1、第十七章第十七章 勾股定理勾股定理123 相传两千多年前，一次毕达哥拉斯去相传两千多年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作客，发现朋友家用砖铺成的地面朋友家作客，发现朋友家用砖铺成的地面反映直角三角形三边的某种数量关系，同反映直角三角形三边的某种数量关系，同学们，我们也来观察下面的图案，看看你学们，我们也来观察下面的图案，看看你能发现什么？能发现什么？ABCABC（图中每个小方格代表一个单位（图中每个小方格代表一个单位面积）面积）图图2-1图2-2（1 1）观察图）观察图2-12-1 正方形正方形A A中含中含有有 个小方个小方格，即它的面积格，即它的面积是是 个单位面个单位面积。正方形积。正方形B
2、B的面的面积是积是 个单个单位面积。正方形位面积。正方形C C的面积是的面积是 个个单位面积。单位面积。99918你是怎样得到上面的结你是怎样得到上面的结果的？与同伴交流交流。果的？与同伴交流交流。ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图1-1图1-2cS正方形143 3182 分割成若干个直角边分割成若干个直角边为整数的三角形为整数的三角形（单位面积）（单位面积）ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图1-1图1-2cS正方形216218（单位面积）（单位面积）把把C看成边长为看成边长为6的正方形面积的一
3、半的正方形面积的一半 ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图2-1图2-2（2 2）在图）在图2-22-2中，正中，正方形方形A A，B B，C C中各含中各含有多少个小方格？它有多少个小方格？它们的面积各是多少？们的面积各是多少？（3 3）你能发现两图）你能发现两图中三个正方形中三个正方形A A，B B，C C的面积之间有什么的面积之间有什么关系吗？关系吗？SA+SB=SC等腰直角三角形三边有什么关系？等腰直角三角形三边有什么关系？a+b=cP PQQC C R R 如图，每个小方格的边长也均为如图，每个小方格的边长也均为1.1.你能求出正方你能
4、求出正方形形R的面积吗？的面积吗？(1)(1)用了用了“补补”的方法的方法P PQQC C R R用了用了“割割”的方法的方法QQP PQQR Ra ac cb bS SP P+S+SQQ=S=SR R 观察所得到的各组数据，你有什么发现？观察所得到的各组数据，你有什么发现？猜想猜想:两直角边两直角边a、b与斜边与斜边c 之间的关系？之间的关系？a a2 2+b+b2 2=c=c2 2a ac cb bS SP P+S+SQQ=S=SR R 观察所得到的各组数据，你有什么发现？观察所得到的各组数据，你有什么发现？猜想两直角边猜想两直角边a、b与斜边与斜边c 之间的关系？之间的关系？a a2 2
5、+b+b2 2=c=c2 2a a2 2+b+b2 2=c=c2 2a ac cb b命题命题1 1：直角三角形两直角边的平方和直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方等于斜边的平方.下面我们用拼图法来证明这个猜想：下面我们用拼图法来证明这个猜想：用用4 4个两直角边长分别为个两直角边长分别为a a、b b，斜边长为，斜边长为c c的的直角三角形和一个边长为直角三角形和一个边长为c c的正方形拼成一个边的正方形拼成一个边长为长为a+ba+b的大正方形如下图的大正方形如下图:ababababccccCCCC222cba证法一：证法一：a aa aa aa ab bb bb bb bc cc cc
6、 cc c又又 S S大正方形大正方形=4S=4S直角三角形直角三角形+S+S小正方形小正方形 =4ab+c=4ab+c2 2 =c=c2 2+2ab+2ab整理得：整理得：a2+b2=c2 a a2 2+b+b2 2+2ab+2abc c2 2+2ab+2abSS大正方形大正方形=(a+b)=(a+b)2 2=a=a2 2+b+b2 2+2ab+2ab用赵爽弦图证明用赵爽弦图证明证法二：证法二：abc2)(214ababS2222babaaba2 2+b2 2=c2 222ba aabbcc证法三、美国第证法三、美国第20任总统任总统伽菲尔德伽菲尔德证法：证法：s s梯形梯形=(a+b)(a
