1、第二十三周第二十三周 定义新运算定义新运算 专题简析：专题简析：我们学过常用的运算加、减、乘、除等，如62=8，62=12等。都是2和6，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实质上是对应法则不同。由此可见，一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法。对应法则不同就是不同的运算。当然，这个对应法则应该是对应任意两个数。通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应。这一周，我们将定义一些新的运算形式，它们与我们常用的加、减、乘、除运算是不相同的。例例1：设a、b都表示数，规定：ab表示a的3倍减去b的2倍，即：ab=a3b2。试计算：（1）56；（2）65。分析与解答：解这类题的关键是抓住定
2、义的本质。这道题规定的运算本质是：运算符号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍。56=5362=3 65=6352=8 显然，本例定义的运算不满足交换律，计算中不能将前后的数交换。练练 习习 一一 1，设a、b都表示数，规定：ab=6a2b。试计算34。2，设a、b都表示数，规定：a*b=3a2b。试计算：（1）（5*6）*7 （2）5*（6*7）3，有两个整数是A、B，AB表示A与B的平均数。已知A6=17，求A。例例2：对于两个数a与b，规定a b=abab，试计算6 2。分析与解答：这道题规定的运算本质是：用运算符号前后两个数的积加上这两个数。6 2=6262=20 练练 习习 二二 1
3、，对于两个数a与b，规定：a b=ab（ab）。计算3 5。2，对于两个数A与B，规定：AB=AB2。试算64。3，对于两个数a与b，规定：a b=abab。如果5 x=29，求x。例例3：如果23=234，54=5678，按此规律计算35。分析与解答：这道题规定的运算本质是：从运算符号前的数加起，每次加的数都比前面的一个数多1，加数的个数为运算符号后面的数。所以，35=34567=25 练练 习习 三三 1，如果52=26，23=234，计算：3。2，如果24=24（24），36=36（36），计算84。3，如果23=234，54=5678，且1x=15，求x。例例4：对于两个数a与b，规定
4、ab=a(a+1)+(a+2)+(a+b1)。已知x6=27，求x。分析与解答：经仔细分析，可以发现这道题规定运算的本质仍然是：从运算符号前面的数加起，每次加的数都比它相邻的前一个数多1，加数的个数为运算符号后面的数，原式即x+(x+1)+(x+2)+(x+5)=27，解这个方程，即可求出x=2。练练 习习 四四 1，如果23=234=9，65=678910=40。已知x3=5973，求x。2，对于两个数a与b，规定ab=a+(a+1)+(a+2)+(a+b1)，已知95x=585，求x。3，如果1！=1，2！=12=2，3！=123=6，按此规律计算5！。例例5：24=8，53=13，35=
5、11，97=25。按此规律计算：。分析与解答：仔细观察和分析这几个算式，可以发现下面的规律：ab=2a+b，依此规律：73=723=17。练练 习习 五五 1，有一个数学运算符号“”，使下列算式成立：62=12，43=13，34=15，51=8。按此规律计算：84。2，有一个数学运算符号“”使下列算式成立：，。按此规律计算：。3，对于两个数a、b，规定ab=bxa2，并且已知8265=31，计算：2957。第二十四周第二十四周 差倍问题差倍问题 专题简析：专题简析：解答差倍问题时，先要求出与两个数的差对应的倍数差。在一般财政部下，它们往往不会直接告诉我们，这就需要我们根据题目的具体特点将它们求
