1、第三章第三章 平面刚架有限元分析及程序设计平面刚架有限元分析及程序设计3.1 平面刚架的单元分析3.2 平面刚架的整体刚度矩阵3.3 等效结点荷载3.4 单元内力计算3.5 计算步骤和算例3.6 程序设计有限单元法及程序设计有限单元法及程序设计3.1 平面刚架的单元分析平面刚架的单元分析ABCEDFABDEC结构的离散化：尽量将结构离散成数量最少的等截面直结构的离散化：尽量将结构离散成数量最少的等截面直杆单元杆单元3.1.1 局部坐标系下的单元刚度矩阵局部坐标系的建立局部坐标系的建立iE，I，A，ljyxe 轴：沿单元的杆轴方向；轴：沿单元的杆轴方向；x3.1 平面刚架的单元分析平面刚架的单元
2、分析 轴：从轴：从 轴轴顺顺时针旋转时针旋转90。yx 原点：以第一个节点为坐标原点；原点：以第一个节点为坐标原点；杆端力、杆端位移及其符号杆端力、杆端位移及其符号 与坐标系的方向一致为正，即与坐标系的方向一致为正，即弯矩、转角：绕杆端弯矩、转角：绕杆端顺顺时针为正；时针为正；其它：与坐标轴同向为正。其它：与坐标轴同向为正。(3)Fe杆端力杆端力(1)F(2)F(5)F(4)F(6)Fe杆端位移杆端位移(3)(1)(2)(4)(5)(6)TeeFFFFFFF)6()5()4()3()2()1(,Tee)6()5()4()3()2()1(,3.1 平面刚架的单元分析平面刚架的单元分析位移法求刚度
3、矩阵位移法求刚度矩阵ee(3)F(1)F(2)F(5)F(4)F(6)Fe(3)(1)(2)(4)(5)(6)1、建立基本体系、建立基本体系基本结构基本结构基本体系基本体系杆端施加约束杆端施加约束杆端施加杆端施加单位单位位移位移3.1 平面刚架的单元分析平面刚架的单元分析位移法求刚度矩阵位移法求刚度矩阵2、建立基本方程、建立基本方程3.1 平面刚架的单元分析平面刚架的单元分析6个基本未知量，个基本未知量，6个基本方程，个基本方程，36个系数；个系数；ppppppFkkkkkkFFkkkkkkFFkkkkkkFFkkkkkkFFkkkkkkFFkkkkkkF)6()6(66)5(65)4(64)
4、3(63)2(62)1(61)6()5()6(56)5(55)4(54)3(53)2(52)1(51)5()4()6(46)5(45)4(44)3(43)2(42)1(41)4()3()6(36)5(35)4(34)3(33)2(32)1(31)3()2()6(26)5(25)4(24)3(23)2(22)1(21)2()1()6(16)5(15)4(14)3(13)2(12)1(11)1(e1EAlEAl 位移法求刚度矩阵位移法求刚度矩阵3、求系数和自由项、求系数和自由项忽略轴向受力状态和弯曲受力状态之间的影响，受力状忽略轴向受力状态和弯曲受力状态之间的影响，受力状态可以看成是轴向受力状态和
5、弯曲受力状态的叠加；态可以看成是轴向受力状态和弯曲受力状态的叠加；轴向受力状态：轴向受力状态：e1EAlEAl 1)1(1)4(3.1 平面刚架的单元分析平面刚架的单元分析lEAk11lEAk41061513121kkkklEAk44lEAk14064543424kkkk1AB42ABBAMiMi 4i2iAB6i/lABQ6/Fi l 1AB6i/l6i/lAB12i/l2AB6/6/ABBAMi lMi l 2Q12/Fi l 弯曲受力状态：（形常数弯曲受力状态：（形常数 P279）3.1 平面刚架的单元分析平面刚架的单元分析e1312EIl26EIl26EIl312EIl e1312EI
6、l312EIl 26EIl 26EIl 1)2(1)5(3.1 平面刚架的单元分析平面刚架的单元分析32212lEIk2326lEIk35212lEIk2626lEIk012k042k32512lEIk2356lEIk35512lEIk2656lEIk015k045ke14EIl2EIl26EIl26EIl e14EIl2EIl26EIl26EIl 1)3(1)6(3.1 平面刚架的单元分析平面刚架的单元分析2236lEIklEIk4332536lEIklEIk263013k043k2266lEIklEIk2362566lEIklEIk466016k046k(1)(1)(4)(5)(2)(2)
