状态反馈增益矩阵为即得状态反馈增益矩阵为:与解法与解法1 1的结果相同的结果相同求得闭环期望特征多项式为求得闭环期望特征多项式为 fsssjsjsss 3221313488,kkk123233k 23
12、311/14/2022例例5-3 5-3 设被控系统传递函数为设被控系统传递函数为 32()11()(6)(12)1872C sR ss sssss要求性能指标为：超调量：要求性能指标为：超调量：；峰值时；峰值时间：间：；系统带宽：；系统带宽：；位置误；位置误差差 。试用极点配置法进行综合。试用极点配置法进行综合。%5%stp5.010b0pe 解解 （1 1）原系统能控标准形动态方程为）原系统能控标准形动态方程为11223312301000010072181100 xxxxuxxxyxx 对应特征多项式为对应特征多项式为 321872sss11/14/2022综合考虑响应速度和带宽要求，取综
13、合考虑响应速度和带宽要求，取 。于是，闭环主导。于是，闭环主导极点为极点为 ，取非主导极点为，取非主导极点为（2 2）根据技术指标确定希望极点）根据技术指标确定希望极点 系统有三个极点，为方便，选一对主导极点系统有三个极点，为方便，选一对主导极点 ，另外，另外一个为可忽略影响的非主导极点。已知的指标计算公式为：一个为可忽略影响的非主导极点。已知的指标计算公式为：12,s s21%e21pnt22412244bn将已知数据代入，从前将已知数据代入，从前3 3个指标可以分别求出：个指标可以分别求出：0.707,9.0n9.0b10n1,27.077.07sj 100103ns11/14/20223
14、 3）确定状态反馈矩阵确定状态反馈矩阵 232()(100)(14.1100)114.1151010000IAbKsssssss 100000151072114.1 1810000143896.1K 232()(100)(14.1100)114.1151010000vvyuKKGsssssss001lim()lim1()0peuyussesGsGss0lim()1yusGs10000vK 状态反馈系统的期望特征多项式为状态反馈系统的期望特征多项式为由此，求得状态反馈矩阵为由此，求得状态反馈矩阵为 （4 4）确定输入放大系数）确定输入放大系数状态反馈系统闭环传递函数为：状态反馈系统闭环传递函数为
15、：因为因为所以所以，可以求出，可以求出11/14/2022 其中，其中，的特征值不能任意配置。的特征值不能任意配置。对于单输入单输出系统，状态反馈不会移动对于单输入单输出系统，状态反馈不会移动系统传递函数的零点。系统传递函数的零点。(2)(2)若系统是不完全能控的，可将其状态方程变若系统是不完全能控的，可将其状态方程变换成如下形式：换成如下形式：(3)(3)讨论讨论状态反馈不改变系统的维数，但是闭环传递状态反馈不改变系统的维数，但是闭环传递函数的阶次可能会降低，这是由分子分母的函数的阶次可能会降低，这是由分子分母的公因子被对消所致。公因子被对消所致。(1)(1)1111121222200 xx
16、AAbuxxA A2211/14/2022例例 某位置控制系统（伺服系统）简化线路如下某位置控制系统（伺服系统）简化线路如下DiiiKu 为了实现全状态反馈，电动机轴上安装了测速发电机为了实现全状态反馈，电动机轴上安装了测速发电机TG，通过霍尔电流传感器测得电枢电流通过霍尔电流传感器测得电枢电流 ，即，即 。已知折算到电。已知折算到电动机轴上的粘性摩擦系数动机轴上的粘性摩擦系数 、转动惯量、转动惯量 ；电；电动机电枢回路电阻动机电枢回路电阻 ；电枢回路电感；电枢回路电感 ；电动势系数；电动势系数为为 、电动机转矩系数为、电动机转矩系数为 。选择。选择 、作为状态变量。将系统极点配置到作为状态变