6、出。当题中出现三个或三个以上的数量时，一般把题中有关数量转化为与标准量之间倍数关系对应的数量。解答差倍应用题的基本数量关系是：差（倍数1）=小数 小数倍数=大数 或：小数+差=大数 例例1：光明小学开展冬季体育比赛，参加跳绳比赛的人数是踺子人数的3倍，比踢踺子的多36人。参加跳绳和踢踺子比赛的各有多少人？分析与解答：如果把踢踺子的人数看作1份，那么跳绳的人数是这样的3份。36人是这样的31=2份。这样，把36人平均分成2份，1份就是踢踺子的人数：362=18人，跳绳的有183=54人。练练 习习 一一 1，城南小学三年级的人数是一年级人数的2倍，三年级的人数比一年级多130人。三年级和一年级各
7、有多少人？2，一种钢笔的价钱是一种圆珠笔的4倍，这种钢笔比圆珠笔贵12元。这种钢笔和圆珠笔的单价各是多少元？3，农业科技小组有两块小麦试验田，第二块比第一块少6公顷，第一块的面积是第二块的3倍。两块试验田各是多少公顷？例例2：仓库里存放大米和面粉两种粮食，面粉比大米多3900千克，面粉的千克数比大米的2倍还多100千克。仓库有大米和面粉各多少千克？分析与解答：如果面粉减少100千克，那么面粉的千克数就是大米的2倍，3900100=3800千克，就是大米的21=1倍。所以，大米有38001=3800千克，面粉有38003900=7700千克。练练 习习 二二 1，三年级学生参加课外活动，做游戏的
8、人数比打球人数的3倍多2人，已知做游戏的比打球的多38人，打球和做游戏的各有多少人？2，学校今年参加科技兴趣小组的人数比去年多41人，今年的人数比去年的3倍少35人。今年有多少人参加？3，果园里种了一批苹果树和桃树，已知苹果树比桃树多1600棵，苹果树的棵数比桃树的3倍多100棵。苹果树和桃树各种了多少棵？例例3：育红小学买了一些足球、排球和篮球，已知足球比排球多7只，排球比篮球多11只，足球的只数是篮球的3倍。足球、排球和篮球各买了多少只？分析与解答：由题意可知，足球比篮球多买了7+11=18只，它是篮球的31=2倍。所以，买篮球182=9只，买排球9+11=20只，买足球20+7=27只。
9、练练 习习 三三 1，玩具厂二月份比一月份多生产玩具2000个，三月份比二月份多生产3000个，三月份生产的玩具个数是一月份的2倍。每个月各生产多少个？2，某农具厂第三季度比第二季度多生产2800套轴承，第一季度比第二季度少生产1200套。第三季度生产的是第一季度的3倍。求每季度各生产多少？3，三个小朋友们折纸飞机，小晶比小亮多折12架，小强比小亮少折8架，小晶折的是小强的3倍。三个人各折纸飞机多少架？例例4：商店运来一批白糖和红糖，红糖的重量是白糖的3倍，卖出红糖380千克，白糖110千克后，红糖和白糖重量相等。商店原有红糖和白商各多少千克？分析与解答：由“红糖卖出380千克，白糖卖出110
10、千克后，红糖和白糖重量相等”可知原来红糖比白糖多380110=270千克，它是白糖的31=2倍。所以，白糖原有2702=135千克，红糖原有1353=405千克。练练 习习 四四 1甲、乙两个仓库各存一批面粉，甲仓库所存的面粉的袋是乙仓库的3倍，从甲仓库运走720千克，从乙仓库运走120千克后，两个仓库所剩的面粉相等。两个仓库原来各有面粉多少千克？2有两筐橘子，第二筐中橘子的个数是第一筐中的2倍。如果第一筐中再放入48个，第二筐中再放入18个，那么两筐的橘子个数相等。原来两筐各有橘子多少个？3甲桶的酒是乙桶的4倍，如果从甲桶中取出15千克倒入乙桶，那么两桶酒的重量相等。原来两桶酒各有多少千克？
