1、 确定函数确定函数y=Asin(x+)+b(0)y=Asin(x+)+b(0)解析式的步骤解析式的步骤(1)(1)求求A A，b.b.确定函数的最大值确定函数的最大值M M和最小值和最小值m m，则，则 ，.(2)(2)求求.先由图像可观察出先由图像可观察出 ,T,T，再根据，再根据 求出求出.由函数的图像求函数解析式由函数的图像求函数解析式T T 3T,4 24MmA2Mmb22T(3)(3)求求 .(.(此时此时A,bA,b已知已知)常用方法有常用方法有:代入法：把图像上的一个已知点代入代入法：把图像上的一个已知点代入y=Asin(x+)+by=Asin(x+)+b求出求出 .此法适用于此
2、法适用于 的范围已知的情况的范围已知的情况.五点法五点法.【例例1 1】已知函数已知函数y=Asin(x+)(A0,y=Asin(x+)(A0,0,|0,|0)(0)的最小正周期为的最小正周期为，则，则该函数的图像该函数的图像()()(A)(A)关于点关于点 对称对称 (B)(B)关于直线关于直线 对称对称 (C)(C)关于点关于点 对称对称 (D)(D)关于直线关于直线 对称对称【审题指导审题指导】由函数的最小正周期为由函数的最小正周期为可求可求，时函数取最大值和最小值的平均值，由此可求得函数的对时函数取最大值和最小值的平均值，由此可求得函数的对称中心的坐标，称中心的坐标，时函数取最大值或最
3、小值，由时函数取最大值或最小值，由此可求得函数的对称轴方程此可求得函数的对称轴方程.xk32 ysin(x)3(,0)3x4(,0)4x3xk3 【规范解答规范解答】选选A.A.的最小正周期为的最小正周期为 ,方法一：由方法一：由 (kZ)(kZ)得函数得函数 图像的对图像的对称中心是称中心是 (kZ).(kZ).如如k=-1,0,1k=-1,0,1时对称中心是时对称中心是 ，故，故A A正确，而正确，而C C错误错误.(,0)(,0)63ysin(x)3 222Tysin(2x)32xk3 ysin(2x)3k(,0)262(,0)3由由 (kZ)(kZ)得函数得函数 图像的对称轴图像的对称
4、轴是直线是直线 (kZ).(kZ).如如k=-1,0,1k=-1,0,1时对称轴是直线时对称轴是直线 故故B B，D D错误错误.2xk32 ysin(2x)3kx21257xxx,121212，方法二：根据正弦曲线和余弦曲线的结构特征，对称轴处方法二：根据正弦曲线和余弦曲线的结构特征，对称轴处函数取最大函数取最大(小小)值；对称中心处函数值为零值；对称中心处函数值为零(即最大值和最即最大值和最小值的平均值小值的平均值).).因为当因为当 时时 ，当当 时时 ，所以该函数的图像关于点所以该函数的图像关于点 对称，故选对称，故选A.A.(,0)3x3ysin(2)033x41ysin(2)cos
5、4332【变式训练变式训练】已知函数已知函数y=sin(3x+)y=sin(3x+)的图像的一个对称中的图像的一个对称中心是心是 ，则，则 可取可取()()(A)(B)(C)(D)(A)(B)(C)(D)【解析解析】选选B.B.是图像的一个对称中心是图像的一个对称中心,(kZ)(kZ)(kZ).(kZ).当当k=-2k=-2时，时，故选，故选B.B.4 7(,0)124471271273()k12 7(,0)127k4 研究复合函数的单调性的一般步骤研究复合函数的单调性的一般步骤(1)(1)弄清函数是由哪些基本函数复合得到的，求出复合函数弄清函数是由哪些基本函数复合得到的，求出复合函数的定义域
6、的定义域.(2)(2)分层逐一求解内层函数的单调区间和外层函数的单调区分层逐一求解内层函数的单调区间和外层函数的单调区间间.(3)(3)应用应用“同增异减同增异减”的法则得出结论的法则得出结论.复合函数的单调性复合函数的单调性【例例】已知函数已知函数 (1)(1)求函数的定义域；求函数的定义域；(2)(2)求满足求满足f(x)=0f(x)=0的的x x的取值范围；的取值范围；(3)(3)求函数求函数f(x)f(x)的递减区间的递减区间.【审题指导审题指导】解答本题解答本题(1)(1)要注意真数大于零要注意真数大于零,(2),(2)要注意对要注意对数性质数性质logloga a1=01=0的应用
