1、第二课 数 列 【网络体系网络体系】 【核心速填核心速填】 1.1.数列的通项与前数列的通项与前n n项和的关系项和的关系 (1)S(1)Sn n=a=a1 1+a+a2 2+a+an n. . (2)a(2)an n= = _n1 _n2. ， ， 1 S nn 1 SS 2.2.等差数列等差数列 (1)(1)通项公式：通项公式：a an n=a=a1 1+_+_， a an n=a=am m+_.+_. (2)(2)前前n n项和公式：项和公式：S Sn n=_=_=_=_ _._. (n(n- -1)d1)d (n(n- -m)dm)d 1n n(aa ) 2 1 n(n 1) nad
2、2 (3)(3)等差中项：若等差中项：若a a，A A，b b成等差数列，则成等差数列，则A A叫作叫作a a，b b的的 等差中项，且有等差中项，且有_._. (4)(4)常用性质：常用性质： 若若m+n=p+q(mm+n=p+q(m，n n，p p，qNqN* *) )，则，则_； 在等差数列在等差数列aan n 中，中，S Sk k，S S2k 2k- -S Sk k， ，_，成等差成等差 数列数列. . a+b=2Aa+b=2A a am m+a+an n=a=ap p+a+aq q S S3k 3k- -S S2k2k (5)(5)等差数列的判断等差数列的判断 定义式：定义式：_=d
3、(d_=d(d为常数为常数) )； 等差中项：等差中项：a an n+a+an+2 n+2=_ =_； 通项公式：通项公式：a an n=dn+b=dn+b； 前前n n项和：项和：S Sn n=an=an2 2+bn.+bn. a an+1 n+1- -a an n 2a2an+1 n+1 3.3.等比数列等比数列 (1)(1)通项公式：通项公式：a an n=_=_，a an n=_.=_. (2)(2)前前n n项和公式：项和公式： S Sn n= = a a1 1q qn n- -1 1 a am mq qn n- -m m _q1 _q1. ， ， 1 na n 1 a (1 q )
4、 1 q 1n aa q 1 q (3)(3)等比中项：若等比中项：若a a，G G，b b成等比数列，则成等比数列，则G G叫作叫作a a，b b的的 等比中项，且有等比中项，且有G G2 2=_=_或或G=_.G=_. (4)(4)等比数列的性质：等比数列的性质： 若若m+n=p+q(mm+n=p+q(m，n n，p p，qNqN* *) )，则，则_； 在等比数列在等比数列aan n 中，中，S Sk k，S S2k 2k- -S Sk k， ，S S3k 3k- -S S2k2k， ，成等比成等比 数列数列.(q.(q- -1)1) abab ab a am maan n=a=ap p
5、aaq q (5)(5)等比数列的判断：等比数列的判断： 定义式：定义式：_(q_(q为非零常数为非零常数) )； 等比中项：等比中项：a an naan+2 n+2=_ =_； 通项公式：通项公式：a an n=aq=aqn n(a(a，q q为非零常数为非零常数) )； 前前n n项和：项和：S Sn n=A=A- -AqAqn n(A(A为非零常数，为非零常数，q0q0且且q1).q1). n 1 n a q a 2 n 1 a 【易错提醒易错提醒】 1.1.关注关注a an n与与S Sn n的关系式的应用的关系式的应用 应用应用a an n= = 解题时，应注意分类讨论的应解题时，应
6、注意分类讨论的应 用，即要注意分用，即要注意分n=1n=1和和n2n2两种情况进行讨论两种情况进行讨论. . 1 nn 1 Sn1 SSn2 ， ， 2.2.重视等差重视等差( (比比) )数列的定义数列的定义 等差等差( (比比) )数列的定义中都强调从第数列的定义中都强调从第2 2项开始，每一项与项开始，每一项与 前一项的差前一项的差( (比比) )，是同一常数，是同一常数. .利用定义法证明等差利用定义法证明等差 ( (比比) )数列时，要特别注意数列时，要特别注意n n的取值范围的取值范围. . 3.3.忽视等比数列项的符号忽视等比数列项的符号 等比数列中，奇数项等比数列中，奇数项(
