1、引例引例定积分的定义定积分的定义可积函数类可积函数类定积分的几何意义定积分的几何意义例题例题第一节第一节 定积分的概念定积分的概念第六章第六章 定积分定积分abxyo?A曲边梯形由连续曲线曲边梯形由连续曲线实例实例1 1 （求曲边梯形的面积）（求曲边梯形的面积）)(xfy )0)(xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成.)(xfy 一、问题的提出一、问题的提出abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积曲边梯形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九
2、个小矩形）曲边梯形如图所示，曲边梯形如图所示，,1210bxxxxxabann 个个分分点点，内内插插入入若若干干在在区区间间abxyoi ix1x1 ix1 nx;,11 iiiiixxxxxnba长度为长度为，个小区间个小区间分成分成把区间把区间，上任取一点上任取一点在每个小区间在每个小区间iiixx,1 iiixfA )(为为高高的的小小矩矩形形面面积积为为为为底底，以以)(,1iiifxx iniixfA )(1 曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值为iniixfA )(lim10 时，时，趋近于零趋近于零即小区间的最大长度即小区间的最大长度当分割无限加细当分割无限加细)0(,m
3、ax,21 nxxx曲边梯形面积为曲边梯形面积为实例实例2 2 （求变速直线运动的路程）（求变速直线运动的路程）设设某某物物体体作作直直线线运运动动，已已知知速速度度)(tvv 是是时时间间间间隔隔,21TT上上t的的一一个个连连续续函函数数，且且0)(tv，求求物物体体在在这这段段时时间间内内所所经经过过的的路路程程.思路思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值求得路程的
4、精确值（1）分割）分割212101TtttttTnn 1 iiitttiiitvs )(部分路程值部分路程值某时刻的速度某时刻的速度（3）求和）求和iinitvs )(1（4）取极限）取极限,max21nttt iniitvs )(lim10 路程的精确值路程的精确值（2）近似）近似 任取任取,1iiitt设设函函数数)(xf在在,ba上上有有界界，记记,max21nxxx ，如如果果不不论论对对,ba在在,ba中中任任意意插插入入若若干干个个分分点点bxxxxxann 1210把把区区间间,ba分分成成n个个小小区区间间，各各小小区区间间的的长长度度依依次次为为1 iiixxx，),2,1(
5、i，在在各各小小区区间间上上任任取取作乘积作乘积iixf)(),2,1(i并并作作和和iinixfS )(1，定义定义二、定积分的定义二、定积分的定义怎怎样样的的分分法法，baIdxxf)(iinixf )(lim10 被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积积分分区区间间,ba也也不不论论在在小小区区间间,1iixx 上上点点i 怎怎样样的的取取法法，只要当只要当0 时，时，和和S总趋于总趋于确确定定的的极极限限I，在在区区间间,ba上上的的定定积积分分，记为记为积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和注意：注意：（1）积积分分值值仅仅与与被被积积函函数数及及积积分分区区间
6、间有有关关，badxxf)(badttf)(baduuf)(（2）定定义义中中区区间间的的分分法法和和i 的的取取法法是是任任意意的的.（3 3）当当函函数数)(xf在在区区间间,ba上上的的定定积积分分存存在在时时，而而与与积积分分变变量量的的字字母母无无关关.称称)(xf在在区区间间,ba上上可可积积.当当函函数数)(xf在在区区间间,ba上上连连续续时时，定理定理1 1定理定理2 2 设设函函数数)(xf在在区区间间,ba上上有有界界，称称)(xf在在区区间间,ba上上可可积积.且且只只有有有有限限个个间间断断点点，则则)(xf在在区间区间,ba上可积上可积.三、存在定理三、存在定理ab
7、,0)(xf baAdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积,0)(xf baAdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值的负值1A2A3A4A4321)(AAAAdxxfba 四、定积分的几何意义四、定积分的几何意义几何意义：几何意义：积取负号积取负号轴下方的面轴下方的面在在轴上方的面积取正号；轴上方的面积取正号；在在数和数和之间的各部分面积的代之间的各部分面积的代直线直线的图形及两条的图形及两条轴、函数轴、函数它是介于它是介于xxbxaxxfx ,)(例例1 1 利用定义计算定积分利用定义计算定积分.102dxx 解解将将1,0n等分，分点为等分，分点为nixi，(ni,2,1)小小区