17、量。将系统极点配置到 和和 ，求，求K 阵。阵。TGTGKuDim/(rad/s)N1 f2mkg1DJ1DRH1.0DLV/(rad/s)1.0eKm/AN1mKoDi31j1011/14/202211/14/2022解解 1.建立系统状态空间模型建立系统状态空间模型)(oiKuoAAuKuAPDuKu DDDDeDddiRtiLKuFDmDddTiKftJtdoDo321ixxxx 为恒定的负载转矩为恒定的负载转矩FT2o1ddxtxDFDDmD2ddJTiJKJftxDeDDDDDD31ddLKuLiLRtix 将主反馈断开，系统不可变部分，代入参数后，系统方程为将主反馈断开，系统不可变
18、部分，代入参数后，系统方程为FD32132101010001010110010Tuxxxxxx321001xxxy11/14/20222.计算状态反馈矩阵计算状态反馈矩阵9901001011010010002bAAbbQC3rankCQ所以系统能控所以系统能控计算出状态反馈矩阵计算出状态反馈矩阵 1.02.14210KKKK状态反馈系统的状态图如图（状态反馈系统的状态图如图（c）所示（没有画出）所示（没有画出 ）。）。FT经过结构变换成（经过结构变换成（d）图所示的状态图）图所示的状态图10K因为位置主反馈因为位置主反馈，其他参数的选择应该满足：，其他参数的选择应该满足：440PAKKKKP1
19、2.1KK P21.0KK 验证验证：求图（：求图（d）系统的传递函数，其极点确实为希望配置的极）系统的传递函数，其极点确实为希望配置的极点位置。点位置。11/14/20225.2.2 5.2.2 镇定问题镇定问题l定义定义:若被控系统通过状态反馈能使其闭环极点均具有负实若被控系统通过状态反馈能使其闭环极点均具有负实部，即闭环系统渐进稳定，则称系统是状态反馈可镇定的。部，即闭环系统渐进稳定，则称系统是状态反馈可镇定的。l镇定问题是一种特殊的闭环极点配置问题。镇定问题是一种特殊的闭环极点配置问题。定理定理5-3 5-3 线性定常系统采用状态反馈可镇定的充要条件是线性定常系统采用状态反馈可镇定的充
20、要条件是其不能控子系统为渐进稳定。其不能控子系统为渐进稳定。u对能控系统，可直接用前面的极点配置方法实现系统镇对能控系统，可直接用前面的极点配置方法实现系统镇定。定。u对满足可镇定条件的不能控系统，应先对系统作能控性对满足可镇定条件的不能控系统，应先对系统作能控性结构分解，再对能控子系统进行极点配置，找到对应的反结构分解，再对能控子系统进行极点配置，找到对应的反馈阵，最后再转换为原系统的状态反馈阵。馈阵，最后再转换为原系统的状态反馈阵。11/14/2022例5-4 已知系统的状态方程为要求用状态反馈来镇定系统。解：系统不稳定。同时系统为不能控的。不能控子系统解：系统不稳定。同时系统为不能控的。
21、不能控子系统特征值为特征值为5 5，符合可镇定条件。故原系统可用状态反馈，符合可镇定条件。故原系统可用状态反馈实现镇定，镇定后极点设为实现镇定，镇定后极点设为 100102010050u xx能控子系统方程为能控子系统方程为101021uu CCCCCxA xbxu CCVK x12kkCK引入状态反馈引入状态反馈，设，设1,222sj 11/14/2022状态反馈系统特征方程为状态反馈系统特征方程为21212()(3)220sskkskkCCCIAb K 121320kk CK 013200 CKK比较对应项系数，可得比较对应项系数，可得为为5 5的特征值无须配置，所以原系统的状态反馈阵可写
22、为的特征值无须配置，所以原系统的状态反馈阵可写为2222248sjsjss期望的特征多项式为期望的特征多项式为11/14/20225.3 5.3 状态解耦状态解耦5.3.1 5.3.1 问题的提出问题的提出考虑考虑MIMOMIMO系统系统在在 (0)0 x的条件下，输出与输入之间的关系，的条件下，输出与输入之间的关系，可用传递函数可用传递函数 ()G s描述：描述：1()()()()()y sG s u sC sIABu s x AxBuyCx：11/14/2022可写为可写为式中每一个输入控制着多个输出，而每一个输出式中每一个输入控制着多个输出，而每一个输出被多少个输入所控制，我们称这种交互