7、(或偶数项或偶数项) )的符号相同，解题时的符号相同，解题时 常因忽略这点而致误常因忽略这点而致误. . 4.4.求等比数列的前求等比数列的前n n项和时注意分类讨论项和时注意分类讨论 在等比数列的公比不确定的情况下，求其前在等比数列的公比不确定的情况下，求其前n n项和时应项和时应 对公比分对公比分q=1q=1和和q1q1两种情况进行讨论两种情况进行讨论. . 5.5.找规律，“数清”数列的项数找规律，“数清”数列的项数 在解答数列问题时，及时准确地“数清”数列的项数在解答数列问题时，及时准确地“数清”数列的项数 是必不可少的，在数项数时，要把握数列的项的构成是必不可少的，在数项数时，要把握
8、数列的项的构成 规律，找准数列的通项公式的特点并找准项数规律，找准数列的通项公式的特点并找准项数. .如果把如果把 数列的项数弄错了，将会前功尽弃数列的项数弄错了，将会前功尽弃. . 类型一类型一 数列通项公式的求法数列通项公式的求法 【典例典例1 1】(1)(1)若数列若数列aan n 的前的前n n项和项和S Sn n=2=2n n- -1 1，则此数列，则此数列 的通项公式为的通项公式为a an n=_.=_. (2)(2)写出下面各递推公式表示的数列写出下面各递推公式表示的数列aan n 的通项公式的通项公式. . a a1 1=1=1，a an+1 n+1=2 =2n naan n(
9、n1)(n1)； a a1 1=2=2，a an+1 n+1=a =an n+3n+2.+3n+2. 【解析解析】(1)(1)当当n2n2时，时， a an n=S=Sn n- -S Sn n- -1 1=(2=(2n n- -1)1)- -(2(2n n- -1 1- -1)=21)=2n n- -2 2n n- -1 1=2=2n n- -1 1. . 当当n=1n=1时，时，a a1 1=S=S1 1=2=21 1- -1=11=1，适合上式，适合上式. . 综上有综上有a an n=2=2n n- -1 1. . 答案：答案：2 2n n- -1 1 (2)(2)方法一：因为方法一：因
10、为a an+1 n+1=2 =2n na an n，所以，所以 所以所以 将上述将上述n n- -1 1个式子累乘，得个式子累乘，得 =2=21+2+3+ 1+2+3+(n+(n- -1)1)， ， 即即a an n= (nN= (nN* *).). n n 1 n a 2 a ， 23n 1 324n 123n 1 aaaa 2222. aaaa ， ， n 1 a a n(n 1) 2 2 方法二方法二：a an+1 n+1=2 =2n na an n=2=2n n2 2n n- -1 1a an n- -1 1 = =2=2n n2 2n n- -1 12 22 22 21 1a a1
11、1 =2=21+2+ 1+2+n+n- -1+n1+na a1 1= = 所以所以a an n= = n(n 1) 2 2. n(n 1) 2 2. 因为因为a an+1 n+1=a =an n+3n+2+3n+2，所以，所以a an n- -a an n- -1 1=3n=3n- -1(n2).1(n2). 所以所以a an n=(a=(an n- -a an n- -1 1)+(a)+(an n- -1 1- -a an n- -2 2)+)+(a+(a2 2- -a a1 1)+a)+a1 1 = (n2).= (n2). 当当n=1n=1时，时， (3(31+1)=2=a1+1)=2=
12、a1 1，a a1 1符合公式，符合公式， 所以所以a an n= = n(3n 1) 2 1 2 2 3n n. 22 【延伸探究延伸探究】典例典例1(1)1(1)中的条件“中的条件“S Sn n=2=2n n- -1 1”改为改为 “S Sn n=3n=3n2 2- -2n+12n+1”，结果如何，结果如何？ 【解析解析】当当n=1n=1时，时，a a1 1=S=S1 1=3=31 12 2- -2 21+1=21+1=2； 当当n2n2时，时，a an n=S=Sn n- -S Sn n- -1 1 =3n=3n2 2- -2n+12n+1- -3(n3(n- -1)1)2 2- -2(
