1、河南省安阳市2019届高三高考数学一模试卷（理科）数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合，则（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】可解出集合A，B，然后进行交集运算即可【详解】，；故选：A【点睛】考查描述法、区间的定义，对数函数的定义域，以及交集的运算，属于简单题目.2.已知复数：，则z在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】对复数z进行化简，从而求出其所在的象限即可【详解】，故z在复平面内对应的点位于第二象限，故选：B【点睛】本题考查了复数的运
2、算，考查复数的几何意义，是一道基础题3.已知一组数据的茎叶图如图所示，则该组数据的平均数为（）A. 85B. 84C. 83D. 81【答案】A【解析】利用茎叶图、平均数的性质直接求解【详解】由一组数据的茎叶图得：该组数据的平均数为：故选：A【点睛】本题考查平均数的求法，考查茎叶图、平均数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题4.已知向量，则（）A. 2B. 3C. 6D. 12【答案】B【解析】将两边平方可得【详解】，故选：B【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题5.已知抛物线的焦点为F，线段OF（O为坐标原点）的垂直平分线交抛物线于M，N两点，若，则（）A. B.
3、C. D. 【答案】C【解析】求出M的坐标，得到p，然后求解|MF|【详解】抛物线的焦点为，线段OF（O为坐标原点）的垂直平分线交抛物线于，两点，若，可得：，可得，所以，故选：C【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查6.设，,则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】利用幂函数的性质比较b与c的大小，利用指数函数的性质比较b与1的大小，利用对数式的运算性质得到c大于1，从而得到结论【详解】因为在上是为增函数，且，所以，即，而所以故选：B【点睛】本题考查了不等关系与不等式，考查了基本初等函数的单调性，是基础题7.的最小值为（）A. 18B. 16C.
4、 8D. 6【答案】B【解析】直接利用三角函数关系式的变换和基本不等式的应用求出结果【详解】，故选：B【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型8.在的展开式中，x的系数为（）A. 32B. 40C. 80D. 80【答案】C【解析】写出二项展开式的通项，由x的指数为1求得r值，则答案可求【详解】的展开式的通项为，令，得r1x的系数为，故选：C【点睛】本题考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题9.已知函数的部分图象如图所示，则下列区间使函数单调递减的是A. B. C. D. 【答案】D【解
5、析】根据图象求出三角函数的解析式，再由正弦函数的单调性求出其单调区间即可。【详解】通过图象可知， 即所以 由图象可知，当时， 解得所以 令 解得当k=0时，函数单调递减区间为，即 所以选D【点睛】本题考查了正弦函数图象与性质的综合应用，根据部分函数图象求解析式，运用整体法求单调区间，属于基础题。10.已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的外接球体积为，则h（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由三视图知几何体为三棱锥，且底面是等腰直角三角形，三棱锥的一条侧棱与底面垂直，画出其直观图，将其补成直棱柱，根据正视图、俯视图都是等腰直角三角形，通过外接球的体积，求出半径，然后求解棱锥的高h
6、.【详解】由三视图知几何体为三棱锥，且三棱锥的一个侧面与底面垂直，其直观图如图：正视图和俯视图都是等腰直角三角形，知棱和底面垂直，可以将该棱锥补成直三棱柱，如图所示：可知其球心在上下底面外心连线的中点处，因为底面为直角三角形，所以其外心为斜边的中点，所以GH的中点即为其外接球的球心，因为该几何体的外接球体积为，所以外接球的体积,，所以有，解得故选：C【点睛】本题考查了由三视图求几何体外接球的问题，解题的关键是根据三视图判断几何体的形状，根据有一条侧棱和底面垂直，将棱锥补成直棱柱来求解，根据题中所给的体积，求得外接球的半径，构造直角三角形，从而求得棱锥的高.11.若函数（）仅在处有极值，则a的取
