1、高中数学北师大版（2019）必修第一册第四章培优专练1第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1形如(n是非负整数)的数称为费马数，记为数学家费马根据都是质数提出了猜想:费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出不是质数，那的位数是（ ）(参考数据: lg20.3010 )A9B10C11D122已知函数的定义域为，若存在实数，使得，则实数的取值范围是（ ）ABCD3已知函数定义在上，当时，若，则不等式的解集为（ ）ABCD4设函数若任意给定的，都存在唯一的非零实数满足，则正实数的取值范围为（ ）ABCD5已知函数f(x)x2ex (x0)与g(x)x2ln(xa)的图象上存在关于
2、y轴对称的点，则实数a的取值范围是()A BC D 6已知函数,若,且,则的取值范围是ABCD二、多选题7定义“正对数”：，下列命题中正确的有（ ）A若，则；B若，则；C若，则；D若，则.8下列函数对任意的正数，满足的有ABCD第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明三、填空题9若实数x，y满足，且，则的最小值为_.10设函数的定义域为D，若存在实数，使得对于任意，都有，则称为“T单调增函数”对于“T单调增函数”，有以下四个结论：“T单调增函数”一定在D上单调递增；“T单调增函数” 一定是“单调增函数” （其中，且） ：函数是“T单调增函数”（其中表示不大于x的最大整数）；函数不是“T
3、单调增函数”其中，所有正确的结论序号是_11给出下列4个命题，其中正确命题的序号_.；函数有个零点；函数的图象关于点对称已知，函数的图象过点，则的最小值是.12设函数在区间上的最大值为，若，则实数t的最大值为_.四、解答题13已知常数aR+，函数f（x）x2ax+1（1）若a3，解方程log3f（x）1+log3（x）；（2）设函数g（x）f（x）若g（x）在0，上单调递减，求a的取值范围；（3）设集合Ax|f（x）x+a3，xa1的元素个数为n，求n关于a的函数n（a）在R+的表达式14已知函数在时有最大值为1，最小值为0.（1）求实数的值；（2）设，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.1
4、5已知函数.（1）若，求实数a的取值范围；（2）设，函数.（i）若，证明：；（ii）若，求的最大值.16对于函数，如果存在实数使得，那么称为的生成函数.（1）设，生成函数为，求函数在区间上的最小值；（2）设函数，是否能够生成一个函数，且同时满足：是偶函数；在区间上的最小值为.若能，求函数的解析式；若不能，说明理由.试卷第3页，共3页参考答案1B【分析】,设,两边取常用对数估算的位数即可.【详解】,设，则两边取常用对数得.，故的位数是10，故选：B【点睛】解决对数运算问题的常用方法：(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简(2)将同底对数的和、差、倍合并(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成
5、同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用(4)利用常用对数中的简化计算.2D【分析】由已知求得函数定义域，得到函数的解析式，然后化简，得，最后换元后利用配方法求得函数最值求解【详解】的定义域为，由，解得，的定义域为，令，则,当时为增函数 ,，存在实数, 使得，即，解得故选：D【点睛】本题考查不等式的有解问题，化简得，第一个难点在于通过令，把换元为第二个难点在于通过换元把题目的条件转化成式子来进行求解，属于难题3B【分析】将已知条件变形，可得到新函数的大小关系，从而判断新函数的单调性，将要求的不等式变形为新函数的大小关系，根据单调性即可求解不等式的解集【详解】当时，由变形得：，令，则，
6、所以在单调递减，因为，所以，当时，不等式可以变形为：，即，所以，；当时，不等式可以变形为：，即，所以，（舍），综上： 故选：B【点睛】题目考察构造新函数，并判断新函数的单调性，难点在于要将所求的不等式变形为新函数的不等式问题，从而可以根据新函数的单调性求解不等式4A【分析】结合函数的图象及值域分析，当时，存在唯一的非零实数满足，然后利用一元二次不等式的性质即可得结论.【详解】解：因为，所以由函数的图象可知其值域为，又时，值域为；时，值域为，所以的值域为时有两个解，令，则，若存在唯一的非零实数满足，则当时，与一一对应，要使也一一对应，则，任意，即，因为，所以不等式等价于，即，因为，所以，所以，又
