1、*3垂径定理【知识再现知识再现】1.1.圆是轴对称图形，对称轴是圆是轴对称图形，对称轴是_._.2.2.轴对称的性质：轴对称图形中对应点的连线轴对称的性质：轴对称图形中对应点的连线_._.过圆心的任意一条直线过圆心的任意一条直线 被对称轴垂直平分被对称轴垂直平分【新知预习新知预习】问题一：问题一：(动手操作动手操作)在白纸上画一个圆，沿着圆的任在白纸上画一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折几次，你发现了什么？意一条直径所在的直线对折几次，你发现了什么？结论：圆是结论：圆是_图形，它的对称轴有图形，它的对称轴有_条，任何一条条，任何一条_所在的直线都是所在的直线都是它的对称轴它的对称轴.轴
2、对称轴对称无数无数直径直径问题二：问题二：(再动手操作再动手操作)利用自己手中的圆，任意画出利用自己手中的圆，任意画出O O的一条弦的一条弦ABAB，作直径，作直径CDCD，使，使CDABCDAB，垂足为，垂足为M M，请，请沿着沿着CDCD折叠折叠O O，仔细观察，你能发现图中有哪些相等，仔细观察，你能发现图中有哪些相等的线段和弧？的线段和弧？相等的线段相等的线段(半径相等除外半径相等除外)：_；相等的弧相等的弧(半圆除外半圆除外)：=_=_，=_.=_.结论结论(垂径定理垂径定理)：(1)(1)文字描述：垂直于弦的直径文字描述：垂直于弦的直径_弦，并且弦，并且_弦所对的弧弦所对的弧.ADB
3、DACBCAM=BMAM=BM平分平分平分平分(2)(2)几何语言：几何语言：CDCD是是O O的直径，的直径，CDABCDAB，AM=_AM=_，=_=_，=_.=_.问题四：问题四：(1)(1)若任意画出若任意画出O O的一条弦的一条弦ABAB，取，取ABAB的中点的中点M M，作过，作过M M的直径的直径CDCD，沿着，沿着CDCD折叠折叠O O，CDCD与与ABAB的位置的位置关系是：关系是：_；问题三中相等的弧还成立吗？；问题三中相等的弧还成立吗？_._.BMBMADBDACBC垂直垂直成立成立(2)(2)当当ABAB是是O O的直径时，你发现的结论一定成立吗？的直径时，你发现的结论
4、一定成立吗？_._.结论结论(垂径定理的推论垂径定理的推论)：平分弦：平分弦(不是直径不是直径)的直径的直径_于弦，并且于弦，并且_弦所对的弧弦所对的弧.不一定不一定垂直垂直平分平分【基础小练基础小练】请自我检测一下预习的效果吧！请自我检测一下预习的效果吧！1.1.下列说法正确的是下列说法正确的是()A.A.平分弦的直径垂直于弦平分弦的直径垂直于弦B.B.垂直于弦的直线必过圆心垂直于弦的直线必过圆心C.C.垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦D.D.平分弦的直径平分弦所对的弧平分弦的直径平分弦所对的弧C C2.2.如图，在圆如图，在圆O O中，直径中，直径MNABMNAB，垂足为，垂足为C
5、 C，则下列，则下列结论中错误的是结论中错误的是()A.AC=BCA.AC=BCB.B.C.C.D.OC=CND.OC=CND DANBNAMBM3.3.如图，如图，ABAB为为O O的弦，半径的弦，半径OCABOCAB于点于点D D，且且AB=6AB=6，OD=4OD=4，则，则DCDC的长为的长为()A.1A.1B.2B.2C.2.5C.2.5D.5D.5A A4.4.O O的半径是的半径是4 4，ABAB是是O O的弦，的弦，AOB=120AOB=120，则则ABAB的长是的长是_._.4 3知识点一知识点一 垂径定理的应用垂径定理的应用(P74“(P74“定理定理”拓展拓展)【典例典例
