1、第15讲三角形及其基本性质【考点梳理】1三角形的分类(1)按边分类(2)按角分类2三角形的基本性质 (1)内角和定理：三角形内角和为180； (2)内外角关系： 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角_大于_任何一个与它不相邻的内角 (3)三边关系：三角形的任意两边之和_大于_第三边；任意两边之差_小于第三边；3三角形中的重要线段 (1)角平分线：如图，线段AD平分BAC，则AD是ABC的一条角平分线 内心：三角形三条角平分线的交点它到各边的距离相等 (2)中线：如图，E是线段BC的中点，则线段AE是ABC的一条中线， 重心：三角形三条中线的交点(3)高：如图，AFBC
2、，则线段AF是ABC的高线 垂心：三条高线的交点 (4)中位线：连接三角形两边中点的一段，叫做三角形的中位线 中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半. (5)垂直平分线：如图，点D是BC的中点，DEBC，则DE是ABC的一条垂直平分线 外心：三条垂直平分线的交点，它到各顶点的距离相等；锐角三角形的外心在形内，钝角三角形的外心在形外，直角三角形的外心在斜边中点4命题 (1)命题：判断一件事情的语句叫做命题命题分为题设和结论两部分题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项 (2)真命题和假命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题；如果题设成立时，不能保证结论一
3、定成立，这样的命题叫做假命题 (3)互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是另一个命题的结论，而第一个命题的结论是另一个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题. 【高频考点】考点1： 三角形三边关系【例题1】（2019浙江丽水3分）若长度分别为a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（）A1B2C3D8【答案】C【分析】根据三角形三边关系定理得出53a5+3，求出即可【解答】解：由三角形三边关系定理得：53a5+3，即2a8，即符合的只有3，故选：C归纳：三角形的三边关系是判断三条线段能否组成三角形的判定标准，三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第
4、三边考点2： 三角形重要线段的计算与应用【例题2】如图，CD，CE，CF分别是ABC的高、角平分线、中线(1)有四种说法：BA2BF；ACEACB；AEBE；CDAB，则错误的说法是；(2)若A72，ABC28，求DCE；(3)BG是ABC的高，A72，求DHB；(4)若M是BC的中点，若A90，AB16，BC20，求FM的长【分析】(1)由三角形高线，角平分线，中线的定义进行判断即可；(2)先由A，ABC可求ACB，由CE是角平分线，可求得ACE，从而可利用ACE和ACD作差可解决问题；(3)由四边形内角和是360，可求得DHG，由互补可求得DHB；(4)由勾股定理求AC，由中位线定理求AC
5、.【解答】解：(2)A72，ABC28，ACB80.CE是ABC的角平分线，ACEBCE40.A72，CD是ABC的高，ACD18.DCEACEACD22.(3)BG是ABC的高，CD是ABC的高，ADCAGH90.AADCDHGAGH360，DHG108.DHB180DHG72.(4)A90，AB16，BC20，AC12.FM是ABC的中位线，FMAC6.归纳：中线和中位线是易混淆的两个概念，中线是连接顶点与对边中点之间的线段，中位线是连接两边中点之间的线段，中线把三角形面积等分，中位线把三角形面积分为13.考点3： 三角形内角和与外角性质的综合应用【例题3】如图：已知ABCD，ABE与CD
6、E两个角的角平分线相交于F（1）如图1，若E=80，求BFD的度数（2）如图2：若ABM=13ABF，CDM=13CDF，写出M和E之间的数量关系并证明你的结论（3）若ABM=1nABF，CDM=1nCDF，设Em,直接用含有n、m的代数式写出M(不写过程)【分析】（1）首先作EGAB，FHAB，利用平行线的性质可得ABE+CDE=280，再利用角平分线的定义得到ABF+CDF=140，从而得到BFD的度数；（2）先由已知得到ABE=6ABM，CDE=6CDM，由（1）得ABE+CDE=360-E，M=ABM+CDM，等量代换，即可得；（3）由（2）的方法可得到2nM+E=360，将E=m代入