13、n2(n- -1)+1=6n1)+1=6n- -5 5， 显然当显然当n=1n=1时，不满足上式时，不满足上式. . 故数列的通项公式为故数列的通项公式为a an n= = 2n1 6n5n2. ， ， 【方法技巧方法技巧】数列通项公式的求法数列通项公式的求法 (1)(1)定义法，即直接利用等差数列或等比数列的定义求定义法，即直接利用等差数列或等比数列的定义求 通项的方法叫定义法，这种方法适用于已知数列类型通项的方法叫定义法，这种方法适用于已知数列类型 的题目的题目. . (2)(2)已知已知S Sn n求求a an n. .若已知数列的前若已知数列的前n n项和项和S Sn n与与a an
14、n的关系，的关系， 求数列求数列aan n 的通项的通项a an n可用公式可用公式a an n= = 求解求解. . 1 nn 1 Sn1 SSn2 ， ， (3)(3)累加或累乘法累加或累乘法 形如形如a an n- -a an n- -1 1=f(n)(n2)=f(n)(n2)的递推式，可用累加法求通项的递推式，可用累加法求通项 公式；形如公式；形如 =f(n)(n2)=f(n)(n2)的递推式，可用累乘法求的递推式，可用累乘法求 通项公式通项公式. . n n 1 a a 【拓展延伸拓展延伸】用待定系数法由递推公式求通项公式用待定系数法由递推公式求通项公式 (1)(1)基本思路基本思路
15、 把所给的递推关系变形，使之成为某个等差数列或等把所给的递推关系变形，使之成为某个等差数列或等 比数列的形式，于是就可以由此推得所给数列的通项比数列的形式，于是就可以由此推得所给数列的通项 公式公式. . (2)(2)具体方法具体方法 在递推关系两边加上相同的数或相同性质的量，构造在递推关系两边加上相同的数或相同性质的量，构造 数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量，使之数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量，使之 成为等差或等比数列成为等差或等比数列. .例如例如a an n=ca=can n- -1 1+d(c0+d(c0，c1)c1)的的 递推关系式，在递推关系式两端同时加上递推关系
16、式，在递推关系式两端同时加上A A， a an n+A=ca+A=can n- -1 1+d+A+d+A，即，即a an n+A=+A= 令令A= A= ，解出，解出A A，此时数列，此时数列aan n+A+A是等比数列，可解是等比数列，可解. . n 1 dA c(a). c dA c 【变式训练变式训练】若若a a1 1=1=1，S Sn n= a= an n，则通项，则通项a an n=_.=_. 【解析解析】由题设知，由题设知，a a1 1=1.=1. 当当n2n2时，时，a an n=S=Sn n- -S Sn n- -1 1= = 所以所以 所以所以 n2 3 nn 1 n2n 1
17、 aa 33 ， n n 1 an 1 an 1 ， 3n42 n 1321 aaaan 154 3. an 1a3 a2 a ， ， 以上以上n n- -1 1个式子的等号两端分别相乘，个式子的等号两端分别相乘， 得到得到 又因为又因为a a1 1=1=1，所以，所以a an n= = a a1 1=1=1也符合此式，所以也符合此式，所以a an n= = 答案：答案： n 1 an(n 1) a2 ， n(n 1) 2 ， n(n 1) 2 . n(n 1) 2 类型二类型二 等差数列、等比数列的判定等差数列、等比数列的判定 【典例典例2 2】(1)(1)已知数列已知数列aan n ，则有
18、，则有( ( ) ) A.A.若若a an n2 2=4=4n n，nNnN* *，则，则aan n 为等比数列为等比数列 B.B.若若a an naan+2 n+2= = ，nNnN* *，则，则aan n 为等比数列为等比数列 C.C.若若a am maan n=2=2m+n m+n， ，m m，nNnN* *，则，则aan n 为等比数列为等比数列 D.D.若若a an naan+3 n+3=a =an+1 n+1a an+2 n+2， ，nNnN* *，则，则aan n 为等比数列为等比数列 2 n 1 a (2)(2)在数列在数列aan n 中，中，a a1 1= =- -3 3，a
