1、线线 性性 代代 数数目目 录录第一章第一章 行列式行列式第二章第二章 矩矩 阵阵第三章第三章 向量空间向量空间第四章第四章 线性方程组线性方程组第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量第六章第六章 实二次型实二次型第一章第一章 行列式行列式行列式是为了求解线性方程组而引入的，但在线性代数和其它数学领域以及工程技术中，行列式是一个很重要的工具。本章主要介绍行列式的定义、性质及其计算方法。1.1 行列式的定义一、二阶行列式 我们用记号 22211211aaaa表示代数和a11a22a12a21称为二阶行列式。其中元素 aij 的第一个下标 i 为行下标，第二个下标 j 为列下标。即 aij
2、 位于行列式的第 i 行第 j 列。11a12a22a主对角线主对角线次对角线次对角线2211aa.2112aa 二阶行列式的计算 对角线法则21a（口诀：叉叉相乘来相减口诀：叉叉相乘来相减）例如132722abab1 7(2)313 22abba说明说明（1）二阶行列式共有 2 项，即 项2!（2）每项都是位于不同行不同列的两个元素的乘积（3）正负项各占一半.（4）行列式的本质是数.二、三阶行列式二、三阶行列式同理，称312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa为一个三阶行列
3、式。可用下面的对角线法则对角线法则计算。332211aaa.322311aaa 322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 333231232221131211aaaaaaaaa说明说明（1）三阶行列式共有 6 项，即 项!3（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积（3）正负项各占一半.333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 2-43-122-4-21D 计算三阶行列式计算三阶行列式按对角线法则，有按对角线法则，有 D4)2
4、()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 24843264 .14 解解 解 1 1140101 2aaa1 1140101 2aaa a210当且仅当|a|1因此可得：例例 2 当a取何值时，10100.411aa所以，当|a|1时，10100?411aa练习题练习题00.00aDbcde2.计算110231.112D 1.计算三、三、n阶行列式的定义阶行列式的定义三阶行列式三阶行列式333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 说明说明（1）三
5、阶行列式共有 6 项，即 项!3（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积（3）正负项各占一半.定义定义n2称为n阶行列式.个数aij(i j1 2 n)组成的记号由111212122212nnnnnnaaaaaaDaaaija说明说明（1）n阶行列式共有n!项（2）每项都是位于不同行不同列的n个元素的 乘积（3）正负项各占一半.（4）一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆.aa （5）行列式的本质是数.四、几个特殊的行列式111212221122112122112212.0.00.0.0.0.nnnnnnnnnnnnaaaaaa aaaaaaa aaaaa1)上三角行列式 2)下三角行列式
6、12121(1)2212 0.00.0 .0 0.)0.00.0 (1).0 0nnnnnn 3)主对角行列式4 次对角行列式例例1 1计算下列行列式的值计算下列行列式的值111230246;00370005D20001002003004000D 3100030;102D 解：解：12330;24;6;DDD1.2 行列式按行（列）展开一、余子式与代数余子式在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作nijaij1 nija.Mij ，记记ijjiijMA 1叫做
7、元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式ija.个个代代数数余余子子式式对对应应着着一一个个余余子子式式和和一一行行列列式式的的每每个个元元素素分分别别;ijijijijijAMijAM 当偶数时，当奇数时，74210321123a23A例例1 1 行列式的元素的代数余子式为 A-2 B2 C-1 D1（A）解：解：2 32323(1)AM 11242 333231232221131211aaaaaaaaa二、行列式展开定理111112121313a Aa Aa A111121213131a Aa Aa A212122222323a Aa Aa A313132323333a Aa Aa A121
8、222223232a Aa Aa A131323233333a Aa Aa A结论：三阶行列式的值等于任一行（列）的各元素与其对结论：三阶行列式的值等于任一行（列）的各元素与其对 应的代数余子式乘积之和应的代数余子式乘积之和.11221122 .(1,2,)(1).(1,2,)(2)iiiiininjjjjnjnjijija Aa Aa ADina Aa Aa ADjnAaD或行列式展开其中，是元素在 中的代数余子式理.定定定理理1()1()：行列式等于任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。即：例1 计算行列式112304211D解一：解一：对角线法则；解二：解二：展开法则.总结：
