1、第三课 不 等 式 【网络体系网络体系】 【核心速填核心速填】 1.1.比较两实数比较两实数a a，b b大小的依据大小的依据 a a- -b0b0_.a_.a- -b=0b=0_.a_.a- -bb a=ba=b ab，那么，那么b_ab_a；如果；如果bbbb，bcbc，那么，那么a_ca_c，即，即abab，bcbca_c.a_c. 性质性质3 3 如果如果abab，那么，那么a+c_b+c.a+c_b+c. 性质性质4 4 如果如果abab，c0c0，那么，那么ac_bcac_bc， 如果如果abab，c b，cdcd，那么，那么a+c_b+d.a+c_b+d. 性质性质6 6 如果如
2、果ab0ab0，cd0cd0，那么，那么ac_bd.ac_bd. 性质性质7 7 如果如果ab0ab0，那么，那么a an n_b_bn n，(nN(nN* *，n1).n1). 性质性质8 8 如果如果ab0ab0，那么，那么 (nN(nN* *，n2).n2). nn ab， 3.3.一元二次不等式与相应二次函数、一元二次方程的一元二次不等式与相应二次函数、一元二次方程的 关系关系 设设f(x)=axf(x)=ax2 2+bx+c+bx+c，方程，方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)的判别式的判别式 =b=b2 2- -4ac 4ac 判别式判别式 00 =0=0
3、 0)的判别式的判别式 =b=b2 2- -4ac4ac 方程方程 f(x)f(x) =0=0的的 根根 (2)(2)画函数画函数 y=f(x)y=f(x)的示的示 意图意图 (3)(3)得得 不等不等 式的式的 解集解集 f(x)f(x) 00 _ _ _ f(x)f(x) x2 2 b xx 2a R R x|xx|x1 10) 表示对应直线表示对应直线 区域区域. . 5.5.二元一次不等式组表示的平面区域二元一次不等式组表示的平面区域 每个二元一次不等式所表示的平面区域的每个二元一次不等式所表示的平面区域的_， 就是不等式组所表示的区域就是不等式组所表示的区域. . _0_0 _0 _
4、0 0， b0)b0) “a=b”“a=b”时取等号时取等号 ab ab 2 【易错提醒易错提醒】 （1 1）求解一元二次不等式时注意讨论二次项系数是否）求解一元二次不等式时注意讨论二次项系数是否 为零，容易在解题中忽略为零，容易在解题中忽略. . （2 2）利用线性规划求最值时容易弄错直线间倾斜角之）利用线性规划求最值时容易弄错直线间倾斜角之 间的大小关系，要掌握利用斜率的大小判断倾斜角的间的大小关系，要掌握利用斜率的大小判断倾斜角的 大小的方法大小的方法. . （3 3）利用基本不等式求最值时，注意对式子的整体变）利用基本不等式求最值时，注意对式子的整体变 换，如果多次利用基本不等式则要保
5、证每一个等号同换，如果多次利用基本不等式则要保证每一个等号同 时取到时取到. . 类型一类型一 不等式性质的应用不等式性质的应用 【典例典例1 1】(1)(1)如果如果aRaR，且，且a a2 2+aa- -aa- -a a2 2 B.B.- -aaaa2 2 - -a a2 2aa C.C.- -aaaa2 2aa- -a a2 2 D.aD.a2 2 - -aa- -a a2 2aa (2)(2015(2)(2015玉林高二检测玉林高二检测) )若若A=(x+3)(x+7)A=(x+3)(x+7)， B=(x+4)(x+6)B=(x+4)(x+6)，则，则A A，B B的大小关系为的大小关
6、系为_._. 【解析解析】(1)(1)选选B.B.因为因为a a2 2+aa2 2 - -a a2 2a.a. (2)A(2)A- -B=(x+3)(x+7)B=(x+3)(x+7)- -(x+4)(x+6)(x+4)(x+6) =x=x2 2+10x+21+10x+21- -(x(x2 2+10x+24)=+10x+24)=- -3b，给出下列不等式：，给出下列不等式： a a3 3bb3 3； 2ac2ac2 22bc2bc2 2； 11；a a2 2+b+b2 2+ + 1ab+a+b.1ab+a+b.其中一定成立的不等式的序号是其中一定成立的不等式的序号是_._. 【解题指南解题指南】
