1、第一课 解三角形 【网络体系网络体系】 【核心速填核心速填】 1.1.正弦定理正弦定理 (1)(1)公式表达：公式表达：_._. abc 2R sin Asin Bsin C (2)(2)公式变形：公式变形： a=2RsinAa=2RsinA，b=2RsinBb=2RsinB，c =2RsinCc =2RsinC； sinA= sinA= ，sinB= sinB= ，sinC= sinC= ； abc=sinAsinBsinCabc=sinAsinBsinC； a 2R b 2R c 2R abcabc 2R. sin Asin B sin Csin Asin Bsin C 2.2.余弦定理余
2、弦定理 (1)(1)公式表达：公式表达： a a2 2=_=_，b b2 2=_=_， c c2 2=_.=_. (2)(2)推论：推论：cosA=_cosA=_，cosB=_cosB=_， cosC=_.cosC=_. b b2 2+c+c2 2- -2bccosA2bccosA a a2 2+c+c2 2- -2accosB2accosB a a2 2+b+b2 2- -2abcosC2abcosC 222 bca 2bc 222 acb 2ac 222 abc 2ab 3.3.三角形中的常用结论三角形中的常用结论 (1)a+bc(1)a+bc，b+cab+ca，c+ab.c+ab. (2
3、)a(2)a- -bbABABsinAsinB.sinAsinB. (5)a=b(5)a=bA=B.A=B. (6)A(6)A为锐角为锐角cosA0cosA0a a2 2b2 2+c+c2 2； A A为直角为直角cosA=0cosA=0a a2 2=b=b2 2+c+c2 2. . (7)sin(A+B)=sinC(7)sin(A+B)=sinC，cos(A+B)=cos(A+B)=- -cosC.cosC. (8)(8) ABCABC sincoscossin. 2222 ， 4.4.三角形中的计算问题三角形中的计算问题 在在ABCABC中，边中，边BCBC，CACA，ABAB记为记为a
4、a，b b，c c，边，边BCBC，CACA， ABAB上的高分别记为上的高分别记为h ha a，h hb b，h hc c，则，则 (1)h(1)ha a=bsinC=_.=bsinC=_. (2)h(2)hb b=csinA=_.=csinA=_. (3)h(3)hc c=asinB=_.=asinB=_. csinBcsinB asinCasinC bsinAbsinA (4)(4) (5)(5) ab cos Cc cos B ba cos Cc cos A ca cos Bb cos A. ， ， 111abc Sabsin Cacsin Bbcsin A. 2224R 【易错提醒易
5、错提醒】 解三角形中易忽视的三点解三角形中易忽视的三点 (1)(1)解三角形时，不要忽视角的取值范围解三角形时，不要忽视角的取值范围. . (2)(2)由两个角的正弦值相等求两角关系时，注意不要忽由两个角的正弦值相等求两角关系时，注意不要忽 视两角互补情况视两角互补情况. . (3)(3)利用正弦定理、余弦定理判断三角形形状时，切记利用正弦定理、余弦定理判断三角形形状时，切记 出现失解情况出现失解情况. . 类型一类型一 利用正、余弦定理解三角形利用正、余弦定理解三角形 【典例典例1 1】(1)(1)ABCABC的外接圆的圆心为的外接圆的圆心为O O，AB=2AB=2，AC=AC= ，BC=
6、BC= ，则，则 等于等于( ( ) ) 37AO BC 9911 A.B.C.D. 4422 (2)(2)在在ABCABC中，中，A A，B B为锐角，角为锐角，角A A，B B，C C所对应的边分所对应的边分 别为别为a a，b b，c c，且，且cos 2A= cos 2A= ，sinB=sinB= 求求A+BA+B的值；的值； 若若a a- -b= b= - -1 1，求，求a a，b b，c c的值的值. . 3 5 10 . 10 2 【解析解析】(1)(1)选选C.C.因为因为AB=2AB=2， 所以所以BCBC2 2=AB=AB2 2+AC+AC2 2， 所以所以A= A= ，
7、所以，所以BCBC为圆的直径，为圆的直径，O O为斜边为斜边BCBC的中点，的中点， 所以所以CO=BO=AO= BC= CO=BO=AO= BC= ，又，又AC= AC= ， 设设AOC=AOC=，由余弦定理得，由余弦定理得cos=cos= 则则 AC3 BC7， 2 1 2 7 2 3 222 AOCOAC1 2AO CO7 ， 711 AO BC |AO|BC|cos()7 (). 272 (2)(2)因为因为A A，B B为锐角，为锐角，sinB=sinB= 所以所以cosB=cosB= 又因为又因为cos 2A=1cos 2A=1- -2sin2sin2 2A=A= 所以所以sinA
