1、问题情境问题情境 平面向量基本定理表明，平面内任一平面向量基本定理表明，平面内任一向量可以用该平面的两个不共线向量来线向量可以用该平面的两个不共线向量来线性表示，那么，性表示，那么，空间任一向量能用三个不共线的向量空间任一向量能用三个不共线的向量来线性表示吗？来线性表示吗？构建数学构建数学1.平面向量基本定理平面向量基本定理 如果如果 ，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量平面内的任一向量 ，有且只有一对实数，有且只有一对实数1，2，使得使得1e1 122aee 2e a2类比平面向量基本定理，得出空间向量基本定理类比平面向量基本
2、定理，得出空间向量基本定理（1）空间向量的基本定理）空间向量的基本定理123123.eeepxyzp xeyeze 如果三个向量，不共面，那么对于空间任一向量，存在一个惟一的有序实数组（，）,使（2）空间向量基本定理的证明）空间向量基本定理的证明（4）空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底）空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底（5）如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基）如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫做底叫做正交基底正交基底，特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位，特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为向
3、量时，称这个基底为单位正交基底单位正交基底，通常用，通常用 ，表示表示（3）如果三个向量）如果三个向量 ，不共面，那么空间的任一向量都可不共面，那么空间的任一向量都可由由 ，线性表示，我们把线性表示，我们把 ，叫做空间的一个叫做空间的一个基基底底 ，叫做叫做基向量基向量1e2 e3 e1e2 e3 e1e2 e3 e1e2 e3 e（6）推论：推论：设设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点是不共面的四点，则对空间任一点P，都，都存在惟一的三个有序实数存在惟一的三个有序实数x，y，z，使使 OPxOAyOBzOCij k数学应用数学应用1 -.OADB CA D BE AB ODM OD
4、 CEOA OB OCODOM例 如图，在正方体中，点 是与的交点，是与的交点，试分别用向量，表示和 111333ODOA OB OCOMOAOBOC 解：OACMEDBADB2 2.OABCOBACMNOABCGMNMGGNOA OBOCOG例如图，已知空间四边形，其对角线，分别是对边，的中点，点 在线段上，且，用基底，表示向量 212()32312 11()23 22111()2331116331163OG OMMG OMMNOAONOMOAOB OCOAOAOB OCOAOAOBOCOGOAOB解：13OC?A?B?C?O?M?N?G练一练练一练如图，空间平移如图，空间平移ABC到到A1
5、B1C1，连接对应顶点，已知，连接对应顶点，已知 ，且，且M是是BC1的中点，的中点，N在在AC1上，上，12ANNCabcMN ，试用向量，表示1AAaAB bAC c，回顾小结回顾小结本节课学习了以下内容：本节课学习了以下内容：1掌握空间向量基本定理及其推论；掌握空间向量基本定理及其推论；2.理解空间任意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示；理解空间任意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示；3在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一空间向量；在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一空间向量；4思想方法上，类比的思想由平面向量的基本定理思想方法上，类比的思想由平面向量的基本定理扩
6、展到空间向量的基本定理；扩展到空间向量的基本定理；5.空间向量要注重数形结合空间向量要注重数形结合 问题情境问题情境在在“平面解析几何初步平面解析几何初步”一章中，我们已经学习过空一章中，我们已经学习过空间直角坐标系，并能用坐标表示空间任意一点的位置那间直角坐标系，并能用坐标表示空间任意一点的位置那么，么，1如何用坐标表示空间向量？如何用坐标表示空间向量？2怎样进行空间向量的坐标运算？怎样进行空间向量的坐标运算？构建数学构建数学1复习平面向量的坐标表示复习平面向量的坐标表示a2空间向量的坐标表示空间向量的坐标表示 如图，在空间直角坐标系如图，在空间直角坐标系O-xyz中，分别取中，分别取与与x
7、轴、轴、y轴、轴、z轴方向相同的单位向量轴方向相同的单位向量 作为基向量，对于空间任意一个向量作为基向量，对于空间任意一个向量 ，根据空间向量基本定理，存在根据空间向量基本定理，存在惟一的有序实数组惟一的有序实数组（x,y,z ），），使使有序实数组（有序实数组（x,y,z ）叫做向量）叫做向量 在空间直角在空间直角坐标系坐标系O-xyz中的坐标，中的坐标，a()axyz记作：，a ijk，.axiy jzk 对于空间任意一点对于空间任意一点A（x，y，z），），()OAOAxyz向量坐标为，3空间向量的坐标运算法则空间向量的坐标运算法则 123123()()aaaabbbb，（1）若则112
8、233()a bababab ，112233()a bababab ，123()()R，aaaa，112233()R，abababab，数学应用(474)(213 12)3(3924)a ba ba 解：，(138)(3 104)ab，已知已知 求求 3a ba ba，例例2已知空间四点已知空间四点A(2，3，1)，B(2，5，3)，C(10，0，10)和和D(8，4，9)，求证：四边形，求证：四边形ABCD是梯形是梯形解：结论：结论：一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标的终点坐标减去它的起点坐标(482)(24 1)2 3
9、(3924)AB OB OADCABDCaABDCABDCADBC 又与不共线，所以所以四边形ABCD是梯形练一练练一练已知已知A（1，0，0），），B（0，10，0），），C（0，0，2），点），点D满足满足DBAC，DCAB，求，求点点D的坐标的坐标 回顾小结回顾小结本节课学习了以下内容：本节课学习了以下内容：1用坐标表示空间向量的坐标运算；用坐标表示空间向量的坐标运算；2用向量的坐标判断两个空间向量平行；用向量的坐标判断两个空间向量平行；3 思想方法上，类比的思想由平面向量的坐标表示得思想方法上，类比的思想由平面向量的坐标表示得出空间向量的坐标表示方法及性质出空间向量的坐标表示方法及性质4 空间向量要注重数形结合，空间向量要注重数形结合，
