1、第3课时 三角形中的几何计算 在在ABC中，边中，边BC，CA，AB上的高分别记上的高分别记 为为ha，hb，hc，那么它们如何用已知边和角表示？，那么它们如何用已知边和角表示？ habsinCcsinB hb=csinAasinC hc=asinBbsinA 1.1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进 一步解决有关三角形的问题一步解决有关三角形的问题, , 掌握三角形的面积掌握三角形的面积 公式的简单推导和应用公式的简单推导和应用. .( (重点重点) ) 2.2.三角形各种类型的判定方法三角形各种类型的判定方法. . ( (难点难点) ) 1.
2、1.我们以前接触过的三角形的面积公式有哪些？我们以前接触过的三角形的面积公式有哪些？ D D 探究点探究点1 1 三角形面积公式三角形面积公式 A A a a C C B B c c b b h ha a h hc c h hb b 111 222 abcabc ABCabABCab 在在 ABCABC中中，边边BCBC，CACA，ABAB上上的的高高 分分别别记记为为h ,h ,hh ,h ,h ，则则有有 S=ah =bhchS=ah =bhchc 提示提示: h ha absinCbsinCcsinB csinB h hb b=csinA=csinAasinC asinC h hc c=
3、asinB=asinBbsinAbsinA A A a a h ha a C C B B D D c c b b 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 22 c ABCaABCa b b 根根据据以以前前学学过过的的三三角角形形面面积积公公式式S=ahS=ah =bhch=bhch ，可可以以推推导导出出下下面面 S=absinCS=absinC， S=bcsinA S=bcsinA， S= S= 的的三三角角形形面面积积公公式式： acsinB.acsinB. 2.2.如何用已知边和角表示三角形的面积？如何用已知边和角表示三角形的面积？ 提示提示: 1 1 在在 ABCABC中中，已已知知
4、tanB =3tanB =3，cosC =cosC =，AC = 3 6AC = 3 6， 3 3 求求 ABCABC的的面面积积 ? ?（ ） 设设长长别别为为 2 2 AB，AB，BC，BC，CA的CA的分分c，c，a，a，b b 3131 由由tanB =3得tanB =3得B = 60所B = 60所以以sinB =，sinB =，cosB =，cosB =， 2222 2 22 2 又又sinC =1-cos C =，sinC =1-cos C =， 3 3 2 22 2 3 63 6 bsinCbsinC 3 3 由由正正弦弦定定理理得得，c = 8.c = 8. sinsin ：
5、 ， 3 3 2 2 B B 解解 【即时练习即时练习】 ABCABC 所所以以sinA =sin（sinA =sin（B+C）B+C） =sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC+cosBsinC 3112 2323112 232 = + + =+，=+， 232363232363 1 1 故故S=bcsinA = 6 2 +8 3.S=bcsinA = 6 2 +8 3. 2 2 分析：分析：这是一道在不同的已知条件下求三角形的这是一道在不同的已知条件下求三角形的 面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我 们可以应用解三角形面积的知识
6、，观察已知什么，们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么， 尚缺什么，求出需要的元素，就可以求出三角形尚缺什么，求出需要的元素，就可以求出三角形 的面积的面积. . 例例1 1 在在ABCABC中，根据下列条件，求三角形的面中，根据下列条件，求三角形的面 积积S S（精确到（精确到0.1 0.1 ）: : （1 1）已知）已知a=14.8cma=14.8cm，c=23.5cmc=23.5cm，B=148.5B=148.5； （2 2）已知）已知B=62.7B=62.7，C=65.8C=65.8,b=3.16cm,b=3.16cm； （3 3）已知三边的长分别为）已知三边的长分别为a=41.4
7、cma=41.4cm， b=27.3cmb=27.3cm，c=38.7cm.c=38.7cm. cmcm 2 2 2 1 1 （1）1）用用S=casinBS=casinB 2 2 1 1 S= S= 23.523.514.814.8sin148.5sin148.5 90.9（90.9（ 解解： cm）cm） 2 2 . . 应应得得 2 2 2222 bcbsinCbcbsinC （2）2）根根据据正正弦弦定定理理，=，=，c =，c =， sinBsinCsinBsinBsinCsinB 11sinCsinA11sinCsinA S =bcsinA =b，S =bcsinA =b， 22s
