1、导数证明单变量不等式导数证明单变量不等式2020届高考专题复习浮山中学浮山中学 李善飞李善飞 铜陵市新型冠状病毒疫情防控期间名师课堂铜陵市新型冠状病毒疫情防控期间名师课堂 通过对近几年的高考命题的分析，发现高考对导数的考查常通过对近几年的高考命题的分析，发现高考对导数的考查常以函数为依托，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单以函数为依托，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布、曲线的切线问题等内容有机的结合在一起，调性、方程根的分布、曲线的切线问题等内容有机的结合在一起，设计综合试题设计综合试题,从而考查函数、导数的基础知识和基本方法。解从而考查函数、导数的基础知识
2、和基本方法。解决这类有关的问题，需要借助构造函数，那么怎样合理的构造函决这类有关的问题，需要借助构造函数，那么怎样合理的构造函数就是问题的关键。这里根据我多年的教学经验，总结出一些方数就是问题的关键。这里根据我多年的教学经验，总结出一些方法，希望对同学们有所帮助。法，希望对同学们有所帮助。考情分析考情分析方法梳理方法梳理FANGFASHULI一、变形构造函数证明一、变形构造函数证明例例1.求证(1)当 时，1x ()1 ln21;xxx 证法证法1：1 ln21,()()1令xxxxfx 1ln+2()求导得xxxxf 1ln+1,(1)xxx 211()再求导得fxxx 21,(1)xxx
3、1,()0()(1,)在区间上为增函数。xfxfx ()(1)0,()(1,)在区间上为增函数。fxff x ()(1)0,1(1)ln2(1)时，f xfxxxx 小结：小结：直接作差构造直接作差构造函数，两次求导，利用函数单调性证明。函数，两次求导，利用函数单调性证明。1例例1.求证(1)当 时，1x ()1 ln21.xxx 小结小结：对数单身狗，对含对数的不等式，先清理对数单身狗，对含对数的不等式，先清理对数的因式再对数的因式再构造可减少求导分析的次数。构造可减少求导分析的次数。证法证法2 2：2(1)1 ln1,n()21l1xxxxxxx 2(1)()ln,(1)1令xf xxxx
4、 214()(1)求导得fxxx 22(1)=0(1)xx x ()(1,)()(1)0在区间上为增函数。f xf xf 2(1)1ln(1)ln2(1)1时，即xxxxxxx 例例1.求证(2)当 时，(22.)0 xxex 0 x 小结小结：指数找朋友，对含指数的不等式，将指数找朋友，对含指数的不等式，将变量集中到指数上既可减变量集中到指数上既可减少求导分析的次数，也可以避免导函数零点不可求。少求导分析的次数，也可以避免导函数零点不可求。作差后作差后再构造再构造【过关训练过关训练】1.求证：求证：【过关训练过关训练】2(1)(1)ln22xxx 232222max(1)2121(1)ln2
5、lnln021212211212(1)(2)()ln(),012(1)2(1)(1)()(1)0 xxxxxxxxxxxxxxxf xxfxxxxxx xx xf xf 令结论分析：分析：方法梳理方法梳理FANGFASHULI二、换元构造函数证明二、换元构造函数证明例例2.2.*22211+ln(1)1+(35212nnNnn 求求证证：）证明：证明：*22223111+ln+lnln1+(3521122nnNnnn 所所以以原原不不等等式式等等价价为为）*231ln(1)ln+lnln(12nnnNn 因因为为）*211ln(21nnNnnn 所所以以只只需需证证）*211ln(1)(12n
6、nNnnn 所所以以只只需需证证）12ln(1),(0,12xxxx xnx 令令,所所以以只只需需证证2()ln(1),(0,1;()ln(1),(0,12xf xxxg xxx xx 构构造造函函数数1小结小结：把数列不等式通过换元转化为代数不等式，利用导数再证明把数列不等式通过换元转化为代数不等式，利用导数再证明。22241()0,(0,1(2)1(2)(1)xfxxxxxx ()(0,1()(0)0所以在区间上为减函数，因此f xf xf 2ln(1),(0,12xxxx 所所以以1()10,(0,111xg xxxx 同同理理()(0,1()(0)0所以在区间上为减函数，因此g xg
7、 xg ln(1),(0,1xx x 所所以以2ln(1),(0,12xxx xx 所所以以*22211+ln(1)1+(35212nnNnn 因因此此）得得证证。换元后再构造换元后再构造【过关训练过关训练】2.求证求证:ln22.xxexe 2ln22ln2ln(12)21+2,ln1令只证xxxxxxxxeexeeeeetett 分析：分析：方法梳理方法梳理FANGFASHULI三、切线放缩法证明三、切线放缩法证明小结小结：运用切线放缩时，运用切线放缩时，力求力求“脑中有脑中有形形，心中有，心中有数数”.变复杂为简单，证明效果事半功倍。变复杂为简单，证明效果事半功倍。ln10 xxexx
8、求求证证：例例3.3.证明：证明：lnln10ln10 xxxxexxexx 因因为为+ln,10ttxxet 令令只只需需证证，()1tf tet 构构造造，()1tfte 求求导导得得，()00,()00fttftt 由由得得得得，=0()tf t所所以以时时，有有极极小小值值为为0 0，()0f tln10ln0 xxexxxx 因因此此，当当且且仅仅当当时时取取等等号号1【过关训练过关训练】3.已知函数 ，证明：对任意 恒成立.1sinxfxx e 1fx 0 x 1sin11sin1由切线不等式：xxf xexexx 分析：分析：放缩后再构造放缩后再构造xyO1yx lnyx 1附：