7、解此类问题主要是依据不等式的性质进行解此类问题主要是依据不等式的性质进行 判断，其实质就是看是否满足相关性质所需要的条件判断，其实质就是看是否满足相关性质所需要的条件. . 11 ab ； 22 ab； a b 【解析解析】若若a0a0，bb，故，故a a3 3bb3 3，故成立；，故成立； 取取a=0a=0，b=b=- -1 1，知不成立；当，知不成立；当c=0c=0时，时，2ac2ac2 2=2bc=2bc2 2， 故不成立；取故不成立；取a=1a=1，b=b=- -1 1，知不成立；因为，知不成立；因为 a a2 2+b+b2 2+1+1- -(ab+a+b)= (a(ab+a+b)=
8、(a- -b)b)2 2+(a+(a- -1)1)2 2+(b+(b- -1)1)2 200，所，所 以以a a2 2+b+b2 2+1ab+a+b+1ab+a+b，故成立，故成立. . 答案：答案： 11 ab 1 2 类型二类型二 不等式的解法不等式的解法 【典例典例2 2】(2015(2015遵义高二检测遵义高二检测) )若不等式若不等式(1(1- -a)xa)x2 2- - 4x+604x+60的解集是的解集是xx- -30. (2)b(2)b为何值时，为何值时，axax2 2+bx+30+bx+30的解集为的解集为R.R. 【解析解析】(1)(1)由题意知由题意知1 1- -a0即为
9、即为2x2x2 2- -x x- -3030， 1 a0 4 2 1 a 6 3 1 a ， ， ， 解得解得x . 所以所求不等式的解集为所以所求不等式的解集为x|x . (2)ax(2)ax2 2+bx+30+bx+30，即为，即为3x3x2 2+bx+30.+bx+30. 若此不等式解集为若此不等式解集为R R，则，则b b2 2- -4 43 33030，所以，所以- -66 b6.b6. 3 2 3 2 【延伸探究延伸探究】若本例若本例(2)(2)中不等式改为中不等式改为bxbx2 2+3x+30+3x+30， 如何求解？如何求解？ 【解析解析】当当b=0b=0时，原不等式化为时，原
10、不等式化为3x+303x+30，不满足解，不满足解 集为集为R R； 当当b0b0时，则时，则 解得解得b b ，综上知，综上知，b .b . b0 9 4 3b0 ， ， 3 4 3 4 【方法技巧方法技巧】不等式的解法不等式的解法 (1)(1)一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法 将不等式化为将不等式化为axax2 2+bx+c0(a0)+bx+c0(a0) 或或axax2 2+bx+c0)+bx+c0)的形式；的形式； 求出相应的一元二次方程的根或利用二次函数的图求出相应的一元二次方程的根或利用二次函数的图 象与根的判别式确定一元二次不等式的解集象与根的判别式确定一元二次不等式的解集
11、. . (2)(2)含参数的一元二次不等式含参数的一元二次不等式 解题时应先看二次项系数的正负，其次考虑判别式，解题时应先看二次项系数的正负，其次考虑判别式， 最后分析两根的大小，此种情况讨论是必不可少的最后分析两根的大小，此种情况讨论是必不可少的. . 【变式训练变式训练】(2015(2015武汉高二检测武汉高二检测) )已知已知a0， 2 a 所以方程所以方程(ax+2)(x(ax+2)(x- -1)=01)=0的两根为：的两根为：x x1 1= = ，x x2 2=1=1， 所以当所以当a ， 不等式的解集为不等式的解集为x|x1. 当当a=a=- -2 2时，时， =1=1，原不等式可
12、化为，原不等式可化为(x(x- -1)1)2 200，其解集，其解集 为为x1x1， 当当- -21， 不等式的解集为不等式的解集为x|x . 2 a 2 a 2 a 2 a 2 a 2 a 综上：当综上：当a1， 当当a=a=- -2 2时，解集为时，解集为x|x1x|x1， 当当- -2 . 2 a 2 a 【补偿训练补偿训练】解关于解关于x x的不等式的不等式56x56x2 2+ax+ax- -a a2 20时，时， 当当 ，即，即a=0a=0时，原不等式解集为时，原不等式解集为 ； aa (x)(x) 78 aa 78 aa x 78 ； aa 78 当当 ，即，即a0时，原不等式的解