19、 an n=2a=2an n- -1 1+2+2n n+3(n2+3(n2，且，且 nNnN* *).). 求求a a2 2，a a3 3的值的值. . 设设b bn n= (nN= (nN* *) )，证明：，证明：bbn n 是等差数列是等差数列. . n n a3 2 【解析解析】(1)(1)选选C.C.若若a a1 1= =- -2 2，a a2 2=4=4，a a3 3=8=8，满足，满足a an n2 2=4=4n n， nNnN* *，但，但aan n 不是等比数列，故不是等比数列，故A A错；若错；若a an n=0=0，满足，满足 a an na an+2 n+2= = ，n
20、NnN* *，但，但aan n 不是等比数列，故不是等比数列，故B B错；错； 若若a an n=0=0，满足，满足a an na an+3 n+3=a =an+1 n+1 a an+2 n+2， ，nNnN* *，但，但aan n 不是不是 等比数列，故等比数列，故D D错；若错；若a am ma an n=2=2m+n m+n， ，m m，nNnN* *，则有，则有 =2=2，则，则aan n 是等比数列是等比数列. . 2 n 1 a m n 1 n 1mn 1 m n nmn aaa2 aaa2 (2)(2)因为因为a a1 1= =- -3 3，a an n=2a=2an n- -1
21、 1+2+2n n+3(n2+3(n2，且，且nNnN* *) )，所，所 以以a a2 2=2a=2a1 1+2+22 2+3=1+3=1，a a3 3=2a=2a2 2+2+23 3+3=13.+3=13. 对于任意对于任意nNnN* *， 因为因为 = (2= (2n+1 n+1+3) +3)- -3=13=1， 所以数列所以数列bbn n 是首项为是首项为 =0=0，公差为，公差为1 1的等的等 差数列差数列. . n 1n n 1nn 1n n 1nn 1 a3a31 bb(a2a ) 3 222 n 1 1 2 1 a33 3 22 【方法技巧方法技巧】等差数列、等比数列的判断方法
22、等差数列、等比数列的判断方法 (1)(1)定义法：定义法：a an+1 n+1- -a an n=d( =d(常数常数) )aan n 是等差数列；是等差数列； =q(q=q(q为常数，为常数，q0)q0)aan n 是等比数列是等比数列. . (2)(2)中项公式法：中项公式法：2a2an+1 n+1=a =an n+a+an+2 n+2 aan n 是等差数列；是等差数列； =a=an naan+2 n+2(a (an n0)0)aan n 是等比数列是等比数列. . n 1 n a a 2 n 1 a (3)(3)通项公式法：通项公式法：a an n=kn+b(k=kn+b(k，b b是
23、常数是常数) )aan n 是等差是等差 数列；数列；a an n=cq=cqn n(c(c，q q为非零常数为非零常数) )aan n 是等比数列是等比数列. . (4)(4)前前n n项和公式法：项和公式法：S Sn n=An=An2 2+Bn(A+Bn(A，B B为常数，为常数， nNnN* *) )aan n 是等差数列；是等差数列；S Sn n=Aq=Aqn n- -A(AA(A，q q为常数，且为常数，且 A0A0，q0q0，q1q1，nNnN* *) )aan n 是等比数列是等比数列. . 【变式训练变式训练】已知数列已知数列aan n 是各项均为正数的等差数是各项均为正数的等
24、差数 列，且列，且lgalga1 1，lgalga2 2，lgalga4 4成等差数列，又成等差数列，又b bn n= = ，n=1n=1， 2 2，3 3，求证数列，求证数列bbn n 为等比数列为等比数列. . n 2 1 a 【证明证明】因为因为lgalga1 1，lgalga2 2，lgalga4 4成等差数列，成等差数列， 所以所以2lga2lga2 2=lga=lga1 1+lga+lga4 4=lg(a=lg(a1 1a a4 4) )，所以，所以a a2 22 2=a=a1 1a a4 4. . 设等差数列设等差数列aan n 的公差为的公差为d d，则，则(a(a1 1+d)