8、inB22sinB A =180A =180 - （- （B+C）B+C） =180=180 - （- （62.762.7 +65.8+65.8） =51.5=51.5， 1sin65.81sin65.8sin51.5sin51.5 S = S = 3.16 3.16 4.0（4.0（cm）cm）. . 2sin62.72sin62.7 (3)(3)根据余弦定理的推论，得根据余弦定理的推论，得 应应 222222 222222 2222 2 2 c +a -bc +a -b cosB =cosB = 2ca2ca 38.7 +41.4 -27.338.7 +41.4 -27.3 = = 223
9、8.738.741.441.4 0.769 7，0.769 7， sinB =1-cos B1-0.769 70.638 4，sinB =1-cos B1-0.769 70.638 4， 1 1 用用S =casinB，S =casinB，得得 2 2 1 1 SS38.738.741.441.40.6384511.4（0.6384511.4（cm）cm）. . 2 2 (2014 (2014新课标全国卷新课标全国卷) )钝角三角形钝角三角形 ABCABC 的面积是的面积是 1 2 ,AB=1,BC=,AB=1,BC= 2, ,则则 AC=AC= ( ( ) ) A.5A.5 B.B. 5 C
10、.2 C.2 D.1D.1 【解析】【解析】选选 B.B.设设 AB=cAB=c，BC=aBC=a，AC=bAC=b，因为因为 S S ABCABC= = 1 2 acsinBacsinB = = 1 2 1 2 sinB=sinB= 1 2 , ,所以所以 sinB=sinB= 2 2 , ,所以所以 B=B= 4 或或 3 4 . .当当 B=B= 4 时时, , 经计算经计算ABCABC 为等腰直角三角形为等腰直角三角形, ,不符合题意不符合题意, ,舍去舍去. .所以所以 B=B= 3 4 , ,使用余弦定理使用余弦定理,b,b 2 2=a =a 2 2+c +c 2 2- -2acc
11、osB, 2accosB,解得解得 b=b= 5. .故选故选 B.B. 【变式练习变式练习】 例例2 2 如图如图, ,某市在进行城市环境建设中某市在进行城市环境建设中, ,要把一个要把一个 三角形的区域改造成市内公园三角形的区域改造成市内公园, ,经过测量得到这个经过测量得到这个 三角形区域的三条边长分别为三角形区域的三条边长分别为68 m,88 m,127 m,68 m,88 m,127 m,这这 个区域的面积是多少？（精确到个区域的面积是多少？（精确到0.1 0.1 ） 分析：分析：本题可转化为本题可转化为 已知三角形的三边，已知三角形的三边， 求角的问题，再利用求角的问题，再利用 三
12、角形的面积公式求三角形的面积公式求 解解. . C A B 解：解：设设a=68 m,b=88 m,c=127 m,a=68 m,b=88 m,c=127 m,根据余弦定理的推论，根据余弦定理的推论， 0.753 2 ， 应应 222222222222 2222 2 2 c +a -b127 +68 -88c +a -b127 +68 -88 cosB =cosB = 2ca22ca21271276868 sinB =1-cos B1-0.753 20.657 8.sinB =1-cos B1-0.753 20.657 8. 1 1 用用S =casinB，S =casinB，得得 2 2 1
13、 1 SS12712768680.657 82 840.4（0.657 82 840.4（m）m）. . 2 2 这这个个区区积积 2 2 域域的的面面是是2 840.2 840.答答4 m4 m：. . 已知圆内接四边形的边长为已知圆内接四边形的边长为AB=2AB=2，BC=6BC=6，CD=DA=4.CD=DA=4. 求四边形求四边形ABCDABCD的面积的面积. . 【分析分析】连结连结BDBD，将四边形，将四边形ABCDABCD 转化为三角形转化为三角形. . 【解析解析】如图，连结如图，连结BDBD， 设四边形设四边形ABCDABCD的面积为的面积为S.S. 【变式练习变式练习】 则
14、则 S = SS = S ABDABD+ S + S CDBCDB = ABADsinA+ BCCDsinC.= ABADsinA+ BCCDsinC. 四边形四边形ABCDABCD A+C=180A+C=180 sinA=sinCsinA=sinC，cosA=cosA=- -cosCcosC S= (ABAD+BCCD)sinAS= (ABAD+BCCD)sinA = (2= (24+64+64)sinA4)sinA =16sinA.=16sinA. 1 2 1 2 1 2 1 2 在在ABDABD BDBD2 2=AB=AB2 2+AD+AD2 2- -2ABADcosA2ABADcosA
