1、 15-1 质量为质量为10g的小球与轻弹簧组成的的小球与轻弹簧组成的系统，按系统，按的规律而振动，式中的规律而振动，式中t以以s为单位为单位,试求试求:(1)振动的角频率、周期、振幅、初相、振动的角频率、周期、振幅、初相、速度及加速度的最大值速度及加速度的最大值;(2)t=1s、2s、10s等时刻的相位各为多等时刻的相位各为多少少?(3)分别画出位移、速度、加速度与时间分别画出位移、速度、加速度与时间的关系曲线。的关系曲线。30.5cos(8xmt)+=返回结束A=0.5m30.5cos(8xmt)+=3=8=25.12 s-10.15=12.6m/smv=A82ma=A()=316m/s=
2、820.52t=1s()+=+t83253()+=+t349382t=2s()+=+t32413810t=10sT0.25s2=解：解：返回atvtxtvaxtoxt曲线曲线3=56=vt曲线曲线43=at曲线曲线返回结束 15-2 有一个和轻弹簧相联的小球，有一个和轻弹簧相联的小球，沿沿x 轴作振幅为轴作振幅为A的简谐振动，其表式用余的简谐振动，其表式用余弦函数表示。若弦函数表示。若t=0 时，球的运动状态为时，球的运动状态为:(1)x0=-A;(2)过平衡位置向过平衡位置向x 正方向运动正方向运动;(3)过过x=A/2处向处向 x 负方向运动负方向运动;试用矢量图示法确定相应的初相的值，并
3、写试用矢量图示法确定相应的初相的值，并写2A(4)过过处向处向 x 正方向运动正方向运动;出振动表式。出振动表式。返回结束3=A(3)xA=(1)x32=A(2)x74=A(4)x返回结束 15-3 一质量为一质量为10g的物体作简谐振动，的物体作简谐振动，其振幅为其振幅为24cm，周期为，周期为4.0s，当当=0时，时，位移为位移为+24cm。求求:(1)t=0.5s时，物体所在位置时，物体所在位置;(2)t=0.5s时，物体所受力的大小与方向时，物体所受力的大小与方向;(3)由起始位量运动由起始位量运动x=l2cm处所需的最少处所需的最少 时间时间;(4)在在x=12cm处，物体的速度、动
4、能以及处，物体的速度、动能以及系统的势能和总能量。系统的势能和总能量。返回结束t=02T=4=1.57s-1=22=0v0=x0=A=0.24mtcosx=0.242t=0.5s()cosx=0.2420.5cos=0.240.25=0.17m22=0.24振动方程为：振动方程为：A=0.24m解：解：0=返回结束=fma2cos()a=0.5A2=0.17142=0.419m/s2=1010-3(-0.419)=-0.41910-3 N=0.5st()cos=0.240.122t=1()cos2t2=2t32=t32s返回结束=-0.326m/sAvsin=()2t0.24=32sin12E
5、mvk2=1010-3(0.326)2 12=5.3110-4 J12EkxP2=12m2=x2=1010-312(0.12)2()22=1.7710-4 JEk=EkEp+=7.0810-4 J返回结束 15-4 一物体放在水平木板上，此板沿一物体放在水平木板上，此板沿水平方向作简谐振动，频率为水平方向作简谐振动，频率为2Hz，物体与，物体与板面间的静摩擦系数为板面间的静摩擦系数为050。问。问:(1)要使物体在板上不致滑动，振幅的最要使物体在板上不致滑动，振幅的最大值为若干大值为若干?(2)若令此板改作竖直方向的简谐振动，若令此板改作竖直方向的简谐振动，振幅为振幅为0.05m，要使物体一直
6、保持与板接触，要使物体一直保持与板接触的最大频率是多少的最大频率是多少?返回结束mgm=mamAm2=mgA2=mm222()=0.031m=0.59.8 (1)为使物体和板不发生相对滑动，由最为使物体和板不发生相对滑动，由最大静摩擦力带动物体和板一起振动大静摩擦力带动物体和板一起振动,所以有：所以有：返回结束为使物体不脱离板必须满足为使物体不脱离板必须满足gA2=mgA=mn21gA=2.2Hz219.8=5.010-2NmgNmg=maN0(2)物体作垂直振动时有：物体作垂直振动时有：N=0在极限情况时有：在极限情况时有：mg=mammA2=m返回结束 15-5 在一平板上放质量为在一平板