7、值范围为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】求导函数，要保证函数仅在处有极值，必须满足在两侧异号【详解】由题意，要保证函数仅在x0处有极值，必须满足在x0两侧异号，所以要恒成立，由判别式有：，a的取值范围是故选：A【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题12.已知双曲线的一个焦点恰为圆：的圆心，且双曲线C的渐近线方程为点P在双曲线C的右支上，分别为双曲线C的左、右焦点，则当取得最小值时，（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】求得圆心可得焦点，由渐近线方程，可得a，b的方程，解得，设，运用双曲线的定义，化简所求式子，利用基本
8、不等式的性质即可得出最小值时所求值【详解】由圆：的圆心（2，0），可得焦点，双曲线C的渐近线方程为，可得，且，解得，设，可得，当且仅当时取等号，可得故选：B【点睛】本题考查双曲线的定义、标准方程与几何性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.在区间上随机取一个数x，则的概率为_【答案】【解析】由条件知，然后解不等式的解，根据几何概型的概率公式即可得到结论【详解】在区间之间随机抽取一个数x，则，由得，根据几何概型的概率公式可知满足的概率为，故答案为：【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据不等式的性质解出不等式的是解决本
9、题的关键，比较基础14.已知x，y满足约束条件则的最小值是_【答案】-7【解析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移求出最优解，代入即可求z的最小值【详解】作出x，y满足约束条件对应的平面区域如图：，得，平移直线，由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大，此时z最小由解得，此时z的最小值为故答案为：7【点睛】本题主要考查线性规划应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法注意目标函数的几何意义15.在正方体中，O是BD的中点，点P在线段OB上移动（不与点O，B重合），异面直线与所成的角为，则的取值范围是_【答案】【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间
10、直角坐标系，利用向量法能求出结果【详解】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体中棱长为2，则A1（2，0，2），D（0，0，0），设P（a，a，0），C1（0，2，2），异面直线A1D与C1P所成的角为， ，所以， ，故答案为：【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题16.如图，平面四边形MNPQ中，则NP的最小值为_【答案】【解析】设，由正弦定理可得，在中，设，由余弦定理得，根据二次函数的性质即可求出最小值【详解】设，则在中，,，由正弦定理可得，则在中，设，由
11、余弦定理得 ，当时，NP最小，则故答案为：【点睛】本题考查了正余弦定理的应用，考查了转化思想、函数思想，属于中档题三、解答题：共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.已知数列为等差数列，且满足，数列满足，（）求数列的通项公式；（）若，求数列的前n项和【答案】（I）； （）.【解析】（I）由等差数列的性质可得：，解得利用等比数列的通项公式即可得出（），利用错位相减法与等比数列的求和公式即可得出【详解】（I）由等差数列的性质可得：，解得数列满足，可得：数列是等比数列，公比为2，解得（）若，数列的前n项和，可得【点睛】本题考查了等比数列的通项公式性质与求和公式、错位相减法，考查了推理
12、能力与计算能力，属于中档题18.如图，在三棱柱中，平面平面ABC，侧面是菱形，点D，E分别为，AC的中点（1）证明：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值【答案】（I）见解析； （）.【解析】（）取的中点F，证得AEFD为平行四边形，进而得AD，EF平行，得证；（）利用平行把转化为，只需作于M，可证得平面，从而确定为所求角，结合正弦，余弦定理不难求解【详解】（1）证明：取的中点F，连接FD，FE，D为的中点，又E为AC中点，四边形AEFD为平行四边形，又AD平面，EF平面，AD平面；（2）在三棱柱中，只需求与平面所成角，在平面内作于M，平面平面ABC，平面ACC1A1，平面，即为与平面所成角，侧
13、面是菱形，CE，ECC1120，由余弦定理可得，再由正弦定理得，得故直线与平面所成角的正弦值为【点睛】此题考查了线面平行，直线与平面所成角等，难度适中19.为了应对日益严重的交通压力和空气质量问题，某城市准备出台新的交通限行政策，为了了解市民对“汽车限行”的态度，在当地市民中随机选取100人进行调查，调查情况如表：年龄段15，25）25，35）35，45）45，55）55，65）65，75调查人数51520n2010赞成人数3121718162（）求出表格中n的值，并完成参与调查的市民年龄的频率分布直方图；（）从这100人中任选1人，若这个人赞成汽车限行，求其年龄在35，45）的概率；（）若从