7、+b)=(a=(a+b)(a+b)=(a2 2+2ab+b+2ab+b2 2)2121212121s s梯形梯形=2=2 ab+c ab+c2 2=ab+c=ab+c2 2212121 a a2 2+ab+b+ab+b2 2=ab+c=ab+c2 2 aa2 2+b+b2 2=c=c2 22121=a=a2 2+ab+b+ab+b2 2证法四：毕达哥拉斯证法证法四：毕达哥拉斯证法:abcaabbc大正方形大正方形=4=4 ab+a ab+a2 2+b+b2 2 =2ab+a=2ab+a2 2+b+b2 2大正方形大正方形=4=4 ab+c ab+c2 2 =2ab+c =2ab+c2 2大正方
8、形大正方形=大正方形大正方形2ab+a2ab+a2 2+b+b2 2=2ab+c=2ab+c2 2aa2 2+b+b2 2=c=c2 22121a a2 2+b+b2 2=c=c2 2a ac cb b 直角三角形两直角边的直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方平方和等于斜边的平方.勾勾股股弦弦 勾股定理：勾股定理：我国古代把直角三角形中较短的直角边称为我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾勾，较长的直角边称为，较长的直角边称为股股，斜边称为，斜边称为弦弦结论变形：结论变形：c2=a2 +b2abcABCa2=c2b2b2=c2a2 221 cab舍负值 222 acb舍负值 221 bc
9、a舍负值毕达哥拉斯毕达哥拉斯(公元前公元前572-前前492年年),古希腊著名的哲学家、古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家。数学家、天文学家。两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年年希腊曾经发行了一枚纪念邮票。希腊曾经发行了一枚纪念邮票。在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为半部分称为“勾勾”，下半部分称为，下半
10、部分称为“股股”所以所以古代学者把直角三角形较短的直角边称为古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾勾”，较长的直角边称为较长的直角边称为“股股”，斜边称为，斜边称为“弦弦”因因此就把这一定理称为此就把这一定理称为勾股定理勾股定理.勾勾股股勾勾股股弦弦 我国是最早了解勾我国是最早了解勾股定理的国家之一。早股定理的国家之一。早在三千多年前，周朝数在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，四，那么弦就等于五，即即“勾三、股四、弦勾三、股四、弦五五”，它被记载于我国，它被记载于我国古
11、代著名的数学著作古代著名的数学著作周髀算经周髀算经中。中。周髀算经周髀算经中还记载了公元前六、七世中还记载了公元前六、七世纪的荣方与陈子的对话，再次提到勾股理。纪的荣方与陈子的对话，再次提到勾股理。陈子定理陈子定理 古巴比仑人在公元前古巴比仑人在公元前1919世纪也发现此定理。世纪也发现此定理。具调查在公元前具调查在公元前19001900年的一块巴比伦上午泥板年的一块巴比伦上午泥板中，记载了中，记载了1515组勾股数。所以古巴比伦人才是组勾股数。所以古巴比伦人才是勾股定理最先的发现人。勾股定理最先的发现人。定理从提出到现在的两千多年中，已经找定理从提出到现在的两千多年中，已经找到证明到证明40
12、0400多种，由鲁密斯搜集整理的多种，由鲁密斯搜集整理的毕达哥毕达哥拉斯拉斯一书中就给出一书中就给出370370种不同证法。种不同证法。勾股定理又称商高定理、毕达哥拉斯定理勾股定理又称商高定理、毕达哥拉斯定理 百牛定理、百牛定理、驴桥定理、驴桥定理、埃及三角形定理埃及三角形定理 学以致用学以致用：1.求图中字母所代表的正方形的面求图中字母所代表的正方形的面积。积。2480ABB400625 81144A8080S1S2S3S4S5S6S7已知S1=1,S2=3,S3=2,S4=4,求S5、S6、S7的值结论结论:S1+S2+S3+S4=S5+S6=S7=10S5=s1+s2=4S6=s3+s4
13、=63 3、求出下列直角三角形中未知的边、求出下列直角三角形中未知的边610ACB8A15CB302245在解决上述问题时，每个直角三角形需知道几个条件？在解决上述问题时，每个直角三角形需知道几个条件？直角三角形哪条边最长？直角三角形哪条边最长？方法小结方法小结:可用勾股定理建立方程可用勾股定理建立方程.4、在在ABCABC中中,C=90,C=90，a=6,b=8,a=6,b=8,则则c=c=6 6、在一个直角三角形中、在一个直角三角形中,两边长分别为两边长分别为6 6、8,8,则则第三边的长为第三边的长为_1010 或或2 75 5、一直角三角形的一直角边长为、一直角三角形的一直角边长为6