11、例例5：甲、乙两个书架原有图书本数相等，如果从甲书架取出2本，从乙书架取出60本后，乙书架的本数是甲书架的3倍。原来两个书架各有图书多少本？分析与解答：由“甲、乙两个书架原有图书相等，从甲书架取240本，从乙书架取出60本”可知乙书架余下的书比甲书架多24060=180本，它是甲书架余下的2倍，所以甲书架余下1802=90本。甲书架原有90240=330本。练练 习习 五五 1，两筐同样的苹果，甲筐卖出8千克，乙筐卖出20千克以后，甲筐剩下的是乙筐的3倍。两筐苹果原来各有多少千克？2，甲、乙两个人的存款数相等，甲取出60元，乙存入20元，乙的存款是甲的3倍。两人原来各有存款多少元？3，甲、乙两
12、个书架原有图书本数相等，如果从甲书架取出120本放到乙书架，乙书架的本数是甲书架的4倍。原来两个书架各有图书多少本？第二十五周第二十五周 和差问题和差问题 专题简析：专题简析：已知两个数的和与差，求出这两个数各是多少的应用题，叫和差应用题。解答和差应用题的基本数量关系是：（和差）2=小数 小数差=大数（和小数=大数）或：（和差）2=大数 大数差=小数（和大数=小数）解答和差应用题的关键是选择适当的数作为标准，设法把若干个不相等的数变为相等的数，某些复杂的应用题没有直接告诉我们两个数的和与差，可以通过转化求它们的和与差，再按照和差问题的解法来解答。例例1：三、四年级同学共植树128棵，四年级比三
13、年级多植树20棵，求三、四年级各植树多少棵？分析与解答：假如把三、四年级植的128棵加上20棵，得到的和就是四年级植树的2倍，所以，四年级植树的棵数是（128+20）2=74棵，三年级植树的棵数是7420=54棵。这道题还可以这样解答：假如从128棵中减去20棵，那么得到的差就是三年级植树棵数的2倍，由出，先求出三年级植树的棵数（12820）2=54棵，再求出四年级植树的棵数：5420=74棵。练练 习习 一一 1，两堆石子共有800吨，第一堆比第二堆多200吨。两堆各有多少吨？2，用锡和铝混合制成600千克的合金，铝的重量比锡多400千克。锡和铝各是多少千克？3，甲、乙两人年龄的和是35岁，
14、甲比乙小5岁。甲、乙两人各多少岁？例例2：两筐梨子共有120个，如果从第一筐中拿10个放到第二筐中，那么两筐的梨子个数相等。两筐原来各有多少个梨？分析与解答：根据题意，第一筐减少10个，第二筐增加10个后，则两筐梨子个数相等，可知原来第一筐比第二筐多102=20个。假如从120个中减去20个，那么得到的差就是第二筐梨子个数的2倍，所以，第二筐原来有（12020）2=50个，第一筐原来有5020=70个。练练 习习 二二 1，红星小学三（1）班和三（2）班共有学生108人，从三（1）班转3人到三（2）班，则两班人数同样多。两个班原来各有学生多少人？2，某汽车公司两个车队共有汽车80辆，如果从第一
15、车队调10辆到第二车队，两个车队的汽车辆数就相等。两个车队原来各有汽车多少辆？3，甲、乙两笨共有水果60千克，如果从甲箱中取出5千克放到乙箱中，则两箱水果一样重。两箱原来各有水果多少千克？例例3：今年小勇和妈妈两人的年龄和是38岁，3年前，小勇比妈妈小26岁。今年妈妈和小勇各多少岁？分析与解答：3年前，小勇比妈妈小26岁，这个年龄差是不变的，即今年小勇也比妈妈小26岁。显然，这属于和差问题。所以妈妈今年（38+26）2=32岁，小勇（3826）2=6岁。练练 习习 三三 1，今年小刚和小强俩人的年龄和是21岁，1年前，小刚比小强小3岁。今年小刚和小强各多少岁？2，黄茜和胡敏两人今年的年龄和是2