8、区间间,1iixx 的的长长度度nxi1 ，(ni,2,1)取取iix ，(ni,2,1)iinixf )(1 iinix 21,12iniixx nnini121 niin12316)12)(1(13 nnnn,121161 nn n0 dxx 102iinix 210lim nnn121161lim.31 例例2 2*利用定义计算定积分利用定义计算定积分.121dxx 解解在在2,1中中插插入入分分点点 12,nqqq,典典型型小小区区间间为为,1iiqq，（ni,2,1）小小区区间间的的长长度度)1(11 qqqqxiiii,取取1 iiq，（ni,2,1）iinixf )(1 inii
9、x 11)1(1111 qqqinii niq1)1()1(qn取取2 nq即即nq12),12(1 nn)12(lim1 xxxxxx112lim1 ,2ln)12(lim1 nnn,2ln dxx 211iniix 101lim )12(lim1 nnn.2ln iinixf )(1 例例3 求极限求极限nnnlimn212111n1ii1nlimnn1ni11n1inlimxxd1110ln2证明证明nnnnfnfnf 21lim nnnnfnfnfe21limlnnnnnfnfnf 21lim试试证证.10)(ln dxxfe利用对数的性质得利用对数的性质得 nifnnine1ln1l
10、imnnifnine1lnlim1 分分点点为为nixi，（ni,2,1）nnnnfnfnfe21lnlim极限运算与对数运算换序得极限运算与对数运算换序得nnifnin1lnlim1 10)(lndxxf故故nnnnfnfnf 21lim.10)(ln dxxfe因因为为)(xf在在区区间间1,0上上连连续续，且且0)(xf所所以以)(lnxf在在 1,0上上有有意意义义且且可可积积,定积分的性质定积分的性质（注意估值性质、积分中值定理的应用）（注意估值性质、积分中值定理的应用）典型问题典型问题 估计积分值；估计积分值；不计算定积分比较积分大小不计算定积分比较积分大小第二节第二节 定积分基本
11、性质定积分基本性质对定积分的对定积分的补充规定补充规定:（1）当当ba 时时，0)(badxxf；说明说明 :在下面的性质中，假定定积分都存在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小在，且不考虑积分上下限的大小一、基本内容一、基本内容abdxxf)(badxxf)(证证 badxxgxf)()(iiinixgf )()(lim10 iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 badxxf)(.)(badxxg badxxgxf)()(badxxf)(badxxg)(.（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质性质1
12、1 babadxxfkdxxkf)()(k为为常常数数).证证 badxxkf)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 .)(badxxfk性质性质2 2 badxxf)(bccadxxfdxxf)()(.补充补充：不论不论 的相对位置如何的相对位置如何,上式总成立上式总成立.cba,例例 若若,cba cadxxf)(cbbadxxfdxxf)()(badxxf)(cbcadxxfdxxf)()(.)()(bccadxxfdxxf（定积分对于积分区间具有可加性）（定积分对于积分区间具有可加性）则则假假设设bca 性质性质3 3dxba
13、 1dxba ab .则则0)(dxxfba.)(ba 证证,0)(xf,0)(if),2,1(ni,0 ix,0)(1 iinixf,max21nxxx iinixf )(lim10 .0)(badxxf性质性质4 4性质性质5 5如果在区间如果在区间,ba上上0)(xf，例例 1 1 比比较较积积分分值值dxex 20和和dxx 20的的大大小小.解解令令,)(xexfx 0,2 x,0)(xf,0)(02 dxxexdxex 02,02dxx 于是于是dxex 20.20dxx 性质性质5 5的推论的推论1 1：证证),()(xgxf,0)()(xfxg,0)()(dxxfxgba,0)