23、作用的现被多少个输入所控制，我们称这种交互作用的现象为象为耦合耦合。11111221221122221122()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()rrrrmmmmrry sgs u sgs u sgs u sy sgs u sgs u sgs u sysgs u sgs u sgs u s1()()()()()y sG s u sC sIABu s11/14/2022显然，经过解耦的系统可以看成是由显然，经过解耦的系统可以看成是由m m个独立单变个独立单变量子系统所组成。量子系统所组成。解耦控制问题解耦控制问题:寻找一个输入变换矩阵和状态反馈寻找一
24、个输入变换矩阵和状态反馈增益矩阵对增益矩阵对如能找出一些控制律，每个输出受且只受一个输如能找出一些控制律，每个输出受且只受一个输入的控制，这必将大大的简化控制实现这样的。入的控制，这必将大大的简化控制实现这样的。控制称为控制称为解耦控制解耦控制，或者简称为，或者简称为解耦解耦。,使得使得 闭环系统的传递函数阵闭环系统的传递函数阵1122()000()0()00()mmgsgsG sgsLK、11/14/202211/14/20225.3.2 5.3.2 状态解耦状态解耦 利用状态反馈实现解耦控制，通常采用状态反利用状态反馈实现解耦控制，通常采用状态反馈加输入变换器的结构形式馈加输入变换器的结构
25、形式 状态反馈阵状态反馈阵 输入变换阵输入变换阵 11/14/2022状态解耦问题可描述为：状态解耦问题可描述为：对多输入多输出系统（设对多输入多输出系统（设D=0D=0）设计反馈解）设计反馈解耦控制律耦控制律 uKxLV()xABK xBLVyCx1()()sKLGC sIABKBL使得闭环系统使得闭环系统的传递函数矩阵的传递函数矩阵为对角形为对角形11/14/2022实现解耦控制的条件和主要结论实现解耦控制的条件和主要结论定义两个特征量并简要介绍它们的一些性质。定义两个特征量并简要介绍它们的一些性质。1)1)解耦阶系数解耦阶系数 min()iisdG1中各元素分母与分子多项式幂次之差中各元
26、素分母与分子多项式幂次之差()isG()sGi式中式中为被控系统传递函数矩阵为被控系统传递函数矩阵中的第中的第个行向量。个行向量。2311(1)(2)(1)(2)()1(1)(2)(1)(2)sss ssssssssssG例例解耦阶系数为解耦阶系数为 12min1 2 10min2 1 10dd ，11/14/20222 2、可解耦性矩阵、可解耦性矩阵 12mEEEE1lim()idiisssEG其中其中 定理定理 5-4 5-4 系统在状态反馈系统在状态反馈下实下实E现现解耦控制的充要条件是为解耦控制的充要条件是为非奇异。，即非奇异。，即uLvKxdet0E 11/14/2022例例5-4
27、5-4 给定系统给定系统 其中其中:其传递函数矩阵为其传递函数矩阵为:得到得到:xAxBuyCx000101123A100001B21311(1)(2)(1)(2)()()1(1)(2)(1)(2)sss ssssG sC sIABsssss110001C1111222122min 1min1 2 10min 1min2 1 10dddddd ，11/14/2022故该系统可以通过故该系统可以通过状态反馈实现解耦状态反馈实现解耦控制控制112lim()lim1 0311(1)(2)(1)(2)sssss sEsg sssss221(1)lim()lim0 (2)(1)(2)1ssssEsgss