16、3岁，4年后，黄茜将比胡敏大3岁。黄茜和胡敏今年各多少岁？3，两年前，胡炜比陆飞大10岁；3年后，两人的年龄和将是42岁。求胡炜和陆飞今年各多少岁。例例4：甲乙两个仓库共有大米800袋，如果从甲仓库中取出25袋放到乙仓库中，则甲仓库比乙仓库还多8袋。两个仓库原来各有多少袋大米？分析与解答：先求甲、乙两仓库大米的袋数差，由“从甲仓库中取出25袋放到乙仓库中，则甲仓库比乙仓库还多8袋”可知甲仓库原来比乙仓库多2528=58袋。由此可求出甲仓库原来有（80058）2=429袋，乙仓库原来有800429=371袋。练练 习习 四四 1甲、乙两箱洗衣粉共有90袋，如果从甲箱中取出4袋放到乙箱中，则甲箱比
17、乙箱还多6袋。两箱原来各有多少袋？2甲、乙两筐香蕉共重60千克，从甲筐中取5千克放到乙筐，结果甲筐比乙筐还多2千克。两筐原来各有多少千克香蕉？3两笼鸡蛋共19只，若甲笼再放入4只，乙笼中取出2只，这时乙笼比甲笼还多1只。甲、乙两笼原来各有鸡蛋多少只？例例5：把长108厘米的铁丝围成一个长方形，使长比宽多12厘米，长和宽各是多少厘米？分析与解答：根据题意可知围成的长方形的周长是108厘米，因此，这个长方形长与宽的和是1082=54厘米，由此可以求出长方形的长为（54+12）2=33厘米，宽为5433=21厘米。练练 习习 五五 1，把长84厘米的铁丝围成一个长方形，使宽比长少6厘米。长和宽各是多
18、少厘米？2，赵叔叔沿长和宽相差30米的游泳池跑6圈，做下水前的准备活动，共跑1080米。游泳池的长和宽各是多少米？3，刘晓每天早晨沿长和宽相差40米的操场跑步，每天跑6圈，共跑2400米。这个操场的面积是多少平方米？第二十六周第二十六周 巧算年龄巧算年龄 专题简析：专题简析：年龄问题是一类与计算有关的问题，它通常以和倍、差倍或和差等问题的形式出现。有些年龄问题往往是和、差、倍数等问题的综合，需要灵活地加以解决。解答年龄问题，要灵活运用以下三条规律：1，无论是哪一年，两人的年龄差总是不变的；2，随着时间的向前或向后推移，几个人的年龄总是在减少或增加相等的数量；3，随着时间的变化，两人的年龄之间的
19、倍数关系也会发生变化。例例1：爸爸今年43岁，儿子今年11岁。几年后爸爸的年龄是儿子的3倍？分析与解答：分析与解答：儿子出生后，无论在哪一年，爸爸和儿子的年龄差总是不变的，这个年龄差是4311=32岁。所以，当爸爸的年龄是儿子3倍时，儿子是32（31）=16岁，因此1611=5年后，爸爸的年龄是儿子的3倍。练练 习习 一一 1，妈妈今年36岁，儿子今年12岁。几年后妈妈年龄是儿子的2倍？2，小强今年15岁，小亮今年9岁。几年前小强的年龄是小亮的3倍？3，爷爷今年60岁，孙子今年6岁。再过多少年爷爷的年龄比孙子大2倍？例例2：妈妈今年的年龄是女儿的4倍，3年前，妈妈和女儿的年龄和是39岁。妈妈和
20、女儿今年各多少岁？分析与解答：分析与解答：从3年前到今年，妈妈和女儿都长了3岁，她们今年的年龄和是：39+32=45岁。于是，这个问题可转化为和倍问题来解决。所以，今年女儿的年龄是45（1+4）=9岁，妈妈今年是94=36岁。练练 习习 二二 1，今年爸爸的年龄是儿子的4倍，3年前，爸爸和儿子的年龄和是44岁。爸爸和儿子今年各是多少岁？2，今年小丽和她爸爸的年龄和是41岁，4年前爸爸的年龄恰好是小丽的10倍。小丽和爸爸今年各是多少岁？3，今年小芳和她妈妈的年龄和是38岁，3年前妈妈的年龄比小芳的9倍多2岁。小芳和妈妈今年各多少岁？例例3：今年小红的年龄是小梅的5倍，3年后小红的年龄是小梅的2倍