6、1 1】(2019(2019杨浦区三模杨浦区三模)如图，已知如图，已知ABAB是圆是圆O O的直径，弦的直径，弦CDABCDAB，垂足，垂足H H在半径在半径OBOB上，上，AH=5AH=5，CD=4 CD=4 ，点，点E E在在 上，射线上，射线AEAE与与CDCD的延长线交于点的延长线交于点F.F.5AD(1)(1)求圆求圆O O的半径的半径.(2)(2)如果如果AE=6AE=6，求，求EFEF的长的长.【规范解答规范解答】(1)(1)连接连接ODOD，直径直径ABAB弦弦CDCD，CD=4 CD=4 ，DH=CH=CD=2 DH=CH=CD=2 ，垂径定理垂径定理在在RtRtODHODH
7、中，中，AH=5AH=5，设圆，设圆O O的半径为的半径为r r，ODOD2 2=(AH-OA)=(AH-OA)2 2+DH+DH2 2，即，即r r2 2=(5-r)=(5-r)2 2+20+20，5512解得解得：r=4.5r=4.5，勾股定理勾股定理则圆的半径为则圆的半径为4.5.4.5.(2)(2)过过O O作作OGAEOGAE于于G G，AG=AE=AG=AE=6=36=3，A=AA=A，AGO=AHFAGO=AHF，AGOAGOAHFAHF，两角相等的两三角形相似两角相等的两三角形相似 相似的性质相似的性质AF=AF=，EF=AF-AE=-6=.EF=AF-AE=-6=.计算计算1
8、212AGAHAOAF，15215232【学霸提醒学霸提醒】垂径定理常作的两条辅助线及解题思想垂径定理常作的两条辅助线及解题思想1.1.两条辅助线：一是过圆心作弦的垂线；二是连接圆两条辅助线：一是过圆心作弦的垂线；二是连接圆心和弦的一端心和弦的一端(即半径即半径)，这样把半径、圆心到弦的距，这样把半径、圆心到弦的距离、弦的一半构建在一个直角三角形中，运用勾股定离、弦的一半构建在一个直角三角形中，运用勾股定理求解理求解.2.2.方程的思想：在直接运用垂径定理求线段的长度时，方程的思想：在直接运用垂径定理求线段的长度时，常常将未知的一条线段设为常常将未知的一条线段设为x x，利用勾股定理构造关于，
9、利用勾股定理构造关于x x的方程解决问题，这是一种用代数方法解决几何问题的方程解决问题，这是一种用代数方法解决几何问题的解题思路的解题思路.【题组训练题组训练】1.1.如图，如图，ABAB是是O O的直径，弦的直径，弦CDABCDAB于点于点E E，OC=5 cmOC=5 cm，CD=8 cmCD=8 cm，则，则AE=AE=()世纪金榜导学号世纪金榜导学号 A.8 cmA.8 cmB.5 cmB.5 cmC.3 cmC.3 cmD.2 cmD.2 cmA A2.2.如图，如图，ABAB是是O O的直径，弦的直径，弦CDCD交交ABAB于点于点P P，AP=2AP=2，BP=6BP=6，APC
10、=30APC=30，则，则CDCD的长为的长为()世纪金榜导学号世纪金榜导学号A.A.B.2 B.2 C.2 C.2 D.8D.8C C155153.3.如图，已知如图，已知O O的半径为的半径为5 5，弦，弦ABAB，CDCD所对的所对的圆心角分别是圆心角分别是AOBAOB，CODCOD，若，若AOBAOB与与CODCOD互补，互补，弦弦CD=6CD=6，则弦，则弦ABAB的长为的长为()A.6A.6B.8B.8C.5 C.5 D.5 D.5 B B234.(20194.(2019德州中考德州中考)如图，如图，CDCD为为O O的直径，的直径，弦弦ABCDABCD，垂足为，垂足为E E，CE
11、=1CE=1，AB=6AB=6，则弦则弦AFAF的长度为的长度为_._.世纪金榜导学号世纪金榜导学号ABBF4855.5.如图，在如图，在OABOAB中，中，OA=OBOA=OB，O O交交ABAB于点于点C C，D D，求证：求证：AC=BD.AC=BD.证明：证明：过点过点O O作作OEABOEAB于点于点E E，在在O O中，中，OECDOECD，CE=DECE=DE，OA=OBOA=OB，OEABOEAB，AE=BEAE=BE，AE-CE=BE-DEAE-CE=BE-DE，AC=BD.AC=BD.知识点二知识点二 垂径定理在实际问题中的应用垂径定理在实际问题中的应用(P75“(P75“
