1、1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理 第一章 解三角形 .C .B .A 为了测定河岸为了测定河岸A A点到对岸点到对岸C C点的距离，在岸边选定点的距离，在岸边选定1 1公公 里长的基线里长的基线ABAB，并测得，并测得ABC=120ABC=120o o，BAC=45BAC=45o o，如何求，如何求 A,CA,C两点的距离呢？两点的距离呢？ 1.1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，通过对任意三角形边长和角度关系的探索， 掌握正弦定理的内容及其证明方法掌握正弦定理的内容及其证明方法. . 2.2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三
2、角形的两类基本问题角形的两类基本问题. .（重点、难点）（重点、难点） 探究点探究点1 1 正弦定理正弦定理 C C A A B B 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面首先在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面首先 来探讨直角三角形中角与边的等式关系来探讨直角三角形中角与边的等式关系. . 图示 数义 从 提设 则 如如，在在RtRtABC中ABC中，BC = a，BC = a，AC = b，AC = b， a a AB = c，AB = c，根根据据直直角角三三角角形形中中正正弦弦函函的的定定，有有=sinA，=sinA， c c bcabcbcabc =sinB，=sinB，sin
3、C =1=，sinC =1=，= c= c ccsinAsinBsinCccsinAsinBsinC abcabc 而而在在RtRtABC中ABC中，有有=.=. sinAsinBsinCsinAsinBsinC ： 提示：提示：(1)(1)锐角三角形锐角三角形 思考：思考：对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ C C a a b b A A B B D D 当锐时设边 数义 则 从 ABC是ABC是角角三三角角形形，AB上AB上的的高高是是CD，CD， 根根据据任任意意角角三三角角函函的的定定，有有CD = asinB = bsinA，CD =
4、 asinB = bsinA， abab = = sinAsinBsinAsinB bcbc 同同理理可可得得= = sinBsinCsinBsinC abcabc 而而=.=. sinAsinBsinCsinAsinBsinC (2)(2)钝钝角三角形角三角形 如图，类比锐角三角形，请同学如图，类比锐角三角形，请同学 们自己推导们自己推导. . A A C C a a b b B B D D 可可得得，ABC是ABC是角角三三角角形形，也也有有 abcabc =.=. sinAsinBsinCsinAsinBsinC 证当钝时 提示提示: 其他推导方法其他推导方法 （1 1）因为涉及边长问题
5、，从而可以考虑用向量来研究）因为涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究 此问题此问题. . C C a a b b A A B B j , 单夹为锐 则 作作位位向向量量jjAC，AC， j与j与AB角AB角角角. . 由由向向量量的的加加法法可可得得AB = AC+CB，AB = AC+CB， j j AB =j AB =j （ AC+CB ）AC+CB ）， 所所以以j j AB =j AB =j AC+j AC+j CBCB 提示提示: ，夹为锐 从 j AB cos（j AB cos（9090 -A）-A） =0+ j CB cos（=0+ j CB cos（9090 -C）-C），
6、acac 所所以以ccsinA = asinA = asinC，sinC，即即=，=， sinAsinCsinAsinC 同同理理，作作jjBCj与BCj与AC角AC角角角. . bcabcbcabc 可可得得=，=，而而=.=. sinBsinCsinAsinBsinCsinBsinCsinAsinBsinC （2 2）外接圆法）外接圆法 B A B C b O C A B b O A a a c c 2 ,2 .: sinsin 2 . sinsinsin ba RR BA abc R R ABC 如如下下图图所所示示同同理理： 即即得得 为为三三角角形形外外接接圆圆的的半半径径 2 .
7、sinsin cccc 如如图图： C= CC= C， CCCC R A B C C a b c O 提示提示: 正弦定理概述：正弦定理概述： 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， 即即 注意：注意：(1)(1)正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角 的正弦之间的一个关系式的正弦之间的一个关系式. .由正弦函数在区间上的由正弦函数在区间上的 单调性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形单调性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形 中边与角的一种数量关系中边与角的一种数量关系. . . sinsin
8、sin abc ABC 2 sinsinsin ,. sinsinsinsinsinsin abc ABC abbcac ABBCAC ， 等等价价于于 在在ABC 中，中， a8， B60 ， C75 ，则，则 b( ) A4 2 B4 3 C4 6 D.22 3 分析分析 已知两角，由三角形内角和定理第三角可已知两角，由三角形内角和定理第三角可 求，已知一边可由正弦定理求其求，已知一边可由正弦定理求其他他两边两边 C C 【即时练习即时练习】 解析解析 在在ABC 中，中，A180 (BC)45 ，由正，由正 弦定理弦定理 a sinA b sinB得， 得，basinB sinA 8 s
9、in60 sin45 4 6.故故选选 C. 探究点探究点2 2 正弦定理的基本作用正弦定理的基本作用 sin . sin （1 1）已已知知三三角角形形的的任任意意两两角角与与一一边边，求求其其他他的的边边， 如如 bA a B sinsin . （2 2）已已知知三三角角形形的的任任意意两两边边与与其其中中一一边边 的的对对角角可可以以求求其其他他角角的的正正弦弦值值， 如如 = = a AB b （3 3）运用）运用 a a: :b b: :c=sinAc=sinA: :sinBsinB: :sinCsinC 解决边角之间的转换解决边角之间的转换 关系关系. . 直角三角形的一个锐角的对
10、边与斜边的比叫做这个直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个 角的正弦角的正弦. . 在在ABC 中，中，AB 3，A45 ，C75 ，则，则 BC 等于等于( ) A3 3 B. 2 C2 D3 3 解析解析 由由 AB sinC BC sinA得， 得，BC3 3. A A 【即时练习即时练习】 2.2.已知三角形的已知三角形的几个元素几个元素, ,求其他求其他元素元素的过程叫的过程叫做做 解三角形解三角形. . 探究点探究点3 3 解三角形解三角形 1.1.一般地，把三角形的三个角一般地，把三角形的三个角A A，B B，C C和它们的对和它们的对 边边a a，b b，c c叫做叫做三
11、角形的元素三角形的元素. . 3.3.已知边已知边a,ba,b和角，求其他边和角的和角，求其他边和角的讨论讨论 (1)(1)为锐角为锐角 ab 一解一解 abab 无解无解 b a b a 为直角时，与为钝角相同，为直角时，与为钝角相同， abab时，一解；时，一解； abab时，无解时，无解. . 已知在已知在ABC 中，中，a 3，b 2，B45 ，解这，解这 个三角形个三角形 分析分析 在在ABC 中， 已知两边和其中一边的对角，中， 已知两边和其中一边的对角， 可运用正弦定理求解，但要注意解的个数的判定可运用正弦定理求解，但要注意解的个数的判定 【即时练习即时练习】 解析解析 由正弦定理及已知条件有由正弦定理及已知条件有 3 sinA 2 sin45 ， 得得 sinA 3 2 ，asinB 3sin45 6 2 b 无解无解 一解一解 两解两解 一解一解 无解无解 一解一解 A A C C 3.3.解的个数问题解的个数问题 A A C C B B B B C C A A C C A A D D B B2 2 B B1 1 C C A A D D abab A A B B C C D D 饭可以一日不吃，觉可以一日不睡，书不 可以一日不读。 毛泽东