9、总结：1.利用展开法则计算行列式时，应选择还有 零元素最多的行（列）展开.2.如果行列式的某一行（列）只有一个非零元，则行列式等于该非零元与其代数余子式的乘积.例例2 计算行列式1021211010031021D例例3 计算行列式3107101523310012D例例4 计算行列式0100000200000300000450000D 例例4 计算行列式0102010Dnn 解解:按照第一列展开11112(1)(1)!1nnnDnAnnn 11221122 .(1,2,)(1).(1,2,)(2)iiiiininjjjjnjnjijija Aa Aa ADina Aa Aa ADjnAaD或行列
10、式展开其中，是元素在 中的代数余子式理.定定定理理1()1()：行列式等于任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。即：11221122 .0 (3).0 (4)ijijinjnjijinjnia Aa Aa Aija Aa Aa Aij定定理理2 2：行列式某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零即：练习题1.1.求出求出210412111D中元素中元素a23、a33的代数余子式，并求的代数余子式，并求出出D的值的值.1254032004110113D2.计算下列行列式的值计算下列行列式的值1.3 行列式的性质与计算一、行列式的性质 n阶行列式共有n!项
11、 因此定义计算n阶行列式是较为困难的 只有少数行列式用定义计算比较方便 我们已经知道三角行列式的值就是主对角线上各元素的乘积 因此我们想到能否把一般的行列式化成三角行列式来计算 这就需要研究行列式的性质 nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa D2121nnaaannaaa2112 TDnnaaa2211例例102131316010104264TDD 行列互换转置行列式 将行列式D的行与列互换后得到的行列式称为D的转置 行列式 记为DT或D 即如果 则则 行列式与它的转置行列式相等.即D=DT.例例102316104D 131010264TD 2 212(1)(1)214 2
12、212(1)(1)214 说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.所以只需研究行列式有关行的性质，其所 有结论对列也是自然成立的.用数k乘行列式D的某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于k D.这也就是说，行列式可以按行（列）提出公因数.1112111212niiinnnnnaaaDkakakaaaa111211212niiinnnnnaaak aaakDaaa必须按行或按列逐次提出公因数证明：111.nnijijijijjjDka Aka AkD例例1 计算行列式25564103615D 例例3 计算反对称反对称行列式000abDacbc 例例2
13、 计算行列式abacaeDbdcddebfcfef 结论：奇数阶反对称行列式的值为零 111211112111211212112.nnjjjnjjjiiiniinnnnnaaaaaaaaaaaaaaDDaaaaaa 互换行列式两行(或列)的位置，行列 式值变号。性质设 3.3.111.nnnninaaaDaD 则 例如例如推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零此行列式为零.证明证明互换相同的两行，有互换相同的两行，有 .0 D,DD ,571571 266853.825825 361567567361266853例如例如1232350123性
14、质行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零证明证明12121112112iiinnnnnniiinaaakaaaaaaakaka12111211212nnnnniiiniiinaaakaaaaaaaaa.0 因为第一行与第二行对应元素成比例 根据性质4 得：解解 例例4 4 计算行列式1252410524D 12524100524例例5 5 解方程2211231223023152319xx 解解 当221x 时，第一行与第二行完全相同，行列 式的值为零，解得：121,1.xx 当295x 时，第三行与第四行完全相同，行列 式的值为零，解得：342,2.xx 性质5若行列式的某一行（列
15、）的元素都是两数之和.nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD)()()(2122222211111211 则D 等于下列两个行列式之和：nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaD 122211111122211111例如例如应当逐行、逐列拆开例例6 6 计算行列式231503201298523D例例7 7 已知1112223331abcabcabc，求111122223333423423423aabcaabcaabc的值.性质性质把行列式的某一行（列）的所有元素乘把行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一个数以后加到另一行（列）的对应元素上以
16、同一个数以后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式不变去，行列式不变njnjninjjinjiaaaaaaaaaaaa122221111111111112122221()()()ijjnijjjnninjnjnjaakaaaaakaaaaakaaa k例如例如或例例7 7 证明：11001100002002kDkk的充要条件是1k 2.k 例例8 8 计算行列式111213212223313233.abababDabababababab二、行列式的计算1、对角线法则（只适合于二阶、三阶行列式）、对角线法则（只适合于二阶、三阶行列式）2112221122211211 aaaaaaaa 33323