15、 =2=22 2+4+42 2- -2 22 24cosA=204cosA=20- -16cosA.16cosA. 在在BCDBCD BDBD2 2=BC=BC2 2+CD+CD2 2- -2BCCDcosC2BCCDcosC =6=62 2+4+42 2+2+26 64cosA=52+48cosA.4cosA=52+48cosA. 由由BDBD2 2=BD=BD2 2 2020- -16cosA=52+48cosA16cosA=52+48cosA cosA=cosA= A=120A=120，S=16sin120S=16sin120= = . . 1 2 8 3 例例3 3 在在ABCABC中
16、中，求证：求证： 分析：分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的这是一道关于三角形边角关系恒等式的 证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到 用正弦定理和余弦定理来证明用正弦定理和余弦定理来证明. . 探究点探究点2 2 三角形边角关系应用三角形边角关系应用 22222222 2222 222222 a +bsin A+sin Ba +bsin A+sin B （1 1）=.=. csin Ccsin C （2 2）a +b +c = 2a +b +c = 2（bccosA+cacosB+abcosCbccosA+cacosB+abcosC）. . 证明
17、：证明：（1 1）根据正弦定理，可设）根据正弦定理，可设 显显 边边 边边. . 2222 2 2 222222222222 222222 abcabc = k= k sinAsinBsinCsinAsinBsinC 然然kk0，0，所所以以 a +ba +b 左左= = c c k sin A +k sin Bsin A +sin Bk sin A +k sin Bsin A +sin B = k sin Csin Ck sin Csin C = 右= 右 （2 2）根据余弦定理）根据余弦定理， 右边右边=(b=(b2 2+c+c2 2- -a a2 2)+(c)+(c2 2+a+a2 2-
18、 -b b2 2)+(a)+(a2 2+b+b2 2- -c c2 2) ) =a=a2 2+b+b2 2+c+c2 2 = =左边 左边. . （1 1）acosA = bcosB.acosA = bcosB. 判断满足下列条件的三角形的形状判断满足下列条件的三角形的形状. . 提示：提示：利用正弦定理或余弦定理，利用正弦定理或余弦定理，“化边为角化边为角” 或或“化角为边化角为边”. . . coscos sinA+sinBsinA+sinB （2 2）sinC =sinC = ABAB 【变式练习变式练习】 边边该该 （1 1） 关关 222222222222 2224422222224
19、42222 2222222222 由由余余弦弦定定理理得得 b +c -ac +a -bb +c -ac +a -b aa= b= b 2bc2ca2bc2ca 所所以以c（c（a -b）a -b） = a -b = （= a -b = （a +b）a +b）（a -b）a -b）， 所所以以a = b 或a = b 或c = a +b .c = a +b . 根根据据的的系系得得三三角角形形是是等等腰腰三三角角形形或或直直 解解： 角角三三角角形形. . 另解：另解：由正弦定理得由正弦定理得sinAcosA=sinBcosB,sinAcosA=sinBcosB, 所以所以sin2A=sin2
20、B, sin2A=sin2B, 即即2A=2B, 2A=2B, 根据边的关系易得是等腰三角形根据边的关系易得是等腰三角形. . 所以所以A=BA=B， 思考：思考：为什么两种求解方法答案不同，哪个正确？为什么两种求解方法答案不同，哪个正确？ 哪个错误？为什么？哪个错误？为什么？ 因为因为sin2A=sin2B,sin2A=sin2B,有可能推出有可能推出2A2A与与2B2B两个角两个角 互补，即互补，即2A+2B=1802A+2B=180，则，则A+B=90A+B=90. . 前一种解法正确前一种解法正确. . 后一种解法遗漏了一种情况；后一种解法遗漏了一种情况； 提示提示: 22222222
21、2222 222222222222 2222222222222222 222323222323 222323222323 由由已已知知，sinA+sinB =sinC（sinA+sinB =sinC（cosA+cosB）cosA+cosB）， b +c -aa +c -bb +c -aa +c -b 由由正正、余余弦弦定定理理得得，a+b = c（a+b = c（+）+） 2bc2ac2bc2ac b +c -aa +c -bb +c -aa +c -b 所所以以a+b =+，a+b =+， 2b2a2b2a 所所以以2a b+2ab = a（2a b+2ab = a（b +c -a）b +c
