1、第三章 空间向量与立体几何单元测试【满分：150分 时间：120分钟】第卷（选择题）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1（2019年和平区期中）与向量a(1，3,2)平行的一个向量的坐标是()AB(1，3,2)C D【答案】Ca(1，3,2)2.2（2018年东莞市模拟）在正方体ABCDA1B1C1D1中，xy()，则()Ax1，yBx1，yCx，y1Dx1，y【答案】A()，x1，y.应选A3（2019年绍兴模拟）已知A(2，4，1)，B(1,5,1)，C(3，4,1)，D(0,0,0)，令a，b，则ab为()A(5，9,2
2、)B(5,9，2)C(5,9，2)D(5，9，2)【答案】Ba(1,0，2)，b(4,9,0)，ab(5,9，2)4（2019年潍坊模拟）已知点A(1,2,1)，B(1,3,4)，D(1,1,1)，若2，则|的值是() A BCD【答案】C设P(x，y，z)，则(x1，y2，z1)，(1x,3y,4z)，由2知x，y，z3，即P.由两点间距离公式可得|.5（2019年海南期中）在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，下列结论不正确的是()A B0C0 D0【答案】D如图，故A，B，C选项均正确6（2019年宣城模拟）设ABCD的对角线AC和BD交于E，P为空间任意一点，如图1所示，若x，
3、则x()图1A2B3C4D5【答案】CE为AC，BD的中点，由中点公式得()，()4.从而x4.7（2019年芮城县期末）已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若a，b，c三向量共面，则实数等于()A B C D【答案】Da，b，c三向量共面，则存在不全为零的实数x，y，使cxayb，即(7,5，)x(2，1,3)y(1,4，2)(2xy，x4y,3x2y)，所以解得3x2y.8（2018年兴庆区期末）若向量a(x,4,5)，b(1，2,2)，且a与b的夹角的余弦值为，则x()A3B3C11D3或11【答案】A因为ab(x,4,5)(1，2,2)x810x2，且a与b的夹角的
4、余弦值为，所以，解得x3或11(舍去)，故选A9（2019年珠海期中）若直线l的方向向量为(2,1，m)，平面的法向量为，且l，则m()A2 B3 C4 D5【答案】Cl，直线l的方向向量平行于平面的法向量.m4.10（2019年海南期中）直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成角为()A30 B45 C60 D90【答案】C建立如图所示的空间直角坐标系，设AB1，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，A1(0,0,1)，C1(0,1,1)，(1,0,1)，(0,1,1)，cos，.，60，即异面直线BA1与AC1所成角为60.11（2019年分
5、宜县月考）已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()A B C D【答案】A以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA12AB2，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，则(0,1,0)，(1,1,0)，(0,1,2)设平面BDC1的法向量为n(x，y，z)，则n，n，所以有令y2，得平面BDC1的一个法向量为n(2，2,1)设CD与平面BDC1所成的角为，则sin |cosn，|.12（2019年宁波模拟）在矩形ABCD中，AB3，AD4，PA平面ABCD，PA，那么二面角ABDP的大小为()A3
6、0 B45 C60 D75【答案】A如图所示，建立空间直角坐标系，则，(3,4,0)设n(x，y，z)为平面PBD的一个法向量，则得即令x1，则n.又n1为平面ABCD的一个法向量，cosn1，n，所求二面角为30.第卷（非选择题）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13（2019年和平区期中）已知正方体ABCDABCD，则下列三个式子中：；.其中正确的有_【答案】，正确；显然正确；()()0，错误14（2019年三明模拟）若向量m(1,2,0)，n(3,0，2)都与一个二面角的棱垂直，则m，n分别与两个半平面平行，则该二面角的余弦值为_【答案】或cosm