7、上放质量为m=1.0kg的的物体，平板在竖直方向上下作简谐振动，周物体，平板在竖直方向上下作简谐振动，周期为期为T=O.5s，振幅，振幅A=O.O2m。试求试求:(1)在位移最大时物体对平板的工压力；在位移最大时物体对平板的工压力；(2)平板应以多大振幅作振动才能使重物平板应以多大振幅作振动才能使重物开始跳离平板。开始跳离平板。m返回结束=1.0(9.8+3.16)amA2=Nmg=mam(1)当物体向上有最大位移时有：当物体向上有最大位移时有：()mNg=A2()=20.51.09.820.02Nmg=mam+()mNg=A2=12.96NNmgxo=6.64N当物体向下有最大位移时有：当物
8、体向下有最大位移时有：amA2=返回结束(2)当物体向上脱离平板时有：当物体向上脱离平板时有：mg=mA2g=A2()=0.062m=9.842Nmgxo返回结束 15-6 图示的提升运输设备，重物的质图示的提升运输设备，重物的质量为量为1.51O4kg，当重物以速度，当重物以速度v=l5m/min匀速下降时，机器发生故障，钢丝匀速下降时，机器发生故障，钢丝绳突然被轧住。此时，绳突然被轧住。此时，钢丝绳相当于劲度系钢丝绳相当于劲度系数数 k=5.781O6 N/m的弹簧。求因重物的的弹簧。求因重物的振动而引起钢丝绳内振动而引起钢丝绳内的最大张力。的最大张力。m返回结束=2.21105 Nx0=
9、0v0=0.25m/sA2+=x0v022=v0k=mTm2mg=A+Tm2mg=A+mmg=v0+mg=mkv0=1.51049.8+0.25 5.781061.5104t=0：解：取物体突然停止时的位置作为坐解：取物体突然停止时的位置作为坐标的原点（物体的静平衡位置），并以此标的原点（物体的静平衡位置），并以此时刻作为计时零点。时刻作为计时零点。mgT返回结束 15-7 一落地座钟的钟摆是由长为一落地座钟的钟摆是由长为 l 的轻的轻杆与半径为杆与半径为 r 的匀质圆盘组成，如图所示，的匀质圆盘组成，如图所示，如摆动的周期为如摆动的周期为1s，则，则 r 与与 l 间间 的的 关系如关系如何
10、何?rl返回结束qMmgrlsin()+=Jrm22+=12mrl()+qsinq2dMJ=qdt2qrmgrml22()+=12mrl()+2dqdt2qmgrl()+qrgrl22()+=02rl()+2dqdt22解：解：rlqmg返回结束+qrgrl22()+=02rl()+2dqdt22=rgrl22()+2rl()+2=rgrl22()+2rl()+2r2=0gl+62l242lr28gr+可得可得 r 与与 l 的关系式：的关系式：=2T由：由：=1+q2=02dqdt2比较上两式得到：比较上两式得到：返回 15-8 如图所示，两轮的轴互相平行，相如图所示，两轮的轴互相平行，相距
11、为距为2d，其转速相同，转向相反，将质量为，其转速相同，转向相反，将质量为m 的匀质木板放在两轮上，木板与两轮间的的匀质木板放在两轮上，木板与两轮间的摩擦系数均为摩擦系数均为m，当木板偏离对称位置后，当木板偏离对称位置后，它将如何运动它将如何运动?如果是作简谐振动，其周期如果是作简谐振动，其周期是多少是多少?2d12C.返回结束Ngm1+=N2xd()+N1=N2xd()fm1=N1+=N2xd()gm2dxd()gm2d=N1xd()gm2d=f1m+=f2xd()gm2dmC.o.N1N2f1f2gmxfm2=N2解：解：从上述四式解得：从上述四式解得：返回结束xd()gm2d=f1m+=
12、f2xd()gm2dmd=f2f1mxdt22d=mxdt22+xd()gmxd()gm2d2dmm+=0gdmxdxdt22=T2=gdm2=2gdm返回结束 15-9 如图所示，轻质弹簧的一端固定，如图所示，轻质弹簧的一端固定，另一端系一轻绳，轻绳绕过滑轮连接一质量另一端系一轻绳，轻绳绕过滑轮连接一质量为为m的物体，绳在轮上不打滑，使物体上下的物体，绳在轮上不打滑，使物体上下自由振动。已知弹簧的劲度系数为自由振动。已知弹簧的劲度系数为k,滑轮半滑轮半径为径为R 转动惯量为转动惯量为J。(1)证明物体作简谐振动证明物体作简谐振动;(2)求物体的振动周期；求物体的振动周期；(3)设设t=0时，
13、弹时，弹簧无伸缩，物体也无簧无伸缩，物体也无初速，写出物体的振初速，写出物体的振动表式。动表式。Mkm返回结束R=0T2RT1Tbk2=T1=Tbk1=解：解：在静平衡时有：在静平衡时有：T2T1gT2mJkmxob静平衡位置静平衡位置gm=0T2=gmbk返回结束Tbk1()+=xaJR=T2RT1取静平衡位置为坐标原点取静平衡位置为坐标原点Jkmxob静平衡位置静平衡位置x在任意位置时有：在任意位置时有：T2T1gT2ma2d x=aR2dtJ2+2d x=02dtkxmR=J2+kmR返回结束=0tx=gmbk0=Agmk+J2+kmRcocx=gmktv=00由初始条件：由初始条件：=