7、(3)(6)3232(5)(3)(2)(3)(6)22(4)(1)(4)(5)(5)(2)(3)(6)3232(6)(2)(3)2126126646212612662EAEAFllEIEIEIEIFllllEIEIEIEIFllllEAEAFllEIEIEIEIFllllEIEIFll (5)(6)264EIEIll 位移法典型方程为：位移法典型方程为：3.1 平面刚架的单元分析平面刚架的单元分析局部坐标下的单元刚度方程局部坐标下的单元刚度方程 1122323233224453232622000012612600646200000012612600626400EAEAFllEIEIEIEIFl
8、lllEIEIEIEIFllllEAEAFllEIEIEIEIFllllEIEIEIEIFllll 56 eee Fk eee写成矩阵形式：写成矩阵形式：3.1 平面刚架的单元分析平面刚架的单元分析323222323222000012612600646200000012612600626400EAEAllEIEIEIEIllllEIEIEIEIllllkEAEAllEIEIEIEIllllEIEIEIEIllll e局部坐标下自由单元的单元刚度矩阵局部坐标下自由单元的单元刚度矩阵3.1 平面刚架的单元分析平面刚架的单元分析单元刚度矩阵的性质单元刚度矩阵的性质（1 1）单元刚度系数）单元刚度系数
9、kij的意义的意义j自由度产生的单位杆端位移引起的自由度产生的单位杆端位移引起的i自由度的杆端力自由度的杆端力（2 2）单元刚度矩阵是对称矩阵）单元刚度矩阵是对称矩阵反力互等定理反力互等定理（3 3）自由单元刚度矩阵是奇异矩阵）自由单元刚度矩阵是奇异矩阵矩阵行列式等于零，逆阵不存在。矩阵行列式等于零，逆阵不存在。解不唯一解不唯一由杆端力只能求出变形，不能求杆端总的位移由杆端力只能求出变形，不能求杆端总的位移 （刚体位移（刚体位移+变形）。变形）。解唯一解唯一 Fk eee 1kF eee3.1 平面刚架的单元分析平面刚架的单元分析（2 2）连续梁单元的刚度方程）连续梁单元的刚度方程单元两端只有
10、转角位移，只考虑杆端转角和杆端弯矩的关系。单元两端只有转角位移，只考虑杆端转角和杆端弯矩的关系。11224224EIEIFllEIEIFll eee非奇异，可逆非奇异，可逆3.1.2 特殊单元（1 1）桁架单元刚度方程）桁架单元刚度方程 1122EAEAFllEAEAFll eee奇异，不可逆奇异，不可逆单元只有轴力，只考虑杆端轴向位移和杆端轴力的关系。单元只有轴力，只考虑杆端轴向位移和杆端轴力的关系。3.1 平面刚架的单元分析平面刚架的单元分析3.1.3 整体坐标系下的单元刚度矩阵整体坐标系下的单元刚度矩阵1 1 单元坐标转换矩阵单元坐标转换矩阵整体坐标系下整体坐标系下的杆端力的杆端力xyx
11、yF(1)F(2)F(3)F(4)F(5)F(6)e12 3F局部坐标系下局部坐标系下的杆端力的杆端力xyxy12e 1F 2F 4F 5F 6F3.1 平面刚架的单元分析平面刚架的单元分析xyxyF(1)F(2)F(3)1 1F3.1 平面刚架的单元分析平面刚架的单元分析 2F 3Fsincos)2()1()1(FFFcossin)2()1()2(FFF)3()3(FF)6()6()5()4()5()5()4()4(cossinsincosFFFFFFFF 1211223345445566cossinsincoscossinsincosFFFFFFFFFFFFFFFF 11223344556
12、6cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos0000001FFFFFFFFFFFF ee3.1 平面刚架的单元分析平面刚架的单元分析坐标转换矩阵坐标转换矩阵 FTF eee cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos0000001T e3.1 平面刚架的单元分析平面刚架的单元分析 eTeTT I 1eTeTT正交矩阵正交矩阵 123456 其中其中:整体坐标下整体坐标下的杆端位移的杆端位移同理：同理：T eee3.1 平面刚架的单元分析平面刚架的单元分析2 2 整体坐标系下的单元刚度矩阵整体坐标系下