25、+d)2 2=a=a1 1(a(a1 1+3d)+3d)， 所以所以d d2 2=a=a1 1d d，所以，所以d(ad(a1 1- -d)=0d)=0， 所以所以d=0d=0或或d=ad=a1 1. . 当当d=0d=0时，时，aan n 为常数列，为常数列，bbn n 也为常数列，此时数也为常数列，此时数 列列bbn n 是首项为正数，公比为是首项为正数，公比为1 1的等比数列的等比数列. . 当当d=ad=a1 1时，时， =a=a1 1+(2+(2n n- -1)d=21)d=2n nd d， 因为因为a a1 100，所以，所以d0d0，所以，所以b bn n= = 显然显然b bn
26、 n0.0. 所以所以 (n1)(n1)， n 2 a n n 2 11 1 ad 2 ， n 1 n 1 n n 11 b1 d 2 1 1 b2 d 2 此时数列此时数列bbn n 是首项为是首项为b b1 1= = ，公比为，公比为 的等比数列的等比数列. . 综上可知，数列综上可知，数列bbn n 是等比数列是等比数列. . 1 2d 1 2 【补偿训练补偿训练】已知数列已知数列aan n 满足满足a a1 1=1=1，a an+1 n+1=2a =2an n+1+1， b bn n=a=an n+1(nN+1(nN* *).). (1)(1)求证：求证：bbn n 是等比数列是等比数
27、列. . (2)(2)求求aan n 的通项公式的通项公式. . 【解析解析】(1)(1)因为因为a an+1 n+1=2a =2an n+1+1，所以，所以a an+1 n+1+1=2(a +1=2(an n+1)+1)，即，即 b bn+1 n+1=2b =2bn n. .因为因为b b1 1=a=a1 1+1=20+1=20，所以，所以b bn n0.0.所以所以 =2=2， 所以所以bbn n 是等比数列是等比数列. . (2)(2)由由(1)(1)知知bbn n 是首项是首项b b1 1=2=2，公比为，公比为2 2的等比数列，的等比数列， 所以所以b bn n=2=22 2n n-
28、 -1 1=2=2n n，即，即a an n+1=2+1=2n n，所以，所以a an n=2=2n n- -1.1. n 1 n b b 类型三类型三 数列求和数列求和 【典例典例3 3】(1)(1)数列数列aan n 中，中，a an n= S= Sn n=9=9，则，则 n=_.n=_. (2)(2014(2)(2014新课标全国卷新课标全国卷)已知已知aan n 是递增的等差数是递增的等差数 列，列，a a2 2，a a4 4是方程是方程x x2 2- -5x+6=05x+6=0的根的根. . 求求aan n 的通项公式的通项公式. . 求数列求数列 的前的前n n项和项和. . 1
29、nn 1 ， n n a 2 【解析解析】(1)a(1)an n= = 所以所以S Sn n= = = = - -1=91=9， 所以所以n=99.n=99. 答案：答案：9999 1 n 1n n 1n ， ( 21)( 32)( n 1n) n 1 (2)(2)方程方程x x2 2- -5x+6=05x+6=0的两根为的两根为2 2，3 3， 由题意得由题意得a a2 2=2=2，a a4 4=3=3，设数列，设数列aan n 的公差为的公差为d d， 则则a a4 4- -a a2 2=2d=2d，故，故d= d= ，从而，从而a a1 1= = ， 所以所以aan n 的通项公式为的通
30、项公式为a an n= n+1.= n+1. 1 2 3 2 1 2 设数列设数列 的前的前n n项和为项和为S Sn n， 由知由知 则则S Sn n= = 两式相减得：两式相减得： 所以所以S Sn n=2=2- - n n a 2 n nn 1 an2 22 ， 234nn 1 345n 1n2 22222 ， n 345n 1n 2 1345n 1n2 S 222222 ， n 34n 1n 2 13111n2 S() 242222 n 1n 2 311n2 (1) 4422 ， n 1 n4 . 2 【方法技巧方法技巧】数列求和的常用方法数列求和的常用方法 (1)(1)公式法公式法.