14、得：得：振动方程为：振动方程为：=J2+kmR+=2J2kmR=T2返回结束 15-10 如图所示，绝热容器上端有一截面积如图所示，绝热容器上端有一截面积为为S 的玻璃管，管内放有的玻璃管，管内放有 一质量为一质量为m 的光滑小球的光滑小球作为活塞。容器内储有体积为作为活塞。容器内储有体积为V、压强为、压强为p 的某种的某种气体，设大气压强为气体，设大气压强为p0。开始时将小球稍向下移，。开始时将小球稍向下移，后放手，则小球将上下振动。如后放手，则小球将上下振动。如 果果 测出小球作简测出小球作简谐振动时的周期谐振动时的周期 T，就可以测定气体的比热容比热，就可以测定气体的比热容比热容比容比。
15、试证明。试证明：(假定小球在振动过程中，假定小球在振动过程中，容器内气体进行的过程可看容器内气体进行的过程可看作准静态绝热过程作准静态绝热过程)4Vmp2=2S4T2返回结束解：在静平衡时：解：在静平衡时：当小球下降当小球下降 x(任意位置任意位置)时：时：0pp1mgxox静平衡位置静平衡位置任意位置任意位置由上两式可得到：由上两式可得到：设过程是绝热的，所以：设过程是绝热的，所以：Vx1=VSgm0+=SpSp1()=VpxVSp=Vp V11pdxdt22m=Sp S1p0+dxdt22m=Sp Smg1p返回结束=pVx1S1()=pVpxVS+1VxS=p+1VxSVxS +=1Vx
16、1S1VxS.1()=pVxVSp1=pVx1Sp返回结束1p=p+1VxS=dxdt22m前面已得到：前面已得到：+=dxdt22mpSVx20=2mpSV2=mpSV2=TmpSV224Vmp2=2S4T2=Sp S1pSp+1VxSSpdxdt22m=Sp S1p返回结束 15-11 1660年玻意耳把一段封闭的气年玻意耳把一段封闭的气柱看成一个弹簧，称为柱看成一个弹簧，称为“空气弹簧空气弹簧”如图所如图所示，有一截面积为示，有一截面积为S 的空心管柱，配有质量的空心管柱，配有质量为为m的活塞，活塞与管柱间的摩擦略去不计。的活塞，活塞与管柱间的摩擦略去不计。在话塞处于平街状态时，柱内气体
17、的压强为在话塞处于平街状态时，柱内气体的压强为p，气柱高为，气柱高为h,若使活塞有一微小位移，活若使活塞有一微小位移，活塞将作上下振动，求系塞将作上下振动，求系统的固有角频率。统的固有角频率。可利用这空气弹簧可利用这空气弹簧作为消振器。作为消振器。phm返回结束gm0+=SpSpx0+ddt22m=Sp Smg1pVp V1p=1解：在静平衡时：解：在静平衡时：当活塞下降当活塞下降 x(任意位置任意位置)时：时：设过程是等温的设过程是等温的V1h x()=SVh=Sdxdt22m=Sp S1p由上两式得到：由上两式得到：静平衡位置静平衡位置任意位置任意位置xxo0pp1mgp1p=h x()S
18、hS返回结束p1p=h x()ShSp=x()h11px()h1+()hx g的情形下，的情形下，(1)小珠相对圆环的平衡位置小珠相对圆环的平衡位置(以小珠与圆以小珠与圆心的连线同竖直直径之间的夹角心的连线同竖直直径之间的夹角q0表示表示);(2)小珠在平衡位置小珠在平衡位置附近作小振动的角频附近作小振动的角频率。率。返回结束mg=Ncosq0g=cosq0R21cosg=q0R2Nsinq0=mRsinq02+=qq0q解解：(1)在平衡位置时在平衡位置时 (2)当小球偏离平衡位置时当小球偏离平衡位置时mRsinq2FI=小球除了受正压力小球除了受正压力N，重力作用，重力作用mg 外，外，q
19、NmgFI还受到一惯性力作用还受到一惯性力作用返回结束q=ddt22sin(q0+q)()qcos(q0+)2gRqsin(q0+)dv=mRsinqcosq2mgsinqmdt=ddtq22sinqcosq2gRsinqd=mRdtq2q因为因为很小很小+qsin(q0+)cosq0sinq0qqcos(q0+)sinq0cosq0q将这两式代入上式可得：将这两式代入上式可得：返回结束=ddt22q()()+cosq0sinq0qsinq0cosq0q()2gR+cosq0sinq0q()g=cosq0sinq02Rsinq0()g+cosq0sin q02(2cos q022R)q=2()