13、的单元刚度矩阵 Fk eee Fk eee整体坐标下的单整体坐标下的单元刚度方程元刚度方程整体坐标下的整体坐标下的元刚度矩阵元刚度矩阵 FTFT eeeeee TFkT eeeee 1FTkT eeeee 1TTT ee TFTkT eeeee TkTkTeeee3.1 平面刚架的单元分析平面刚架的单元分析ACByx例题：例题：求图示刚架各单元在整体坐标系下的刚度矩阵。ml5mmbh15.025.0 mAMPaE4100.3mkNlEA/1030044241mI mkNlEI410253.1 平面刚架的单元分析平面刚架的单元分析(4)(5)(6)(2)(3)(1)(6)(2)(1)(3)(5)
14、(4)局部坐标系下的单元刚度矩阵 41010030050300301203012000300003005030010030030120301200030000300 kk3.1 平面刚架的单元分析平面刚架的单元分析整体坐标系下的单元刚度矩阵 43000030000012300123003010003050103000030000012300123003050030100k 单元：00IT kk3.1 平面刚架的单元分析平面刚架的单元分析单元：090100000001000010000000100000001000010T TkTkT3.1 平面刚架的单元分析平面刚架的单元分析 41010003
15、05030300300003000300123001250030100030303000030003001230012k3.2.1 整体刚度矩阵的集成步骤1 1、定位、定位3.2 平面刚架的整体刚度矩阵平面刚架的整体刚度矩阵单元自由度编号单元自由度编号 2 2、累加、累加整体自由度编号整体自由度编号 ijmneijkmnK单元刚度系数单元刚度系数 整体刚度系数整体刚度系数例：例：如图所示平面刚架，求整体刚度矩阵。总 码总 码:对对结 点 位结 点 位移 进 行移 进 行编码编码局码局码:对每对每个 单 元 的个 单 元 的杆 端 位 移杆 端 位 移进行编码进行编码(2)(1)(3)(5)(4
16、)(6)(5)(4)(6)(1)(3)(2)ACB123400000yx1、对总体结点位移进行编码；2、对单元结点位移进行编码；3.2 平面刚架的整体刚度矩阵平面刚架的整体刚度矩阵)1()3()2()4()6()5(yxxy T123004 T123000 3、计算整体坐标系下的单元刚度矩阵 43000030000012300123003010003050103000030000012300123003050030100k 3.2 平面刚架的整体刚度矩阵平面刚架的整体刚度矩阵 41010003050303003000030003001230012500301000303030000300030
17、01230012k T123004 4(1)(2)(3)(6)1234(1)1 300000(2)2012303010(3)303010050(6)403050100K（1 1）集成单元）集成单元定位向量定位向量ACB1234000004、定位和累加3.2 平面刚架的整体刚度矩阵平面刚架的整体刚度矩阵 41230303001230(1)(2)(3)1234(1)1000(2)2010(3)30403010030301005030501000K （2 2）集成单元）集成单元定位向量定位向量 T123000 ACB1234000003.2 平面刚架的整体刚度矩阵平面刚架的整体刚度矩阵 431231
18、23030302005030501030300001000K 总体刚度矩阵为总体刚度矩阵为3.2 平面刚架的整体刚度矩阵平面刚架的整体刚度矩阵C1C2ABD132456 43000030000012300123003010003050103000030000012300123003050030 100k 41203012030030000300303030100300501012030120300300003000303050300100kk 总体编码：铰结总体编码：铰结点的两个杆端转角点的两个杆端转角位移分别编码。位移分别编码。3.2.2 铰结点的处理3.2 平面刚架的整体刚度矩阵平面刚架的
19、整体刚度矩阵745 4300300123012303010030503(1)(2)(3)(4)(5)(6)1234567(1)100000(2)2000(3)300010(4)400000(5)5000(6)600070000000300123012303050030 1000K 集成单元集成单元C1C2ABD13245763.2 平面刚架的整体刚度矩阵平面刚架的整体刚度矩阵 T654321集成单元集成单元 412303003010030030012301230301003050(1)(2)(3)1234567(1)100000(2)2000(3)30001040000300300123012
