1、高中数学北师大版（2019）必修第一册综合强化卷4第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1已知函数，对任意的实数，关于方程的的解集不可能是（ ）ABCD2已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为A或B1或C或2D或13已知平面区域，若圆与轴和直线均相切，且圆心，则的最小值为A0BCD4定义在上的函数若满足：对任意、，都有；对任意，都有，则称函数为“中心捺函数”，其中点称为函数的中心.已知函数是以为中心的“中心捺函数”，若满足不等式，当时，的取值范围为ABCD5已知函数，若在上单调递增，则的范围是（ ）ABCD6设，若不等式恒成立，则实数a的取值
2、范围是ABCD二、多选题7一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”.下列结论正确的是（ ）A若为的跟随区间，则B函数存在跟随区间C若函数存在跟随区间，则D二次函数存在“3倍跟随区间”8定义“正对数”：，若，则下列结论中正确的是.ABCD第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明三、填空题9在有且仅有三个零点，则实数的取值范围是_10定义在R上的函数的导函数为，若对任意实数x，有，且为奇函数，则不等式的解集是_11设关于的三个方程，的实根分别为，若，则实数的取值范围是_.12设函数，,若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是_
3、四、解答题13已知定义在上的函数是偶函数，且时，.（1）当时，求解析式；（2）当时，求取值的集合；（3）当时，函数的值域为，求，满足的条件.14已知定义在的奇函数满足：；对任意均有；对任意，均有.（1）求的值；（2）利用定义法证明在上单调递减；（3）若对任意，恒有，求实数的取值范围.15已知数列中的相邻两项，是关于的方程的两个根，且（1）求，；（2）求数列的前项和；（3）记，求的最值16若定义在上的函数满足：对于任意实数、，总有恒成立.我们称为“类余弦型”函数.（1）已知为“类余弦型”函数，且，求和的值.（2）在（1）的条件下，定义数列求的值.（3）若为“类余弦型”函数，且对于任意非零实数，总
4、有，证明：函数为偶函数；设有理数，满足，判断和的大小关系，并证明你的结论.试卷第3页，共3页参考答案1D【解析】【分析】先研究一元二次方程根的情况，再研究指数方程根的情况，综合可作判断.【详解】令，则方程化为，设它有解为，则求方程化为求方程及.由的图形（如图所示）关于直线对称，若方程及有解，则解，或有成对的解且两解关于对称，所以D选项不符合条件.本题选择D选项.【点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等2
5、A【分析】根据题意，利用函数的奇偶性，求出，结合函数的对称性得出和都关于对称，由有唯一零点，可知，即可求.【详解】解：已知，且，分别是上的偶函数和奇函数，则，得：，+得：，由于关于对称，则关于对称，为偶函数，关于轴对称，则关于对称，由于有唯一零点，则必有，即：，解得：或.故选：A.【点睛】本题考查函数基本性质的应用，涉及函数的奇偶函数，对称性和零点，考查函数思想和分析能力.3C【分析】由约束条件画出可行域，为一个等边三角形，那么圆C与轴和直线均相切，则圆心在的角平分线MP上移动，且，代入所求关系式中，化简后令转化到斜率，利用求函数最值的方式，借助双勾函数求得最小值.【详解】做出约束条件的可行域
6、如图，为一个等边三角形因为就是图像中的直线MQ，又因为圆与轴和直线均相切故其圆心C应在的角平分线MP上移动，且，所以，令，因为圆心，所以或则令，则令，则由双勾函数可知则故即，所以的最小值为.故选：C【点睛】本题考查求函数最值问题，其中涉及线性规划作图分析，非线性的斜率问题，双勾函数值域，还考查了不等式的简单性质，属于难题.4C【分析】先结合题中条件得出函数为减函数且为奇函数，由，可得出，化简后得出，结合可求出，再由结合不等式的性质得出的取值范围.【详解】由知此函数为减函数.由函数是关于的“中心捺函数”，知曲线关于点对称，故曲线关于原点对称，故函数为奇函数，且函数在上递减，于是得，.，.则当时，