28、sss10det001E 11/14/2022算法和推论算法和推论首先要写出受控系统的传递函数矩阵首先要写出受控系统的传递函数矩阵 1)1)求出求出 系统的系统的 1 2 iidEip、，2)2)构成矩阵构成矩阵 ，若，若 非奇异，则可实现状态非奇异，则可实现状态EE反馈解耦；否则，不能状态反馈解耦。反馈解耦；否则，不能状态反馈解耦。3)3)求取矩阵求取矩阵 和和 ,则则 就是所需的就是所需的KLuLvKx状态反馈控制律。状态反馈控制律。()G s1121pEELEE12111211pdddpc Ac AKEc A11/14/2022（4 4）在状态反馈）在状态反馈 下，闭环系统其传下，闭环系
29、统其传递函数矩阵为递函数矩阵为:uLvKx例例 给定系统给定系统试求使其实现解耦控制的状态反馈控制律和解试求使其实现解耦控制的状态反馈控制律和解耦后的传递函数矩阵。耦后的传递函数矩阵。1211111()1mdddssssKLG000100010012301xxu110001yx11/14/2022解：解：1)1)在前例中已求得在前例中已求得 2)2)因为因为 为非奇异的为非奇异的,所以可状态所以可状态反馈解耦反馈解耦.3)3)因为因为所以有所以有121201 00 1ddEE12EEIE1111001dc Ac A2122123dc Ac A 1001 123KLEI11/14/2022001
30、123uvx于是于是00110()0010000001xABK xBVxu110001yxK4)4)反馈后，对于闭环系统反馈后，对于闭环系统 有有110()()10sG sKLC sIABKBLs；，11/14/2022推论推论：iEid1)1)能否态反馈实现解耦控制取决于能否态反馈实现解耦控制取决于 和和 。2)2)求得求得 ，则解耦系统的传递函数，则解耦系统的传递函数 矩阵即可确定。矩阵即可确定。id,im1 2 3)3)系统解耦后，每个系统解耦后，每个SISOSISO系统的传递函数均为系统的传递函数均为 重积分形式。须对它进一步施以极点配重积分形式。须对它进一步施以极点配 置。置。1id
31、 4)4)要求系统能控，或者至少能镇定否则不能要求系统能控，或者至少能镇定否则不能 保证闭环系统的稳定性。保证闭环系统的稳定性。11/14/20225.4 5.4 观测器及其设计方法观测器及其设计方法 p系统设计离不开状态反馈系统设计离不开状态反馈p实际系统的状态变量不是都能用物理方实际系统的状态变量不是都能用物理方法测得到的法测得到的p需要设法得到状态变量需要设法得到状态变量 采用状态观采用状态观测器实现状态重构测器实现状态重构引言引言：11/14/20225.4.1 5.4.1 观测器的设计思路观测器的设计思路则称则称 为为 的一个状态观测器。的一个状态观测器。如果动态系统如果动态系统 以
32、以 的输入的输入 和输出和输出 作作为其输入量能产生一组输出量为其输入量能产生一组输出量 渐近于渐近于 即即设线性定常系统设线性定常系统 的状态向量的状态向量 不能直接检测不能直接检测 0 0 g g,0limtxxxxyux（0),CBA11/14/2022定理定理 系统系统 其观测器极点可任意其观测器极点可任意配置的充要条件是系统完全能观测配置的充要条件是系统完全能观测 x AxBuyCx：证证:因为因为yCxyCxCAxCBu2(1)12(2)nnnnyCAxCBuCA xCABuCBuyCAxCABuCBu5.4.2 5.4.2 状态观测器的存在条件状态观测器的存在条件,A B C 1
33、1/14/20222(1)(2)21 nnnnCyCAyCBuyCBuCABuCAxNxyCBuCABuCA即即uy、xxrankNn所以所以,只有当只有当 时，上式中的时，上式中的 才能有唯才能有唯一解即只有当系统是状态完全能观测时一解即只有当系统是状态完全能观测时,状态向状态向量量 才能由才能由 以及它们的各阶导数的线性组以及它们的各阶导数的线性组合构造出来。合构造出来。11/14/2022()()()()()x tAx tBu ty tCx t5.4.2 5.4.2 全维状态观测器全维状态观测器开环状态估计器：构造一个与原系统完全相开环状态估计器：构造一个与原系统完全相同的模拟装置同的模
