1、 - 1 - 解答题(五) 17(2019 江西省吉安市高三下学期第一次模拟)在ABC 中，角 A，B，C 的 对边分别为 a，b，c，且 2ccosB2ab. (1)求角 C 的大小； (2)若函数 f(x)2sin 2x 6 mcos2x图象的一条对称轴方程为 xC 2， 且f 2 6 5，求 cos 2 3 的值 解 (1)由题意，得 2sinCcosB2sinAsinB，又由 A(BC)，得 sinA sin(BC)sinBcosCcosBsinC，所以 2sinCcosB2sinBcosC2cosBsinCsinB， 即 2sinBcosCsinB0，又因为 B(0，)，则 sinB
2、0，所以 cosC1 2，又C (0，)，C2 3 . (2)因为 f(x)2sin 2x 6 mcos2x2sin2x cos 62cos2xsin 6mcos2x 3 sin2x(m1) cos2x， 又函数 f(x)图象的一条对称轴方程为 xC 2 3， f(0)f 2 3 ， 得 m13sin4 3 (m1)cos4 3 ，解得 m2，f(x)3sin2xcos2x 2sin 2x 6 ，又 f 2 2sin 6 6 5， sin 6 3 5，cos 2 3 cos 2 6 12sin2 6 7 25. 18 (2019 广东汕头一模)如图所示， 四棱锥 PABCD 中， 底面 ABC
3、D 为菱形， 且 PA平面 ABCD，ABC60 ，E 是 BC 的中点，F 是 PC 上的点 (1)求证：平面 AEF平面 PAD； (2)若 M 是 PD 的中点， 当 ABAP 时， 是否存在点 F， 使直线 EM 与平面 AEF - 2 - 所成角的正弦值为1 5？若存在，请求出 PF PC的值；若不存在，请说明理由 解 (1)证明：连接 AC，底面 ABCD 为菱形，ABC60 ，ABC 是正 三角形，E 是 BC 的中点， AEBC，又 ADBC，AEAD， PA平面 ABCD，AE平面 ABCD， PAAE，又 PAADA， AE平面 PAD，又 AE平面 AEF， 平面 AEF
4、平面 PAD. (2)以 A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设 ABAP2，则 AE 3， 则 A(0,0,0)，C( 3，1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E( 3，0,0)，M(0,1,1)， 设PF PC( 3，1，2)，则AFAPPF(0,0,2)( 3，1，2)( 3 ，22)，又AE ( 3，0,0)， 设 n(x，y，z)是平面 AEF 的一个法向量， 则 n AE 3x0， n AF 3xy22z0， 取 z，得 n(0,22，)，设直线 EM 与平面 AEF 所成角为 ，由EM ( 3，1,1)， 得 sin|cosEM ，n| |EM n| |EM
5、 |n| - 3 - |32| 5 2222 1 5， 化简得 1021340， 解得 1 2或 4 5， 故存在点 F 满足题意， 此时 PF PC为 1 2或 4 5. 19(2019 山东聊城二模)某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举办“一 元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐 款箱中至少投入一元钱现统计了连续 5 天的售出水量和收益情况，如下表： 售出水量 x/箱 7 6 6 5 6 收益 y/元 165 142 148 125 150 (1)试建立 y 关于 x 的线性回归方程； (2)预测售出 8 箱水的收益； (3)已知售出 10 箱水时的收益
6、为 225 元，求残差e . 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b i1 n xiyin x y i1 n x2in x 2 ，a y b x . 解 (1)由所给数据计算得 x 1 5(76656)6， y 1 5(165142148125150)146， i1 5 xiyi716561426148512561504420， i1 5 x2i7262625262182， - 4 - 所以b i1 5 xiyi5 x y i1 5 x2i5 x 2 442056146 182562 20， 所以a y b x 14620626. 故所求线性回归方程为y 20x26. (2)将 x
7、8 代入线性回归方程y 20x26 中， 得y 20826186， 所以预测售出 8 箱水的收益为 186 元 (3)当 x10 时，y 201026226， 所以残差e 2252261. 20(2019 湖北荆门四校六月考前模拟)已知函数 f(x)e x xa(xln x)，aR. (1)当 ae 时，求 f(x)的最小值； (2)若 f(x)有两个零点，求参数 a 的取值范围 解 (1)f(x)e x x a(xln x)，定义域为(0，)， f(x)e xx1 x2 ax1 x x1e xax x2 ， 当 ae 时， f(x)x1e xex x2 ，由于 exex 在(0，)上恒成立，
8、故 f(x) 在(0,1)上单调递减，f(x)在(1，)上单调递增 故 f(x)minf(1)ea0. (2)f(x)x1e xax x2 ，当 ae 时，f(x)在(0,1)上单调递减，f(x)在(1， )上单调递增，f(x)minf(1)ea0，f(x)只有一个零点 当 ae 时， axex， 故 exaxexex0 在(0， )上恒成立， 故 f(x)在(0,1) 上单调递减，f(x)在(1，)上单调递增f(x)minf(1)ea0，故当 ae 时， f(x)没有零点. 当 a0)，即 xmy2m1，由 xmy2m1， y24x， 整理得 y24my8m40. 设 B(xB，yB)，则
9、yB24m，故 yB4m2， xB4m24m1， 点 B 的坐标为(4m24m1,4m2) 又由条件得 AB 与 AC 的倾斜角互补，以m 代替点 B 坐标中的 m，可得点 C 的坐标为(4m24m1，4m2) |BC|8m28m28 2m， 且 BC 的中点的横坐标为x BxC 2 4m21， 以线段 BC 为直径的圆与抛物线 E 的准线相切， 4m211|BC| 2 4 2m，解得 m 2 2 ， B(32 2，2 22)，C(32 2，2 22)， kBC1，直线 BC 的方程为 y(2 22)(x32 2)，即 xy1 - 6 - 0. 解法二：设 B(x1，y1)，C(x2，y2)，
10、直线 l1，l2关于 x1 对称，AB 与 AC 的倾斜角互补， kABkACy 12 x11 y22 x21 y12 y21 41 y 22 y22 41 4 y12 4 y220， y1y24， kBCy 1y2 x1x2 y1y2 y21 4 y22 4 4 y1y21， 设直线 BC 的方程为 yxm， 由 yxm， y24x， 整理得 x2(2m4)xm20， x1x22m4，x1x2m2， |BC| 2|x1x2|4 2 m1，且 BC 的中点 D 的横坐标为x 1x2 2 m2， 以线段 BC 为直径的圆与抛物线的准线 x1 相切，x 1x2 2 1|BC| 2 ，即 m 32
11、2 m1，解得 m1, 直线 BC 的方程为 yx1，即 xy10. 22(2018 全国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的方程为 yk|x|2.以坐 标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 2 2cos30. (1)求 C2的直角坐标方程； (2)若 C1与 C2有且仅有三个公共点，求 C1的方程 解 (1)由 xcos，ysin， 得 C2的直角坐标方程为(x1)2y24. (2)解法一：由(1)知 C2是圆心为 A(1,0)，半径为 2 的圆 由题设知，C1是过点 B(0,2)且关于 y 轴对称的两条射线，曲线 C1的方程为 y - 7 - kx2，x0， kx2，xx 成立，求 a 的取值范围 解 (1)当 a1 时，f(x)|x1|x1|， 即 f(x) 2，x1， 2x，11 2 . (2)当 x(0,1)时|x1|ax1|x 成立等价于当 x(0,1)时|ax1|0，|ax1|1 的解集为 0x2 a，所以 2 a1，故 0a2. 综上，a 的取值范围为(0,2