7、的应用,(3),(3)函数函数y=logy=log2 2u u在在(0(0，+)+)是增加是增加的，根据的，根据“同增异减同增异减”的规律，只要求函数的规律，只要求函数递减区间，但要注意与定义域求交集递减区间，但要注意与定义域求交集.2f xlog2sin(2x)3u2sin(2x)3【规范解答规范解答】(1)(1)令令 则则 ,(kZ),(kZ),(kZ),(kZ)故函数的定义域为故函数的定义域为 ,(kZ),(kZ)(2)f(x)=0,(2)f(x)=0,或或 ,(kZ),(kZ)或或 ，(kZ)(kZ)故故x x的取值范围是的取值范围是713x|xkk,kZ2424 或2sin(2x)0
8、3sin(2x)032k2x2k3 2kxk63 2(k,k)632sin(2x)322x2k3432k47xk24 13k24(3)(3)令令 ,(kZ),(kZ),(kZ),(kZ),(kZ),(kZ)故函数的递减区间是故函数的递减区间是 ,(kZ),(kZ)52k,k)1232k2x2k23542k2x2k6352kxk123【变式备选变式备选】求函数求函数 的定义域、值域、单的定义域、值域、单调区间调区间.【解析解析】令令 则则故函数的定义域为故函数的定义域为 ,(kZ),(kZ)12kx2k,(kZ)2342936kx6k,(kZ)44121ylog cos(x)341cos(x)0
9、3493(6k,6k)44函数的值域为函数的值域为0,+)0,+)令令故函数的递减区间是故函数的递减区间是 ,(kZ),(kZ)12110cos(x)1,log cos(x)03434 12kx2k,(kZ)234312kx2k,(kZ)434936kx6k,(kZ)4493(6k,6k44令令故函数的递增区间是故函数的递增区间是 ,(kZ),(kZ)12kx2k,(kZ)342336kx6k,(kZ)44 336k,6k)44【典例典例】(12(12分分)求下列函数的单调区间求下列函数的单调区间(1)(1)(2)(2)【审题指导审题指导】由函数由函数和和 复合而成；复合而成；由函数由函数 和
10、和 复合而成复合而成.y3tanu13ysin(x)232y3tan(x)341313ysin(x)sin(x)232223 3ux231ysinu2 y3tan(x)34ux34【规范解答规范解答】(1)(1)设设因为函数因为函数y=sinuy=sinu的递减区间是的递减区间是 (kZ)(kZ)1 1分分由由 (kZ),(kZ),得得 (kZ),(kZ),所以，函数所以，函数 的递增区间是的递增区间是 (kZ)(kZ)3 3分分1313ysin(x)sin(x),232223 3ux.2332k,2k22332kx2k223245411kxk393913ysin(x)23245411k,k3
11、939因为函数因为函数y=sinuy=sinu的递增区间是的递增区间是 (kZ)(kZ)4 4分分由由 (kZ),(kZ),得得 (kZ),(kZ),所以，函数所以，函数 的递减区间是的递减区间是 (kZ)(kZ)6 6分分445k,k39 392k,2k2232kx2k2232445kxk393913ysin(x)232(2)(2)设设因为函数因为函数y=tanuy=tanu的递增区间是的递增区间是 (kZ)(kZ)8 8分分由由 (kZ),(kZ),得得 (kZ),(kZ),1111分分所以，函数所以，函数 的递增区间是的递增区间是 (kZ)(kZ)1212分分39(3k,3k)44ux3
12、4(k,k)22kxk2342 393kx3k44y3tan(x)34【误区警示误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练即时训练】求下列函数求下列函数 的单调区间的单调区间.【解析解析】设设因为函数因为函数y=cosuy=cosu的递减区间是的递减区间是2k,2k+2k,2k+(kZ)(kZ)由由 (kZ)(kZ)得得 (kZ)(kZ)115kx5k442y3cos(x)105 22y3cos(x)3cos(x)105510 2ux51022kx2k510 所以，函数所以，函数 的递增区间是的递增区间是 (kZ),(kZ),因为函数因为函数y