20、3030503050006000700000000 100K C1C2ABD13245763.2 平面刚架的整体刚度矩阵平面刚架的整体刚度矩阵 T000321集成单元集成单元 41230300301030030012301230301003050(1)(2)(3)12345671000002000300010(1)400000(2)503003001203012006000(3)7300000123030300503010000003100K C1C2ABD13245763.2 平面刚架的整体刚度矩阵平面刚架的整体刚度矩阵 T000754总刚总刚 43123003123012303020030
21、503030000000000100000003121230312300003030000000303015030001000K 3.2 平面刚架的整体刚度矩阵平面刚架的整体刚度矩阵有限元方程：有限元方程：3.3 等效结点荷载等效结点荷载3.3.1 基本方程基本方程反映结点位移和位移引起的结点力之间的关系，并不反反映结点位移和位移引起的结点力之间的关系，并不反映作用在结构上的实际荷载与位移之间的关系；映作用在结构上的实际荷载与位移之间的关系；位移法的基本方程是结点力的平衡方程：位移法的基本方程是结点力的平衡方程：为外荷载单独作用时，在基本结构中引为外荷载单独作用时，在基本结构中引起的结点约束力
22、；起的结点约束力；为结点位移单独作用时，在基本结构中为结点位移单独作用时，在基本结构中引起的结点约束力；引起的结点约束力；kF0pFF0pFkFpF式中：式中：因此：因此：作用在单元上的荷载，既有结点荷载，也有非结点荷载，作用在单元上的荷载，既有结点荷载，也有非结点荷载，因此需要将非结点荷载转换成等效的结点荷载。因此需要将非结点荷载转换成等效的结点荷载。3.3 等效结点荷载等效结点荷载3.3.2 等效结点荷载的概念等效结点荷载的概念等效结点荷载和原荷载在基本结构中产生的约束力相等；等效结点荷载和原荷载在基本结构中产生的约束力相等；原荷载产生的约束力：原荷载产生的约束力：pFP0pFPpF因此：
23、因此：等效原则：等效原则：等效结点荷载等效结点荷载 产生的约束力也应该为产生的约束力也应该为PpF位移法的基本方程：位移法的基本方程：Pk将结点集中荷载在等效结点荷载列阵中进行将结点集中荷载在等效结点荷载列阵中进行“定位定位”；将单元等效结点荷载在等效荷载列阵中将单元等效结点荷载在等效荷载列阵中“定位定位”、“累加累加”。（4 4）整体结构的等效结点荷载）整体结构的等效结点荷载 （3 3）计算整体坐标系下的等效结点荷载）计算整体坐标系下的等效结点荷载（2 2）确定局部坐标系下的等效结点荷载）确定局部坐标系下的等效结点荷载 TP(1)P(2)P(3)P(4)P(5)P(6)PFFFFFFF ee
24、eeeee（1 1）单元）单元和和结点位移编码结点位移编码3.3.3 等效结点荷载的计算步骤等效结点荷载的计算步骤 pFPee PTPTee3.3 等效结点荷载等效结点荷载例题例题8kN6kN7kNm5m4.8kN/m10kN2.5m2.5m P0121001210F （2 2）局部坐标系下的等效结点荷载）局部坐标系下的等效结点荷载 P045045F 21348kN4kN4kN5kNm5kNm12kN12kN10kNm10kNm4.8kN/m解解（1 1）单元划分，）单元划分，结点位移编码结点位移编码 1012010120P 540540P3.3 等效结点荷载等效结点荷载（3 3）整体坐标系下
25、的等效结点荷载）整体坐标系下的等效结点荷载2134 1012010120)(PTPT 504504540540100000001000010000000100000001000010)(PTPT3.3 等效结点荷载等效结点荷载集成单元集成单元 E01210110706P 集成单元集成单元 E40012105610107P 单元定位单元定位 E1022517P 结构的等效结点荷载结构的等效结点荷载（4 4）结构的等效结点荷载）结构的等效结点荷载 E61007P 结点集中荷载定位结点集中荷载定位单元等效结点荷载定位、累加单元等效结点荷载定位、累加 T1 2 3 0 0 4 T1 2 3 0 0 0