14、6，斜边长比，斜边长比另一直角边长大另一直角边长大2 2，则斜边的长为，则斜边的长为_。10 107 7、在、在RtRtABCABC中，中，C=90C=90，若若a=5a=5，b=12b=12，则，则c=_c=_；若若a=15a=15，c=25c=25，则，则b=_b=_；若若c=61c=61，b=60b=60，则，则a=_a=_；若若ab=34ab=34，c=10c=10则则 a=_,b=_a=_,b=_。补充：如图补充：如图,分别以直角三角形的三边为分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆直径作三个半圆,这三个半圆的面积之间这三个半圆的面积之间有什么关系有什么关系?为什么为什么?S1=（c）
15、S2=（b）S3=（a）121212 a+b=c S1=S2+S3S1S2S3收获与反思想一想我们这一节课有哪些收获？1.1.必做题：习题必做题：习题18.1 18.1 第第1,71,7题。题。2.2.选做题：课本选做题：课本 “阅读与思考阅读与思考”，了，了解解 勾股定理的多种证法。勾股定理的多种证法。布置作业：这棵树漂亮吗？如果在树上挂上这棵树漂亮吗？如果在树上挂上几串彩色灯泡，再挂上些小铃铛、小几串彩色灯泡，再挂上些小铃铛、小彩球、小礼盒、小的圣诞老人，是不彩球、小礼盒、小的圣诞老人，是不是更像一棵圣诞树是更像一棵圣诞树 也许有人会问：也许有人会问：“它与勾股定理它与勾股定理有什么关系吗
16、？有什么关系吗？”仔细看看，你会发现，奥妙在树仔细看看，你会发现，奥妙在树干和树枝上，整棵树都是由下方的这干和树枝上，整棵树都是由下方的这个基本图形组成的：个基本图形组成的：一个直角三角形一个直角三角形以及分别以它的每边为一边向外所作以及分别以它的每边为一边向外所作的正方形的正方形 这个图形有什么作用呢？不要小看它哦！古希腊的数学家毕达这个图形有什么作用呢？不要小看它哦！古希腊的数学家毕达哥拉斯就是利用这个图形验证了勾股定理哥拉斯就是利用这个图形验证了勾股定理 刘徽在刘徽在九章算术九章算术中对勾股定理的证明：中对勾股定理的证明：勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各勾自乘为朱方，股自乘为青
17、方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也合成弦方之幂，开从其类，因就其余不移动也合成弦方之幂，开方除之，即弦也方除之，即弦也令正方形令正方形ABCD为朱方，正方为朱方，正方形形BEFG为青方在为青方在BG间取一点间取一点H，使使AH=BG，裁下，裁下ADH，移至，移至CDI，裁下，裁下HGF，移至，移至IEF，是为是为“出入相补，各从其类出入相补，各从其类”，其，其余不动，则形成弦方正方形余不动，则形成弦方正方形DHFI勾股定理由此得证勾股定理由此得证 刘徽的证法刘徽的证法返回 abc证法二证法二 青出青出朱入朱入朱朱出出朱方朱方青方青方青入青入青青入入青出青出青青出出证法三、青证法三、青朱
18、朱出入图出入图朱入朱入朱朱出出 又又这两个正方形的边长都是这两个正方形的边长都是a ab b，所以，所以面积相等，即面积相等，即2142cab22142abab222222114422cabcbabcab 证明证明:图图1 1的大正方形的面积为：的大正方形的面积为：图图2 2的大正方形的面积为：的大正方形的面积为：圆柱圆柱(锥锥)中的最值问题中的最值问题例例1、有一圆柱，底面圆的半径为有一圆柱，底面圆的半径为3cm，高为，高为12cm，一只蚂蚁从底面的一只蚂蚁从底面的A处爬行到对角处爬行到对角B处处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？吃食物，它爬行的最短路线长为多少？ABBAC一只蚂蚁从距底面一
19、只蚂蚁从距底面1cm的的A处爬行到对角处爬行到对角B处处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？吃食物，它爬行的最短路线长为多少？ABBAC例例4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，出发，沿长方体的表面爬到对角顶点沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？ABA1B1DCD1C1214长方体中的最值问题长方体中的最值问题如果长方形的长、宽、高分别是如果长方形的长、宽、高分别是a、b、c（abc），你能求出蚂蚁从顶点），你能求出蚂蚁从顶点A到到C1的最短路
