1、热点04 导数及其应用【命题趋势】在目前高考全国卷的考点中，导数板块常常作为压轴题的形式出现，这块部分的试题难度呈现非减的态势，因此若想高考中数学拿高分的同学，都必须拿下导数这块的内容.函数单调性的讨论、零点问题和不等式恒成立的相关问题（包含不等式证明和由不等式恒成立求参数取值范围）是出题频率最高的.对于导数内容，其关键在于把握好导数，其关键在于把握好导数的几何意义即切线的斜率，这一基本概念和关系，在此基础上，引申出函数的单调性与导函数的关系，以及函数极值的概念求解和极值与最值的关系以及最值的求解.本专题选取了有代表性的选择，填空题与解答题，通过本专题的学习熟悉常规导数题目的思路解析与解题套路
2、，从而在以后的导数题目中能够快速得到导数问题的得分技巧.【满分技巧】对于导数的各类题型都是万变不离其宗，要掌握住导数的集中核心题型，即函数的极值问题，函数的单调性的判定.因为函数零点问题可转化为极值点问题，函数恒成立与存在性问题可以转化为函数的最值问题，函数不等式证明一般转化为函数单调性和最值求解，而函数的极值和最值是由函数的单调性来确定的.所以函数导数部分的重点核心就是函数的单调性.对于函数零点问题贴别是分段函数零点问题是常考题型，数形结合是最快捷的方法，在此方法中应学会用导数的大小去判断原函数的单调区间，进而去求出对应的极值点与最值.恒成立与存在性问题也是伴随着导数经典题型，对于选择题来说
3、，恒成立选择小题可以采用排除法与特殊值法相结合的验证方法能够比较快捷准确得到答案，对于填空以及大题则采用对函数进行求导，从而判定出函数的最值.函数的极值类问题是解答题中的一个重难点，对于非常规函数，超出一般解方程的范畴类题目则采用特殊值验证法，特殊值一般情况下是0,1等特殊数字进行验证求解.对于理科类导数类题目，对于比较复杂的导数题目.一般需要二次求导，但是要注意导数大小与原函数之间的关系，搞清楚导数与原函数的关系是解决此类题目的关键所在.含参不等式证明问题也是一种重难点题型，对于此类题型应采取的方法是：一 双变量常见解题思路：1双变量化为单变量寻找两变量的等量关系；2转化为构造新函数；二含参
4、不等式常见解题思路：1参数分离；2通过运算化简消参（化简或不等关系）；3将参数看成未知数，通过它的单调关系来进行消参.那么两种结构的解题思路理顺了，那么我们来看这道题.这是含参的双变量问题，一般来说，含参双变量问题我们一般是不采用转化为构造新函数，我们最好就双变量化为单变量，这就是我们解这道题的一个非常重要的思路： 寻找双变量之间的关系并确定范围，并且确定参数的取值范围；化简和尝试消参；双变量化为单变量.证明函数恒成立（求导、求极值）（经典题型2018年全国一卷理21题）【考查题型】选择题，填空，解答题21题【限时检测】（建议用时：90分钟）1 （2019全国高考真题（理）已知曲线在点处的切线
5、方程为，则（ ）Aa=e,b=-1 Ba=e,b=1Ca=e-1,b=1Da=e-1,b=-1【答案】D【解析】详解：，即将（1,1）代入得故选D【名师点睛】本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系.2（2019安徽高三期中（理）已知函数,则方程恰有两个不同的实根时，实数的取值范围是ABCD【答案】B【解析】试题分析：，所以，设切点为，则切线方程为，即，与直线重合时，有，解得，所以，当直线与直线平行时，直线为，当时，当时，当时，所以与在上有2个交点，所以直线在和之间时与函数有2个交点，所以，故选B 考点：函数图像的交点问题3（2019临沂第十九中学高考模拟（理）设
6、函数若存在的极值点满足，则m的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】由题意知：的极值为，所以，因为，所以，所以即，所以，即3，而已知，所以3，故，解得或，故选C.【名师点睛】本小题主要考查利用导数研究的极值，考查三角函数，考查一元二次不等式的解法，考查分析问题与解决问题的能力，三角函数出现在导数里面不常见，故做三角函数对应的导数题目时应注意用三角函数最值问题去解决.4（2019四川高考模拟（文）已知函数，若函数是奇函数，且曲线在点的切线与直线垂直，则=( )A-32B-20C25D42【答案】A【解析】先根据函数是奇函数求出的值，再根据切线与直线垂直得到b的值,即得a+b因为函数f(x)是
