1、4.4.3 不同函数增长的差异不同函数增长的差异 18591859年，当澳大利亚的一个农夫为了打猎而从外国年，当澳大利亚的一个农夫为了打猎而从外国弄来几只兔子后，一场可怕的生态灾难爆发了弄来几只兔子后，一场可怕的生态灾难爆发了.兔子兔子是出了名的快速繁殖者，在澳大利亚它没有天敌，是出了名的快速繁殖者，在澳大利亚它没有天敌，数量不断翻番数量不断翻番.19501950年，澳大利亚的兔子的数量从最初的五只增年，澳大利亚的兔子的数量从最初的五只增加到了五亿只，这个国家绝大部分地区的庄稼或加到了五亿只，这个国家绝大部分地区的庄稼或草地都遭到了极大损失草地都遭到了极大损失.绝望之中，人们从巴西引绝望之中，
2、人们从巴西引入了多发黏液瘤病，以对付迅速繁殖的兔子入了多发黏液瘤病，以对付迅速繁殖的兔子.整个整个2020世纪中期，澳大利亚的灭兔行动从未停止过世纪中期，澳大利亚的灭兔行动从未停止过.这种现象在数学上可以用什么函数表示呢？这种现象在数学上可以用什么函数表示呢？请进入本节的学习！请进入本节的学习！假设你有一笔资金用于投资，现在有三种假设你有一笔资金用于投资，现在有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报每天回报4040元；元；方案二：第一天回报第一天回报1010元，以后每天比前元，以后每天比前一天多回报一天多回报1010元；元；方案三：
3、第一天回报第一天回报0.40.4元，以后每天的回元，以后每天的回报比前一天翻一番报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？请问，你会选择哪种投资方案？方案三可以用函数方案三可以用函数 进行描述进行描述.设第设第x x天所得回报是天所得回报是y y元，则元，则方案一可以用函数方案一可以用函数 进行描述；进行描述；y40(xN)x 1y0.4 2(xN)方案二可以用函数方案二可以用函数 进行描述；进行描述；y10 x(xN)方案 一方案 二方案 三y y/元增加量/元y y/元增加量/元y y/元增加量/元1 1404010100.40.42 240400 0202010100.80.80.4
4、0.43 340400 0303010101.61.60.80.84 440400 0404010103.23.21.61.65 540400 0505010106.46.43.23.26 640400 06060101012.812.86.46.47 740400 07070101025.625.612.812.88 840400 08080101051.251.225.625.69 940400 090901010102.4102.451.251.2101040400 01001001010204.8204.8102.4102.4303040400 03003001010214 748 3
5、64.8214 748 364.8107 374 182.4107 374 182.4x/x/天天2 2y y40402020404060608080100100120120O O4 46 68 810101212y yx xy y10 x10 xy y0.40.42 2x x1 1下面再看累计的回报数：下面再看累计的回报数：结论：结论：投资投资1 16 6天天,应选择方案一应选择方案一;投资投资7 7天，应选择天，应选择方案一或方案二；投资方案一或方案二；投资8 8 1010天，应选择方案二；天，应选择方案二；投资投资1111天天(含含1111天天)以上，应选择方案三以上，应选择方案三.天天
6、数数回报回报/元元方案方案一一二二三三401 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1180 120 160 200 240 280 320 360 400 440 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 6600.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 818.8某公司为了实现某公司为了实现1 0001 000万元利润的目标，准备万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到在销售利润达到1010万元时，按销售利润进行奖励，且奖万元时，按销售利润进行奖励，且奖金
7、金y(y(单位：万元单位：万元)随销售利润随销售利润x(x(单位：万元单位：万元)的增加而的增加而增加，但奖金总数不超过增加，但奖金总数不超过5 5万元，同时奖金不超过利润万元，同时奖金不超过利润的的25%25%，现有三个奖励模型：现有三个奖励模型：y y0.25x0.25x，y yloglog7 7x x1 1，y y1.0021.002x x，其中哪个模型能符合公司的要求？其中哪个模型能符合公司的要求？某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过奖励时，奖金总数不超过5 5万元，同时奖金不超过利万元，同时奖金不超过利润的
8、润的25%25%，由于公司总的利润目标为，由于公司总的利润目标为1 0001 000万元，所以万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润人员销售利润一般不会超过公司总的利润.于是，只需在区间于是，只需在区间10,1 00010,1 000上，检验三个模型是否上，检验三个模型是否符合公司要求即可符合公司要求即可.思路分析：思路分析：20040060080010001log7xyxy25.0 xy002.15y234567810 xy的图象的图象.借助计算器或计算机作出函数借助计算器或计算机作出函数y5,y0.25xx7ylog x+1,y=1.002观察图象发现，在区间观察图象发现，在区间1
9、0,1 00010,1 000上，模型上，模型y=0.25xy=0.25x，y=1.002y=1.002x x的图象都有一部分在直线的图象都有一部分在直线y=5y=5的上方，只有模的上方，只有模型型y=logy=log7 7x+1x+1的图象始终在的图象始终在y=5y=5的下方，这说明只有按模的下方，这说明只有按模型型y=logy=log7 7x+1 x+1 进行奖励时才符合公司的要求进行奖励时才符合公司的要求.令令 综上所述，模型综上所述，模型 确实能符合公司要求确实能符合公司要求.时，时，所以所以,当当 说明按模型说明按模型奖励奖励,奖金不会超过利润的奖金不会超过利润的25%25%利用计算
10、器或计算机作出函数利用计算器或计算机作出函数f(x)f(x)的图象的图象由图象可知它是递减的，由图象可知它是递减的，因此因此即即7f(x)log x+1-0.25x,x10,1 000f(x)f(10)0.31670,7log x10.25x x10,1 0007log x10.25x7ylog x17ylog x1三种奖金模型的函数模型三种奖金模型的函数模型xy=0.25xy=log7x+1y=1.002x10020030040050060070080090010000.350.210.150.110.10.080.070.060.051251501752002252504.194.292.