12、例例”补补充充)【典例典例2 2】(2019(2019朝阳区期末朝阳区期末)一些不便于直接测量的一些不便于直接测量的圆形孔道的直径可以用如下方法测量圆形孔道的直径可以用如下方法测量.如图，把一个直如图，把一个直径为径为10 mm10 mm的小钢球紧贴在孔道边缘，测得钢球顶端离的小钢球紧贴在孔道边缘，测得钢球顶端离孔道外端的距离为孔道外端的距离为8 mm8 mm，求这个孔道的直径，求这个孔道的直径AB.AB.【尝试解答尝试解答】连接连接OAOA，过点，过点O O作作ODABODAB于点于点D D，则则AB=AB=2AD2AD，垂径定理垂径定理钢球的直径是钢球的直径是10 mm10 mm，钢球的半
13、径是钢球的半径是5 5 mmmm，钢球顶端离零件表面的距离为钢球顶端离零件表面的距离为8 mm8 mm，OD=OD=3 3 mmmm，在在RtRtAODAOD中，中，AD=AD=_=4(mm)4(mm)勾股定理勾股定理AB=2AB=2ADAD=2 24 4=8(mm)8(mm).22OAOD2253【学霸提醒学霸提醒】垂径定理基本图形的四变量、两关系垂径定理基本图形的四变量、两关系1.1.四变量：如图，弦长四变量：如图，弦长a a，圆心到弦的距离，圆心到弦的距离d d，半径，半径r r，弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离(弓形高弓形高)h)h，这四个变量知任意两，这四个变量知任意两个可求其他
14、两个个可求其他两个.2.2.两关系：两关系：(1)+d(1)+d2 2=r=r2 2.(2)h+d=r.(2)h+d=r.2a()2【题组训练题组训练】1.(20191.(2019婺城区期末婺城区期末)一条排水管的截面如图所示，一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆的半径已知排水管的截面圆的半径OB=10 dmOB=10 dm，水面宽，水面宽ABAB是是16 dm16 dm，则截面水深，则截面水深CDCD是是 ()A.3 dmA.3 dmB.4 dmB.4 dmC.5 dmC.5 dmD.6 dmD.6 dmB B2.(20192.(2019长兴县期末长兴县期末)乌镇是著名的水乡，如图，
15、乌镇是著名的水乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离圆拱桥的拱顶到水面的距离CDCD为为8 m8 m，水面宽，水面宽ABAB为为8 m8 m，则桥拱半径，则桥拱半径OCOC为为()B BA.4 mA.4 mB.5 mB.5 mC.6 mC.6 mD.8 mD.8 m3.(20193.(2019衢州中考衢州中考)一块圆形宣传标志牌如图所一块圆形宣传标志牌如图所示，点示，点A A，B B，C C在在O O上，上，CDCD垂直平分垂直平分ABAB于点于点D.D.现测得现测得AB=8 dmAB=8 dm，DC=2 dmDC=2 dm，则圆形标志牌的半径为，则圆形标志牌的半径为 ()B BA.6 dmA.6
16、 dmB.5 dmB.5 dmC.4 dmC.4 dmD.3 dmD.3 dm4.(20194.(2019宁都县期末宁都县期末)如图是一个圆环形黄花梨木如图是一个圆环形黄花梨木摆件的残片，为求其外圆半径，小林在外圆上任取摆件的残片，为求其外圆半径，小林在外圆上任取一点一点A A，然后过点，然后过点A A作作ABAB与残片的内圆相切于点与残片的内圆相切于点D D，作，作CDABCDAB交外圆于点交外圆于点C C，测得，测得CD=15 cmCD=15 cm，AB=60 cmAB=60 cm，则这，则这个摆件的外圆半径是个摆件的外圆半径是_ cm._ cm.世纪金榜导学号世纪金榜导学号37.537.