7、，所以正实数的取值范围为.故选：A.5B【分析】先求得关于轴对称得到的函数表达式，根据与在上有公共点，由变为两个函数图像在上有交点，来求得的取值范围.【详解】关于轴对称得到的函数为，依题意可知与在上有公共点，由得，.对于函数，在上单调递减，且.对于函数，在上单调递增.当时，的图像向右平移个单位得到，与图像在上必有个交点.当时，的图像向左平移个单位得到，要使与图像在上有交点，则需当时（也即轴上），的函数值小于的函数值，即，解得.综上所述，的取值范围是.故选：B.【点睛】本小题主要考查函数的图像的对称关系，考查两个函数图像有交点的问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于
8、中档题.6C【分析】画出函数图像，根据图像得到，则，根据函数的单调性得到答案.【详解】，画出函数图像，如图所示：，则，故，且，故.设函数，则函数在上单调递增，故.故选：.【点睛】本题考查了函数的零点问题，函数单调性，值域，意在考查学生对于函数知识的综合应用.7BCD【分析】对于A，通过举反例说明错误；对于B，由“正对数”的定义分别对、分，；，两种情况进行推理；对于CD，分别从四种情况，即当，时；当，时；当，时；当，时进行推理【详解】对于A，当，时，满足，而，命题A错误；对于B，当，时，有，从而，；当，时，有，从而，.当，时，命题B正确；对于C，由“正对数”的定义知，且当，时，而，则；当，时，有
9、，而，则当，时，有，而，则当，时，则当，时，命题C正确；对于D，由“正对数”的定义知，当时，有.当，时，有，从而，；当，时，有，从而，；当，时，有，从而，；当，时，从而，命题D正确故选：BCD【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查新定义，解答的关键是对“正对数”定义的理解与应用，考查运算能力和逻辑推理能力，属于难题8ABD【分析】根据四个选项中的函数证明不等式成立或举反例说明不成立(举反例时中让)【详解】A，A正确；B，B正确；C时，C错；D，D正确故选：ABD【点睛】本题考查正弦函数、幂函数、指数函数、对数函数的性质，对于函数的性质，正确的需进行证明，错误的可举一反例说明98【分析】由给
10、定条件可得，再变形配凑借助均值不等式计算作答.【详解】由得：，又实数x，y满足，则，当且仅当，即时取“=”，由解得：，所以当时，取最小值8.故答案为：8【点睛】思路点睛：在运用基本不等式时，要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等技巧，使用其满足基本不等式的“一正”、“二定”、“三相等”的条件.10【分析】选项可以举出反例；可以进行证明.【详解】例如，定义域为，存在，对于任意，都有，但在上不单调递增，错误；因为是单调增函数，所以存在，使得对于任意，都有，因为，所以，故，即存在实数，使得对于任意，都有，故是单调增函数，正确；，定义域为，当时，对任意的，都有，即成立，所以是单调增函数，正确；当时，若，则
11、，显然不满足，故不是单调增函数，正确.故答案为：11【分析】分别判断三个数的取值范围进行比较；利用函数零点与方程的关系转化为两个函数图象交点问题进行判断；判断函数的奇偶性，利用图象平移进行判断；利用基本不等式的性质进行求解判断.【详解】log0.530，1，0（）0.21，log0.53（）0.2，故错误，函数f（x）log4x2sinx有5个零点；由f（x）log4x2sinx0得log4x2sinx，作出函数ylog4x和y2sinx的图象如图：由图象两个函数有5个交点，即函数f（x）有5个零点，故正确，由0得x（x4）0，得0x4，则lgxlg（4x），则f（x+2）lg（x+2）lg（
12、4x2）lg（x+2）lg（2x），设g（x）lg（x+2）lg（2x），则g（x）lg（2x）lg（2+x）（lg（x+2）lg（2x）g（x），即g（x）是奇函数，关于原点对称，则函数的图象关于点（2，0）对称故正确，已知a0，b0，函数y2aex+b的图象过点（0，1），则2a+b1，则（）（2a+b）2+13+23+2，当且仅当，即b时取等号，即的最小值是3+2，故错误，故正确是，故答案为【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数零点、指对函数单调性的应用及对数函数对称性的问题，综合性较强，有一定的难度12【分析】由题意：在区间，为正数）上的最大值为，转化为，当时，则有：，可得：，或
