1、高中数学北师大版（2019）必修第一册第五章函数应用培优专练4第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1已知函数若方程有3个不同实数根，则实数的取值范围是（ ）ABCD2已知函数，函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围为（ ）ABCD3已知函数若函数恰有8个零点，则的最小值是（ ）A1B2C3D44已知函数与零点完全相同，则（ ）ABCD5已知xR，符号表示不超过x的最大整数，若函数(x0)有且仅有4个零点，则实数a的取值范围是（ ）ABCD6已知函数（a0，且a1）在区间（，+）上为单调函数，若函数y=|f（x）|x2有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）ABCD二、多选
2、题7已知函数，则下列关于函数的零点个数的判断正确的是（ ）A1B2C3D48已知定义在上的函数，满足，且，当时，(为常数)，关于的方程(且)有且只有3个不同的根，则（ ）A函数的周期B在单调递减C的图象关于直线对称D实数的取值范围是第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明三、填空题9已知下列命题：函数在上单调递减，在上单调递增；若函数在上有两个零点，则的取值范围是；当时，函数的最大值为0；函数在上单调递减；上述命题正确的是_（填序号）10对于定义域为的函数，满足存在区间，使在上的值域为，求实数的取值范围_.11已知，函数在区间上有两个不同零点，则的取值范围是_.12若函数在区间上有且仅
3、有一个零点，则实数的取值范围有_.四、解答题13已知.（1）设，若函数存在零点，求a的取值范围；（2）若是偶函数，设，若函数与的图象只有一个公共点，求实数b的取值范围.14已知.（1）若，试用表示；（2）若，函数只有一个零点，求实数的取值范围；（3）若存在正实数、（），使得成立，其中为正整数，求的值.15已知函数的图象过点，且满足（1）求函数的解析式；（2）求函数在上的最小值；（3）若满足，则称为函数的不动点函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值161.“国庆节”期间，某商场进行如下的优惠促销活动：优惠1：一次购买商品的价格，每满60元立减5元；优惠2：在优惠1之后，每满400元再减40元例
4、如，一次购买商品的价格为140元，则实际支付额为元，其中表示不大于x的最大整数又如，一次购买商品的价格为880元，则实际支付额为元（1）小明计划在该商场购买两件价格分别是250元和650元的商品，他是分两次支付好，还是一次支付好？请说明理由；（2）已知某商品是小明常用必需品，其价格为30元/件小明趁商场促销，想多购买几件该商品，其预算不超过500元，试求他应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低？最低平均价格是多少？试卷第3页，共3页参考答案1D【分析】当时求出直线与曲线相切时得.再分别讨论，方程解的个数得解.【详解】当直线与曲线相切时，设切点为，则切线斜率，所以，即，解得.又当时，.所以：（
5、1）当时，（）有1个实数根，此时有1个实数根，不满足题意；（2）当时，（）有2个实数根，此时有1个实数根，满足题意；（3）当时，（）无实数根，此时最多有2个实数根，不满足题意.综上得，故选:D【点睛】本题考查函数与方程,讨论根的个数求解参数范围问题，属于基础题.2B【分析】先作出两函数的图像，由图像可知当时，与有1个交点，所以只要当时，与有两个交点即可，结合图像可得的图象在上有两交点，则在上没有交点，即直线与在有两交点，且的图象在上没有交点，即在有两个解，且在上没有解，然后利用方程根的分布进行求解即可【详解】如图当时，与有1个交点.要使有3个零点，则当时，与有两个交点即可，若，两函数没有交点，
6、所以，画出图象，如下图所示，根据图象的图象在内至多有一个交点.当的图象在上有两交点，则在上没有交点.即直线与在有两交点，且的图象在上没有交点.即在有两个解，且在上没有解.设，需，且解得或（舍去），且所以此时若在上的图象有1个交点，则在 上的图象有1个交点即在有1个解，且在上有1个解.则且，此时无解.要使在只有两交点，则.故选：B【点睛】此题考查函数与方程，考查由函数的零点个数求参数的取值范围，考查转化思想和计算能力，属于较难题3B【分析】设，因为有8个零点，所以方程有4个不同的实根，结合的图像可得在内有4个不同的实根，即在内有2个不同的实根，可知，即可求得结果【详解】画出函数的图像如图所示，设
7、，由，得.因为有8个零点，所以方程有4个不同的实根，结合的图像可得在内有4个不同的实根.所以方程必有两个不等的实数根，即在内有2个不同的实根，结合图像由图可知，故，即的最小值是2.故选：B【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解.4C【分析】分类讨论的零点情况，特别地当有两个零点时，利用韦达定理结合零点定义，求得参