7、可得M=360-m2n.【解析】（1）作EGAB，FHAB，ABCD，EGABFHCD，ABF=BFH，CDF=DFH，ABE+BEG=180，GED+CDE=180，ABE+BEG+GED+CDE=360，BED=BEG+DEG=80，ABE+CDE=280，ABF和CDF的角平分线相交于E，ABF+CDF=140，BFD=BFH+DFH=140；（2）ABM=ABF，CDM=CDF，ABF=3ABM，CDF=3CDM，ABE与CDE两个角的角平分线相交于点F，ABE=6ABM，CDE=6CDM，6ABM+6CDM+E=360，M=ABM+CDM，6M+E=360；（3）由（2）的结论可得，
8、2nABN+2nCDM+E=360，M=ABM+CDM，解得：M=360-m2n，故答案为：360-m2n.【自我检测】一、选择题：1. （2018吉林长春3分）如图，在ABC中，CD平分ACB交AB于点D，过点D作DEBC交AC于点E若A=54，B=48，则CDE的大小为（）A44B40C39D38【答案】C【解答】解：A=54，B=48，ACB=1805448=78，CD平分ACB交AB于点D，DCB=78=39，DEBC，CDE=DCB=39，故选：C2. （2018长沙）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A4cm，5cm，9cmB8cm，8cm，15cmC5cm，5cm，10cm
9、D6cm，7cm，14cm【答案】B【解答】A、5+4=9，9=9，该三边不能组成三角形，故此选项错误；B、8+8=16，1615，该三边能组成三角形，故此选项正确；C、5+5=10，10=10，该三边不能组成三角形，故此选项错误；D、6+7=13，1314，该三边不能组成三角形，故此选项错误；故选：B3. （2019黑龙江省齐齐哈尔市3分）如图，直线ab，将一块含30角（BAC30）的直角三角尺按图中方式放置，其中A和C两点分别落在直线a和b上若120，则2的度数为（）A20B30C40D50【答案】C【解答】解：直线ab，1+BCA+2+BAC180，BAC30，BCA90，120，240
10、故选：C4. （2018长春）如图，在ABC中，CD平分ACB交AB于点D，过点D作DEBC交AC于点E若A=54，B=48，则CDE的大小为（）A44 B40 C39 D38【答案】C【解答】A=54，B=48，ACB=1805448=78，CD平分ACB交AB于点D，DCB=78=39，DEBC，CDE=DCB=39，故选：C5. （2019江苏泰州3分）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A.B.C.D.E.F、G在小正方形的顶点上，则ABC的重心是（）A点DB点EC点FD点G【答案】A【解答】解：根据题意可知，直线CD经过ABC的AB边上的中线，直线AD经过ABC的BC边上的中线
11、，点D是ABC重心故选：A二、填空题：6. （2018湖南郴州）（3.00分）一个正多边形的每个外角为60，那么这个正多边形的内角和是 【答案】720【解答】这个正多边形的边数为=6，所以这个正多边形的内角和=（62）180=720故答案为7207. 若三角形的周长是60cm，且三条边的比为3：4：5，则三边长分别为15，20，25【答案】15，20，25【解答】解：三角形的三边长的比为3：4：5，设三角形的三边长分别为3x，4x，5x其周长为60cm，3x+4x+5x=60，解得x=5，三角形的三边长分别是15，20，25，故答案为：15，20，258. （2018白银）已知a，b，c是AB
12、C的三边长，a，b满足|a7|+（b1）2=0，c为奇数，则c= 【答案】7【解答】解：a，b满足|a7|+（b1）2=0，a7=0，b1=0，解得a=7，b=1，71=6，7+1=8，6c8，又c为奇数，c=7，故答案是：79. （2018辽宁省抚顺市）将两张三角形纸片如图摆放，量得1+2+3+4=220，则5=40【答案】40【解答】解：如图所示：1+2+6=180，3+4+7=180，1+2+3+4=220，1+2+6+3+4+7=360，6+7=140，5=180（6+7）=40故答案为：40三、解答题：10. 如图，在ABC中，点D为边AC的中点，且DBBC，BC4，CD5.(1)求