20、径吗？的最短路径吗？从从A到到C1的最短路径是的最短路径是22)cb(a例例1、如图，长方体的长为、如图，长方体的长为15cm，宽为，宽为10cm，高为，高为20cm，点，点B到点到点C的距离为的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从着长方体的表面从A点爬到点爬到B点，需要爬行的最短距点，需要爬行的最短距离是多少？离是多少？201015BCA分析分析 根据题意分析蚂蚁爬行的路线有根据题意分析蚂蚁爬行的路线有两种情况两种情况(如图如图),由勾股定理可求由勾股定理可求得图得图1中中AB最短最短.BA2010155AB=20202 2+15+152 2=625=625 BA
21、B=10102 2+25+252 2=725=725 A2010155例例2、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于高分别等于5cm，3cm和和1cm，A和和B是这个台阶的两个是这个台阶的两个相对的端点，相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的点去吃可口的食物食物.请你想一想，这只蚂蚁从请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面点出发，沿着台阶面爬到爬到B点，最短线路是多少？点，最短线路是多少？BAABC531512台阶中的最值问题台阶中的最值问题 AB2=AC2+BC2=169,AB=13.DABC蚂蚁从蚂
22、蚁从A A点经点经B B、C C、到、到D D点的最少要爬了多少厘点的最少要爬了多少厘米？（小方格的边长为米？（小方格的边长为1 1厘米）厘米）GFE假期中，王强和同学到某海岛上去玩探宝假期中，王强和同学到某海岛上去玩探宝游戏，按照探宝图，他们登陆后先往东走游戏，按照探宝图，他们登陆后先往东走8千米，又往北走千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往千米，遇到障碍后又往西走西走3千米，在折向北走到千米，在折向北走到6千米处往东一千米处往东一拐，仅走拐，仅走1千米就找到宝藏，问登陆点千米就找到宝藏，问登陆点A 到到宝藏埋藏点宝藏埋藏点B的距离是多少千米？的距离是多少千米？AB82361小溪边长着两棵树
23、，恰好隔岸相望，一棵树高小溪边长着两棵树，恰好隔岸相望，一棵树高30尺，另外一棵树高尺，另外一棵树高20尺；两棵树干间的距离尺；两棵树干间的距离是是50尺，每棵树上都停着一只鸟，忽然两只鸟尺，每棵树上都停着一只鸟，忽然两只鸟同时看到两树间水面上游出一条鱼，它们立刻同时看到两树间水面上游出一条鱼，它们立刻以同样的速度飞去抓鱼，结果同时到达目标。以同样的速度飞去抓鱼，结果同时到达目标。问这条鱼出现在两树之间的何处？问这条鱼出现在两树之间的何处？如图，等边三角形的边长是如图，等边三角形的边长是2。（1）求高）求高AD的长；的长；（2）求这个三角形的面积。）求这个三角形的面积。ABDC若等边三角形的边
24、长是若等边三角形的边长是a呢？呢？如图，在如图，在ABC中，中，AB=15，BC=14，AC=13，求，求ABC的面积。的面积。ABC151413如图，在如图，在ABC中，中，ACB=900，AB=50cm，BC=30cm，CDAB于于D，求，求CD的长。的长。ABCD已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向西北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东北方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A、25海里B、30海里 C、35海里D、40海里 一个圆柱状的杯子，由内部测得其底面直径为4cm，高为10cm，现有一支12cm的吸管任意斜放于杯中，则吸管 _露出杯口外.(填
25、“能”或“不能”)1、放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿、放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿着东方向和南方向回家，若小红和小颖行走的速着东方向和南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是度都是40米米/分，小红用分，小红用15分钟到家，小颖用分钟到家，小颖用20分钟到家，小红和小颖家的距离为分钟到家，小红和小颖家的距离为 （）A、600米米 B、800米米 C、1000米米 D、不能确定、不能确定2、直角三角形两直角边分别为、直角三角形两直角边分别为5厘米、厘米、12厘米，厘米，那么斜边上的高是那么斜边上的高是 （）A、6厘米厘米 B、8厘米厘米 C、80/13厘米；厘米；D、60/13厘