13、因此只需要，即可得出【详解】解：由题意：在区间，为正数）上的最大值为，转化为，当时，则有：那么：当或时，或只需要，即：得：把式代入，得：，化为：，解得的最大值为故答案为：13（1）5；（2）；（3）n（a）.【分析】（1）由a3，将方程转化为：log3（x23x+1）log3（3x4）求解.（2）根据函数g（x）f（x），且g（x）在0，上单调递减，转化为f（x）0，且f（x）在x0，单调递减求解.（3）因为x1不是方程x2ax+1x+a3的解,将方程变形为a+3x+1+，令tx+1a，+），则a+3t+，再利用对勾函数的性质求解.【详解】（1）a3时，f（x）x23x+1，所以方程为：log
14、3（x23x+1）log33（x）log3（3x4），所以，解得：x5或x1（舍），所以方程的解集为5（2）因为函数g（x）f（x）若g（x）在0，上单调递减，所以f（x）0，且f（x）在x0，单调递减，所以，解得，即所以a的取值范围为：；（3）x1显然不是方程x2ax+1x+a3的解当x1时，原方程可变为a+3x+1+，令tx+1a，+），则a+3t+，所以当0a23时，方程无解；当a时，方程只有一解；当a时，方程有两解；当a时，方程只有一解故n（a）【点睛】方法点睛：复合函数的单调性对于复合函数yfg(x)，若tg(x)在区间(a，b)上是单调函数，且yf(t)在区间(g(a)，g(b)或
15、者(g(b)，g(a)上是单调函数，若tg(x)与yf(t)的单调性相同(同时为增或减)，则yfg(x)为增函数；若tg(x)与yf(t)的单调性相反，则yfg(x)为减函数简称：同增异减14（1）；（2）.【分析】（1）由题得，解方程组即得解；（2），在上恒成立，设，则，再求最大值即得解.【详解】（1）函数，在区间上是增函数，故，解得.（2）由已知可得，则，所以不等式，转化为，在上恒成立.设，则，即，在，上恒成立，即：，当时，取得最大值，最大值为，则，即，的取值范围是.【点睛】本题主要考查二次函数的最值问题，考查对数函数的值域的求法，考查二次不等式的恒成立问题的求解，意在考查学生对这些知识的
16、理解掌握水平，属于较难题.15（1）或（2）（i）证明见解析（ii）【分析】（1）对底数分类讨论，根据对数函数的单调性可解得结果；（2）（i）若，则，令，则，所以，根据对称轴与区间的中点值之间的关系求出最大值，对最大值配方可证不等式成立；（ii）若，则，令，则，所以，分类讨论对称轴可得的最值,比较最值的绝对值与端点值的绝对值的大小可得结果.【详解】（1）当时，为递减函数，等价于，解得，当时，为递增函数，等价于，解得，综上所述：或.（2）因为，所以为增函数，（i）若，则，令，则，所以，当，即时，当，即时，当时，所以.（ii）若，则，令，则，所以，因为，所以，当，即时，此时的最大值为，当，即时，在
17、上单调递增，所以此时的最大值为，综上所述：.【点睛】本题考查了利用对数函数的单调性解不等式，考查了分类讨论求二次函数在闭区间上的最值，考查了换元法，正确分类并利用二次函数的图象是解题关键，属于难题.16（1）-1；（2）能生成，.【分析】（1）求出函数和，再换元并结合二次函数性质即可计算得解.（2）假定能生成一个函数满足条件，由此探求m与n的关系，借助对勾函数单调性求出最小值即可计算作答.（1）依题意，则，令，则，于是得，显然在上单调递减，在上单调递增，因此，当时，所以当时，函数在区间上的最小值是-1.（2）设，满足题意，则，由为偶函数知，即，整理得，则，即恒成立，解得，则，设，令，则在上单调递增，因此，当且仅当时取“=”，则，当且仅当时取“=”，则，而在区间上的最小值为，于是得，所以函数能够生成一个函数，此时.【点睛】知识点睛：理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个关键：（1）定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；（2）f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式答案第17页，共17页