13、集为时，原不等式的解集为 当当a=0a=0时，原不等式的解集为时，原不等式的解集为 ；当；当a0，得，得n n2 2- -20n+490， b0)b0)解“定积求和，和最小”问题，用解“定积求和，和最小”问题，用abab 解“定和求积，积最大”问题解“定和求积，积最大”问题. . ab 2 ab () 2 (2)(2)在实际运用中，经常涉及函数在实际运用中，经常涉及函数f(x)=x+ (k0).f(x)=x+ (k0).一一 定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相 等”等”. .特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少特别是利用拆项、添项、配
14、凑、分离变量、减少 变元等，构造定值条件的方法和对等号能否成立的验变元等，构造定值条件的方法和对等号能否成立的验 证证. . k x 【变式训练变式训练】(2015(2015渭南高二检测渭南高二检测) )已知正数已知正数x x，y y满满 足足x+2y=1x+2y=1，求，求 的最小值的最小值. . 11 xy 【解析解析】因为因为x+2y=1x+2y=1且且x0x0，y0.y0. 所以所以 当且仅当当且仅当 ，即，即x= yx= y，又，又x+2y=1x+2y=1， 即即x= x= - -1 1，y= y= 时等号成立时等号成立. .所以所以 11112yx ()(x2y)3 xyxyxy
15、2y x 3 23 2 2 x y ， 2yx xy 2 2 22 2 min 11 ()3 2 2 xy 【补偿训练补偿训练】在下列各函数中，最小值等于在下列各函数中，最小值等于2 2的函数的函数 是是( ( ) ) 2 x x 2 11 AyxBycos x(0x) xcos x2 x44 CyDye2 e x2 【解析解析】选选D.D.选项选项A A中，中，x0， a a恒成立，则恒成立，则a a的取值范围是的取值范围是_._. 2 x x3x 1 【解析解析】(1)(1)选选B.y=g(a)=(xB.y=g(a)=(x- -2)a+x2)a+x2 2- -4x+44x+4， 当当x=2
16、x=2时，时，y=0y=0，所以，所以x2x2，只需，只需 即即 解得解得x(x(- -，1)(31)(3，+).+). g( 1)0 g(1)0 ， ， 2 2 (x2) ( 1)x4x40 (x2) 1 x4x40 ， (2)(2)因为因为 当且仅当当且仅当x=1x=1时取等号，所以时取等号，所以a .a . 答案：答案：aa 2 x111 1 x3x 151 x3 3 2 x x x ， 1 5 1 5 【方法技巧方法技巧】(1)(1)含参变量的不等式中，求参数取值范含参变量的不等式中，求参数取值范 围是高考的一大热点，当变量易于分解时，转化为围是高考的一大热点，当变量易于分解时，转化为
17、 af(x)(af(x)(或或a0，b0b0，且不等式，且不等式 0 0恒恒 成立，则成立，则k k的最小值等于的最小值等于( ( ) ) A.0A.0 B.4B.4 C.C.- -4 4 D.D.- -2 2 【解题指南解题指南】可采用分离参数的方法，将可采用分离参数的方法，将k k移到不等式移到不等式 的一边，转化为求另一边的最大值问题的一边，转化为求另一边的最大值问题. . 11k abab 【解析解析】选选C.C.由由 0 0得得k k ，而，而 4(a=b4(a=b时取等号时取等号) )，所以，所以 - -4 4，要使，要使k k 恒成立，只要恒成立，只要kk- -4 4，即，即k k的最小的最小 值等于值等于- -4.4. 11k abab 2 (ab) ab 2 (ab)ba 2 abab 2 (ab) ab 2 (ab) ab