26、米；厘米；CD例例2：如图，求矩形零件上两孔中心如图，求矩形零件上两孔中心A、B的距离的距离.21214060ABC?折叠四边形折叠四边形例例1：折叠矩形纸片，先折出折痕：折叠矩形纸片，先折出折痕对角线对角线BD，在绕点，在绕点D折叠，使点折叠，使点A落在落在BD的的E处，折痕处，折痕DG，若，若AB=2，BC=1，求，求AG的长。的长。DAGBCE例例2：矩形：矩形ABCD如图折叠，使点如图折叠，使点D落在落在BC边上的点边上的点F处，已知处，已知AB=8，BC=10，求折痕求折痕AE的长。的长。ABCDFE例例3：矩形：矩形ABCD中，中，AB=6，BC=8，先把它对，先把它对折，折痕为折
27、，折痕为EF，展开后再沿，展开后再沿BG折叠，使折叠，使A落在落在EF上上的的A1，求第二次折痕，求第二次折痕BG的长。的长。ABCDEFA1G正三角形正三角形AA1B例例4：边长为：边长为8和和4的矩形的矩形OABC的两边分别在直角坐标系的两边分别在直角坐标系的的X轴和轴和Y轴上，若轴上，若 沿对角线沿对角线AC折叠后，点折叠后，点B落在第四象落在第四象限限B1处，设处，设B1C交交X轴于点轴于点D，求（，求（1）三角形）三角形ADC的面积，的面积，（2）点）点B1的坐标，（的坐标，（3）AB1所在的直线解析式。所在的直线解析式。OCBAB1D123E折叠三角形折叠三角形例例1、如图，小颍同
28、学折叠一个直角三角形、如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使的纸片，使A与与B重合，折痕为重合，折痕为DE，若已知，若已知AC=10cm，BC=6cm,你能求出你能求出CE的长吗？的长吗？CABDE例例2：三角形：三角形ABC是等腰三角形是等腰三角形AB=AC=13，BC=10，将，将AB向向AC方向方向对折，再将对折，再将CD折叠到折叠到CA边上，折痕边上，折痕CE，求三角形求三角形ACE的面积的面积ABCDADCDCAD1E勾股定理的拓展训勾股定理的拓展训 练练DABC3、在等腰、在等腰ABC中，中，ABAC13cm，BC=10cm,求求ABC的面的面积和积和AC边上的高。边上的高。A
29、BCD131310HBHACADBC21214、已知等边三角形已知等边三角形ABC的边长是的边长是6cm，(1)求高求高AD的长；的长；(2)SABCABCD解：解：(1)ABC是等边三角形，是等边三角形，AD是高是高在在RtABD中中,根据勾股定理根据勾股定理222BDABAD cmAD3327936 ADBCSABC 21)2()(39336212cm 321 BCBD5、如图，如图，ACB=ABD=90，CA=CB，DAB=30，AD=8，求，求AC的长。的长。解：解：ABD=90，DAB=30BD=AD=421在在RtABD中中,根据勾股定理根据勾股定理484822222 BDADAB
30、在在RtABC中，中，CBCACBCAAB 且且,222242122222 ABCACAAB62 AC又又AD=8ABCD308 6、如图，在如图，在ABC中，中，AB=AC，D点在点在CB延长线延长线上，求证：上，求证：AD2-AB2=BDCDABCD证明：证明：过过A作作AEBC于于EEAB=AC，BE=CE在在Rt ADE中，中，AD2=AE2+DE2在在Rt ABE中，中，AB2=AE2+BE2 AD2-AB2=(AE2+DE2)-(AE2+BE2)=DE2-BE2=(DE+BE)(DE-BE)=(DE+CE)(DE-BE)=BDCD历史因你而改变历史因你而改变 学习因你而精彩学习因你
31、而精彩第十七章第十七章 勾股定理勾股定理 两千多年前，古希腊有个哥拉两千多年前，古希腊有个哥拉 斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯年希腊曾经发行了一枚纪念票。年希腊曾经发行了一枚纪念票。定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国
32、家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前国家之一。早在三千多年前 两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年年希腊曾经发行了一枚纪念邮票。希腊曾经发行了一枚纪念邮票。我国是最早了解勾股定理的我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周国家之一。早在