26、21343.3 等效结点荷载等效结点荷载例题例题 求等效结点荷载求等效结点荷载解解 TP03020 030 20F TP0155 015 5F(2)局部坐标下的等效结点荷载局部坐标下的等效结点荷载(3)整体坐标下的等效结点荷载整体坐标下的等效结点荷载4m15kN/m40kN2m30kN30kN20kNm20kNm15kN/m15kN15kN5kNm5kNm15kN/m(1)单元和结点位移编码单元和结点位移编码)0 0 0()1 0 0()3 2 0(TP2030020300 TP51505150 TTPTP2030020300)(TTPTP51505150)(3.3 等效结点荷载等效结点荷载集
27、成单元集成单元 E0400P 集成单元集成单元 E5150405200P E15555P 结构的等效结点荷载结构的等效结点荷载 T0 0 0 0 0 1 T0 0 1 0 2 3 (4)结点等效结点荷载集成结点等效结点荷载集成 E040020P 结点集中荷载定位结点集中荷载定位单元等效结点荷载定位累加单元等效结点荷载定位累加15kN/m40kN3.3 等效结点荷载等效结点荷载3.4 单元内力的计算单元内力的计算杆端位移引起的杆端力：杆端位移引起的杆端力：因此：因此：(1)整体坐标系下的单元杆端位移整体坐标系下的单元杆端位移(2)局部坐标系下的单元杆端位移局部坐标系下的单元杆端位移(3)局部坐标
28、系下的单元杆端力局部坐标系下的单元杆端力 e e Teee kee pFe pFkFeeee外荷载引起的杆端力：外荷载引起的杆端力：(1)形成局部坐标系下的单元刚度矩阵形成局部坐标系下的单元刚度矩阵(2)形成整体坐标系下的单元刚度矩阵形成整体坐标系下的单元刚度矩阵(3)定位累加形成结构整体刚度矩阵定位累加形成结构整体刚度矩阵2 形成刚度矩阵形成刚度矩阵1 确定整体和局部坐标系、单元和结点位移编码确定整体和局部坐标系、单元和结点位移编码3 形成等效结点荷载形成等效结点荷载(1)形成局部坐标系下的单元等效结点荷载向量形成局部坐标系下的单元等效结点荷载向量(2)形成整体坐标系下的单元等效结点荷载向量
29、形成整体坐标系下的单元等效结点荷载向量(3)定位累加形成等效结点荷载列向量定位累加形成等效结点荷载列向量3.5 计算步骤和算例计算步骤和算例3.5.1 计算步骤计算步骤4 解整体刚度方程，求结点位移解整体刚度方程，求结点位移5 求各单元的杆端内力求各单元的杆端内力(1)整体坐标系下的单元杆端位移整体坐标系下的单元杆端位移(2)局部坐标系下的单元杆端位移局部坐标系下的单元杆端位移(3)局部坐标系下的单元杆端力局部坐标系下的单元杆端力6 绘制各单元的杆端内力图绘制各单元的杆端内力图3.5 计算步骤和算例计算步骤和算例解解 1 确定整体和局部坐标系、单元和结点位移编码确定整体和局部坐标系、单元和结点
30、位移编码21ABCD43563.5.2 算例算例3.5 计算步骤和算例计算步骤和算例例题例题 做图示刚架的内力图做图示刚架的内力图12m1kN/m6mABCDmmhb26.15.022mmhb15.0111E矩形截面矩形截面立柱立柱:横梁横梁:设设:2 形成刚度矩阵形成刚度矩阵383.30083.30002.316.9402.316.9406.9427.806.9413.91083.30083.30002.316.9402.316.9406.9413.906.9427.8kk 352.50052.50000.583.7400.583.4703.7427.803.4713.91052.50052
31、.50000.583.4700.583.4703.4713.903.4727.8k (1)形成局部坐标系下的单元刚度矩阵。形成局部坐标系下的单元刚度矩阵。3.5 计算步骤和算例计算步骤和算例 01010000010100100001TT (2)形成整体坐标系下的单元刚度矩阵。形成整体坐标系下的单元刚度矩阵。T32.3106.942.3106.94083.30083.306.94027.86.94013.9102.3106.942.3106.94083.30083.306.94013.96.94027.8kkTkT kk 3.5 计算步骤和算例计算步骤和算例(3)定位累加，形成整体坐标系下的整体