8、数，再根据单调性以及零点存在定理，确定零点的分布区间，据此再求的范围，则问题得解.【详解】对，当时，只有一个零点.当时，令，可得，而此零点不满足定义域，故舍去；当时，令，可得，同理此零点不满足定义域，故舍去；对，当或时，有两个零点，不妨设为显然，又定义域为，故要满足题意，则两零点为正数且不为1，故.又是的零点，故可得：，对上述两式相加，即可得：，整理可得：，故可得.此时：，因为在区间都是单调递增函数，故也是单调增函数.且当时，；当时，；故的一个零点在区间上；又，故的另一个零点在区间上；则的零点分布亦要满足上述两个区间.即可得：，解得，故故选：.【点睛】本题考查零点存在定理的应用，涉及函数单调性
9、的判断，以及函数零点所在区间的求解，属综合困难题.5B【分析】首先将函数的零点问题转化为图像交点问题，接着分析函数的图像，最后根据数形结合进行解题.【详解】解：由得=a，设g(x)=，则当0x1，x=0，此时g(x)=0，当1x2，x=1，此时，此时，当2x3，x=2，此时g(x)=，此时，当3x4，x=3，此时，此时，当4x5，x=4，此时，此时，当5x6，x=5，此时，此时，当6x1时，f（x）=（x1）2+4a在（1，+）上单调递增，解得，又函数y=|f（x）|x2有两个不同的零点等价于|f（x）|=x+2有两个不同的实数根，函数y=|f（x）|的图象与直线y=x+2有两个不同的交点，作
10、出函数y=|f（x）|与直线y=x+2的图象，当x1时，由1+loga|x2|=0得，易知函数y=|f（x）|与直线y=x+2的图象在（，1上有唯一交点，则函数y=|f（x）|与直线y=x+2的图象在（1，+）上有唯一交点，故4a3或（x1）2+4a=x+2，即x23x+4a1=0有唯一解，或=94（4a1）=0，或，综上，实数a的取值范围为.故选：C.【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查函数的零点问题，解题的关键是将问题转化为函数y=|f（x）|的图象与直线y=x+2有两个不同的交点，然后画出函数图象，根据图象求解即可，考查数形结合的思想，属于较难题7AD【分析】令，则，再
11、令，可得，作出函数与图象观察其交点的横坐标，即得的值，然后再在同一坐标系中作出函数和的图象观察其交点的横坐标，即可得函数的零点个数.【详解】令，则，令，即，所以，所以的解，即为函数与图象交点的横坐标，由图可知：当时， 方程的解为，即，在同一坐标系中作出函数和，的图象，由图可知函数和，有4个交点，所以函数有4个零点.当时， 方程的解为，即，在同一坐标系中作出函数和的图象， 由图可知函数和有1个交点，所以函数有1个零点.故选：AD【点睛】方法点睛：形如型的嵌套函数，为常数，令，通过换元解套后，将复合函数零点问题转化为两个简单方程解的个数问题，先由方程解出的值或范围，在代入方程，数形结合即可求解.8
12、BCD【分析】根据函数基本性质，逐项分析判断即可得解.【详解】由知，所以，周期，A错误；取，得，由得，又，得，所以当时，是个减函数，；当时，是个减函数，；可知在单调递减，B正确；当时，得，所以在区间上，又，得，即的图象关于直线x=1对称，由周期性可知在上的图象关于直线对称，故C正确；由题意知与(且)有且只有3个公共点，考查函数，有极大值点，7，11，极小值点，5，9，极大值为2，极小值为，为减函数时不合题意，所以为增函数，由得，由题意知且，即且，所以，D正确.故选：BCD9【分析】根据复合函数的单调性即可判断；令函数，确定当的图象与直线有两个交点时的取值范围即可判断；利用基本不等式求得函数的最
13、大值即可判断；利用辅助角公式和整体对应法判断正弦型函数的单调性即可判断；【详解】根据复合函数同增异减的性质，令 ，则在上单调递减，在上单调递增，又因为为增函数，可知函数在上单调递减，在上单调递增，故正确；令，则函数在上有两个零点等价于函数的图象与直线有两个交点，作图如下：根据函数的图象可知，故正确；当时，所以（当且仅当，即时取等号），所以函数的最大值为，故不正确，当时，此时单调递减，故正确；故答案为：【点睛】本题考查函数相关命题的辨析、复合函数单调性的判断、根据函数的零点求参数的取值范围、正弦型函数单调性的判断和利用基本不等式求最值；考查数形结合思想、转化与化归能力和运算求解能力；属于综合型强
14、、难度大型试题.10【分析】先判断函数的定义域和单调性，根据函数定义域和值域之间的关系建立方程组，构造函数进行求解即可.【详解】解：若满足条件，因为函数在上是增函数，即，所以a，b为方程的两个实数根，即在时有两个不同的根，设，则，则方程等价于，在有两个不等的实根，设，在，作出的图象，如图，当时，又，则的最小值为，要使与有两个不同的交点，则，故答案为：.【点睛】在由方程的根的个数求参数的范围，常常采用分离参数的方法，转化为构造函数，分析函数的单调性、最值，以及所构造的函数的图象，运用数形结合的思想求得参数的范围.11【分析】设函数的两个不同的零点分别为，且，用表示后利用基本不等式可求的取值范围.