7、令m=x，y=n则：问题等价于点（x，y）满足区域，如图阴影部分，由线性规划知识可知为（x，y）与（0，0）连线的斜率，由图可得，故选C.【点睛】本题考查代数式的取值范围的求解，解题的关键就是分析出函数的单调性与奇偶性，利用函数的奇偶性与单调性将题中的不等关系进行转化，应用到线性规划的知识，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.5D【分析】首先求得,则问题转化为在恒成立,令可将问题转化为不等式在上恒成立.构造函数, ,只需满足,即可求得的范围.【详解】, 若在上单调递增则在恒成立,令则,又故, ,所以问题转化为不等式在上恒成立，即不等式在上恒成立.令, ,则有,解得.故选:.【点睛】本题的求
8、解过程自始至终贯穿着转化与化归的数学思想,求函数的导数是第一个转化过程,换元是第二个转化过程;构造二次函数是第三个转化过程,也就是说为达到求出参数的取值范围,求解过程中大手笔地进行三次等价的转化与化归,从而使得问题的求解化难为易、化陌生为熟悉、化繁为简,彰显了数学思想的威力,难度困难.6D【分析】由题意可得恒成立，讨论，运用基本不等式，可得最值，进而得到所求范围【详解】恒成立，即为恒成立，当时，可得的最小值，由，当且仅当取得最小值8，即有，则；当时，可得的最大值，由，当且仅当取得最大值，即有，则，综上可得故选【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和分类讨论思想，以及基本不
9、等式的应用，意在考查学生的转化思想、分类讨论思想和运算能力7ACD【分析】根据“倍跟随区间”的定义,分析函数在区间内的最值与取值范围逐个判断即可.【详解】对A, 若为的跟随区间,因为在区间为增函数,故其值域为,根据题意有,解得或,因为故.故A正确；对B,因为函数在区间与上均为减函数,故若存在跟随区间，则有,解得：，不合题意，故不存在,B错误.对C, 若函数存在跟随区间,因为为减函数,故由跟随区间的定义可知,即,因为,所以.易得.所以,令代入化简可得,同理也满足,即在区间上有两根不相等的实数根.故,解得,故C正确.对D,若存在“3倍跟随区间”,则可设定义域为,值域为.当时,易得在区间上单调递增,
10、此时易得为方程的两根,求解得或.故存在定义域,使得值域为.故D正确.故选：ACD.【点睛】本题主要考查了函数新定义的问题,需要根据题意结合函数的性质分析函数的单调性与取最大值时的自变量值,并根据函数的解析式列式求解.属于难题.8AD【分析】根据所给的定义及对数的运算性质对四个命题进行判断，由于在不同的定义域中函数的解析式不一样，故需要对进行分类讨论，判断出每个命题的真假.【详解】对A，当，时，有，从而，所以；当，时，有，从而，所以所以当，时，故A正确对B，当，时满足，而，所以，故B错误；对C，令，则，显然，故C错误；对D，由“正对数”的定义知，当时，有，当，时，有，从而，所以；当，时，有，从而
11、，所以；当，时，有，从而，所以；当，时，因为，所以，所以综上所述，当，时，故D正确故选AD【点睛】本题考查新定义及对数的运算性质，理解定义所给的运算规则是解题的关键，考查分类讨论思想、转化与化归思想的灵活运用，考查运算求解能力，注意本题容易因为理解不清定义及忘记分类论论的方法使解题无法入手致错.9【分析】令有，令知：时，有两个值对应；时，有一个值对应；问题转化为的零点必有一个在，另一个在，进而讨论零点分布求的范围.【详解】令，则上有，令，则，：时，有两个值对应；时，有一个值对应；要使由三个零点，则的零点分布如下：1、，：将代入有，此时，不合要求；2、由对称轴，若则、，不合要求；3、，：有，即.