8、= sinA= ，cosA=cosA= 所以所以cos(A+B)=cosAcosBcos(A+B)=cosAcosB- -sinAsinBsinAsinB 10 10 ， 2 3 10 1 sin B 10 ， 3 5， 5 5 2 2 5 1 sin A 5 ， 2 53 105102 . 5105102 因为因为08，所以货轮无触礁危险，所以货轮无触礁危险. . 62 3 2 15 25 6 15 25 6 【方法技巧方法技巧】正、余弦定理在实际应用中应注意的问正、余弦定理在实际应用中应注意的问 题题 (1)(1)分析题意，弄清已知元素和未知元素，根据题意画分析题意，弄清已知元素和未知元素
9、，根据题意画 出示意图出示意图. . (2)(2)明确题目中的一些名词、术语的意义，如仰角、俯明确题目中的一些名词、术语的意义，如仰角、俯 角、方向角、方位角等角、方向角、方位角等. . (3)(3)将实际问题中的数量关系归结为数学问题，利用学将实际问题中的数量关系归结为数学问题，利用学 过的几何知识，作出辅助线，将已知与未知元素归结过的几何知识，作出辅助线，将已知与未知元素归结 到同一个三角形中，然后解此三角形到同一个三角形中，然后解此三角形. . (4)(4)在选择关系时，一是力求简便，二是要尽可能使用在选择关系时，一是力求简便，二是要尽可能使用 题目中的原有数据，尽量减少计算中误差的积累
10、题目中的原有数据，尽量减少计算中误差的积累. . (5)(5)按照题目中已有的精确度计算，并根据题目要求的按照题目中已有的精确度计算，并根据题目要求的 精确度确定答案并注明单位精确度确定答案并注明单位. . 【变式训练变式训练】如图，为了解某海域海底如图，为了解某海域海底 构造，在海平面内一条直线上的构造，在海平面内一条直线上的A A，B B， C C三点进行测量，已知三点进行测量，已知AB=50mAB=50m，BC=120mBC=120m， 于于A A处测得水深处测得水深AD=80mAD=80m，于，于B B处测得水深处测得水深BE=200mBE=200m，于，于C C 处测得水深处测得水深
11、CF=110mCF=110m，求，求DEFDEF的余弦值的余弦值. . 【解析解析】如图，作如图，作DMACDMAC交交BEBE于点于点N N，交，交CFCF于点于点M M， DF=DF= DE=DE= EF=EF= 在在DEFDEF中，由余弦定理得：中，由余弦定理得： cosDEF=cosDEF= 2222 MFDM3017010 298， 2222 DNEN50120130， 2222 (BEFC)BC90120150. 222222 DEEFDF1301501029816 . 2DE EF2 130 15065 【补偿训练补偿训练】如图为了测量如图为了测量A A，C C两点间的距离，选取
12、两点间的距离，选取 同一平面上同一平面上B B，D D两点，测出四边形两点，测出四边形ABCDABCD的各边的长度的各边的长度 ( (单位：单位：km)km)：AB=5AB=5，BC=8BC=8，CD=3CD=3，DA=5DA=5，如图所示，如图所示， 且且A A，B B，C C，D D四点共圆，则四点共圆，则ACAC的长为的长为_km._km. 【解析解析】因为因为A A，B B，C C，D D四点共圆，所以四点共圆，所以B+D=B+D=， 由余弦定理得由余弦定理得ACAC2 2=5=52 2+3+32 2- -2 25 53cosD=343cosD=34- -30cosD30cosD， A
13、CAC2 2=5=52 2+8+82 2- -2 25 58cosB=898cosB=89- -80cosB80cosB， 由由cosB=cosB=- -cosDcosD，得，得 ，解得，解得AC=7.AC=7. 答案：答案：7 7 22 34 AC89 AC 3080 类型四类型四 正、余弦定理与三角函数的综合正、余弦定理与三角函数的综合 【典例典例4 4】(2015(2015陕西高考陕西高考) )ABCABC的内角的内角A A，B B，C C所对所对 的边分别为的边分别为a a，b b，c c，向量，向量m=(a=(a， b)b)与与n=(cosA=(cosA， sinB)sinB)平行平
14、行. . (1)(1)求求A.A. (2)(2)若若a= a= ，b=2b=2，求，求ABCABC的面积的面积. . 3 7 【解析解析】(1)(1)因为因为mn，所以，所以asinBasinB- - bcosA=0bcosA=0， 由正弦定理得由正弦定理得sinAsinBsinAsinB- - sinBcosA=0sinBcosA=0， 又又sinB0sinB0，从而，从而tanA= tanA= ，由于，由于00，所以，所以c=3.c=3.故故ABCABC的面积为的面积为 bcsinA=bcsinA= 7 3 1 2 3 3 . 2 方法二：由正弦定理得方法二：由正弦定理得 ，从而，从而si