31、 . (2)(2)分组求和法分组求和法. . (3)(3)倒序求和法倒序求和法. . (4)(4)错位相减法错位相减法. . (5)(5)裂项相消法裂项相消法. .把数列的通项拆成两项之差，在求和把数列的通项拆成两项之差，在求和 时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. . (6)(6)并项求和法并项求和法. .一个数列的前一个数列的前n n项和中，可两两结合求项和中，可两两结合求 解，则称之为并项求和解，则称之为并项求和. .形如形如a an n=(=(- -1)1)n nf(n)f(n)类型，可采类型，可采 用两项合并求解用两项合并求解. . 【变
32、式训练变式训练】已知函数已知函数f(x)=2f(x)=2x x- -3x3x- -1 1，点，点(n(n，a an n) )在在 f(x)f(x)的图象上，数列的图象上，数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n，求，求S Sn n. . 【解析解析】由题得由题得a an n=2=2n n- -3n3n- -1 1， S Sn n=a=a1 1+a+a2 2+ +a+an n =(2+2=(2+22 2+ +2+2n n) )- -3(1+2+3+3(1+2+3+n)+n)- -n n n n 1 2(1 2 )n(n 1)n(3n5) 3n22. 1 222 【补偿训练补偿训练】
33、设设aan n 是等差数列，是等差数列，bbn n 是各项都为正是各项都为正 数的等比数列，且数的等比数列，且a a1 1=b=b1 1=1=1，a a3 3+b+b5 5=21=21，a a5 5+b+b3 3=13.=13. (1)(1)求求aan n ，bbn n 的通项公式的通项公式. . (2)(2)求数列求数列 的前的前n n项和项和S Sn n. . n n a b 【解析解析】(1)(1)设设aan n 的公差为的公差为d d，bbn n 的公比为的公比为q q， 则依题意有则依题意有q0q0且且 解得解得 所以所以a an n=1+=1+2=2n2=2n- -1 1，b bn
34、 n=1=12 2n n- -1 1=2=2n n- -1 1. . 4 2 1 2dq21 1 4dq13 ， ， d2 q2. ， (2)(2) - -，得，得S Sn n= = n n 1 n a2n 1 b2 ， n 12n 2n 1 n n 3n 2 352n32n 1 S1 2222 52n32n 1 2S2 3. 222 ， 2n 2n 1 2222n 1 22 2222 n 1 2n 2n 1n 1 n 1 1 1 1112n 12n 1 2 22 (1)22 1 22222 1 2 2n3 6. 2 类型四类型四 函数思想在数列中的应用函数思想在数列中的应用 【典例典例4 4
35、】(1)(2015(1)(2015益阳高二检测益阳高二检测) )已知已知a an n= = （nNnN* *），则在数列的前），则在数列的前5050项中最小项和最大项分项中最小项和最大项分 别是别是( ( ) ) A.aA.a1 1，a a50 50 B.aB.a1 1，a a8 8 C.aC.a8 8，a a9 9 D.aD.a9 9，a a50 50 n79 () n80 ， (2)(2)已知数列已知数列aan n 满足满足a a1 1=0=0，a an+1 n+1= (nN = (nN* *) )，则，则 a a2015 2015=_. =_. n n a3 3a1 【解析解析】(1)(
36、1)选选C.aC.an n= = =1+ =1+ ，因为，因为 00， 所以所以y=1+ y=1+ 在在( (- -， ) )上是减函数，在上是减函数，在( ( +)+)上为减函数，又上为减函数，又8a1 1aa2 2 aa8 8，10，q1).q1). (3)(3)数列具有周期性，如数列数列具有周期性，如数列 n sin. 3 2.2.研究数列问题的策略研究数列问题的策略 可以类比函数的一些性质来研究，用运动变化的观点可以类比函数的一些性质来研究，用运动变化的观点 来研究，例如数列中求某项的范围问题，某个字母的来研究，例如数列中求某项的范围问题，某个字母的 范围问题、最值问题等就可以利用函数
37、思想，转化成范围问题、最值问题等就可以利用函数思想，转化成 求函数值域问题，或解不等式问题求函数值域问题，或解不等式问题. . 【变式训练变式训练】数列数列 - -2n2n2 2+29n+3+29n+3中最大项是中最大项是( ( ) ) A.107 B.108 A.107 B.108 C.108 C.108 D.109D.109 1 3 【解析解析】选选B.B.设设a an n= =- -2n2n2 2+29n+3+29n+3， 则则a an n= =- -2n2n2 2+29n+3=+29n+3= 因为因为 且且nNnN* *， 所以当所以当n=7n=7时，时，a an n最大，最大值为最大