33、三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五勾三、股四、弦五”，它被记，它被记载于我国古代著名的数学著作载于我国古代著名的数学著作周髀算经周髀算经中。中。在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为称为 勾勾，下半部分称为，下半部分称为 股股。我国古代学者把直。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为角三角形较短的直角边称为“勾勾”，较长的直角边，较长的直角边称为称为“股股”，斜边称为，斜
34、边称为“弦弦”.勾勾股股千古第一定理千古第一定理数与形的第一定理数与形的第一定理导致第一次数学危机导致第一次数学危机数学由计算转变为证明数学由计算转变为证明是第一个不定方程是第一个不定方程毕毕达达哥哥拉拉斯斯定定理理勾股（商高）定理勾股（商高）定理看一看看一看 相传相传2500年前，一次毕达哥拉斯去朋年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作客，发现朋友家用砖铺成的地面反友家作客，发现朋友家用砖铺成的地面反映直角三角形三边的某种数量关系，同学映直角三角形三边的某种数量关系，同学们，我们也来观察下面的图案，看看你能们，我们也来观察下面的图案，看看你能发现什么？发现什么？美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史
35、上被传为佳话美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话 人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为就把这一证法称为“总统总统”证法。证法。有趣的总统证法有趣的总统证法ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图2-1图2-2（1）观察图）观察图2-1 正方形正方形A中含有中含有 个个小方格，即小方格，即A的面积是的面积是 个单位面积。个单位面积。正方形正方形B的面积是的面积是 个单位面积。个单位面积。正方形正方形C的面积是的面积是 个单位面积。个单位面积。99918
36、你是怎样得到上面的结你是怎样得到上面的结果的？与同伴交流交流。果的？与同伴交流交流。ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图2-1图2-2cS正方形143 3182 分分“割割”成若干个直成若干个直角边为整数的三角形角边为整数的三角形（单位面积）（单位面积）ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图2-1图2-2cS正方形216218（单位面积）（单位面积）把把C“补补”成边长为成边长为6的的正方形面积的一半正方形面积的一半ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图2
37、-1图2-2（2）在图）在图2-2中，正中，正方形方形A，B，C中各含中各含有多少个小方格？它有多少个小方格？它们的面积各是多少？们的面积各是多少？（3）你能发现图）你能发现图2-1中中三个正方形三个正方形A，B，C的面积之间有什么的面积之间有什么关系吗？关系吗？SA+SB=SC 即：两条直角边上的正方形面积之和等于即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积斜边上的正方形的面积ABC图图3-1ABC图图3-2分割成若干个直角边为分割成若干个直角边为整数的三角形整数的三角形cS正方形25144 3 12 （面积单位）（面积单位）一般的直角三角形一般的直角三角形三边为边作正方形三边
38、为边作正方形ABC图图3-1ABC图图3-2把把C“补补”成边长为成边长为7的的正方形面积加正方形面积加1单位面单位面积的一半积的一半cS正方形25（面积单位）（面积单位）思考：思考：面积面积A，B，C还有上述关系还有上述关系吗？吗？）（17212ABC图图3-1ABC图图3-2（1）你能用三）你能用三角形的边长表示角形的边长表示正方形的面积吗？正方形的面积吗？（2）你能发现）你能发现直角三角形三边直角三角形三边长度之间存在什长度之间存在什么关系吗？与同么关系吗？与同伴进行交流。伴进行交流。议一议议一议 A AB BC Ca ac cb bS Sa a+S+Sb b=S=Sc c 观察所得到的