15、【详解】设函数在上的两个不同的零点分别为，则为的两个不同的解，所以，故，由基本不等式可得，故，因，故等号不可取，所以的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题考查函数的零点、二次函数的图象和性质和基本不等式，注意用二次方程的根表示目标代数式，本题属于难题.12或【分析】函数的零点方程的根，求出方程的两根为，从而可得或，即或.【详解】函数在区间的零点方程在区间的根，所以，解得：，因为函数在区间上有且仅有一个零点，所以或，即或.【点睛】本题考查函数的零点与方程根的关系，在求含绝对值方程时，要注意对绝对值内数的正负进行讨论.13（1）；（2）或【分析】（1）由题意函数存在零点，即有解，转化为利用函数的单
16、调性求出的范围；（2）先根据偶函数的性质求出的值，再根据函数与的图象有且只有一个公共点，则方程有且只有一个实根，化简可得方程有且只有一个实根令，则转化才方程有且只有一个正根，讨论，以及与一个正根和一个负根，三种情形，即可求出实数的取值范围【详解】（1）由题意函数存在零点，即有解又，易知在上是减函数，又，即，所以，所以的取值范围是（2）的定义域为，是偶函数， 检验，为偶函数，函数与的图象有且只有一个公共点，方程只有一解，即方程有且只有一个实根，令，则方程有且只有一个正根，当时，不合题意，当时，若方程有两相等正根，则，且，解得若一个正根和一个负根，则，即时，满足题意，实数的取值范围为或【点睛】关键
17、点点睛：本题考查对数型复合函数的性质，零点问题，属于中档题型，本题的第一个关键点是函数的化简，其中注意，本题多次用到这种变形，第二个关键点是第二问转化方程有且只有一个实根，令，则方程有且只有一个正根，再讨论就比较容易了.14（1）；（2）；（3）2或3.【分析】（1）利用换底公式得到，化简得解；（2）方程转化为若，讨论参数 的值得解（3）利用已知和函数单调性得到， 把等式转化为对取值讨论得解【详解】（1），；（2），令，（ ）只有一个正根当时， 满足题意当时，的对称轴，所以在单增，且，所以满足题意有一个正根.当时，的对称轴，所以在不单调，若有一个正根.则综上（3），所以不妨设 当时此时与已知矛
18、盾，舍去当时此时有正解，满足题意当时此时有正解，满足题意当时此时无解。不满足题意综上得： 或【点睛】在研究方程的有关问题时，如比较方程根的大小、确定方程根的分布、证明根的存在性等，都可以将方程问题转化为函数问题解决.此类问题的切入点是借助函数的零点加以解决.15（1）；（2）；（3）6.【分析】（1）根据函数的图象过点，得到，再根据，由对称性求得m即可；（2）根据，分， ，讨论求解； （3）根据不动点的定义得到方程有两个不相等的正实根，由，求得t的范围，再由，利用基本不等式求解.【详解】（1）因为函数的图象过点，所以又，所以，解得，所以函数的解析式为：（2），当，即时，函数在上单调递减，所以，
19、当，即时，函数在上单调递减，在单调递增，所以；当时，函数在上单调递增，所以综上：（3）因为函数有两个不相等的不动点，且，所以，即方程有两个不相等的正实根，所以，即，所以，因为，所以，所以当且仅当，即时，取“=”所以，所以的最小值为616（1）一次支付好，理由见解析（2）购买15件或16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件【分析】（1）把分两次支付和一次支付的支付额分别算出来，比较大小，确定哪种支付方式好；（2）当时，不能享受每满400元再减40元的优惠，当时，能享受每满400元再减40元的优惠，所以分两种情况，把每种情况下的关于的解析式表达出来，求出最小值，通过比较，购买15件或16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件.（1）分两次支付：支付额为元一次支付：支付额为元因为，所以一次支付好（2）设购买件，平均价格为元/件.由于预算不超过500元，最多购买19件，当时，不能享受每满400元再减40元的优惠当时， 当时，当时，所以当时，购买偶数件时，平均价格最低，为元/件当时，能享受每满400元再减40元的优惠当时，当，时，=25当时，y随着n的增大而增大，所以当，时，=25综上，购买15件或16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件答案第19页，共20页