14、()(babadxxfdxxg于于是是 dxxfba)(dxxgba )(.则则dxxfba)(dxxgba )(.)(ba 如如果果在在区区间间,ba上上)()(xgxf，（1）dxxfba)(dxxfba )(.)(ba 证证,)()()(xfxfxf ,)()()(dxxfdxxfdxxfbababa 即即dxxfba)(dxxfba )(.说明：说明：可积性是显然的可积性是显然的.|)(xf|在在区区间间,ba上上的的性质性质5 5的推论的推论2 2：（2）设设M及及m分分别别是是函函数数证证,)(Mxfm ,)(bababaMdxdxxfdxm).()()(abMdxxfabmba
15、（此性质可用于估计积分值的大致范围）（此性质可用于估计积分值的大致范围）则则 )()()(abMdxxfabmba .)(xf在在区区间间,ba上上的的最最大大值值及及最最小小值值，性质性质6 6例例 2 2 估估计计积积分分dxx 03sin31的的值值.解解,sin31)(3xxf ,0 x,1sin03 x,31sin31413 x,31sin31410030dxdxxdx .3sin31403 dxx例例 3 3 估计积分估计积分dxxx 24sin的值的值.解解,sin)(xxxf 2sincos)(xxxxxf 2)tan(cosxxxx 2,4 x,0)(xf在在2,4 上单调下
16、降上单调下降,故故4 x为极大点，为极大点，2 x为极小点为极小点,22)4(fM,2)2(fm,442 ab,422sin4224 dxxx.22sin2124 dxxx如如果果函函数数)(xf在在闭闭区区间间,ba上上连连续续，证证Mdxxfabmba )(1)()()(abMdxxfabmba 由闭区间上连续函数的介值定理知由闭区间上连续函数的介值定理知则则在在积积分分区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点 ，使使dxxfba)()(abf .)(ba 性质性质7 7（定积分中值定理）（定积分中值定理）积分中值公式积分中值公式使使,)(1)(badxxfabfdxxfba)()(
17、abf .)(ba 在在区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点，即即积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释：xyoab)(f使使得得以以区区间间,ba为为以以曲曲线线)(xfy 底底边边，为曲边的曲边梯形的面积为曲边的曲边梯形的面积等等于于同同一一底底边边而而高高为为)(f的的一一个个矩矩形形的的面面积积。例例 4 4 设设)(xf可可导导，且且1)(lim xfx，求求dttfttxxx 2)(3sinlim.解解由积分中值定理知有由积分中值定理知有,2,xx使使dttfttxx 2)(3sin),2)(3sinxxf dttfttxxx 2)(3sinlim)(3sinli
18、m2 f)(3lim2 f.6 问题的提出问题的提出积分上限函数积分上限函数牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式第三节第三节 微积分基本公式微积分基本公式.)()(xadttfx).()()(aFbFdxxfba 变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中路程为变速直线运动中路程为 21)(TTdttv 设设某某物物体体作作直直线线运运动动，已已知知速速度度)(tvv 是是时时间间间间隔隔,21TT上上t的的一一个个连连续续函函数数，且且0)(tv，求求物物体体在在这这段段时时间间内内所所经经过过的的路路程程.另一方面这段路程可表示为另一方面这段路程
19、可表示为)()(12TsTs 一、问题的提出一、问题的提出).()()(1221TsTsdttvTT ).()(tvts 其其中中 xadxxf)(考察定积分考察定积分 xadttf)(记记.)()(xadttfx积分上限函数积分上限函数 如如果果上上限限x在在区区间间,ba上上任任意意变变动动，则则对对于于每每一一个个取取定定的的x值值，定定积积分分有有一一个个对对应应值值，所所以以它它在在,ba上上定定义义了了一一个个函函数数，二、积分上限函数及其导数二、积分上限函数及其导数abxyo定定理理 如如果果)(xf在在,ba上上连连续续，则则积积分分上上限限的的函函数数dttfxxa )()(
20、在在,ba上上具具有有导导数数，且且它它的的导导数数是是)()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 积分上限函数的性质积分上限函数的性质xx 证证dttfxxxxa )()()()(xxx dttfdttfxaxxa )()()(x x dttfdttfdttfxaxxxxa )()()(,)(xxxdttf由积分中值定理得由积分中值定理得xf )(,xxx xx ,0),(fx )(limlim00 fxxx ).()(xfx abxyoxx )(x x 如如果果)(tf连连续续，)(xa、)(xb可可导导，则则dttfxFxbxa )()()()(的的导导数数)(xF 为为补充补充