38、，最大值为a a7 7=108.=108. 2 291 2(n)108 48 ， 291 7 44 【补偿训练补偿训练】已知数列已知数列20082008，20092009，1 1，- -20082008， - -20092009，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等这个数列的特点是从第二项起，每一项都等 于它的前后两项之和，则这个数列的前于它的前后两项之和，则这个数列的前20162016项之和项之和 S S2016 2016等于 等于_._. 【解析解析】由题意得，由题意得，a an+1 n+1+a +an n- -1 1=a=an n(n2)(n2)，a an n+a+an+2 n+2=a
39、 =an+1 n+1， ， 两式相加得两式相加得a an+2 n+2= =- -a an n- -1 1，所以 ，所以a an+3 n+3= =- -a an n，所以 ，所以a an+6 n+6=a =an n， 即即aan n 是以是以6 6为周期的数列为周期的数列. . 因为因为2016=3362016=3366 6，a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4+a+a5 5+a+a6 6=0=0， 所以所以S S2016 2016=a =a1 1+a+a2 2+ +a+a2016 2016=336 =3360=0.0=0. 答案：答案：0 0 类型五类型五 方程思想在数列中的
40、应用方程思想在数列中的应用 【典例典例5 5】(1)(1)记等差数列记等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n，设，设S S3 3=12=12， 且且a a2 22 2=2a=2a1 1(a(a3 3+1)+1)，则，则S Sn n=_.=_. (2)(2015(2)(2015 海口高二检测海口高二检测) )已知等比数列中，已知等比数列中，a a1 1+a+a3 3= 10= 10， a a4 4+a+a6 6= = ，求其第，求其第4 4项及前项及前5 5项和项和. . 5 4 【解析解析】(1)(1)设数列设数列aan n 的公差为的公差为d d，依题意有，依题意有 即即
41、 解得解得 或或 因此因此S Sn n= n(3n= n(3n- -1)= 1)= 或或S Sn n=2n(5=2n(5- -n)=10nn)=10n- -2n2n2 2. . 答案：答案： 或或10n10n- -2n2n2 2 2 132 123 2a (a1)a aaa12 ， ， 22 111 1 a2a d2ad0 ad4 ， ， 1 a1 d3 ， 1 a8 d4. ， 1 2 2 3nn 2 2 3nn 2 (2)(2)设公比为设公比为q q，由已知得，由已知得 即即 得得q q3 3= = ，即，即q= q= ， 将将q= q= 代入得代入得a a1 1=8=8， 所以所以a a
42、4 4=a=a1 1q q3 3=8=8( )( )3 3=1=1， 2 11 35 11 aa q10 5 a qa q 4 ， ， 2 1 32 1 a (1 q )10 5 a q (1 q ) 4 ， ， 1 2 1 8 1 2 1 2 所以所以S S5 5= = 5 5 1 1 8 1 ( ) a (1 q )31 2 . 1 1 q2 1 2 【方法技巧方法技巧】方程思想在数列中的应用方程思想在数列中的应用 在等差、等比数列问题中，已知五个基本量中的在等差、等比数列问题中，已知五个基本量中的 几个，求另外几个时，往往是设出基本量，建立方程几个，求另外几个时，往往是设出基本量，建立方
43、程 或方程组来解决问题或方程组来解决问题. .但需注意数列看作函数时的定义但需注意数列看作函数时的定义 域与一般函数定义域的区别域与一般函数定义域的区别. . 【变式训练变式训练】等比数列中，等比数列中， 那么公比那么公比 q=_.q=_. 33 39 aS 22 ， 【解析解析】因为等比数列因为等比数列aan n 中，中，a a3 3= = ，前，前3 3项之和项之和 S S3 3= = 所以所以a a1 1+a+a2 2= =3= =3， 所以所以 整理可得整理可得2q2q2 2- -q q- -1=01=0，即，即(2q+1)(q(2q+1)(q- -1)=01)=0，解得，解得q=1q=1或或 q=q=- - . . 答案：答案：1 1或或- - 3