34、拟装置(1)(1)11/14/2022()x t从所构造的这一装置可以直接测量从所构造的这一装置可以直接测量。这种。这种开环状态估计器存在如下缺点：开环状态估计器存在如下缺点：每次使用必须重新确定原系统的初始状态并每次使用必须重新确定原系统的初始状态并 对估计器实施设置；对估计器实施设置；()x tA在在 有正实部特征值时，有正实部特征值时，最终总要趋向无最终总要趋向无 穷大。穷大。11/14/2022()xAxBuAxBuA xxAx0()()000()()()oA t tA t tx ex tex tx t0)()(00 xtxtx，偏差当0)()(00 xtxtx，通常.0txx特征值为
35、负，不允许特征值为正，0.10.1tAe因此，要求 阵具有负根，且远离虚轴极点靠近虚轴近，如，衰减慢。定义偏差定义偏差xxx如果如果说明说明11/14/2022()xAG CxB uG y(2)(2)闭环全维状态观测器。闭环全维状态观测器。状态观测器的动态方程可写为：状态观测器的动态方程可写为：11/14/2022定理定理 若若n n维线性定常系统是状态完能观，则存在维线性定常系统是状态完能观，则存在状态观测器状态观测器()xAGC xBuGyG可选择矩阵可选择矩阵 来任意配置来任意配置 的特征值。的特征值。()AGC(1)0tACx、必须能观，要求对系数阵的配置才能实现。(2)0tx由于需要
36、一个过程，故也称为渐进状态观测器或实用状态观测器。强调：强调：11/14/2022全维状态观测器设计方法全维状态观测器设计方法（1 1）设单输入系统能观，通过）设单输入系统能观，通过 ，将状，将状态方程化为能观标准形。有态方程化为能观标准形。有 线性变换阵线性变换阵P P可以由第可以由第3 3章式（章式（3-303-30）求出。）求出。1xPx001122110001000100010001xxxnnaaauay11/14/2022（2 2）构造状态观测器。）构造状态观测器。令令 ，得到，得到 ()uyxAGC xbG011TngggG00112211010100010001AGCnnagag
37、agag其闭环特征方程为其闭环特征方程为1111100()()()()0IAGCnnnnssagsag sag11/14/2022设状态观测器期望的极点为设状态观测器期望的极点为 ，其特征，其特征多项式记为多项式记为 令同次幂的系数相等，即得令同次幂的系数相等，即得 3 3）令）令 ，代回到式（，代回到式（5-335-33）中就得到系）中就得到系统的状态观测器。统的状态观测器。12,ns ss*1*1101()nnnKinissssasa sa*00112211Gnnaaaaaaaa1GP G11/14/202211002120 xxuyx 解：解：1 1、判断系统能观测性、判断系统能观测性例
38、例 给定系统的状态空间表达式为给定系统的状态空间表达式为试设计一个全维状态观测器，使其极点为试设计一个全维状态观测器，使其极点为1010、101002CrankQrankCA所以系统使状态能观测的，可构造能任意配所以系统使状态能观测的，可构造能任意配置极点的状态观测器。置极点的状态观测器。11/14/20222 2、设状态观测器为、设状态观测器为xAGC xbuGyyCx121122112002201 2111202202gAGCggggg 3 3、实际状态观测器特征多项式、实际状态观测器特征多项式2112()()(32)(242)fIAGCggg11/14/2022*012()()()(10
39、)(10)20100f21ggG系数对应相等与)()(ff1002422023211ggg325.821gg4 4、观测器期望特征多项式、观测器期望特征多项式5 5、求、求6 6、状态观测器为、状态观测器为18108.564213220 xxuyyx 11/14/202211/14/2022例例 给定系统的状态空间表达式为给定系统的状态空间表达式为uxx001110011000 xy110设计一个全维状态观测器，并使观测器的设计一个全维状态观测器，并使观测器的极点为极点为*15*2,344j 11/14/2022解解:系统完全能观测的，可构造任意配置特系统完全能观测的，可构造任意配置特征值全维