21、)()()()(xaxafxbxbf 证证 dttfxFxaxb)()(0)()(0 dttfxb )(0)(,)()(0dttfxa )()()()()(xaxafxbxbfxF )()()()(xbxadttfdxdxF例例1 1 求求.lim21cos02xdtextx 解解 1cos2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0 .21e 00分析：分析：这是这是 型不定式，应用洛必达法则型不定式，应用洛必达法则.例例 2 2 设设)(xf在在),(内内连连续续，
22、且且0)(xf.证证明明函函数数 xxdttfdtttfxF00)()()(在在),0(内内为为单单调调增增加加函函数数.证证 xdtttfdxd0)(),(xxf xdttfdxd0)(),(xf 2000)()()()()()(xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF ,)()()()()(200 xxdttfdttftxxfxF)0(,0)(xxf,0)(0 xdttf,0)()(tftx,0)()(0 xdttftx).0(0)(xxF故故)(xF在在),0(内内为为单单调调增增加加函函数数.例例 3 3 设设)(xf在在1,0上连续，且上连续，且1)(xf.证明证明 1)(20
23、 dttfxx在在1,0上只有一个解上只有一个解.证证,1)(2)(0 dttfxxFx,0)(2)(xfxF,1)(xf)(xF在在1,0上上为为单单调调增增加加函函数数.,01)0(F 10)(1)1(dttfF 10)(1dttf,0 所所以以0)(xF即即原原方方程程在在1,0上上只只有有一一个个解解.令令定理定理2 2（原函数存在定理）（原函数存在定理）如如果果)(xf在在,ba上上连连续续，则则积积分分上上限限的的函函数数dttfxxa )()(就就是是)(xf在在,ba上上的的一一个个原原函函数数.定理的重要意义：定理的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的）肯定了连续函
24、数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系间的联系.定理定理 3 3（微积分基本公式）（微积分基本公式）如如果果)(xF是是连连续续函函数数)(xf在在区区间间,ba上上的的一一个个原原函函数数，则则)()()(aFbFdxxfba .又又 dttfxxa )()(也也是是)(xf的的一一个个原原函函数数,已已知知)(xF是是)(xf的的一一个个原原函函数数，CxxF )()(,bax 证证三、牛顿三、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式令令ax ,)()(CaaF 0)()(dttfaaa,)(CaF),()()(aFxFdttfxa
25、 ,)()(CdttfxFxa 令令 bx).()()(aFbFdxxfba 牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式)()()(aFbFdxxfba 微积分基本公式表明：微积分基本公式表明：baxF)(一个连续函数在区间一个连续函数在区间,ba上的定积分等于上的定积分等于它的任意一个原函数在区间它的任意一个原函数在区间,ba上的增量上的增量.注意注意当当ba 时，时，)()()(aFbFdxxfba 仍成立仍成立.求定积分问题转化为求原函数的问题求定积分问题转化为求原函数的问题.例例4 4 求求 .)1sincos2(20 dxxx原式原式 20cossin2 xxx .23 例例5 5 设设 ,求
26、求 .215102)(xxxxf 20)(dxxf解解解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf在在2,1上上规规定定当当1 x时时，5)(xf,102152dxxdx原原式式.6 xyo12例例6 6 求求 .,max222 dxxx解解由图形可知由图形可知,max)(2xxxf,21100222 xxxxxx 21210022dxxxdxdxx原式原式.211 xyo2xy xy 122 例例7 7 求求 解解.112dxx 当当0 x时时，x1的的一一个个原原函函数数是是|ln x,dxx 121 12|ln x.2ln2ln1ln 解解 面积面积xyo 0sin xdxA