20、cos0q021 2g+cosq0RR1 224g2()2+R22g2=R24g2R22=返回结束 15-14 一长为一长为 l 质量为质量为m的均匀细棒，的均匀细棒，用两根长为用两根长为L的细线分别拴在棒的两端，把的细线分别拴在棒的两端，把棒悬挂起来，若棒绕通过中心的竖直轴棒悬挂起来，若棒绕通过中心的竖直轴oo作小角度的摆动，试作小角度的摆动，试测测定其振动周期。定其振动周期。2Ll2l返回结束2qLjl1Fmgtg=2q1mg2qM=2Fl2=FlJ2=1m12l=2jtd2dJM2qLjl=1mg22Ljl=mg4Ljl=mg4Ll2j22=1m12ljtd2dmg4Ll2jFTmgq2
21、qLlj解：当棒偏转一个角度解：当棒偏转一个角度j 时时返回结束=gL322=1m12ljtd2dmg4Ll2j+2jtd2d=3gLj0=T2=2gL3返回结束 15-15 一质量为一质量为M的盘子系于竖直悬的盘子系于竖直悬挂的轻弹簧下端，弹簧的劲度系数为挂的轻弹簧下端，弹簧的劲度系数为 k 现有现有一质量为一质量为m的物体自离盘的物体自离盘 h 高处自由落下掉高处自由落下掉在盘上，没有反弹，以物体掉在盘上的瞬时在盘上，没有反弹，以物体掉在盘上的瞬时作为计时起点，求盘子作为计时起点，求盘子的振动表式。的振动表式。(取物体取物体掉在盘子后的平衡位置掉在盘子后的平衡位置为坐标原点，位移以为坐标原
22、点，位移以向下为正，向下为正，)Mmh返回结束Mgxk01=m()+M gxk02=m+Mk解：设盘子挂在弹簧下的静平衡位置为解：设盘子挂在弹簧下的静平衡位置为x01当物体落入盘上后新的平衡位置为当物体落入盘上后新的平衡位置为x02 系统将以此平衡位置系统将以此平衡位置振动的圆频率振动的圆频率为：为：Mmx02x01oxhmMx0为中心进行振动。为中心进行振动。返回()=x0 x02x01=Mgkm()+M gk=mgk2m0=ghm()+M v2m0=ghm()+MvMmx02x01oxhmMx0 设碰撞时刻设碰撞时刻(t=0)盘的位盘的位碰撞是完全弹性的，所以：碰撞是完全弹性的，所以：得：
23、得：置为置为x0返回结束2m0=ghm()+MvA2+=x0v022+=mgk22ghm2m()+Mm()+M2k+=mgk2khm()+M g1x0=mgk返回结束=tgx0v0=2mghm()+Mmgkkm()+M.=2khm()+M g2m0=ghm()+Mvx0=mgk=m+Mk+=mgk2khm()+M g1xcosm+Mkt2khm()+M gtg1返回结束 15-16 一个水平面上的弹簧振子，弹簧一个水平面上的弹簧振子，弹簧的劲度系数为的劲度系数为k，所系物体的质量为，所系物体的质量为M，振幅，振幅为为A。有一质量为。有一质量为m的小物体从高度的小物体从高度h处自由处自由下落。当
24、振子在最大位移处，物体正好落在下落。当振子在最大位移处，物体正好落在M上，并粘在一起，这时系统的振动周期、上，并粘在一起，这时系统的振动周期、振幅和振动能量有何振幅和振动能量有何变化？如果小物体是变化？如果小物体是在振子到达平衡位置在振子到达平衡位置时落在时落在M上，这些量上，这些量又怎样变化又怎样变化?mohMx0=Ax返回结束=m+Mk2解：解：1=A2+=x0v122A=Mk当物体当物体m落下时落下时当物体当物体m落下后落下后系统的圆频率为：系统的圆频率为：系统的振动周期为：系统的振动周期为：T=Mk2=m+Mk11=T21振子的速度振子的速度v1=0mohMx0=Ax(1)弹簧振子的圆
25、频率为：弹簧振子的圆频率为：返回M2=m()+M v0v=M2m()+Mv0v=0vA=MkA=Mm()+MAMk(2)当振子在平衡位置时当振子在平衡位置时m 落下落下,由动量守恒由动量守恒2A+=0v2222=m+Mk2=12=m+Mk=T2T112kA1=E12=12kA=2E系统的振系统的振动能量为：动能量为：返回结束=Mm()+MAMkm+Mk=m+MMAA=2vMm()+MAMk2v22A=12kA2=E2212=kA2m+MM=m+Mk2=1E12kA=2返回结束 15-17 一单摆的摆长一单摆的摆长l=1m，摆球质量，摆球质量m=0.01kg。开始时处在平衡位置。开始时处在平衡位