13、DB的长；(2)在ABC中，求边BC上的高【解析】：(1)DBBC，DBC90.在RtDBC中，BC4，CD5，DB3.(2)过A作AEBC交线段CB延长线于点E，则AEDB.点D为AC的中点，DB为ACE的中位线AE2DB6.边BC上的高为6.11. 如图，在ABC中，ABC=40，ACB=80，AD是BC边上的高，AE平分BAC（1）求BAE的度数；（2）求DAE的度数【分析】（1）由ABC、ACB的度数结合三角形内角和定理，可求出BAC的度数，再根据角平分线的性质可求出BAE的度数；（2）利用三角形的外角性质可求出AEB的度数，结合ADE=90即可求出DAE的度数【解答】解：（1）ABC
14、=40，ACB=80，BAC=180ABCACB=60AE平分BAC，BAE=BAC=30（2）CAE=BAE=30，ACB=80，AEB=CAE+ACB=110，AD是BC边上的高，ADE=90，DAE=AEBADE=2012. 如图，D是ABC边BA延长上一点(1)若BC3，AC6，则AB的长在什么范围？若AC6，则ABC的周长可能是( )A8 B10 C12 D14(2)若CAB36，BACB，则ACB72；若CABBACB357，求CAD的度数；若CE是ABC的角平分线，CADCEA，BCA80，求CEA的度数【点拨】(1)可利用三角形三边大小关系来解；(2)可利用三角形内角和为180
15、，通过方程(组)来求解；设每份为x，利用三角形内角和，求出CAB，再利用互补求CAD；需要利用外角与内角之间的数量关系，再结合已知条件求解【解答】解：(1)由三角形任意两边和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得，ACBCABBCAC，所以3AB9.(2)CABBACB357，设CAB3x，B5x，ACB7x.CABBACB180，3x5x7x180，解得x12.CAB36.CAD180CAB144.CADCEAECA，CADCEA，CEA3ECA.CE是ABC的角平分线，CEABCA120.13. （2019河北省9分）如图，ABC和ADE中，ABAD6，BCDE，BD30，边AD与边BC
16、交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，I为APC的内心（1）求证：BADCAE；（2）设APx，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；（3）当ABAC时，AIC的取值范围为mAICn，分别直接写出m，n的值【解答】解：（1）在ABC和ADE中，（如图1）ABCADE（SAS）BACDAE即BAD+DACDAC+CAEBADCAE（2）AD6，APx，PD6x当ADBC时，APAB3最小，即PD633为PD的最大值（3）如图2，设BAP，则APC+30，ABACBAC90，PCA60，PAC90，I为APC的内心AI、CI分别平分PAC，PCA，IACPAC，ICAPCAAIC1
17、80（IAC+ICA）180（PAC+PCA）180（90+60）+105090，105+105150，即105AIC150，m105，n150 14. 如图1，在ABC中，CD，CE分别是ABC的高和角平分线，BAC，B()图1图2图3(1)若BAC70，B40，求DCE的度数；(2)若BAC，B()，则DCE(用含，的代数式表示)；(3)若将ABC换成钝角三角形，如图2，其他条件不变，试用，的代数式表示DCE的度数并说明理由；(4)如图3，若CE是ABC外角ACF的平分线，交BA的延长线于点E.且30，则DCE75(直接写出结果)【解析】：(1)BAC70，B40，ACB180(BACB)70.又CE是ACB的平分线，ACEACB35.CD是高线，ADC90.ACD90BAC20.DCEACEACD15.(3)DCE()理由：ACB180(BACB)180()，CE是ACB的平分线，ACEACB90()CD是高线，ADC90.ACDBAC9090.DCEACEACD90()90()