27、0cos x.2 换元公式换元公式 应用实例应用实例 几个常用结论几个常用结论第四节第四节 定积分的换元积分法定积分的换元积分法定理定理 假假设设（1 1）)(xf在在,ba上上连连续续；（2 2）函函数数)(tx 在在,上上是是单单值值的的且且有有连连续续导导数数；（3 3）当当t在在区区间间,上上变变化化时时，)(tx 的的值值在在,ba上上变变化化，且且a)(、b)(，则则 有有dtttfdxxfba )()()(.一、换元公式一、换元公式证证设设)(xF是是)(xf的的一一个个原原函函数数，),()()(aFbFdxxfba ),()(tFt 记记dtdxdxdFt )()()(txf
28、 ),()(ttf ),()()()(dtttf)(t 是是)()(ttf 的的一一个个原原函函数数.a)(、b)(,)()()()(FF ),()(aFbF )()()(aFbFdxxfba )()(.)()(dtttf 注注意意 当当 时时，换换元元公公式式仍仍成成立立.应用换元公式时应注意应用换元公式时应注意:（1）求求出出)()(ttf 的的一一个个原原函函数数)(t 后后，不不必必象象计计算算不不定定积积分分那那样样再再要要把把)(t 变变换换成成原原变变量量x的的函函数数，而而只只要要把把新新变变量量t的的上上、下下限限分分别别代代入入)(t 然然后后相相减减就就行行了了.（2）例
29、例1 1 计算计算.sincos205 xdxx解解令令,cosxt 2 x,0 t0 x,1 t 205sincosxdxx 015dtt1066t.61,sin xdxdt 例例2 2 计算计算解解.sinsin053 dxxxxxxf53sinsin)(23sincosxx 053sinsindxxx 023sincosdxxx 2023sincosdxxx 223sincosdxxx 2023sinsinxdx 223sinsinxdx 2025sin52 x 225sin52x.54 例例3 3 计算计算解解.)ln1(ln43 eexxxdx原式原式 43)ln1(ln)(lnee
30、xxxd 43)ln1(ln)(lneexxxd 432)ln(1ln2eexxd 43)lnarcsin(2eex.6 例例4 4 计算计算解解 aadxxax022)0(.1令令,sintax ax ,2 t0 x,0 t,costdtadx 原式原式 2022)sin1(sincosdttatata 20cossincosdtttt 20cossinsincos121dttttt 20cossinln21221 tt.4 例例 5 5 当当)(xf在在,aa 上上连连续续，且且有有 )(xf为为偶偶函函数数，则则 aaadxxfdxxf0)(2)(；)(xf为为奇奇函函数数，则则 aad
31、xxf0)(.证证,)()()(00 aaaadxxfdxxfdxxf在在 0)(adxxf中令中令tx ,0)(adxxf 0)(adttf,)(0 adttf)(xf为偶函数，则为偶函数，则),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(;)(20 adttf)(xf为奇函数，则为奇函数，则),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(.0 奇函数奇函数例例6 6 计算计算解解.11cos21122 dxxxxx原式原式 1122112dxxx 11211cosdxxxx偶函数偶函数 1022114dxxx 10222)1(1)11(4dxxxx
32、102)11(4dxx 102144dxx.4 单位圆的面积单位圆的面积例例 7 7 若若)(xf在在1,0上上连连续续，证证明明（1）2200)(cos)(sindxxfdxxf;（2）00)(sin2)(sindxxfdxxxf.由由此此计计算算 02cos1sindxxxx.证证（1）设）设tx 2,dtdx 0 x,2 t2 x,0 t 20)(sindxxf 022sindttf 20)(cosdttf;)(cos20 dxxf（2）设）设tx ,dtdx 0 x,t x,0 t 0)(sindxxxf 0)sin()(dttft,)(sin)(0 dttft 0)(sindttf
33、0)(sindtttf 0)(sindxxf,)(sin0 dxxxf.)(sin2)(sin00 dxxfdxxxf 02cos1sindxxxx 02cos1sin2dxxx 02)(coscos112xdx 0)arctan(cos2x.42 )44(2 0)(sindxxxf几个常用结论：几个常用结论：分部积分公式分部积分公式应用实例应用实例第五节第五节 定积分的分部积分法定积分的分部积分法 设函数设函数)(xu、)(xv在区间在区间 ba,上具有连续上具有连续导数，则有导数，则有 bababavduuvudv.定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式推导推导 ,vuvuuv ,)(b