26、置。(1)若给小球一个向右的水平冲量若给小球一个向右的水平冲量 I=210-3 kgm/s。设摆角向右为正。如以。设摆角向右为正。如以刚打击后为刚打击后为t=0，求振，求振动的初相位及振幅；动的初相位及振幅；(2)若冲量是向左的，若冲量是向左的，则初相位为多少则初相位为多少?mlq返回结束0q0=t0=Im=vmIm=vml=dqdtml=qmIml=qmglIml=210-30.01119.8=6.3910-2rad解：解：=20dqdt0由动量原理：由动量原理：mlq若冲量向左，则：若冲量向左，则：=2=3.660返回结束 15-18 一弹簧振子由劲度系数为一弹簧振子由劲度系数为k 的弹的
27、弹簧和质量为簧和质量为M的物块组成，将弹簧一端与顶的物块组成，将弹簧一端与顶板相连，如图所示。开始时物块静止，一颗板相连，如图所示。开始时物块静止，一颗质量为质量为m、速度为、速度为v0的子弹由下而上射入物的子弹由下而上射入物块，并留在物块中。块，并留在物块中。(1)求振子以后的振求振子以后的振动振幅与周期；动振幅与周期；(2)求物块从初始位求物块从初始位置运动到最高点所需的置运动到最高点所需的时间。时间。Mx02x01oxx0mM+返回结束Mgxk10=m0vvm()+M=m+Mkm()+M gxk20=x0 x02x01=m0vvm()+M=mkg解：在初始位置解：在初始位置+Mx02x0
28、1oxx0mM(1)由动量守恒由动量守恒振子的频率为：振子的频率为：得到：得到：返回结束=m+MkA2+=x0v22=m0vvm()+M+mkgk0v2m()+M2g1=()+=mkg222m0v22m()+M2m+Mk.x0=mkg返回结束=tgx0v0=m+Mkm0vm+M.mkg=0vgm+Mk+=t2=t2=0vgm+Mk1tg0vgm+Mk1tg=tm+Mk=m+Mk=m0vvm()+Mx0=mkg返回结束 15-19 一弹簧振子作简谐振动，振幅一弹簧振子作简谐振动，振幅A=0.20m，如弹簧的劲度系，如弹簧的劲度系k=2.0N/m，所，所系物体体的质量系物体体的质量m=0.50kg
29、。试求。试求:(1)当动能和势能相等时，物体的位移当动能和势能相等时，物体的位移多少？多少？(2)设设t=0时，物体在正最大位移处，达时，物体在正最大位移处，达到动能和势能相等处所需的时间是多少？到动能和势能相等处所需的时间是多少？(在一个周期内。在一个周期内。)返回结束Axtcos()+=mk2xtcos=0.212Emvk2=2sinA12m=2t212Ekxp2=2cosA12m=2t2解：设谐振动方程为：解：设谐振动方程为：0=t时刻，物体在正方向最大处时刻，物体在正方向最大处=0=20.5=2 s-1A=0.2mEk=Ep当当=sint2cost2返回结束=sint2cost2+=t
30、42k+=42k2+=84k=0,1,2,3k当当=t8385878,t=0.39s,1.2s,2s,2.7s+=t42kxcos=0.24=0.141m返回结束 15-20 一水平放置的弹簧振子，已知物一水平放置的弹簧振子，已知物体经过平衡位置向右运动时速度体经过平衡位置向右运动时速度v=1.0m/s，周期周期T=1.0s。求再经过求再经过1/3 s时间，物体的时间，物体的动能是原来的多少倍。弹簧的质量不记。动能是原来的多少倍。弹簧的质量不记。返回结束()+12Emvk2=2sinA12m=2t2()2sinA12m=226142A12m=2.EEm=14Em=2A12m2解：经平衡位置向正
31、方向运动时，解：经平衡位置向正方向运动时，最大动能为最大动能为经经 T/3 后，后，物体的相位为物体的相位为6返回结束 15-21 在粗糙的水平面上有一弹簧振子，在粗糙的水平面上有一弹簧振子，已知物体的质量已知物体的质量m=1.0kg，弹簧的劲度系数，弹簧的劲度系数k=100N/m，摩擦系数，摩擦系数m 满足满足mg=2m/s2，今把物体拉伸今把物体拉伸l=0.07m然后释放，由静止然后释放，由静止开始运动如图所示。求物体到达最左端开始运动如图所示。求物体到达最左端B点所点所需的时间。需的时间。mkmlmb返回结束12mglbkm2()()+=b12kl2mkmlmbACB12k2()=bl2