7、奇函数，所以,所以a=5.由题得，因为切线与直线垂直，所以b+31=-6,所以b=-37.所以a+b=-32.故选：A【名师点睛】本题主要考查奇函数的性质，考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5（2019广东高考模拟（理）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）A BCD【答案】C【解析】对函数求导只需要，恒成立，即恒成立，结合三角函数的性质得到函数的最值为,即可得到参数范围.【详解】由题意，恒成立，即恒成立，当时，所以实数的取值范围是故选:C【名师点睛】这个题目考查了导数在研究函数的单调性中的应用，也考查了不等式恒成立求参的应用，此类题目最常见的方
8、法有：通过变量分离，转化为函数最值问题.6（2018河北衡水中学高考模拟（理）定义在上的可导函数满足， 且，当时，则不等式 的解集为( )A BCD【答案】D【解析】构造函数，可得在定义域内上是增函数，且，进而根据转化成，进而可求得答案【详解】令，则，在定义域上是增函数，且，可转化成，得到，又，可以得到故选D【名师点睛】本题考查利用函数的单调性求取值范围，此类题目应学会构造新的函数，利用新的函数去解决问题，此外此类题目最快捷的方法是特殊值与排除法相结合即可快速得到答案，特殊值首选应该选择当时，结果满足条件，故排除A，C，然后观察B,D选项，带入特殊值不满足条件.故选择D.二、填空题7（2018
9、河北衡水中学高考模拟（理）若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是_【答案】【解析】设两个切点分别为,两个切线方程分别为,化简得两条切线为同一条.可得, ,令，所以g(x)在递增，递减，.所以，填.8（2019临沂第十九中学高考模拟（理）设函数若存在的极值点满足，则m的取值范围是（ ）A BC D【答案】C【解析】由题意知：的极值为，所以，因为，所以，所以即，所以，即3，而已知，所以3，故，解得或，故选C.考点：本小题主要考查利用导数研究的极值，考查三角函数，考查一元二次不等式的解法，考查分析问题与解决问题的能力.9（2019天津高考模拟（理）已知函数，其中为自然对数的底数，若，则实数的取值
10、范围为_.【答案】【解析】【思路分析】利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性，利用导数结合不等式与三角函数的有界性判断函数的单调性，再将原不等式转化为求解即可.【详解】，是奇函数，且，又，在上递增，化为，故答案为.【名师点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查了奇偶性的应用、单调性的应用，属于难题. 解决抽象不等式时，切勿将自变量代入函数解析式进行求解，首先应该注意考查函数的单调性若函数为增函数，则；若函数为减函数，则10（2019安徽高考模拟）设函数，对任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是_.【答案】【解析】对任意，不等式恒成立，则等价为恒成立，当且仅当，即 时取等号，即的最小值是，由，
11、则，由得，此时函数为增函数，由得，此时函数为减函数，即当时，取得极大值同时也是最大值，则的最大值为，则由，得，即，则，故答案为.三、解答题11（2019浙江高考模拟）已知函数 .（1）若在 处导数相等，证明： ；（2）若对于任意 ，直线 与曲线都有唯一公共点，求实数的取值范围.【答案】（I）见解析（II）【思路分析】（1）由题x0，由f（x）在x=x1，x2（x1x2）处导数相等，得到，得，由韦达定理得，由基本不等式得，得，由题意得，令,则，令，利用导数性质能证明（2）由得，令，利用反证法可证明证明恒成立.由对任意，只有一个解，得为上的递增函数，得，令，由此可求的取值范围.【过程详解】（I）令
12、，得，由韦达定理得即，得令,则，令，则，得（II）由得令，则，下面先证明恒成立.若存在，使得，且当自变量充分大时，所以存在，使得，取，则与至少有两个交点，矛盾.由对任意，只有一个解，得为上的递增函数，得，令，则，得【名师点睛】本题考查函数的单调性，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力属难题12（2019浙江高考模拟）知函数，.（1）求的单调区间；（2）证明：存在，使得方程在上有唯一解.【答案】（1）详见解析（2）详见解析【思路分析】（1） 求出函数f（x）的定义域，对函数f（x）求导得到，分 与,得到导函数在各区间段内的符号,得到函数f（x）的单调区间；（2） 构造，求导分析
