1、六校联盟2020届高三年级第三次学情调查数学（理科）试题（12月18日）试卷满分：160分 考试时长：120分钟注意事项：1.本试卷共4页，包括填空题（第1题第14题）、解答题（第15题第20题）两部分，本试卷满分为160分，考试时间为120分钟.2.答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上.试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内，考试结束后，交回答题卡.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填在答题卡相应位置上。1.已知集合，则=_。【答案】2.已知复数z满（i为虚数单位），则z的实部为_。【答案】33.函数的最小正周期是_。【答案】4.已知数列是等差数列，且，
2、则的值为_。【答案】455.已知是双曲线的右焦点，则双曲线的渐近线方程为_。【答案】6.定义在R上的奇函数，当时，则的值为_。【答案】-17.若命题“存在，”为假命题，则实数a的取值范围是_。【答案】8.若函数在区间上有极值，则实数a的取值范围为_。【答案】9.已知等比数列的前n项和为，若，成等差数列，且，则的值为_。【答案】-610.若，则的最小值为_。【答案】911.如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆的左顶点为A，左焦点为F，上顶点为B，若，则椭圆的离心率是_。【答案】12.在平面直角坐标系xOy中，已知A，B是圆C：上的两个动点，且，则的取值范围为_。【答案】13.已知，均为锐角，
3、且，则的最大值是_。【答案】14.已知函数，若函数恰有2个不同的零点，则实数a的取值范围是_。【答案】二、解答题：本大题共6小题，共计90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（本小题满分14分）已知向量，。（1）若，求的值；（2）若，求的值。【答案】：（1）因为，且所以3分即：当则，不合题意（舍之）当则6分（备注：没有考虑情况的扣2分）（2）所以8分所以10分所以得12分所以14分16.（本小题满分14分）如图，在中，BC边上的中线，AD长为3，且，。（1）求的值；（2）求AC边的长。【答案】：（1）因为，所以2分又，所以4分所以7分（2）在中，由正弦
4、定理，得，即，解得10分故，从而在中，由余弦定理，得，所以14分17.（本小题满分14分）如图，射线OA和OB均为笔直的公路，扇形OPQ区域（含边界）是一蔬菜种植园，其中P、Q分别在射线OA和OB上。经测量得，扇形OPQ的圆心角（即）为、半径为1千米。为了方便菜农经营，打算在扇形OPQ区域外修建一条公路MN，分别与射线OA、OB交于M、N两点，并要求MN与扇形弧PQ相切于点S。设（单位：弧度），假设所有公路的宽度均忽略不计。（1）试将公路MN的长度表示为的函数，并写出的取值范围；（2）试确定的值，使得公路MN的长度最小，并求出其最小值。【答案】解：因为MN与扇形弧PQ相切于点S，所以.在中，因
5、为，所以 ，在中，所以，所以，4分其中6分（2）因为，所以，令，则.所以，8分由基本不等式得，10分当且仅当即时取“=”12分此时，由于，故.13分答：（1），其中（2）当时，MN的长度的最小值为千米14分注：第（2）问中最小值对但定义域不对的扣2分18.（本小题满分16分）已知椭圆的离心率，且经过点，A，B，C，D为椭圆的四个顶点（如图），直线过右顶点A且垂直于x轴。（1）求该椭圆的标准方程；（2）若P为上一点（x轴上方），直线PC，PD分别交椭圆于E，F两点，且，求点P的坐标.【答案】：（1）因的离心率，且经过点，所以2分解得，.所以椭圆标准方程为.4分（2）由（1）知椭圆方程为，所以直线