21、。小红和小梅今年各多少岁？分析与解答：分析与解答：小红和小梅的年龄差是不变的，因此两人的年龄差是小梅今年的51=4倍，也是3年后小梅年龄的21=1倍，即：小梅今年的年龄3=小梅今年的年龄4。所以，小梅今年的年龄为：3（41）=1岁，小红今年的年龄为：15=5岁。练练 习习 三三 1，今年小明的年龄是小娟的3倍，3年后小明的年龄是小娟的2倍。小明和小娟今年各多少岁？2，今年小亮的年龄是小英的2倍，6年前小亮的年龄是小英的5倍。小英和小亮今年各多少岁？3，10年前父亲的年龄是儿子的7倍，15年后父亲的年龄是儿子的2倍。父亲和儿子今年各多少岁？例例4：甜甜的爸爸今年28岁，妈妈今年26岁。再过多少年
22、，她的爸爸和妈妈的年龄和为80岁？分析与解答：分析与解答：两人的年龄和每年增加2岁，先求今年爸爸和妈妈的年龄和：2826=54岁，再求80比54多8054=26岁。26里面包含多少个2，就是经过的年数。所以，再过262=13年爸爸和妈妈的年龄和为80岁。练练 习习 四四 1，蜜蜜的爸爸今年27岁，她的妈妈今年26岁。再过多少年，她爸爸和妈妈的年龄和为73岁？2，林星今年8岁，爸爸今年34岁。当他们的年龄和为72岁时，爸爸和林星各多少岁？3，今年爸爸56岁，儿子30岁。当父子的年龄和为46岁时，爸爸和儿子各是多少岁？例例5：小英一家由小英和她的父母组成。小英的父亲比母亲大3岁，今年全家年龄总和是
23、71岁，8年前这个家的年龄总和是49岁。今年三人各多少岁？分析与解答：分析与解答：已知8年前这个家的年龄总和是49岁，这个条件中8年与49岁看上去有一个是多余的，有的同学可能认为8年前这个家的年龄总和应该是71（1+1+1）8=47岁，但这与题中所给的条件49不一致。为什么呢？这说明8年前小英还没有出生。这相差的2岁就是8年前与小英年龄的差。由此可以求出小英今年是82=6岁。今年父母的年龄和为716=65岁。已知小英的父亲比母亲大3岁，所以今年父亲（65+3）2=34岁，母亲343=31岁。练练 习习 五五 1，父、母、子三人今年的年龄和为70岁，而10年前三人的年龄和为46岁，父亲比母亲大4
24、岁。求三人今年各多少岁。2，全家四口人，父亲比母亲大3岁，姐姐比弟弟大2岁。4年前他们的年龄和为58岁，现在全家的年龄和是73岁。现在每个人各多少岁？3，吴琪一家由吴琪和他的孪生姐姐吴林还有他们的父母组成，其中父亲比母亲大2岁。今年全家的年龄和是64岁，5年前全家的年龄和是52岁。求今年每人的年龄。第二十七周第二十七周 较复杂的和差倍问题较复杂的和差倍问题 专题简析：专题简析：前面我们学习了和倍、差倍、和差三种应用题，有的题目需要通过转化而成为和倍、差倍、和差问题，这类问题叫做复杂的和差倍问题。解答较复杂的和差倍问题，需要我们从整体上把握住问题的本质，将题目进行合理的转化，从而将较复杂的问题转
25、化为一般和倍、差倍、和差应用题来解决。例例1：两箱茶叶共重96千克，如果从甲箱取出12千克放入乙箱，那么乙箱的千克数是甲箱的3倍。两箱原来各有茶叶多少千克？分析与解答：由“两箱茶叶共重96千克，如果从甲箱取出12千克放入乙箱，那么乙箱的千克数是甲箱的3倍”可求出现在甲箱中有茶叶96（13）=24千克。由此可求出甲箱原来有茶叶2412=36千克，乙箱原来有茶叶9636=60千克。练练 习习 一一 1，书架的上、下两层共有书180本，如果从上层取下15本放入下层，那么下层的本数正好是上层的2倍。两层原来各有书多少本？2，甲、乙两人共储蓄2000元，甲取出160元，乙又存入240元，这时甲储蓄的钱数