32、+12k()=bl()blmgm12=()blk解：解：AB 应用功能原理应用功能原理返回结束mgm12=()blk=0.07100221gm=blk2m=0.03m返回结束mkmlmbACBAC 应用功能原理应用功能原理12mglxmm2()+=v12kx212k()l2=2 gxm+kx2()l22 gmlmkm=22vglxm()+kx2()l2mkm返回结束2v=2 gxm+kx2()l22 gmlmkm2 gm=A()l22 gmlkmC=22=4kmB=100=1001=100(0.07)240.07=0.21令：令：dxdt22v=x+x2ABC返回结束dxdt 0由于由于dxd
33、t=x+x2ABCdtdx=x+x2ABCdxx+x2ABC=lbt=dtt0dxdt22v=x+x2ABC返回结束lbBBCxBA21sin=4A+2arclBBCBA21sin4A+2arc=BBCBA21sin4A+2arcbdxx+x2ABC=lbt返回结束lBBCBA21sin2A+2arct=BBCBA21sin4A+2arcb4=AB=100C=0.21l=0.07b=0.030.214sin442arc=21000.07100()101sinarc0.21444221000.03100()101arc sin(1)-arc sin(-1)=101=10122()=10=0.31
34、4s返回结束 15-22 质量为质量为m=5.88kg的物体，挂的物体，挂在弹簧上，让它在竖直方向上作自由振动。在弹簧上，让它在竖直方向上作自由振动。在无阻尼情况下，其振动周期为在无阻尼情况下，其振动周期为T=0.4s；在阻力与物体运动速度成正比的某一介质中，在阻力与物体运动速度成正比的某一介质中，它的振动周期为它的振动周期为T=0.5s；求当速度为；求当速度为0.01m/s时，物体在阻尼介质中所受的阻力。时，物体在阻尼介质中所受的阻力。返回结束=3.53(kg.s-1)=235.88=3(s-1)T20=22T20=2T22=20.4220.52=25 16=r2 mF=r v=3.51.0
35、10-2=0.353N2T20=22T20=22解：解：返回结束 15-23 一摆在空中振动，某时刻，振一摆在空中振动，某时刻，振幅为幅为 A0=0.03m，经过，经过t1=10s后，振幅变后，振幅变为为 A1=0.01m，问，问:由振幅为由振幅为 A0时起，经多时起，经多长时间，其振幅减为长时间，其振幅减为 A2=0.003m？返回结束=20.9(s)=0.110Ae0=At0=lnAlnAt1=ln100.030.01110=lntAA1120=lntAA2=10.11ln0.030.003解：解：返回结束 15-24 试用最简单的方法求出下列两组试用最简单的方法求出下列两组简谐振动合成后
36、所得合振动的振幅：简谐振动合成后所得合振动的振幅：第一组：第一组：第二组：第二组：0.05cos(3t+/3)mx1=0.05cos(3t+/3)mx1=0.05cos(3t+7/3)mx2=0.05cos(3t+4/3)mx2=返回结束=3732=343A=A1+A2=0.05+0.05=0.10(m)A=A1-A2=0解：解：0.05cos(3t+/3)mx1=0.05cos(3t+7/3)mx2=(1)0.05cos(3t+/3)mx1=0.05cos(3t+4/3)mx2=(2)返回结束 15-25 一质点同时参与两个在同一直线一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动上的简谐振动:试求
37、其合振动的振幅和初相位试求其合振动的振幅和初相位(式中式中x以以m计计,t 以以s计计)。0.04cos(2t+/6)mx1=0.03cos(2t-5/6)mx2=返回结束=0.01m2A1A2cos()+=A22A1A221=(0.04)2+(0.04)2+20.040.03cos(-)arc tg+=1A1sin2A2sin1A1cos2A2cos+()+arc tg=230.04210.04210.04()+0.0423()3arc tg=1=6解：解：返回结束 15-26 有两个同方向的简谐振动，它们有两个同方向的简谐振动，它们的表式如下：的表式如下：(1)求它们合成振动的振幅和初相位