6、方程为，.设，则直线PC的方程为，8分联立方程组，消y得，所以E点的横坐标为；10分又直线PD的方程为，联立方程组消y得，所以F点的横坐标为.12分由得，则有，则14分化简得，因为解得，所以点P的坐标为.16分19.（本小题满分16分）已知函数，.（1）若曲线在处的切线方程为，求的值；（2）在（1）的条件下，求函数零点的个数；（3）若不等式对任意都成立，求a的取值范围。【答案】（1），由题意，解得，所以.3分（2）由（1）知，令，得，且当时，；当时，所以函数在上单调递减，在上单调递增.6分因为，函数在区间和上的图象是一条不间断的曲线，由零点存在性定理，所以函数有两个零点.9分（3）设，即，当时
7、，所以函数在单调递减，所以最小值为，不合题意；11分当时，令，得.若，即时，函数在单调递减；所以最小值为，只需，即，所以符合；13分若，即时，函数在上单调减，在上单调增，所以的最小值为，所以符合.综上，a的取值范围是.16分20.对于，若数列满足，则称这个数列为“K型数列”.（1）已知数列：1，是“K型数列”，求实数m的取值范围；（2）是否存在首项为-1的等差数列为“K型数列”，且其前n项和满足？若存在，求出的通项公式；若不存在，请说明理由；（3）已知各项均为正整数的等比数列是“K型数列”，数列不是“K型数列”，若，试判断数列是否为“K型数列”，并说明理由。【答案】：（1）由题意得，解得；解得
8、或.所以，故实数m的取值范围是.4分（）假设存在等差数列符合要求，设公差为d，则，由，得，由题意，得对均成立，即.6分当时，；当时，因为，所以，与矛盾，故这样的等差数列不存在.9分（）设数列的公比为q，则，因为的每一项均为正整数，且，所以，且.因为，所以在中，“”为最小项.同理，在中，“”为最小项.由为“K数列”，只需，即，又因为不是“K数列”，且“”为最小项，所以，即，由数列的每一项均为正整数，可得，所以，或，.当，时，则，令，则，又，所以为递增数列，即，所以.因为，所以对任意的，都有，即数列为“K数列”.14分当，时，则.因为，所以数列不是“K数列”.15分综上：当时，数列为“K数列”，当
9、时，数列不是“K数列”.16分六校联盟2020届高三年级第三次学情调查附加试题（12月18日）试卷满分：40分 考试时长：30分钟【必做题】第21.22题共两题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21.在平面直角坐标系xOy中，已知直线（为参数）与曲线（t为参数）相交于A，B两点，求线段AB的长。解：法一：将曲线（t为参数）化为普通方程为.3分将直线（为参数）代入得，6分解得，.则，所以线段AB的长为.10分法二：将曲线（t为参数）化为普通方程为.3分将直线（为参数）化为普通方程为，6分由得，或，所以AB的长为.10分22.在平面直角坐
10、标系xoy中，圆的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（1）求圆的普通方程和圆的直角坐标方程；（2）判断圆与圆的位置关系.（1）圆的参数方程为，（为参数），可得，平方相加转换为直角坐标方程为：.2分由圆的极坐标方程可得转换为直角坐标方程为：，即：15分（）由（I）知圆的的半径，圆心坐标为.圆的的半径，圆心坐标为则圆心距所以，圆与圆相交.10分【必做题】第23题、第24题，每题10分，共计20分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.23.（本小题满分10分）箱中有4个白球和m个黑球.规定取出一个白球得2分，取出
11、一个黑球得1分，从箱中任取3个球，假设每个球被取出的可能性都相等。记随机变量X为取出的3个球所得分数之和.（1）若，求m的值；（2）当时，求随机变量X的分布列与数学期望.【答案】（1）由题意得：取出的3个球都是白球时，随机变量X=6，即：，解得：4分（2）由题意得：X所有可能的取值为：3，4，5，6则；.8分X的分布列为：X3456P10分24.（本小题满分10分）甲乙丙三名射击运动员射中目标的概率分别为，a，三人各射击一次，击中目标的次数为.（1）求的分布列及数学期望；（2）在概率中，若的值最大，求实数a的取值范围.解：（1）是“个人命中，个人未命中”的概率.其中的可能取值为0，1，2，3.，.4分所以的分布列为0123P的数学期望为.5分（2），.8分由和，得，即a的取值范围是.10分！