26、比乙的2倍少20元。甲、乙两人原来各储蓄多少元？3，某畜牧场共有绵羊和山羊3561只，后来卖了60只绵羊，又买来山羊100只，现在绵羊的只数比山羊的2倍多1只。原来绵羊和山羊各有多少只？例例2：甲、乙、丙三个同学做数学题，已知甲比乙多做5道，丙做的是甲的2倍，比乙多做20道。他们一共做了多少道数学题？分析与解答：甲比乙多5道，丙比乙多20道，丙做的是甲的2倍，因此，205=15道是丙的一半，也就是甲做的道数。丙做了152=30道，乙做了155=10道。他们共做了：（205）（12）（205）5=55道。练练 习习 二二 1，某厂一季度创产值比三季度多2万元，二季度的产值是一季度产值的2倍，比三
27、季度产值多42万元。三个季度共创产值多少万元？2，甲、乙、丙三个人合做一批零件，甲比乙多做12个，丙做的比甲的2倍少20个，比乙做的多38个。这批零件共有多少个？3，果园里的苹果树是桃树的3倍，管理员每天能给25棵苹果树和15棵桃树洒农药。几天后，当桃树喷完农药时，苹果树还有140棵没有喷药。果园里共有多少棵树？例例3：某工厂一、二、三车间共有工人280人，第一车间比第二车间多10人，第二车间比第三车间多15人。三个车间各有工人多少人？分析与解答：这是多量的和差问题，解题的时候确定的标准不同，解法也就不同。如果以第二车间的人数为标准，第一车间减少10人，第三车间增加15人，那么2801015=
28、285人是第二车间人数的3倍，由此可以求出第二车间有2853=95人，第一车间有9510=105人，第三车间有9515=80人。练练 习习 三三 1，一个三层书架共放书168本，上层比中层多12本，下层比中层少6本。三层各放书多少本？2，一个三层柜台共放皮鞋120双，第一层比第二层多放4双，第二层比第三层多7双，三层各多皮鞋多少双？3，四个数的和是152，第一个数比第二个数多16，比第三个数多20，比第四个数少12。第一个数和第四个数是多少？例例4：两个数相除，商是4，被除数、除数、商的和是124。被除数和除数各是多少？分析与解答：从124里去掉商，是1244=120，它是除数的14=5倍，除
29、数是1205=24，被除数是244=94。练练 习习 四四 1，在一个除法算式中，被除数、除数、商的和是123。已知商是3，被除数和除数各是多少？2，两个数相除，商是5，余数是7，被除数、除数、商、余数的和是187，求被除数。3，两个数相除，商是17，余数是8，被除数、除数、商和余数的和是501，求被除数和除数是多少。例例5：甲的存款是乙的4倍，如果甲取出110元，乙存入110元，那么乙的存款是甲的3倍。甲、乙原来各有存款多少元？分析与解答：由“乙存入110元，甲取出110元”，可知乙存入110元后相当于甲存款数的3倍，取出1103=330元；而由甲的存款是乙的4倍，可知甲原有存款的3倍相当于
30、乙原有存款的43=12倍，乙现在存入110元后相当于甲原有的12倍，取1103=330元，所以，330110=440元，相当于乙原有的121=11倍。所以，乙原有存款44011=40元，甲原有存款404=160元。练练 习习 五五 1，甲的存款是乙的5倍，如果甲取出60元，乙存入60元，那么乙的存款是甲的2倍。甲、乙原来各有存款多少元？2，刘叔叔的存款是李叔叔的6倍，如果刘叔叔取出1100元，李叔叔存入1100元，那么刘叔叔的存款是李叔叔的2倍。刘叔叔和李叔叔原来各有存款多少元？3，有大、中、小三筐菠萝，小筐装的是中筐的一半，中筐比大筐少装16千克，大筐装的是小筐的4倍。大、中、小三筐各装菠萝多少千克？