11、723.324.054.956.047.372525252525252525250.270.330.40.50.60.730.91.091.33增量增量y y增量增量y y增量增量y y2550751004.374.444.54.553.373.723.934.081.221.491.822.22探究：探究：指数函数、幂函数、对数函数增长的差异比较指数函数、幂函数、对数函数增长的差异比较1.1.列表并在同一坐标系中画出下面这三个函数的图象列表并在同一坐标系中画出下面这三个函数的图象（a a=2).=2).x0.20.61.01.4y=2x1.1491.51622.639y=x20.040.36
12、11.96y=log2 x-2.322-0.73700.485x1.82.22.63.03.4y=2x3.4824.5956.063810.556y=x23.244.846.76911.56y=log2 x0.8481.1381.3791.5851.766xyo1122345y=2xy=x2y=log2 x2.2.结合函数的图象找出其交点坐标结合函数的图象找出其交点坐标.从图象看出从图象看出 y=logy=log2 2 x x的图象与另外的图象与另外两函数的图象没有交点，且总在另外两两函数的图象没有交点，且总在另外两函数图象的下方，函数图象的下方，y=xy=x2 2的图象与的图象与 y=2y=
13、2x x 的图象有两个交点的图象有两个交点(2(2，4)4)和（和（4 4，1616）.x x0 0 1 1 2 2 3 34 45 56 67 78 8y y=2=2x x1 1 2 2 4 4 8 8 1616 3232 6464 128128 256256 y y=x x2 20 0 1 1 4 4 9 9 1616 2525 363649496464ABy=2xxyo112162343 4y=x2y=log2 x差异明差异明显显3.3.根据图象根据图象,分别写出使不等式分别写出使不等式loglog2 2 x2 x2x xxx2 2和和 loglog2 2 xx xx2 222x x成立
14、的成立的自变量自变量x x的取值范围的取值范围.使不等式使不等式 loglog2 2 x2 x2x xxx2 2 的的x x的取值范围的取值范围是是(2(2，4);4);使不等式使不等式 loglog2 2 x x x x2 2 1),x(a1),指数函数指数函数 y=ay=ax x(a1)(a1)与幂函与幂函数数y=xy=xn n(n0)(n0)在区间（在区间（0 0，+）上都是增函数，但它们的）上都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个增长速度不同，而且不在同一个“档次档次”上上.随着随着x x的增大，的增大，y=ay=ax x（a1a1）的增长速度越来越快，会超过）的增长速度越来
15、越快，会超过并远远大于并远远大于y=xy=xn n（n0n0）的增长速度，而）的增长速度，而y=logy=loga ax(a1)x(a1)的增的增长速度则会越来越慢长速度则会越来越慢.因此总会存在一个因此总会存在一个x x0 0，当，当xxxx0 0 时，就有时，就有logloga axxxxn na0)(n0)的增长快于对数函数的增长快于对数函数 y=logy=loga ax(a1)x(a1)的增的增长，但它们与指数增长比起来相差甚远，因此指数增长又长，但它们与指数增长比起来相差甚远，因此指数增长又称称“指数爆炸指数爆炸”.指数函数、对数函数与幂函数的增长差异比较指数函数、对数函数与幂函数的
16、增长差异比较1.1.比较函数比较函数y yx xn n(n n0)0)和和y ya ax x(a a0)0)，下列说，下列说法正确的是法正确的是 ()()A.A.函数函数y yx xn n比比y ya ax x的增长速度快的增长速度快 B.B.函数函数y yx xn n比比y ya ax x的增长速度慢的增长速度慢C.C.因因a a,n n没有大小确定没有大小确定,故无法比较函数故无法比较函数y yx xn n与与 y ya ax x的增长速度的增长速度D.D.以上都不正确以上都不正确 B B 2.2.某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计
17、算机感染上这种病毒，那么下轮病毒发作果某台计算机感染上这种病毒，那么下轮病毒发作时，这台计算机都可能感染没被感染的时，这台计算机都可能感染没被感染的2020台计算机台计算机.现在现在1010台计算机在第台计算机在第1 1轮病毒发作时被感染，问在第轮病毒发作时被感染，问在第5 5轮病毒发作时可能有轮病毒发作时可能有_台计算机被感染台计算机被感染.解析：解析：101020204 4=1 600 000=1 600 0001 600 0001 600 0001 1.几类不同增长的函数模型（几类不同增长的函数模型（一次函数、一次函数、指数函数、对数函数指数函数、对数函数）的差异。）的差异。2 2.几类增长函数建模的步骤几类增长函数建模的步骤列列解解析析式式具具体体问问题题画出图像（画出图像（形形）列出表格（列出表格（数数）不不同同增增长长确确定定模模型型预报和决策预报和决策控制和优化控制和优化小结小结常数函数一次函数指数函数对数函数增长量为零增长量为零增长量相同增长量相同增长量迅速增加增长量迅速增加增长量减少增长量减少没有增长没有增长直线增长直线增长指数爆炸指数爆炸对数缓慢增长对数缓慢增长
