1、第01讲实数及其有关概念1实数分类(1)按实数的定义分类(2)按正负分类实数2实数的有关概念 (1)数轴：如图，规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴其中实数和数轴上的点一一对应(2)相反数：只有符号不相同的两个数互为相反数，即实数a的相反数是_a_，0的相反数是0；a与b 互为相反数ab_0_(3)绝对值 定义：数轴上表示数a的点与原点的_距离_叫做数a的绝对值，记作|a|； 性质：|a|a|是一个非负数，即|a|0.(4)倒数：实数a的倒数是_，其中a0，a，b互为倒数ab_1_3科学记数法，近似数 (1)科学记数法 定义：把数x写成a10n(1|a|10，且n为整数)的形式，这种记数
2、方法叫做科学记数法； 其中a是整数位数只有一位的数，即1|a|10；当|x|1时，n为正整数，等于数x的整数部分的位数减1；当|x|1时，n为负整数，其绝对值等于数x中非0数字前面所有0的个数(包含小数点前的0)或将原数变为a时小数点向右平移的位数(2)近似数一个近似数_四舍五入_到哪一位，就说这个数精确到哪一位4. 有理数的运算 (1)有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加，绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加为0；一个数加0，仍得这个数运算律：加法交换律：abba；加法结合律：(ab)ca(bc)
3、(2)有理数的减法减去一个数等于加上这个数的相反数，即aba(b)(3)有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘任何数与0相乘，都得0.运算律：a乘法交换律：ab_ba _b乘法结合律：(ab)ca(ac)c乘法分配律：a(bc)abac.(4)有理数的除法除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数，即aba.两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0.(5)有理数运算的顺序先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行计算.考点1：实数的分类【例题1】（ 甘肃省天水市，
4、1，4分）四个数3，0，1，中的负数是（ ）A3B0C1D【答案】A【解答】解：3是负数；0既不是正数，也不是负数；1和都是正数故选择A归纳：判断无理数的关键是看其化简后是否可以写成无限不循环小数，掌握常见无理数的四种类型有助于解决此类题目考点2：科学记数法【例题2】（2019湖南怀化4分）怀化位于湖南西南部，区域面积约为27600平方公里，将27600用科学记数法表示为（）A27.6103B2.76103C2.76104D2.76105【答案】C【解析】将27600用科学记数法表示为：2.76104故选：C考点3： 关于实数的概念考查【例题3】(2019甘肃省天水市)已知|a|=1，b是2的
5、相反数，则a+b的值为（）A. B. C. 或D. 1或【答案】C【解析】|a|=1，b是2的相反数，a=1或a=-1，b=-2，当a=1时，a+b=1-2=-1；当a=-1时，a+b=-1-2=-3；综上，a+b的值为-1或-3，故选：C一、选择题：1. 2019湖南衡阳3分）的绝对值是（）ABCD【答案】B【解析】解：|，故选：B2. （2018古呼和浩特）3（2）的值是（）A1 B1 C5 D5【分析】直接利用有理数的减法运算法则计算得出答案解析：3（2）=3+2=1故选：A3. （2019贵州毕节3分）举世瞩目的港珠澳大桥于2018年10月24日正式开通营运，它是迄今为止世界上最长的跨
6、海大桥，全长约55000米55000这个数用科学记数法可表示为（）A5.5103B55103C0.55105D5.5104【答案】D【解析】解：55000这个数用科学记数法可表示为5.5104，故选：D4. （2019，山东枣庄，3分）点O，A，B，C在数轴上的位置如图所示，O为原点，AC1，OAOB若点C所表示的数为a，则点B所表示的数为（）A（a+1）B（a1）Ca+1Da1【答案】D【解析】解：O为原点，AC1，OAOB，点C所表示的数为a，点A表示的数为a1，点B表示的数为：（a1），故选：B5. （ 河北省，11，2分）点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a和b.对于以下
7、结论：甲：b-a0； 丙：|a|b|；丁：.其中正确的是（ ）A 甲乙B丙丁C甲丙D乙丁【答案】C【解答】解：根据点A，B在数轴上的位置，可假设a=2，b=4，ba=4-2=60，a+b=2+(4)=20，故结论甲正确，结论乙不正确；|a|=|2|=2，|b|=|4|=4，24，|a|b|，故结论丙正确；0，故结论丁不正确.综上可知，答案为选项C.二、填空题：6. （2018邵阳）点A在数轴上的位置如图所示，则点A表示的数的相反数是2【答案】-2【解答】解：点A在数轴上表示的数是2，点A表示的数的相反数是2故答案为：27. （2018云南）某地举办主题为“不忘初心，牢记使命”的报告会，参加会议