32、刚度矩阵定位累加，形成整体坐标系下的整体刚度矩阵 TTT1 2 3 0 0 01 2 3 4 5 64 5 6 0 0 0 354.8106.9452.500083.883.4700.583.476.943.4755.603.4713.91052.50054.8106.9400.583.47083.883.4703.4713.96.943.4755.6K 3.5 计算步骤和算例计算步骤和算例3 形成等效结点荷载形成等效结点荷载(1)形成局部坐标系下的单元等效形成局部坐标系下的单元等效结点荷载结点荷载向量向量(3)定位累加形成等效结点荷载列向量定位累加形成等效结点荷载列向量(2)形成整体坐标系下
33、的单元等效结点荷载向量形成整体坐标系下的单元等效结点荷载向量 TE303000P3.5 计算步骤和算例计算步骤和算例 TP330330 TTPTP303303)(4 解整体刚度方程，求结点位移解整体刚度方程，求结点位移 EKP 123345654.8106.9452.5003083.883.4700.583.4706.943.4755.603.4713.931052.50054.8106.94000.583.47083.883.47003.4713.96.943.4755.60 T8475.1328.48245.1396.5 3.5 计算步骤和算例计算步骤和算例 T8475.1328.4824
34、5.1396.5 5 求各单元的杆端内力求各单元的杆端内力(1)确定整体坐标系下的杆端位移确定整体坐标系下的杆端位移 TTT1 2 3 0 0 01 2 3 4 5 64 5 6 0 0 0 T8475.1328.4000 T8475.1328.48245.1396.5 T8245.1396.5000 21ABCD4353.5 计算步骤和算例计算步骤和算例 01 08475.131 0 005.1384700 128.428.401 00001 0 00000 100T T8475.1328.48245.1396.5 01 08245.131 0 005.1382400 196.596.501
35、 00001 0 00000 100T (2)确定局部坐标系下的杆端位移确定局部坐标系下的杆端位移3.5 计算步骤和算例计算步骤和算例5 求各单元的杆端内力求各单元的杆端内力 P383.30083.3005.13002.316.9402.31 6.94847306.9427.806.94 13.928.431083.30083.3000002.316.9402.316.940306.9413.906.9427.803FkF 0.431.242.090.434.768.49 3.5 计算步骤和算例计算步骤和算例 P352.50052.5008471.2400.583.4700.583.475.1
36、30.4303.7427.803.4713.928.42.091052.50052.5008241.2400.583.4700.583.475.13003.4713.903.4727.896.5FkF .433.04 P383.30083.3005.130.4302.316.9402.31 6.948241.2406.9427.806.94 13.996.53.041083.30083.30000.4302.316.9402.316.9401.2406.9413.906.9427.804.3FkF 83.5 计算步骤和算例计算步骤和算例 T0.431.243.040.43 1.244.38F
37、T1.24 0.43 2.091.240.43 3.04F T0.43 1.242.09 0.43 4.768.49F 1kN/m1.24kN2.09kNm4.76kN8.49kNm0.43kN0.43kN0.43kN0.43kN2.09kNm3.04kNm1.24kN1.24kN1.24kN3.04kNm1.24kN4.38kNm0.43kN0.43kN3.5 计算步骤和算例计算步骤和算例6 画出内力图画出内力图2.098.494.383.04M图图(kNm)1.244.761.240.43FQ图图(kN)0.430.431.24FN图图(kN)3.5 计算步骤和算例计算步骤和算例C1ABD