34、abauvdxuv ,bababadxvudxvuuv .bababavduuvudv一、分部积分公式：一、分部积分公式：例例1 1 计算计算.arcsin210 xdx解解令令,arcsin xu ,dxdv ,12xdxdu ,xv 210arcsin xdx 210arcsin xx 21021xxdx621 )1(112120221xdx 12 21021x .12312 则则二、应用实例：二、应用实例：例例2 2 计算计算解解.2cos140 xxdx,cos22cos12xx 402cos1xxdx 402cos2xxdx xdxtan240 40tan21 xxxdxtan214
35、0 40secln218 x.42ln8 例例3 3 计算计算解解.)2()1ln(102 dxxx 102)2()1ln(dxxx 1021)1ln(xdx102)1ln(xx 10)1ln(21xdx32ln dxxx 101121xx 2111 10)2ln()1ln(32lnxx .3ln2ln35 例例4 4 设设 求求解解 21,sin)(xdtttxf.)(10 dxxxf因因为为ttsin没没有有初初等等形形式式的的原原函函数数，无无法法直直接接求求出出)(xf，所所以以采采用用分分部部积积分分法法 10)(dxxxf 102)()(21xdxf 102)(21xfx 102)
36、(21xdfx)1(21f 102)(21dxxfx 21,sin)(xdtttxf,sin22sin)(222xxxxxxf 10)(dxxxf)1(21f 102)(21dxxfx 102sin221dxxx 1022sin21dxx 102cos21x).11(cos21 ,0sin)1(11 dtttf例例5 5 证明定积分公式证明定积分公式 2200cossinxdxxdxInnn nnnnnnnnnn,3254231,22143231 为正偶数为正偶数为大于为大于1的正奇数的正奇数证证 设设,sin1xun ,sin xdxdv ,cossin)1(2xdxxndun ,cos x
37、v dxxxnxxInnn 2202201cossin)1(cossinx2sin1 0dxxndxxnInnn 22002sin)1(sin)1(nnInIn)1()1(2 21 nnInnI积分积分 关于下标的递推公式关于下标的递推公式nI4223 nnInnI,直到下标减到直到下标减到0或或1为止为止,214365223221202ImmmmIm ,3254761222122112ImmmmIm ),2,1(m,2200 dxI,1sin201 xdxI,221436522322122 mmmmIm.325476122212212 mmmmIm于是于是回顾回顾曲边梯形求面积的问题曲边梯形
38、求面积的问题 badxxfA)(ab xyo)(xfy 一、一、定积分的元素法定积分的元素法第六节第六节 定积分的应用定积分的应用面积表示为定积分的步骤如下面积表示为定积分的步骤如下:（n.iiixfA )(iix （3 3）求和，得）求和，得A的近似值的近似值.)(1iinixfA i1）把区间）把区间,ba分成分成个长度为个长度为的小区间，相的小区间，相应的曲边梯形被分为应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形，第个小窄曲边梯形，第 个小窄个小窄曲边梯形的面积为曲边梯形的面积为 niiAA1则则,iA ix y提示提示（4 4）求极限，得求极限，得A的精确值的精确值 badxxf)(iinixf
39、A )(lim10 xdxx ab xo)(xfy .)(badxxfiinixfA )(lim10 dA面积元素面积元素元素法的一般步骤：元素法的一般步骤：这个方法通常叫做这个方法通常叫做元素法元素法应用方向：应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等力；引力和平均值等二、平面图形的面积二、平面图形的面积xyo)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy ab曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfA)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfxfA)()(12xxxx x 1 1、直角坐标系情形、直角坐标