8、的人员3451人，将3451用科学记数法表示为【答案】3.451103【解答】解：3451=3.451103，故答案为：3.4511038. (2019甘肃省陇南市)如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是1，那么点B表示的数是 .【答案】3【解答】解：数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是1，来源:zzstep&.com*%点B表示的数是：3三、计算题：9. 已知2a1的算术平方根是5，a+b2的平方根是3，c+1的立方根是2，求a+b+c的值【解答】：2a1的算术平方根是5，2a1=52=25，解得a=13，a+b2的平方根是3a+b2=（3）2=9，b=2，又c+1的立方根是2，c+
9、1=23，解得c=7，a+b+c=1810. 在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB2，BC1，如图所示设点A，B，C所对应数的和是P.(1)若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算P的值；若以C为原点，P又是多少？(2)若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO28，求P.解：(1)以B为原点，点A，C分别对应2，1.2分P2011；4分以C为原点，P(12)(1)04.6分(2)P(2812)(281)(28)88.8分11.利用运算律有时能进行简便计算请你参考黑板上老师的讲解，用运算律简便计算：(1)999(15)；(2)999118999()99918.解：(1)原式(1
10、 0001)(15)15 0001514 985.(2)原式999118()1899910099 900.四、解答题：12. (2018河北预测改编)我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，任意一个实数在数轴上都能找到与之对应的点，比如我们可以在数轴上找到与数字2对应的点(1)在如图所示的数轴上，画出一个你喜欢的无理数，并用点A表示；(2)(1)中所取点A表示的数字是2，相反数是2，绝对值是2，倒数是，其到点5的距离是52；(3)取原点为O，表示数字1的点为B，将(1)中点A向左平移2个单位长度，再取其关于点B的对称点C，求CO的长【解答】解：(1)如图所示(答案不唯一)(3)将点A向左平移2
11、个单位长度，得到点A，则点A表示的数字为22，其关于点B的对称点为C，点B表示的数字为1，点C表示的数字为21(22)42.221.4142.8284，CO42.13. (2017石家庄长安区质量检测)小明早晨跑步，他从自己家出发，向东跑了2 km到达小彬家，继续向东跑了1.5 km到达小红家，然后又向西跑了4.5 km到达学校，最后又向东跑回到自己家(1)以小明家为原点，以向东为正方向，用1个单位长度表示1 km，在如图所示的数轴上，分别用点A表示出小彬家、用点B表示出小红家、用点C表示出学校的位置；(2)求小彬家与学校之间的距离；(3)如果小明跑步的速度是250 m/min，那么小明跑步一
12、共用了多长时间？解：(1)如图(2)小彬家与学校的距离是2(1)3(km)(3)小明一共跑了21.54.519(km)答：小明跑步一共用的时间是9 00025036(min)14. 已知a是最大的负整数，b是多项式2m2nm3n2m2的次数，c是单项式2xy2的系数，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数（1）求a、b、c的值，并在数轴上标出点A、B、C（2）若动点P、Q同时从A、B出发沿数轴负方向运动，点P的速度是每秒个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，求运动几秒后，点Q可以追上点P？（3）在数轴上找一点M，使点M到A、B、C三点的距离之和等于10，请直接写出所有点M对应的数（不必说明理由）【解答】解：（1）a是最大的负整数，a=1，b是多项式2m2nm3n2m2的次数，b=3+2=5，c是单项式2xy2的系数，c=2，（2）动点P、Q同时从A、B出发沿数轴负方向运动，点P的速度是每秒个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，AB=6，两点速度差为：2，=4，答：运动4秒后，点Q可以追上点P（3）存在点M，使P到A、B、C的距离和等于10，当M在AB之间，则M对应的数是2，当M在C点左侧，则M对应的数是： .8