13、=cosuy=cosu的递增区间是的递增区间是2k-,2k2k-,2k(kZ)(kZ)(kZ),(kZ),得得 (kZ),(kZ),所以，函数所以，函数 的递减区间是的递减区间是 (kZ).(kZ).2y3cos(x)105 95k,5k44115k,5k4422kx2k510 95kx5k442y3cos(x)105 【误区警示误区警示】解答本题容易出现将函数解析式化为解答本题容易出现将函数解析式化为 的错误的错误.2y3cos(x)5101.1.在函数在函数 的图像对称中心中，与原点最近的是的图像对称中心中，与原点最近的是()()(A)(-3,0)(B)(A)(-3,0)(B)(C)(3,
14、0)(D)(C)(3,0)(D)【解析解析】选选B.B.由由 (kZ)(kZ)得得 (kZ)(kZ)所以函数所以函数 的图像的对称中心是的图像的对称中心是(kZ),(kZ),当当k=0k=0时，时，x x等于等于 ，故选，故选B.B.1(,0)3ysin(x)39131(,0)3xk39 1x3k3ysin(x)391(3k,0)32.2.函数函数 的最小值是的最小值是()()(A)-1 (B)(C)0 (D)(A)-1 (B)(C)0 (D)【解析解析】选选C.xC.x 时时,取最小值取最小值0.0.ycos(x)62ycos(x)(x,)663 32322,63x0,62 x623.3.已
15、知函数已知函数 且此函数的图像且此函数的图像如图所示，则点如图所示，则点P(,)P(,)的坐标为的坐标为()()(A)(B)(A)(B)(C)(D)(C)(D)ysinx(0,0)2 (2,)2(2,)4(4,)2(4,)4【解析解析】选选B.B.由图像可知，由由图像可知，由 ,周期为周期为 ,，此时解析式为，此时解析式为y=sin(2x+),y=sin(2x+),以点以点 为为“五点法五点法”作图的第三关键点，则有作图的第三关键点，则有点点P(,)P(,)的坐标为的坐标为 .(2,)473T88273T2()88 222T3(,0)832,84 4.4.判断函数判断函数 (xR)(xR)的奇
16、偶性可知此函数为的奇偶性可知此函数为_._.【解析解析】且且 ,函数函数 是奇函数是奇函数.答案：答案：奇函数奇函数y2cos(2x)2sin2x2y2cos(2x)22sin2x2sin2x y2cos(2x)25.5.函数函数y=cos2xy=cos2x的递减区间为的递减区间为_._.【解析解析】设设u=2xu=2x因为函数因为函数y=cosuy=cosu的递减区间是的递减区间是2k,2k+2k,2k+(kZ)(kZ)由由2k2x2k+(kZ),2k2x2k+(kZ),得得 (kZ),(kZ),所以，函数所以，函数y=cos2xy=cos2x的递减区间是的递减区间是 (kZ).(kZ).答
17、案：答案：(kZ)(kZ)kxk2 k,k2k,k26.6.求下列函数的最大值和最小值，以及达到最大求下列函数的最大值和最小值，以及达到最大(小小)值时值时x x的取值的取值.(1)y=-3cosx+1(1)y=-3cosx+1(2)(2)21y(cosx)32【解析解析】(1)(1)当当cosx=1cosx=1即即x=2k(kZ)x=2k(kZ)时时,y=-3cosx+1y=-3cosx+1取最小值取最小值-2;-2;当当cosx=-1cosx=-1即即x=2k-(kZ)x=2k-(kZ)时时,y=-3cosx+1y=-3cosx+1取最大值取最大值4.4.(2)(2)当当 即即 (kZ)(kZ)时时,取最小值取最小值-3;-3;当当cosx=-1cosx=-1即即x=2k-(kZ)x=2k-(kZ)时时,取最大值取最大值 .341cosx2x2k321y(cosx)3221y(cosx)32