14、年龄在45，55）的参与调查的市民中按照是否赞成汽车限行进行分层抽样，从中抽取10人参与某项调查，然后再从这10人中随机抽取3人参加座谈会，记这3人中赞成汽车限行的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望【答案】（I）见解析； （）；（）.【解析】（）由样本容量求出n的值，填写频率分布表，画出频率分布直方图；（）利用条件概率公式计算所求的概率值；（）利用分层抽样求出抽取的人数，得出随机变量X的可能取值，计算对应的频率值，写出分布列，求出数学期望值【详解】（）由题意知，填写频率分布表如下；年龄段调查人数51520302010频率0.050.150.200.300.200.100.0050.015
15、0.0200.0300.0200.010画出频率分布直方图如下（）从这100人中任选1人，则这个人赞成汽车限行，且年龄在的概率为；（）从年龄在中按分层抽样抽取10人，赞成的抽取（人），不赞成的抽取4人，再从这10人中随机抽取3人，则随机变量X的可能取值为0，1，2，3；计算，；X的分布列为：X0123P数学期望值为【点睛】本题考查了频率分布直方图与分层抽样应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题20.设椭圆的上焦点为F，椭圆E上任意动点到点F的距离最大值为，最小值为（）求椭圆E的标准方程；（）过点F作两条相互垂直的直线，分别与椭圆E交于P，Q和M，N，求四边形PM
16、QN的面积的最大值【答案】（I）； （）2.【解析】（）根据题中条件列出关于a、c的方程组，解出a和c的值，可得出b的值，进而可得出椭圆E的标准方程；（）对直线PQ与直线MN斜率是否都存在分两种情况讨论当直线PQ与直线MN分别与x轴、y轴垂直时，求出这两条弦的长度，并求出此时四边形PMQN的面积；当直线PQ与直线MN的斜率都存在时，设直线PQ的方程为，设点、，将直线PQ的方程与椭圆E的方程联立，消去y，列出韦达定理，利用弦长公式得出|PQ|的表达式，同理得出|MN|的表达式，从而得出四边形PMQN面积的表达式，通过换元，利用函数相关知识求出四边形PMQN面积的取值范围结合得出四边形PMQN面积
17、的最大值【详解】（）设椭圆E的焦距为，则有，解得，因此，椭圆E的方程为；（）如下图所示，椭圆E的上焦点为当直线PQ与直线MN分别与x轴、y轴垂直时，则，此时，四边形PMQN的面积为；当直线PQ、MN的斜率都存在时，设直线PQ的方程为，则直线MN的方程为，设点、，将直线PQ的方程与椭圆E的方程联立，消去y得，由韦达定理可得， ，同理可得，所以，四边形PMQN的面积为 ，令，则，所以，所以，由二次函数的基本性质可知，当，所以，综上所述，四边形PMQN的面积的最大值为2【点睛】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆的方程，以及韦达定理设而不求法在椭圆综合问题的问题，同时也考查了弦长公式的应用，考查计
18、算能力，属于中等题21.已知函数（）若函数在点处的切线斜率为，求a的值；（）若函数，且在上单调递增，求a的取值范围；（）若，且，求证：【答案】（I）； （）；（）见解析.【解析】（）求出函数的导数，根据，求出a的值即可；（）求出h（x）的解析式，求出函数的导数，根据函数的单调性确定a的范围即可；（）问题转化为证明，设，根据函数的单调性证明即可【详解】（），故，解得：；（），由函数在递增，得在恒成立，即，故，由，当且仅当时取最小值2，故，解得：，即；（）要证明，只需证明，即证，设，由（）得，在（递增，而，故，即，故【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化
19、思想，是一道综合题22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，的极坐标为.（1）写出曲线的直角坐标方程及的直角坐标；（2）设直线与曲线相交于两点，求的值.【答案】（1），；（2）3【解析】分析：（1）由可把直线的极坐标方程化为直角坐标方程及点M的直角坐标（2）由于M点在直线，因此可知过M点的的标准参数方程（为参数），代入曲线C的直角坐标方程，利用可得结论详解：（1）曲线的极坐标方程为，将代入可得直角坐标方程为.的直角坐标为.（2）联立方程与，可得即，所以点睛：过，倾斜角为的直线的标准参数方程为（为参数），直线上点对应的参数为，则表示有向线段的数量，即，23.已知函数.（1）解不等式；（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）利用绝对值的定义分类去绝对值符号后，解不等式，最后求并集可得原不等式的解集（2）可由绝对值的定义去掉绝对值符号，得分段函数，从而可得的最小值，再解对应的不等式得的取值范围详解：（1），解或或得，所以解集为.（2）由（1）知时取得最小值，所以，解之得所以的取值范围是.点睛：解含绝对值的不等式，一般是用绝对值的定义去掉绝对值符号，化含绝对值的不等式为为含绝对值的不等式，分类求解