15、nB=sinB= 又因为又因为abab，所以，所以ABAB，所以，所以cosB=cosB= 所以所以sinC=sin(A+B)=sinC=sin(A+B)= 所以所以ABCABC的面积为的面积为 72 sin B sin 3 21 7 ， 2 7 . 7 sin(B) 3 3 21 sin Bcoscos Bsin. 3314 13 3 absin C. 22 【方法技巧方法技巧】正、余弦定理与三角函数综合应用的处正、余弦定理与三角函数综合应用的处 理策略理策略 (1)(1)首先要熟练使用正、余弦定理，其次要根据条件，首先要熟练使用正、余弦定理，其次要根据条件， 合理选用三角函数公式，达到简化
16、问题的目的合理选用三角函数公式，达到简化问题的目的. . (2)(2)利用正、余弦定理解三角形问题时，常与平面向量利用正、余弦定理解三角形问题时，常与平面向量 等知识结合给出问题的条件，这些知识的加入，一般等知识结合给出问题的条件，这些知识的加入，一般 只起“点缀”作用，难度较小，易于化简只起“点缀”作用，难度较小，易于化简. . 【变式训练变式训练】(2015(2015武汉高一检测武汉高一检测) )如如 图，经过村庄图，经过村庄A A有两条夹角为有两条夹角为6060的公的公 路路ABAB，ACAC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一 工厂工厂P P，分
17、别在两条公路边上建两个仓库，分别在两条公路边上建两个仓库M M，N(N(异于村异于村 庄庄A)A)，要求，要求PM=PN=MN=2(PM=PN=MN=2(单位：千米单位：千米).).如何设计，可以如何设计，可以 使得工厂产生的噪声对居民的影响最小使得工厂产生的噪声对居民的影响最小( (即工厂与村庄即工厂与村庄 的距离最远的距离最远).). 【解析解析】设设AMN=AMN=，0 0120120，在，在AMNAMN中，中， 因为因为MN=2MN=2，所以，所以AM= sin(120AM= sin(120- -)， 在在APMAPM中，中，cosAMP=cos(60cosAMP=cos(60+)+)
18、， APAP2 2=AM=AM2 2+MP+MP2 2- -2MP2MPAMcosAMPAMcosAMP = sin= sin2 2(120(120- -)+4)+4- -2 22 2 sin(120sin(120- -) cos(60cos(60+)+) MNAM sin 60sin(120) ， 4 3 3 16 3 4 3 3 = sin= sin2 2(60(60+)+)- - sin(60sin(60+)cos(60+)cos(60+)+4+)+4 = 1= 1- -cos(2+120cos(2+120)- - sin(2+120sin(2+120)+4)+4 = =- - sin(
19、2+120 sin(2+120)+cos(2+120)+cos(2+120)+)+ = = - - sin(2+150sin(2+150) )，0 0120120， 当且仅当当且仅当2+1502+150=270=270，即，即=60=60时，时，APAP2 2取得最取得最 大值大值1212，即，即APAP取得最大值取得最大值2 2 ， 16 3 16 3 3 8 3 8 3 3 8 3 3 20 3 20 3 16 3 3 答：当答：当AMNAMN为为6060时，工厂产生的噪声对居民的影响时，工厂产生的噪声对居民的影响 最小最小. . 【补偿训练补偿训练】如图，半圆如图，半圆O O的直径为的直
20、径为2 2，A A为直径延长线为直径延长线 上的一点，上的一点，OA=2OA=2，B B为半圆上任意一点，以为半圆上任意一点，以ABAB为一边作为一边作 等边三角形等边三角形ABC.ABC. 问：当问：当AOBAOB为多少时，四边形为多少时，四边形OACBOACB的面积最大？的面积最大？ 【解析解析】设设AOB=.AOB=. 在在AOBAOB中，由余弦定理，得中，由余弦定理，得 ABAB2 2=1=12 2+2+22 2- -2 21 12cos=52cos=5- -4cos.4cos. 所以四边形所以四边形OACBOACB的面积为的面积为 S=SS=S AOBAOB+S +S ABCABC= OA = OAOBsin+ ABOBsin+ AB2 2 1 2 3 4 = = 2 21 1sin+ (5sin+ (5- -4cos)4cos) =sin=sin- - 所以当所以当sin( )=1sin( )=1时，时，S S有最大值有最大值. . 因为因为00， 所以所以 故当故当AOB= AOB= 时，四边形时，四边形OACBOACB的面积最大的面积最大. . 1 2 3 4 5 3cos3 4 5 2sin()3. 34 3 5 . 326 ， 5 6