40、系情形解解两曲线的交点两曲线的交点)1,1()0,0(选选 为积分变量为积分变量x1,0 x面积元素面积元素dxxxdA)(2 dxxxA)(210 10333223 xx.31 2xy 2yx 两曲线的交点两曲线的交点解解).4,8(),2,2(422xyxy选选 为积分变量为积分变量y4,2 ydyyydA 242.1842 dAAxy22 4 xy如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程 )()(tytx 曲边梯形的面积曲边梯形的面积.)()(21 ttdtttA 解解椭圆的参数方程椭圆的参数方程 tbytaxsincos由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4 4倍第
41、一象限部分面积倍第一象限部分面积 aydxA04 02)cos(sin4tatdbdttab 202sin4.ab x x+dxxo d ddA2)(21 面积元素面积元素曲边扇形的面积曲边扇形的面积.)(212 dA )(r2 2、极坐标系情形、极坐标系情形 d 解解 d)a(21dA2于是所求面积为于是所求面积为3220322202343221 aadaA d a a 2解解 d)cos1(a21dA22 利用对称性知利用对称性知 d.232a d2)cos1(02212aA d)coscos21(2 02a 2sin41sin2232a 0)cos1(ar2a旋转体旋转体就是由一个平面图
42、形饶这平面内一条直线旋转就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台三、体积三、体积1、旋转体的体积、旋转体的体积dxxfdV2)(旋转体的体积为旋转体的体积为dxxfVba2)(,bax xdxx xyo)(xfy ,0hx yrhPxo解解xhry 直线直线OPOP的方程为的方程为dxxhrdV2 dxxhrVh20 hxhr03223 .32hr a aoyx解解,323232xay 332322 xay,aax dxxaVaa33232 .105323a dyy2)(dcV解解dxxyVax)(220 20
43、22)cos1()cos1(dttata 20323)coscos3cos31(dtttta.532a oyxa 2ABCa2)(2yxx )(1yxx dtyxVay)(2202 dtyxa)(2201 222sin)sin(tdtatta 022sin)sin(tdtatta 2023sin)sin(tdttta.633a 补充补充dxxfxVbay|)(|2 利用这个公式，可知上例中利用这个公式，可知上例中dxxfxVay|)(|220 20)sin()cos1()sin(2ttadtatta 2023)cos1)(sin(2dtttta.633a 2 2、平行截面面积为已知的立体的体积
44、、平行截面面积为已知的立体的体积如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算积分来计算.xoabxdxx ,)(dxxAdV .)(badxxAV立体体积立体体积RR xyo解解 取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为222Ryx x截面面积截面面积,tan)(21)(22 xRxA 立体体积立体体积dxxRVRR tan)(2122 .tan323 R 解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为,222Ryx xyoRx截面
45、面积截面面积22)(xRhyhxA 立体体积立体体积dxxRhVRR 22.212hR 四、定积分在经济中的应用四、定积分在经济中的应用.,)(.)()()()(上的改变量或总函数在区间即原函数数根据边际函数求出总函用积分法，在经济管理中，可以利的边际函数或变化率称为，则导数函数等数，成本函数，总收益如需求函数，生产函是经济量的函数设baxfxfxfy.d)()()(dd)1(battfQbabtattftQQ该产品的总产量到间，则从时的变化率为若已知某产品总产量.d)()()2(baQQfCbaQfQ总成本为到，则产量从率为变化产量的，若已知该产品成本对设某产品总产量.d)()()3(0NQQfRNQf位的商品的总收益为个单为已知时，则销售若某商品收益的变化率.6040)2(40)1(.)0(1020)(个单位产品时的总收益个单位产品到求从生产，个单位产品时的总收益求生产的变化率为个单位，总收益设某产品生产QQQfRQ例例11.)(3002020d)1020(6040(2)604026040单位时的总收益为增加到从产量QQQQRQ，单位为个单位产品时的总收益生产)(7202020d)1020(40)1(4002400QQQQR解解