38、C214123 41203012030030000300303030100300501012030120300300003000303050300100kk 43000030000012300123003010003050103000030000012300123003050030 100k 例题例题 求整体刚度矩阵求整体刚度矩阵.已知整体坐标系的单元刚度矩阵已知整体坐标系的单元刚度矩阵.3.5.3 忽略轴向变形刚架的分析忽略轴向变形刚架的分析3.5 计算步骤和算例计算步骤和算例集成单元集成单元 430030030030010050500000100000000100K 解解 11203241
39、5063 43000030000012300123003010003050103000030000012300123003050030 100k 1C1ABD4C21233.5 计算步骤和算例计算步骤和算例集成单元集成单元 4000010050000100000050100123030100K 41203012030030000300303030100300501012030120300300003000303050300100k 1120324050601C1ABD4C21233.5 计算步骤和算例计算步骤和算例 400001005005001000123030000010012303010
40、1000K集成单元集成单元1C1ABD4C2123 112034405060 41203012030030000300303030100300501012030120300300003000303050300100k 3.5 计算步骤和算例计算步骤和算例整体刚度矩阵整体刚度矩阵 402005005010240100003030030030K 3.5 计算步骤和算例计算步骤和算例例题例题 做图示刚架的内力图做图示刚架的内力图12m1kN/m6mABCD21ABCD13解解 1 确定整体和局部坐标系、单元和结点位移编码确定整体和局部坐标系、单元和结点位移编码3.5 计算步骤和算例计算步骤和算例2
41、形成刚度矩阵形成刚度矩阵(1)形成局部坐标系下的单元刚度矩阵。形成局部坐标系下的单元刚度矩阵。383.30083.30002.316.9402.316.9406.9427.806.9413.91083.30083.30002.316.9402.316.9406.9413.906.9427.8kk 352.50052.50000.583.7400.583.4703.7427.803.4713.91052.50052.50000.583.4700.583.4703.4713.903.4727.8k 3.5 计算步骤和算例计算步骤和算例 01010000010100100001TT (2)形成整体坐
42、标系下的单元刚度矩阵。形成整体坐标系下的单元刚度矩阵。T32.3106.942.3106.94083.30083.306.94027.86.94013.9102.3106.942.3106.94083.30083.306.94013.96.94027.8kkTkT kk 3.5 计算步骤和算例计算步骤和算例(3)定位累加，形成整体坐标系下的整体刚度矩阵定位累加，形成整体坐标系下的整体刚度矩阵 32.316.94 06.9427.8100000K 集成单元集成单元21ABCD13 112032405060 32.3106.942.3106.94083.30083.306.94027.86.940
43、13.9102.3106.942.3106.94083.30083.306.94013.96.94027.8k 3.5 计算步骤和算例计算步骤和算例 352.5 52.552.5 52.527.913.913.927.82.31106.9406.940K 集成单元集成单元21ABCD13 112032415063 352.50052.50000.583.7400.583.4703.7427.803.4713.91052.50052.50000.583.4700.583.4703.4713.903.4727.8k 3.5 计算步骤和算例计算步骤和算例集成单元集成单元21ABCD13 112033
44、405060 32.3106.942.3106.94083.30083.306.94027.86.94013.9102.3106.942.3106.94083.30083.306.94013.96.94027.8k 327.81312.316.946.942.092.316.946.7.19427.883.927.8K 3.5 计算步骤和算例计算步骤和算例 34.626.946.946.9455.613.9106.9413.955.6K 整体刚度矩阵整体刚度矩阵3 形成等效结点荷载形成等效结点荷载(1)形成局部坐标系下的单元等效结点荷载向量形成局部坐标系下的单元等效结点荷载向量(3)定位累加形