40、状态观测器。征值全维状态观测器。1)1)由由 ,得得32det()2TsIAsss123210aaa，2)2)观测器的期望特征多项式为观测器的期望特征多项式为 得得*32122()()()(5)(44)(44)1372160sssssjsjsss *1231372160aaa，3)3)123*332211 160 71 11TGgggaaaaaa11/14/20224)4)2112101112121010101210021100111100011CaaQCAaCA5)5)111110222024PQ6)6)1118022216071 110118020312001231TTGG PG，11/1
41、4/2022得全维状态观测器得全维状态观测器()000801801102001 102001131031xAGC xBuGyxuy 080801801192002003032031xuy 11/14/2022其模拟结构如图为其模拟结构如图为11/14/2022 利用利用y y直接产生部分状态变量，降低观测器直接产生部分状态变量，降低观测器的维数。若输出的维数。若输出m m维，则需要观测的状态为维，则需要观测的状态为(n-m)(n-m)维。即观测器的维数少于状态维数维。即观测器的维数少于状态维数 简化结构简化结构（一）建模（一）建模观测器部分对应的关键是求出为为个输出维系统，完全能观测已知222
42、121)(XCmnmCmmCCCCmnCxyBuAxxnm5.4.3 5.4.3 降维状态观测器设计降维状态观测器设计11/14/2022xCyuBxAxAAAPAPAA111122122BBPBB121 1、把状态方程、把状态方程“一分为二一分为二”n mn mCCCCCPII11112111200系统方程变换为式中,rankPnxPx取线性变换线性变换矩阵矩阵 11/14/2022mn mCCCCCPCCII111112120011111221221122221xAxAxB uxAxAxB uyx12,xyx上式 可由 直接获得 不必再通过观测器只要求估计 的值。或：或：11/14/202
43、2uByAywuByAu111221:令）维当然能观测。维完全能观测，输出输入维子系统上式是mnnwuAAmn(,),1,()(12222122222xAwuxAx则有）（2xuBxAyAxuBxAyAy22222121212111xy 由2 2、建立需被观测部分的状态方程、建立需被观测部分的状态方程11/14/20223 3、降维观测器的实现、降维观测器的实现的观测器方程为子系统),1,(1222AA22212222122212111()()()xAGAxuGwAGAxA yB uG yA yB uGyBuxGCAx由观测器方程11/14/2022为了消去为了消去 作变换作变换y 22122
44、111212()()()()zAGAz GyAGAyBGB uxz Gy以上两式为降维观测器的状态方程以上两式为降维观测器的状态方程,zxGy zxGy22令令代入式（代入式（5-445-44）中可得到）中可得到 11/14/20221111120n myCCCxP xzGyI原系统状态变量估计值原系统状态变量估计值5 5、降维状态观测器结构图、降维状态观测器结构图12xyxzGyx4 4、变换后系统状态变量的估计值为、变换后系统状态变量的估计值为11/14/202211/14/2022*()()()()()n mfIAGAf22121由G求出（二）设计（二）设计1 1、实际降维状态观测器的特