17、1232221131211aaaaaaaaaa11a22a33a12a23a31a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31 注意：注意：对角线法则对四阶及四阶以上的行列对角线法则对四阶及四阶以上的行列式不再适用式不再适用.2、化三角形法、化三角形法 行列式的性质行列式上（下）三角行列式注意：注意：（1）在互换两行或两列时，必须在新的行列 式的前面乘上（1）；（2）在按行或按列提取公因子k时，必须在新 的行列式前面乘上k；（3）避免分数运算.例例9 9 计算行列式110231.132D 例例10 10 计算行列式2310421121210110D例例11 11 计算
18、行列式10212110.12030321D3、降阶法、降阶法思想：思想：把某一行（列）化成只有一个非零元，然后按该行（列）展开.例例12 12 计算行列式21413121.52327025D例例13 13 计算行列式31111311.11311113D 特征：特征：每一行、每一列元素之和为6.做法：做法：先把后三列都加到第一列上去，提出第一列的公因数，再将后三行都减去第一行.例例14 14 计算行列式0000000000 (1).000000nababaDnabba练习题P23.2,4(1),6(1)、(2)、(4)、(5)、(6)、(7)、(8)、1.4 克拉默法则用消元法解二元线性方程组用
19、消元法解二元线性方程组 .,22221211212111bxaxabxaxa 1 2 :122a,2212221212211abxaaxaa :212a,1222221212112abxaaxaa ，得，得两式相减消去两式相减消去2x;212221121122211baabxaaaa ）（，得，得类似地，消去类似地，消去1x,211211221122211abbaxaaaa ）（时，时，当当021122211 aaaa方程组的解为方程组的解为211222112122211aaaabaabx .211222112112112aaaaabbax 22211211222121aaaaabab 222
20、11211221111aaaababa nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111 与 0 00221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa 前者称为非齐次线性方程组非齐次线性方程组 后者称为齐次线性方程组齐次线性方程组 行列式 212222111211nnnnnnaaaaaaaaaD 称为线性方程组的系数行列式系数行列式 12 ,.,nijinx xxnab含有个末知数的个线性方程的方程组称为线性方程组，称为方程组的系数，称为常数项。常数项不全为零的方程组称为非齐次线性方程组，常数项全为
21、零的方程组称为齐次方程组。一、线性方程组的概念一、线性方程组的概念二、克拉默法则二、克拉默法则如果线性方程组如果线性方程组)1(22112222212111212111 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系数行列式不等于零，即的系数行列式不等于零，即nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 0.,332211DDxDDxDDxDDxnn 其中其中 是把系数行列式是把系数行列式 中第中第 列的元素用方程列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即阶行列式，即jDDjnnnj,nnj,nnnj,j,jaabaaa
22、abaaD11111111111 那么线性方程组那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解有解，并且解是唯一的，解可以表为可以表为 1例例1 1 求解方程组12312312323527222544xxxxxxxxx 解：解：1241121252763,27632545322434121157126,5218924322222445DDDD由于方程组的系数行列式 ,由克拉默法则，0D 得方程组的唯一解：1231,2,3xxx齐次线性方程组的相关定理齐次线性方程组的相关定理 2000221122221211212111 nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa定理定理1.4.31.4.
23、3如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组 的系数行的系数行 列式列式 则它只有零解：则它只有零解：0 D 2120nxxx注：注：n个方程n个未知量的齐次线性方程组只有零解当且仅当它的系数行列式不等于零；它有非零解当且仅当它的系数行列式等于零。这是一个非常重要的结论。例例2 2 判断下列线性方程组是否只有零解.1234123423412343205340205330 xxxxxxxxxxxxxxx解：因为方程组的系数行列式1312153440002115133D 所以方程组只有零解.例例3 3 当k为何值时，下列齐次线性方程组只有零解？141241241234020(2)40230kxxxxxkxxxxxxkx解：因为方程组的系数行列式00112013(55)012104213kDkkkk 所以当 时，此齐次线性方程组只有零解.1k 用克拉默法则求解线性方程组有两个前提条件：1.方程个数与未知量个数相等；2.方程组的系数行列式不等于零.缺点:计算量大.在实际解线性方程组时一般不用 克拉默法则.问问 取何值时，齐次方程组取何值时，齐次方程组123123123000 xxxxxxxxx有非零解？有非零解？练习题练习题