39、各组数据，你有什么发现？观察所得到的各组数据，你有什么发现？猜想猜想:两直角边两直角边a、b与斜边与斜边c 之间的关系？之间的关系？a a2 2+b+b2 2=c=c2 2a ac cb b 观察所得到的各组数据，你有什么发现？观察所得到的各组数据，你有什么发现？猜想两直角边猜想两直角边a、b与斜边与斜边c 之间的关系？之间的关系？a a2 2+b+b2 2=c=c2 2S Sa a+S+Sb b=S=Sc ca a2 2+b+b2 2=c=c2 2a ac cb b 直角三角形两直角边的平方和直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方等于斜边的平方.勾勾股股弦弦 勾股定理勾股定理(毕达哥拉斯定
40、理毕达哥拉斯定理)1.1.求下列图中表示边的未知数求下列图中表示边的未知数x x、y y、z z的值的值.8181144144x xy yz z625625576576144144169169做一做：做一做：P62540026xP的面积的面积 =_X=_X=_24322622x24225BACAB=_AC=_BC=_251520比比一一比比看看看看谁谁算算得得快！快！2.2.求下列直角三角形中未知边的长求下列直角三角形中未知边的长:可用勾股定理建立方程可用勾股定理建立方程.方法小结方法小结:8 8x x171716162020 x x12125 5x x、如图、如图,一个高一个高3 3 米米,
41、宽宽4 4 米的大门米的大门,需在相需在相对角的顶点间加一个加固木条对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长则木条的长为为 ()()A.3 A.3 米米 B.4 B.4 米米 C.5C.5米米 D.6D.6米米C、湖的两端有、湖的两端有A A、两点，从与、两点，从与A A方向成直方向成直角的角的BCBC方向上的点方向上的点C C测得测得CA=130CA=130米米,CB=120,CB=120米米,则则ABAB为为 ()()ABCA.50A.50米米 B.120B.120米米 C.100C.100米米 D.130D.130米米130120?A如图，大风将一根木制旗如图，大风将一根木制旗杆吹裂，随时
42、都可能倒下，杆吹裂，随时都可能倒下，十分危急。接警后十分危急。接警后“119”119”迅速赶到现场，并决定从迅速赶到现场，并决定从断裂处将旗杆折断。现在断裂处将旗杆折断。现在需要划出一个安全警戒区需要划出一个安全警戒区域，那么你能确定这个安域，那么你能确定这个安全区域的半径至少是多少全区域的半径至少是多少米吗？米吗？议一议：议一议：9m24m?y=01、如图，、如图，受台风麦莎影响，受台风麦莎影响，一棵树在离地面一棵树在离地面4米处断裂米处断裂，树的顶部落在离树跟底部，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高米处，这棵树折断前有多高？应用知识回归生活4米米3米米2、如图、如图:是一个长
43、方形零件图是一个长方形零件图,根据所给的尺寸根据所给的尺寸,求两孔中心求两孔中心A、B之间的距离之间的距离ABC409016040y=0应用知识回归生活想一想想一想 小明妈妈买了一部小明妈妈买了一部29英寸（英寸（74厘米）的厘米）的电视机电视机.小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有只有58厘米长和厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了货员搞错了.你同意他的想法吗？你能解释这你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？是为什么吗？课后探索课后探索 做一个长，宽，高分别为做一个长，宽，高分别为5050厘米，厘米，4040厘厘米，米，3030
44、厘米的木箱，一根长为厘米的木箱，一根长为7070厘米的木棒厘米的木棒能否放入，为什么？试用今天学过的知识说能否放入，为什么？试用今天学过的知识说明。明。acbabc22214)(cabab222cba22222cabaabbabcabcabcba214)(22222cba无字证明无字证明青出青出朱方朱方青方青方朱入朱入朱朱出出青入青入青青入入青出青出青青出出 abc青出青出朱入朱入朱朱出出朱方朱方青方青方青入青入青青入入青出青出青青出出华罗庚华罗庚青青朱朱出入图出入图朱入朱入朱朱出出对比两个图形对比两个图形,你能直接观你能直接观察验证出勾股定理吗？察验证出勾股定理吗？两幅图中彩色的四个直角三角形总面积呢？两幅图中彩色的四个直角三角形总面积呢？提示：图中的两个大正方形面积相等吗？提示：图中的两个大正方形面积相等吗？空白部分的面积呢？那剩余的空白部分的面积呢？那剩余的11美丽的勾股树美丽的勾股树 小结小结 本节课学到了什么数学知识？本节课学到了什么数学知识？你了解了勾股定理的发现方法了吗？你了解了勾股定理的发现方法了吗？你还有什么困惑？你还有什么困惑？