12、综上，.故答案为：.【点睛】关键点点睛：利用零点有，换元法令，将问题转化为在上零点分布情况分析.10【解析】【分析】构造函数，根据判断出函数的单调性；根据奇函数定义求得；对不等式化简变形，变为的表达形式，进而利用的单调性求得不等式的解集。【详解】设 则又因为对任意实数x，有所以所以为减函数因为定义在R上的函数为奇函数，由奇函数定义可知=0，即不等式所以，同时除以得，即因为为减函数所以 ，即不等式的解集为【点睛】本题考查了导数在研究不等式中的综合应用，构造函数法是常用的重要方法，注意构造函数的形式特征，属于难题。11【分析】画出函数，和的图像，计算交点， ，根据图像得到答案.【详解】，则；，则；
13、，则.画出函数，和的图像，如图所示：当时，即，故 计算知：， ， 根据图像知：要满足，则故答案为：【点睛】本题考查了方程解的大小关系求参数，画出函数图像是解题的关键.12【分析】分别作出函数与的图像，再观察交点所在区间即可得解.【详解】解：函数的大致图像如图所示，当时，无解，不止一个整数解，不合题意；当时，如所示，不止一个整数解，不合题意；当时，若直线经过点时，此时，无整数解，故当时，恰有一个整数解，而此时，无解，符合题意；若直线经过点时，此时，无整数解，时，无整数解，若直线经过点时，此时，无整数解，时，恰有一个整数解，即，综上，的取值范围是.【点睛】本题考查了函数图像的作法及数形结合的数学思
14、想方法，属中档题.13（1）；（2）见解析（3）当时，当时，.【分析】(1)利用函数是偶函数，可求时的解析式;(2)对参数分类讨论，利用函数的单调性，即可求取值的集合;(3)根据时，函数的值域为,利用的单调性和对称性，可求满足的条件.【详解】（1）函数是偶函数，当时，当时，.（2）当时，为减函数，取值的集合为，当时，在区间为减函数，在区间为增函数,且, ，取值的集合为，当 时，在区间为减函数，在区间为增函数，且，.取值的集合为,综上，当-时，取值的集合为，当时，取值的集合为，当时，取值的集合为，(3)当时， 函数的值域为，由的单调性和对称性知，的最小值为.，所以当时，当时，.【点睛】本题主要考
15、查的是函数的解析式和函数的值域以及函数的奇偶性的综合应用，是难题.14（1）0（2）见解析（3）【分析】（1）用赋值法令，即可求解；（2）根据函数的单调性定义，设，比较大小，做差，利用条件等式转化为一个函数值，或对按已知等式赋值将函数值的差转化为一个函数值，判断该函数值的正负，即可得出结论；（3）根据已知条件求出或，利用函数的单调性，不等式转化为对任意,不等式或者恒成立，令，则，则不等式等价于或对任意恒成立，转化二次函数最值的不等量关系，即可求解.【详解】解：（1）在中，令；（2）由题知：对任意都有，且对任意均有证一：任取，则，因为，所以，所以，即即，也即在单调递减；证二：任取，设，则，因为，
16、所以，即，也即在单调递减；（3）在中令，令，而为奇函数，故，又在及上均单调递减，因此原不等式等价于对任意，不等式或者恒成立，令，则，则不等式等价于或对任意恒成立，法一：令，立，开口向上，则不等式；对于，当时，由，即必不存在满足.综上，.法二：令，开口向上，对称轴为，且，1当即时，问题等价于或，解得；2当即时，问题等价于或，解得；3当即时，问题等价于或，解得；4当即时，问题等价于或，解得；综上，【点睛】本题考查抽象函数，合理运用赋值法求函数值，证明函数的函数的单调性，并利用函数的单调性解不等式，考查不等式恒成立问题，等价转化求函数最值有关的不等式，属于难题.15（1）； ； ； （2）； （3）
17、最小值；最大值.【分析】（1）解出方程，分类讨论当时方程的根，的情况即可得解；（2）利用分组求和的方法即可求解数列的前项和；（3）根据代数式关系得的规律，求出，结合放缩法证明不等式.【详解】（1）方程的两个根为：，两项，是此方程的两个根，且，当时，；当时，；当时，；当时，（2）（3）由题：，当时，同理可得：综上可得：的最小值与最大值分别为：；【点睛】此题考查根据二次方程的根分析数列的通项，根据条件求特定的项和分组求和以及等比数列求和，利用放缩法证明不等式，在学习中有必要积累常见的数列放缩方式.16（1）；（2）2037171；（3）证明见解析，.【分析】（1）先令，解出，然后再令解出；（2）由
18、题意可以推出是以为首项，公比为的等比数列，然后得出数列的通项公式，再利用对数的运算法则求的值；（3）先令，得出，然后令，得可证明为偶函数；由时，则，即，令(为正整数)，有，由此可递推得到对于任意为正整数，总有成立，即有时，成立，可设，其中是非负整数，都是正整数，再由偶函数的结论和前面的结论即可得到大小.【详解】解：（1）令，得，；再令，得，.（2）由题意可知，令，得，.是以3为首项，以2为公比的等比数列.因此，故有所以（3）令，又，令，即.对任意的实数总成立，为偶函数.结论：.证明：设，时，即.令，故，总有成立.对于，总有成立.对于，若，则有成立.，所以可设，其中，是非负整数，都是正整数，则，令，则.，即.函数为偶函数，.【点睛】本题考查新定义函数问题，考查学生获取新知识、应用新知识的能力，考查函数的基本性质在解题中的应用，属于难题.答案第21页，共21页