45、征多项式和希望实际降维状态观测器的特征多项式和希望观测器特征多项式的系数应相等。观测器特征多项式的系数应相等。01001000010,010611615xxu yx 例 已知试设计降维观测器，并使它的极点位于 处2 2、求出降维观测器状态方程、求出降维观测器状态方程11/14/202212100010CCCn mCCPI121000100001P11000100011111221220100016116AAAPAPAA解：（解：（1 1）系统完全能观，且）系统完全能观，且n=3,m=2,n-m=1,n=3,m=2,n-m=1,只要只要一维观测器。一维观测器。（2）（3）11/14/202212
46、001 BBPBB1100010CCP3 3）求观测器反馈阵）求观测器反馈阵G,G,设设 12,G Tg g降维观测器的特征方程式为降维观测器的特征方程式为22121220()()(6,)61IAGA f sssg gsg期望的特征方程式为期望的特征方程式为 *()55fsss（）所以有所以有 即即 10g 01G 设设，有，有265g21g 11/14/2022 2212211121112212()()()()(6 1)(01)(61100(1 0)566zAGAzGAGABGB uyyzuyyzxxu yy122yyzzy12xyxGyx1122yyzyxPxx（5 5）变换后系统状态变量
47、的估计值为）变换后系统状态变量的估计值为原系统状态变量估计值原系统状态变量估计值（4 4）求降维观测器状态方程）求降维观测器状态方程11/14/202211/14/20225.5 5.5 带状态观测器的状态反馈闭环系统带状态观测器的状态反馈闭环系统两个问题：两个问题：（1 1）在状态反馈）在状态反馈系统中，用状态系统中，用状态估计值估计值是否要重新计算是否要重新计算状态反馈增益矩状态反馈增益矩阵阵K K？)()(ttxx（2 2）当观测器被引入系统后，状态反馈部分）当观测器被引入系统后，状态反馈部分 是否会改变已经设计好的观测是否会改变已经设计好的观测器的极点配置？器的极点配置？)(tKxvu
48、11/14/202211/14/2022由以上由以上3 3式可得到式可得到带状态观测器的状态反馈带状态观测器的状态反馈闭环系统状态空间表达式闭环系统状态空间表达式()xAxBKxBvxGCxAGCBK xBvyCx全维状态观测器：全维状态观测器：()AGCBGyxxu设受控系统能控能观，其状态空间表达式为设受控系统能控能观，其状态空间表达式为xAxBuyCx设状态反馈控制律为：设状态反馈控制律为：uvKx11/14/2022构造构造2n2n维复合系统：维复合系统：0 xABKxBvGCABKGCxBxxyCx定义误差定义误差xxx()()()()()xAxBuA GC xBuGCxA GC x
49、xAxB vKxAxBvBK xxABK xBKxBv11/14/2022写成矩阵形式为写成矩阵形式为00 xABKBKxBvAGCxx 若被控系统（，）可控可观测，若被控系统（，）可控可观测，用状态观测器估值形成的状态反馈，其系统的用状态观测器估值形成的状态反馈，其系统的极点配置和观测器设计可以分别进行极点配置和观测器设计可以分别进行分离定理分离定理5.5.2 5.5.2 系统基本特性系统基本特性11/14/2022闭环极点的分离特性闭环极点的分离特性det0|sIABKBKsIA GCsIABKsIA GC传递函数的不变性传递函数的不变性1111()000()*000()()sIABKBK
50、BG sCsIAHCBsIABKCsIAGCC sIABKB 11/14/2022例例5.5.5 5.5.5 设受控系统传递函数为设受控系统传递函数为 1()(6)ss s用状态反馈将闭环极点配置为用状态反馈将闭环极点配置为-4-4j6,-4-j6j6,-4-j6。并。并设计实现状态反馈的状态观测器。（设其极点为设计实现状态反馈的状态观测器。（设其极点为-10,-10)10,-10)解：（解：（1）由传递函数可知，系统能控能观，因此存在）由传递函数可知，系统能控能观，因此存在状态反馈及状态观测器。根据分离定理可分别进行设计。状态反馈及状态观测器。根据分离定理可分别进行设计。11/14/2022