38、；求它们合成振动的振幅和初相位；0.06cos(10t+/4)mx2=0.05cos(10t-3/4)mx1=问问0为何值时为何值时x1+x3的振幅为最大；的振幅为最大；(2)若另有一振动若另有一振动0.07cos(10t+0)mx3=0为何值时为何值时x2+x3的振幅为最小。的振幅为最小。(式中式中 x 以以 m计计;t 以以 s计计)返回结束=0.078m2A1A2cos()+=A22A1A221=(0.05)2+(0.06)2+20.050.06cos(-/2)arc tg+=1A1sin2A2sin1A1cos2A2cos+解：解：(1)+arc tg=220.050.060.05+0
39、.06222222()arc tg=11()=84048返回结束30=343=3443=3=54(2)返回结束 15-27 两个同方向的简谐振动，周期相两个同方向的简谐振动，周期相同，振幅为同，振幅为A1=0.05m，A2=0.07m，组成，组成一个振幅为一个振幅为A=0.09m的简谐振动。求两个分的简谐振动。求两个分振动的相位差。振动的相位差。返回结束2A1A2cos()+=A22A1A221解：解：2A1A2cos()+=A22A1A2212=(0.09)2-(0.05)2-(0.05)220.050.07=0.12()=1 84016返回结束 15-28 当两个同方向的简谐振动合成为当两
40、个同方向的简谐振动合成为一个振动时，其振动表式为：一个振动时，其振动表式为：式中式中t以以s为单位。求各分振动的角频率和合为单位。求各分振动的角频率和合x=Acos2.1t cos50.0t 振动的拍的周期。振动的拍的周期。返回结束x=Acos2.1t cos50.0t 2Axcos+=21221costt=2.1221=50+221=47.91=52.12=4.2 21=2T 21=4.22=1.5(s)解：解：两式比较得：两式比较得：拍频为：拍频为：返回结束 15-29 三个同方向、同频率的谐振动为三个同方向、同频率的谐振动为试利用旋转矢量法求出合振动的表达式。试利用旋转矢量法求出合振动的
41、表达式。0.1cos(10t+/6)mx1=0.1cos(10t+/2)mx2=0.1cos(10t+5/6)mx3=返回结束+=A1A3A+=A2A=A+A1A2A3+A2A21A3A1Axo3=563=22=61解：解：=A1A2A3=0.1=A1A2=0.2=20.2cos(10t+/2)mx=返回结束 15-30 一质点同时参与两个互相垂直的一质点同时参与两个互相垂直的简谐振动，其表式分别为简谐振动，其表式分别为:若若0=/4,试用消去法求出合振动的轨试用消去法求出合振动的轨A cos(t+x=0)2A cos(2t+y=0)迹方程，并判断这是一条什么曲线。迹方程，并判断这是一条什么曲
42、线。返回结束Axtcos()+=422tcos()=tsin222()()+12tcos=tsintcostsintsinAx2y=Atcos()+2222()=At2sin=2tcostsinA2.2()12=tcostsin1(1)=A2y2costsin(2)解：解：返回结束12Ax2()+=12Ay=4+12Ay4Ax2=y2A()Ax22()12=tcostsin1(1)=A2y2costsin(2)由式由式(1)、(1)得：得：返回结束 15-31 质量为质量为0.1kg的质点同时参与互的质点同时参与互相垂直的两个振动，其振动表式分别为：相垂直的两个振动，其振动表式分别为：求求:(
43、1)质点的运动轨迹质点的运动轨迹;0.06cos(t/3+/3)mx=0.03cos(t/3-/6)my=(2)质点在任一位置所受的作用力。质点在任一位置所受的作用力。返回结束Acos()+=2xtsin=AtBcos=yt+Ax2=2By221B=0.03A=0.06=3其中其中解：解：(1)t=12t即：即：两振动方程改写为：两振动方程改写为：+x2=y21(0.06)2(0.03)2处处6把时间零点取在把时间零点取在y轴振动的初相为轴振动的初相为返回dABrtisincos+=tjdtdABrtisincos=tjdt2222=r2F=md rdt22=r2m9=0.12r=0.11rA
44、Brtisincos+=tj(2)返回结束 15-32 一质点同时作两个相互垂直的振一质点同时作两个相互垂直的振动。设动。设 此此 两两 振动的振幅相同，频率之比为振动的振幅相同，频率之比为 2：3，初相都为零，求该质点的运动轨。，初相都为零，求该质点的运动轨。返回结束3Aysin=tx+=2costA2Ay=x+A2Ax+A2A4.3A()=x+A2Ax+A3A2()=x+A2AxA2()4=2cost 3Acos t4()=3Acost3costy改写：改写：()2=2Acost 1x改写：改写：2Axcos=t解：设解：设=cos tx+A2A返回结束 15-33 设一质点的位移可用两个