13、的单调性，找到a1时，在上恒成立，在上递增，而h(，,由函数零点存在定理得到存在，使得方程在上有唯一解，即证得结论.【过程详解】（1）函数f（x）的定义域为，因为，令，则，即，则在上恒成立，当或，由有或，由有，综上，当时，的递增区间是，当或时，的递增区间是，递减区间是；（2）令，当时，则，因为，故当时，当时，所以在上递减，在上递增，即当时，有最小值，又h（1）=1-2a，当a1时，h（1）0，即在上恒成立，又a1时,，取x=,则即，又在上递增，而h(，由函数零点存在定理知在上存在唯一零点，所以当a1时即存在，使得方程在上有唯一解，即方程在上有唯一解.【名师点睛】本题主要考查导数的运算、导数在研
14、究函数中的应用、函数零点等基础知识，考查了推理论证能力、运算求解能力，考查了函数与方程、分类与整合、化归与转化等数学思想方法，属于难题13 （2018河北衡水中学高考模拟（理）已知函数在点 处的切线方程为.（1）求实数的值；（2）若存在，满足，求实数的取值范围.【答案】(1) 实数的值为.(2).【解析】分析：（1）根据导数的几何意义求得曲线在点处的切线方程，与对照后可得（2）问题可转化为在上有解，令，结合导数可得，故得实数的取值范围为详解：（1）函数的定义域为，.，又,所求切线方程为，即.又函数在点处的切线方程为，.所以实数的值为.（2）由题意得，所以问题转化为在上有解.令，则 .令，则当时
15、，有.所以函数在区间上单调递减，所以.所以，所以在区间上单调递减.所以.所以实数的取值范围为.【名师点睛】对于恒成立和能成立的问题，常用的解法是分离参数，转化为求函数最值的问题处理解题时注意常用的结论：若有解，则；若有解，则当函数的最值不存在时，可利用函数值域的端点值来代替，解题时特别要注意不等式中的等号能否成立14（2019安徽六安一中高考模拟（理）已知函数 .（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；（2）若 在 处取得极小值，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】：（1）当时，利用导数几何意义，能够求出此函数在 处的切线斜率，再求出切线方程；（2）对函数求导，令，讨论的单调性，对
16、分情况讨论，得出实数的取值范围.试题解析：（1）当时，所以曲线在点处的切线方程为.（2）由已知得，则，记，则，当，时，函数单调递增，所以当时，当时，所以在处取得极小值，满足题意.当时，时，函数单调递增，可得当时，时，当，所以在处取得极小值，满足题意.当时，当时，函数单调递增，时，在内单调递减，所以当时，单调递减，不合题意.当时，即，当时，单调递减，当时，单调递减，所以在处取得极大值，不合题意.综上可知，实数的取值范围为.【名师点睛】本题主要考查了导数在研究函数单调性、最值上的应用，考的知识点有导数几何意义，导数的应用等，属于中档题.分类讨论时注意不重不漏.15（2019山东高考模拟（理）已知函
17、数（1）若函数与的图象上存在关于原点对称的点，求实数的取值范围；（2）设，已知在上存在两个极值点，且，求证：（其中为自然对数的底数）【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）函数关于原点对称的函数解析式为函数与的图象上存在关于原点对称的点，等价于方程在有解即，令，利用导数研究函数的单调性极值即可得出（2）等价于等价于，再利用导数研究函数的单调性、极值，利用分析法即可得证.【详解】（1）函数与的图像上存在关于原点对称的点，即的图像与函数的图像有交点，即在上有解.即在上有解.设，（），则当时，为减函数；当时，为增函数，所以，即.（2）证明：可得，在上存在两个极值点，且，在上存在两个零点，且，令，则，要证明：即证明：，即证明：令，函数在上单调递增，即，成立2x1x2e2成立【名师点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分析法，考查了推理能力与计算能力，属于难题