9、几附：几个常见的个常见的“切线不等式切线不等式”xyO1yx xye 111ln1xxx1xexsintan02xxxx xyOsinyx yx tanyx 方法梳理方法梳理FANGFASHULI四四、分段构造函数证明、分段构造函数证明11lnxexxx 求求证证：例例4.4.证明证明：(0,1)(1,)x 易易知知，不不等等式式中中110 ln10 xxexxx当当0 0时时，易易证证，111lnxexxx 所所以以21ln1xxexx当当时时，只只需需证证2()ln1,1xf xexxx令令1()(ln)2,1xfxxex xx 求求导导得得11ln1xxx易易证证，当当时时，1小结小结：
10、根据不等式变量取值范围的特点，对其进行分类，再利根据不等式变量取值范围的特点，对其进行分类，再利用导数证明。注意分类要做到不重复不遗漏。用导数证明。注意分类要做到不重复不遗漏。1()(ln)22xxfxxexexx 所所以以()2,1xg xex x令令，()220,1xg xeex 求求导导得得()(1,)g x所所以以在在区区间间上上为为增增函函数数，()(1)20g xge因因此此()0()(1,),fxf x 所所以以，因因此此在在区区间间上上为为增增函函数数()(1)0f xf因因此此211ln11lnxxexxexxxx 当当时时，即即11lnxexxx 综综上上可可证证【过关训练
11、过关训练】4.22(1)ln(1)xxx 求求证证：22222211 ln(1)1011 ln(1)(1)ln1ln1111 ln(1)(1)ln1ln1当时，当时，当时，xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 分析：分析：分段后分段后再构造再构造方法梳理方法梳理ZHISHISHULI五、凹凸反转法证明五、凹凸反转法证明12lnxxeex 求求证证：例例5.5.证明：证明：122lnlnxxxxxxeexee ，小结：小结：f(x)0g(x)h(x)g(x)minh(x)max.或者或者f(x)0g(x)+h(x)0 g(x)min+h(x)min0()ln,f xxx 令令()ln
12、+1,fxx 11()0,()0,fxxfxxee 由由得得得得min11=,(),xf xee 所所以以时时max21(),01()xxg xxxg xeee 令令，同同理理可可得得时时1()(),()(),f xg xf xg xe 所所以以因因为为等等号号不不能能同同时时成成立立，故故不不等等式式得得证证。1 f(x)ag(x)h(x)a g(x)min h(x)min a.minmin1()ln,()1,0()()令，再求与，但需两个最小值均为正值。xxf xxx g xxef xg x 分析：分析：【过关训练过关训练】5.211ln11.xxxxee 求求证证：方法小结方法小结基于有
13、界性进行分割基于有界性进行分割,构造两个函数：构造两个函数：（充分不必要条件）（充分不必要条件）f(x)0g(x)+h(x)a g(x)min+h(x)min a.f(x)ag(x)h(x)a g(x)min h(x)min a.（注意先证（注意先证f(x)，g(x)的符号）的符号）,lnln,ln,lnxxxxexyexyxeyyxexxyxxyxxyyxx 常见有界函数常见有界函数方法梳理方法梳理FANGFASHULI六、隐零点法证明六、隐零点法证明3ln(2)ln30 xex求求证证：例例6.6.()3ln(2)ln3xf xex令令证明：证明：1()322xfxexx 求求导导得得，2
14、1()3+0(2)xfxex 再再求求导导得得，()(2,),fx 所所以以在在区区间间上上为为增增函函数数33223331,()320(1)1022xexxefefe ，003(,1),()02xfx 所所以以存存在在使使得得，00()0()2()0()xxfxf xxxfxf x 且且时时，为为增增函函数数；时时，为为 减减函函数数1小结小结：构造函数求导发现导函数有零点，因为零点不可求，故称构造函数求导发现导函数有零点，因为零点不可求，故称之为隐零点。一要证明零点的存在，二要利用零点方程进行整体之为隐零点。一要证明零点的存在，二要利用零点方程进行整体代换所有的对数与指数，函数的最值就可以
15、表示成隐零点的函数。代换所有的对数与指数，函数的最值就可以表示成隐零点的函数。0000011()033,22xxfxeexx 由由得得，=0 0，00ln3ln(2)xx 两两边边取取自自然然对对数数得得0200000000(1)11()3ln(2)ln3=(ln3)ln30222xxf xexxxxxx 00min00,()()3ln(2)ln3xxxf xf xex 所所以以时时0()()0,f xf x 所所以以3ln(2)ln30 xex因因此此【过关训练过关训练】6.2113033xexx 求求证证：00200022min00000020000112()3()33332()3=0(0
16、,1)311211()()33333333111101(1)(10)03333令为增函数且xxxxf xexxfxexfxexxf xf xexxxxxxxxx 分析：分析：一定零点二代换一定零点二代换变形构造函数证明1切线放缩法证明31.1.导数证明单变量不等式有哪些方法呢？导数证明单变量不等式有哪些方法呢？分段讨论法证明4凹凸反转法证明5隐零点法证明6单变量不等式换元构造函数证明22课堂总结课堂总结KETANGZONGJIE课堂总结课堂总结KETANGZONGJIE2变变 形形移项、乘除、平方、开方移项、乘除、平方、开方对数单身狗对数单身狗指数找朋友指数找朋友整体换整体换元元切线放切线放缩缩化归思想化归思想函数思想函数思想构构 造造一个函数一个函数两个函数两个函数g(x)+h(x)ag(x)h(x)a分段函数分段函数分类讨论思想分类讨论思想2.2.对不等式变形有哪些措施呢？对不等式变形有哪些措施呢？3.3.如何去构造函数呢？如何去构造函数呢？4.4.本节课有哪些数学思想呢？本节课有哪些数学思想呢？