45、简谐振设一质点的位移可用两个简谐振动的叠加来表示动的叠加来表示:(1)写出这质点的速度和加速度表式；写出这质点的速度和加速度表式；(2)这质点的运动是不是简谐振动这质点的运动是不是简谐振动?(3)画出其画出其 x t 图线。图线。A sint+B sin 2tx=返回结束+2BsintAxsin=t解：解：tdxd+2B costA cos=t2tdxd2BsintAsin=t42222ABxtxyo返回结束 15-34 把一个电感器接在一个电容器把一个电感器接在一个电容器上，此电容器的电容可用旋转旋钮来改变。上，此电容器的电容可用旋转旋钮来改变。我们想使我们想使LC振荡的频率与旋钮旋转的角度
46、而振荡的频率与旋钮旋转的角度而作线性变化，如果旋钮旋转作线性变化，如果旋钮旋转1800角，振荡频角，振荡频率就自率就自2.0105Hz变到变到4.0105Hz，若，若L=1.010-3H，试绘出在转角，试绘出在转角1800的范围内，的范围内，电容电容C与角度的函数曲线。与角度的函数曲线。返回结束1LC=2f21C=4f L2L=1.010-3Hfq与与成正比成正比解：解：2.0105C(pf)f(Hz)00q2.51054503.01059003.510513504.051051800640410280210160500400300200100oC(pf)q返回结束 15-35 如图所示，将开
47、关如图所示，将开关K揿下后，电揿下后，电容器即由电池充电，放手后，电容器即经由容器即由电池充电，放手后，电容器即经由线圈线圈L 放电。放电。(1)若若L=0.010H，C=1.0mF,=1.4V，求求L中的最大电流中的最大电流(电阻极小，可略电阻极小，可略);(2)当分布在电容和电感间的能量相等时，当分布在电容和电感间的能量相等时，电容器上的电荷为多少电容器上的电荷为多少?(3)从放电开始到电荷从放电开始到电荷第一次为上述数值时，第一次为上述数值时，经过了多少时间经过了多少时间?.KLC返回结束Lx=L.=1LCLC=L1.010-6=0.01=100()Imx=L=1.4100=1.410-
48、2(A)解：解：(1)(2)当磁场能量和电场能量相等时：当磁场能量和电场能量相等时：2C2=m22mIL1Q=mmIQLC=Q2mQLC2mI=21W=2C2=21Q2C2mQWBWE=此时：此时：返回结束C2=mICLLC=2mIC2=CLx=LImx=LIm=CL由前面得到由前面得到=Q2mQ=1.41.010-62=1.010-6(C)=QmQ(3)=QmQ2Tcos+tt=0当当=QmQ2Tcost=0返回结束2mQ=mQ2Tcost4+2Tt=n(n=0,1,2,)=Q2mQ将式将式代入得到：代入得到：=QmQ2TcostTt2=8=81LC=40.01110-6=7.510-5(s
49、)最少时间为：最少时间为：返回结束 15-36 图中图中16mF的电容器已被充电至的电容器已被充电至l00V，而，而1mF的电容器未被充电，试具体地的电容器未被充电，试具体地说明如何适当应用开关说明如何适当应用开关K1，及，及K2，将，将1mF电电容器充电至容器充电至400V。.L.K2K1C1C2返回结束=0.02(s)4T1=2LC101610-6=2Wm=22mIL12C2=m1Q4T2=2LC2=0.005(s)1010-6=221UC12=1解：首先将解：首先将K1闭合闭合1/4周期周期 经过经过T/4后后C1上电量全部放完变为电感线上电量全部放完变为电感线 然后迅速闭合然后迅速闭合
50、K2同时打开同时打开K1，待，待K2闭合闭合L上的磁场能量又转换为上的磁场能量又转换为C2上的电场能量上的电场能量圈内的磁场能量圈内的磁场能量 1/4周期周期返回We22UC12=2=22mIL121UC12=1L上的磁场能量又转换为上的磁场能量又转换为C2上的电场能量上的电场能量2UC2=1UC1=1010-6 10-6 100=400(V)返回结束 15-37 由一个电容由一个电容C=4.0mF 的电容器的电容器和一个自感为和一个自感为L=10mH的线圈组成的的线圈组成的LC电电路，当电容器上电荷的最大值路，当电容器上电荷的最大值Q 0=6.010-5C时开始作无阻尼自由振荡。试求：时开始