7、，n.二面角的余弦值为或.15（2019年海定县月考）如图2正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是平面A1B1C1D1的中心，则BO与平面ABC1D1所成角的正弦值为_. 图2【答案】建立坐标系如图，则B(1,1,0)，O，(1,0,1)是平面ABC1D1的一个法向量又，BO与平面ABC1D1所成角的正弦值为|cos，|.16（2019年浙江模拟）设动点P在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1上，记，当APC为钝角时，的取值范围是_【答案】建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(1,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，设P(x，y，z
8、)，则(x，y，z1)，(1,1，1)，由，得(x，y，z1)(1,1，1)，即P(，1)，(1，1)，(，1，1)，由0得2(1)(1)20，解得1.由题意知与所成的角不可能为，故0)，由已知，60，由|cos，可得2m.解得m，所以.因为cos，所以，45，即DP与CC所成的角为45.(2)平面AADD的一个法向量是(0,1,0)，因为cos，所以，60，可得DP与平面AADD所成的角为30.20（2019年湖南期末）(本小题满分12分)如图6，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点图6(1)求证：平面PBC平面PAC；(2)若AB2，AC1，PA1，求二面角CPBA的余弦值【
9、答案】(1)证明：由AB是圆的直径，得ACBC，由PA平面ABC，BC平面ABC，得PABC又PAACA，PA平面PAC，AC平面PAC，所以BC平面PAC因为BC平面PBC所以平面PBC平面PAC(2)过C作CMAP，则CM平面ABC如图，以点C为坐标原点，分别以直线CB，CA，CM为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系在RtABC中，因为AB2，AC1，所以BC.又因为PA1，所以A(0,1,0)，B(，0,0)，P(0,1,1)故(，0,0)，(0,1,1)设平面BCP的法向量为n1(x1，y1，z1)，则所以不妨令y11，则n1(0,1，1)因为(0,0,1)，(，1,0)，设平面ABP
10、的法向量为n2(x2，y2，z2)，则所以不妨令x21，则n2(1, ，0)于是cosn1，n2.由图知二面角CPBA为锐角，故二面角CPBA的余弦值为.21（2019年思明区月考）(本小题满分12分)如图7，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DPBQ(02)图7(1)当1时，证明：直线BC1平面EFPQ；(2)是否存在，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴的正半轴
11、建立空间直角坐标系由已知得B(2,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,1,0)，F(1,0,0)，P(0,0，)，(2，0,2)，(1,0，)，(1,1,0)(1)证明：当1时，(1,0,1)，因为(2,0,2)所以2，可知BC1FP，而FP平面EFPQ，且BC1平面EFPQ，故直线BC1平面EFPQ.(2)设平面EFPQ的一个法向量为n(x，y，z)，由得于是可取n(，1)，同理可得平面PQMN的一个法向量为m(2,2，1)，若存在，使得平面EFPQ与平面PQMN所在的二面角为直二面角，则mn(2,2，1)(，1)0，即(2)(2)10，解得1，故存在1，使平面EFPQ与平面PQMN所成的
12、二面角为直二面角22（2019年大兴区期末）(本小题满分12分)如图8，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC平面AA1C1C，AB3，BC5.图8(1)求证：AA1平面ABC；(2)求二面角A1BC1B1的余弦值；(3)证明：在线段BC1上存在点D，使得ADA1B，并求的值【答案】(1)因为AA1C1C为正方形，所以AA1AC因为平面ABC平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，所以AA1平面ABC(2)由(1)知AA1AC，AA1AB由题意知AB3，BC5，AC4，所以ABAC如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz，则B(0,3,0
13、)，A1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)所以(0,3，4)，(4,0,0)设平面A1BC1的法向量为n(x，y，z)，则即令z3，则x0，y4，所以平面A1BC1的一个法向量为n(0,4,3)同理可得，平面B1BC1的一个法向量为m(3,4,0)所以cosn，m.由题意知二面角A1BC1B1为锐角，所以二面角A1BC1B1的余弦值为.(3)证明：假设D(x1，y1，z1)是线段BC1上一点，且(0,1)，所以(x1，y13，z1)(4，3,4)解得x14，y133，z14，所以(4，33，4)由0，得9250，解得.因为0,1，所以在线段BC1上存在点D，使得ADA1B此时.14/14