22、 -a） +b（+b（a +c -b）a +c -b）， 所所以以a b+ab = ac -a +bc -b，a b+ab = ac -a +bc -b， 所所以以a b+ab -aca b+ab -ac （2）2） +a -bc +b =0+a -bc +b =0 所以此三角形为直角三角形所以此三角形为直角三角形. . 222222 222222 222222 222222 所所以以ab（ab（a+b）a+b） -c（-c（a+b）a+b） + （+ （a+b）a+b）（a -ab+b）a -ab+b） =0=0 即即（a+b）a+b）（a +b -c）a +b -c） =0，=0， 又又a
23、+ba+b0，0， 所所以以a +b -c =0，a +b -c =0， 所所以以c = a +b ，c = a +b ， 利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为 只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简 并观察边或角的关系，从而确定三角形的形状并观察边或角的关系，从而确定三角形的形状. .特特 别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚 至可以两者混用至可以两者混用. . 1 1在在ABCABC中，若中，若acosB=bcosAacosB=bcosA，则，则ABCABC
24、一定是一定是 （ A A等腰三角形等腰三角形 B B C C D D等腰直角三角形等腰直角三角形 A A 【解析解析】acosB=bcosAacosB=bcosA 2RsinA2RsinA cosB=2RcosB=2RsinBcosAsinBcosAtanA=tanBtanA=tanB A=BA=B， ABCABC为等腰三角形为等腰三角形. . 2 2在在ABCABC中，若中，若2cos2cosB BsinsinA AsinCsinC，则，则ABCABC的形状的形状 一定是（一定是（ ） A.A.等腰直角三角形等腰直角三角形 B.B.直角三角形直角三角形 C.C.等腰三角形等腰三角形 D.D.
25、等边三角形等边三角形 【解析解析】2sin2sinA AcoscosB Bsin(sin(A AB B) )sin(sin(A AB B) )， 又又2sin2sinA AcoscosB BsinsinC C， sin(sin(A AB B) )0 0，A AB B ABCABC为等腰三角形为等腰三角形 C C 3.(20153.(2015北京高考北京高考) )在在ABCABC中中,a=3,b= ,a=3,b= ,A= ,A= , 则则B=B= . . 【提示提示】 利用正弦定理求解利用正弦定理求解, ,注意角注意角B B的范围的范围. . 【解析】【解析】由正弦定理得由正弦定理得 = = ,
26、 ,所以 所以 sinB=sinB= . . 因为因为 B B(0,(0, ),),所以所以 B=B= . . 答案答案: : 4 4. . （20142014山东高考）在山东高考）在ABC中，角中，角 , ,A B C所对的所对的 边分别是边分别是a,b,c. .已知已知 6 a3,cosA,BA. 32 （1 1）求）求b的值的值. . （2 2）求）求ABC的面积的面积. . 【解析】【解析】（1 1）由题意知：）由题意知： 2 3 sin1 cos 3 AA ， 6 sinsinsincoscossincos 2223 BAAAA ， 由正弦定理得：由正弦定理得： sin 3 2 si
27、nsinsin abaB b ABA . . （2 2）由余弦定理，得）由余弦定理，得 222 2 12 6 cos4 3903,3 3, 23 bca Acccc bc 又因为又因为 2 BA 为钝角，所以为钝角，所以 bc，即，即3c， 所以所以 13 2 sin. 22 ABC SacB 1.1.三角形面积公式：三角形面积公式： 2.2.确定三角形的形状确定三角形的形状 利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或 “化角为边”“化角为边”. . 111 222 S=absinCS=absinC， S=bcsinA S=bcsinA， S=acsinB.
28、S=acsinB. 3.3.三角形的面积公式三角形的面积公式 三三 角角 形形 的的 面面 积积 公公 式式 1 Sp(p-a)(p-b)(p-c) (p(a+b+c) 2 1 Sra+b+cr 2 （）（ 为内切圆半径） 111 SabsinCacsinBbcsinA 222 aa 1 Sah (ha 2 表示 边上的高） 4.4.解三角形知识结构图解三角形知识结构图 解解 三三 角角 形形 应用举例应用举例 abc sinAsinBsinC 正弦定理： 余余 弦弦 定定 理理 222 222 222 abc2bccosA bac2accosB cab2abcosC 距离问题距离问题 高度问题高度问题 角度问题角度问题 变形及应用变形及应用 ABC 111 SabsinCbcsinAacsinB 222 面积公式： 为了向别人，向世界证明自己而努力拼搏， 而一旦你真的取得了成绩，才会明白：人无须 向别人证明什么.只要你能超越自己。