17、55.5.如图，隧道的截面由半圆和长方形构成，长方如图，隧道的截面由半圆和长方形构成，长方形的长形的长BCBC为为8 m8 m，宽，宽ABAB为为1 m1 m，该隧道内设双向行驶的，该隧道内设双向行驶的车道车道(共有共有2 2条车道条车道)，若现有一辆货运卡车高，若现有一辆货运卡车高4 m4 m，宽，宽2.3 m.2.3 m.则这辆货运卡车能否通过该隧道？说明理由则这辆货运卡车能否通过该隧道？说明理由.世世纪金榜导学号纪金榜导学号解：解：这辆货运卡车可以通过该隧道这辆货运卡车可以通过该隧道.理由如下：理由如下：根据题意可知，如图，在根据题意可知，如图，在ADAD上取上取G G，使，使OG=2.
18、3 mOG=2.3 m，过过G G作作EGBCEGBC于于F F，反向延长交半圆于点，反向延长交半圆于点E E，则，则GF=ABGF=AB=1 m=1 m，圆的半径，圆的半径OE=AD=OE=AD=8=4(m)8=4(m)，在在RtRtOEGOEG中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得EG=EG=所以点所以点E E到到BCBC的距离为的距离为EF=+13+1=4EF=+13+1=4，故货运卡车可以通过该隧道故货运卡车可以通过该隧道.12122222OEOG42.310.713，10.71【火眼金睛火眼金睛】有一个半径为有一个半径为5 m5 m的排水管，水面宽度为的排水管，水面宽度为8 m8 m，
19、求此时，求此时水的深度水的深度.正解：正解：情形情形1 1：当：当ABAB在圆心在圆心O O下方时，连接下方时，连接OAOA，过点，过点O O作作OEABOEAB，交，交ABAB于点于点M M，半径为半径为5 m5 m，AB=8 mAB=8 m，OA=OE=5 mOA=OE=5 m，AM=4 mAM=4 m，OM=3 mOM=3 m，ME=OE-OM=5-3=2(m).ME=OE-OM=5-3=2(m).情形情形2 2：当：当ABAB在圆心在圆心O O上方时，同法可得上方时，同法可得EM=5+3=8(m).EM=5+3=8(m).综上所述，水的深度为综上所述，水的深度为2 m2 m或或8 m.
20、8 m.【一题多变一题多变】如图，已知如图，已知ABAB是是O O的直径，的直径，CDCD是是O O的的弦，弦，ABCDABCD，垂足为点，垂足为点E E，BE=CD=16BE=CD=16，试求，试求O O的半径的半径.解：解：连接连接ODOD，设，设OB=OD=ROB=OD=R，则，则OE=16-ROE=16-R，直径直径ABCDABCD，CD=16CD=16，OED=90OED=90，DE=CD=8DE=CD=8，由勾股定理得由勾股定理得：ODOD2 2=OE=OE2 2+DE+DE2 2则则R R2 2=(16-R)=(16-R)2 2+8+82 2解得：解得：R=10R=10，O O的
21、半径为的半径为10.10.12【母题变式母题变式】【变式一变式一】(变换条件变换条件)如图，如图，ABAB是是O O的直径，弦的直径，弦CDABCDAB于于P P，CD=10 cmCD=10 cm，APPB=15APPB=15，求，求O O的半径的半径.解：解：连接连接COCO，如图：设，如图：设AP=xAP=x，则，则PB=5xPB=5x，AO=(x+5x)=AO=(x+5x)=6x=3x6x=3x，PO=3x-x=2xPO=3x-x=2x，1212ABCDABCD，CP=CP=10=510=5，在在CPOCPO中，中，5 52 2+(2x)+(2x)2 2=(3x)=(3x)2 2，解得解得x x1 1=，x x2 2=-(=-(舍去舍去).).AO=3 cm.AO=3 cm.12555【变式二变式二】(变换问法变换问法)如图，如图，O O的直径的直径CDCD垂直弦垂直弦ABAB于于点点E E，且，且CD=10 cmCD=10 cm，AB=8 cmAB=8 cm，求，求OEOE的长的长.略略