45、成整体坐标系下的等效结点荷载列向量定位累加形成整体坐标系下的等效结点荷载列向量(2)形成整体坐标系下的单元单元等效结点荷载向量形成整体坐标系下的单元单元等效结点荷载向量 TE330P T1 02 0 0 0 3.5 计算步骤和算例计算步骤和算例 TP330330 TTPTP303303)(4 解整体刚度方程，求结点位移解整体刚度方程，求结点位移 EKP 13234.626.946.943106.9455.613.936.9413.955.60 T83826.197.9 3.5 计算步骤和算例计算步骤和算例5 求各单元的杆端内力求各单元的杆端内力(1)由结点位移，确定各单元的局部坐标系下的杆端位
46、移由结点位移，确定各单元的局部坐标系下的杆端位移 T838026.1000 T838026.1838097.9 T838097.9000 TTT1 02 0 0 01 02 1 031 03 0 0 0 T83826.197.9 3.5 计算步骤和算例计算步骤和算例 01 083801 0 00083800 126.126.101 00001 0 00000 100T T838026.1838097.9 01 083801 0 00083800 197.997.901 00001 0 00000 100T 3.5 计算步骤和算例计算步骤和算例5 求各单元的杆端内力求各单元的杆端内力 P383.
47、30083.30000002.316.9402.31 6.9483831.206.9427.806.94 13.926.131083.30083.3000002.316.9402.316.940306.9413.906.9427.803FkF 52.0904.758.41 3.5 计算步骤和算例计算步骤和算例 P352.50052.500838000.583.4700.583.4700.4303.7427.803.4713.926.12.091052.50052.500838000.583.4700.583.4700.4303.4713.903.4727.897.93.09FkF P383.3
48、0083.3000002.316.9402.31 6.948381.2506.9427.806.94 13.997.93.091083.30083.3000002.316.9402.316.9401.2506.9413.906.9427.804.47FkF 3.5 计算步骤和算例计算步骤和算例 T0 1.252.09 0 4.758.41F T0 0.43 2.09 00.43 3.09F T01.253.09 0 1.254.47F1kN/m1.25kN2.09kNm4.75kN8.41kNm1.25kN3.09kNm1.75kN4.47kNm0.43kN0.43kN2.09kNm3.09k
49、Nm6 画出内力图画出内力图3.5 计算步骤和算例计算步骤和算例2.098.414.473.09M图图(kNm)1.254.751.260.43FQ图图(kN)0.430.431.25FN图图(kN)忽略轴向变形时，只是整体位移编码数量减少了。忽略轴向变形时，只是整体位移编码数量减少了。在坐在坐标转换时仍然要用标转换时仍然要用66的局部坐标系下的单元刚度矩阵和坐的局部坐标系下的单元刚度矩阵和坐标转换矩阵。标转换矩阵。3.5 计算步骤和算例计算步骤和算例往年考题解析往年考题解析3.5 计算步骤和算例计算步骤和算例往年考题解析往年考题解析3.5 计算步骤和算例计算步骤和算例往年考题解析往年考题解析
50、3.5 计算步骤和算例计算步骤和算例往年考题解析往年考题解析3.5 计算步骤和算例计算步骤和算例作业作业P428 9-3 9-5(a)P430 9-10 9-11作业作业3.6 程序设计程序设计3.6.1 程序框图程序框图输入数据输入数据单元局单元局部荷载部荷载坐标转换矩阵坐标转换矩阵单元整体荷载单元整体荷载集成整体刚集成整体刚度矩阵元素度矩阵元素约束条件处理、解方程约束条件处理、解方程计算单元轴力、约束反力计算单元轴力、约束反力单元单元循环循环包括单元、结点、材包括单元、结点、材料、荷载、约束数据料、荷载、约束数据单元局单元局部刚度部刚度单元整体刚度单元整体刚度集成整体等效结集成整体等效结点
