1、自动控制原理电子教案第二章-数学模型重点：重点：难点：难点：2.2.传递函数的概念、典型环节的传递函数。传递函数的概念、典型环节的传递函数。实际物理系统，特别是机械系统微分方程的列写。实际物理系统，特别是机械系统微分方程的列写。3.3.系统框图的建立、化简。系统框图的建立、化简。4.4.梅逊公式的应用。梅逊公式的应用。1.1.拉氏变换的定义与常见函数的拉氏变换。拉氏变换的定义与常见函数的拉氏变换。1.1.数学模型数学模型：自控系统的组成可以是电气的、机械的、液压或气动自控系统的组成可以是电气的、机械的、液压或气动的等等，然而描述这些系统发展的模型却可以是相同的。的等等，然而描述这些系统发展的模
2、型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研究自动控制系统，可以摆脱各因此，通过数学模型来研究自动控制系统，可以摆脱各种不同类型系统的外部特征，研究其内在的共性运动规种不同类型系统的外部特征，研究其内在的共性运动规律。律。建立系统的数学模型，是分析和设计控制系统的首要工建立系统的数学模型，是分析和设计控制系统的首要工作（或基础工作）。作（或基础工作）。2.2.建立数学模型的目的：建立数学模型的目的：描述系统内部物理量（或变量）之间动态关系的表达式。描述系统内部物理量（或变量）之间动态关系的表达式。3.3.建模方法：建模方法：5.5.由数学模型求取系统性能指标的主要途径由数学模型求取系统性能指标的主
3、要途径 微分方程微分方程 传递函数传递函数 频率特性频率特性 状态方程状态方程 求解求解观察观察线性微分方程线性微分方程性能指标性能指标传递函数传递函数时间响应时间响应 频率响应频率响应拉氏变换拉氏变换拉氏反变换拉氏反变换估算估算估算估算计算计算S=j频率特性频率特性4.4.常用数学模型常用数学模型 系系统统辨辨识识课课研研究究实实验验法法本本课课研研究究分分析析法法 微分方程的列写的步骤：微分方程的列写的步骤：1.确定系统的输入、输出变量；确定系统的输入、输出变量；2.从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所遵循的物理定理写出各微分方程；所遵
4、循的物理定理写出各微分方程；4.变换成标准形式。变换成标准形式。dttdyftF)()(1)()(2tkytF )()()(2122tFtFtFdttydm)()()()(22tFtkydttdyfdttydm 例：例：图为机械位移系统。图为机械位移系统。F y(t)k fm整理得整理得:解解:弹簧弹性力弹簧弹性力:阻尼器的阻尼力阻尼器的阻尼力:2.1.1机械系统机械系统 例：例：如图如图RLC电路，试列写以电路，试列写以ur(t)为输入量为输入量，uc(t)为输出量的网为输出量的网络微分方程。络微分方程。RLCi(t)ur(t)uc(t)解解:)()()()(tutRitudttdiLrc
5、dttictuc)(1)()()()()(22tutudttduRCdttudLCrccc 2.1.2 电系统电系统 用线性微分方程描述的系统，称为线性系统。如果方程的用线性微分方程描述的系统，称为线性系统。如果方程的系数为常数，则称为线性定常系统；如果方程的系数不是常数，系数为常数，则称为线性定常系统；如果方程的系数不是常数，而是时间的函数，则称为线性时变系统。而是时间的函数，则称为线性时变系统。线性系统的特点是具有线性系统的特点是具有线性性质，即遵循叠加原理。线性性质，即遵循叠加原理。分析上述系统模型还可以看出，描述系统运动的微分方程的分析上述系统模型还可以看出，描述系统运动的微分方程的系
6、数都是系统的结构参数及其组合，系数都是系统的结构参数及其组合，这就说明系统的动态特性是这就说明系统的动态特性是是系统的固有特性，取决于系统结构及其参数。是系统的固有特性，取决于系统结构及其参数。式中：式中：，和和 ，由由系统结构参数系统结构参数决定的实常数决定的实常数。由于实际系统中总含有惯性元件以及受到能源能量。由于实际系统中总含有惯性元件以及受到能源能量的限制，所以总是的限制，所以总是:在工程实践中，可实现的线性定常系统，均能用在工程实践中，可实现的线性定常系统，均能用 阶常系数线阶常系数线性微分方程来描述其运动特性。设系统的输入量为性微分方程来描述其运动特性。设系统的输入量为 ，系统的输
7、，系统的输出量为出量为 ，则单输入、单输出，则单输入、单输出 阶系统常系数线性微分方程有如阶系统常系数线性微分方程有如下的一般形式下的一般形式：txc txrnn txadttdxadttxdadttxdadttxdacncnncnncnncn12221110 txbdttdxbdttxdbdttxdbrmrmmrmmrm111100a1ana0b1bmbnm nm2.2 2.2 拉氏变换与反变换拉氏变换与反变换2.2.1 2.2.1 拉氏变换拉氏变换一一.拉氏变换的定义：拉氏变换的定义：0edstF sL f tf tt 0edstF sL f tf tt 0edstF sL f tf tt
8、L 式中：式中：是复变数，是复变数，（、均为实数），均为实数），sjs表示进行拉普拉斯变换的符号。表示进行拉普拉斯变换的符号。L象函数象函数)(sF注意：注意：（1 1）在任一有限区间内，）在任一有限区间内，为分段函数，只能有有限个间断点。为分段函数，只能有有限个间断点。tf 原函数原函数 tf（2）当时间当时间 ，。0t atMetf当当 时，则时，则 的拉氏变换为：的拉氏变换为：tf0t0t有一个以时间有一个以时间 为自变量的实变函数为自变量的实变函数 ，且，且 时时t tf0t 0tf二二.几种典型函数的拉氏变换几种典型函数的拉氏变换 1.1.单位阶跃函数的拉氏变换单位阶跃函数的拉氏变换
9、 )0(1)0(0)(1ttt)0(1)0(0)(1ttt0t0t0e1de)(1)(1)(0stststttLsF0e1de)(1)(1)(0stststttLsF 0011e deststttsLssstLst1)1(00e1)(1 2.2.单位脉冲函数单位脉冲函数(t)的拉氏变换的拉氏变换 00 01lim0t ttt 和0001l i m0tttt 和00 01lim 0t ttt 和 00 01l i m 0tttt 和 0001l i m0t ttt 和 0001l i m 0t ttt 和 单位脉冲函数单位脉冲函数 0fdttft 100tststedtettL单位脉冲函数的性质
10、：单位脉冲函数的性质：又称单位斜坡函数又称单位斜坡函数，其数学表达式为：，其数学表达式为：3.3.单位速度函数的拉氏变换单位速度函数的拉氏变换 00tf ttt 0dettsFst21s4.4.单位加速度函数的拉氏变换单位加速度函数的拉氏变换 200102tf ttt 23112F stsL 5.5.指数函数指数函数 的拉氏变换的拉氏变换 attf e 0)(0dedeeettLsFtasstatat0e1de)(1)(1)(0stststttLsFassLsFat11e)(1Las1 6.6.正弦函数与余弦函数的拉氏变换正弦函数与余弦函数的拉氏变换01desinsin)(tttLsFstL
11、sF22j1j1j21sss sF 222cossF sLtsL 三三.拉氏变换的主要定理拉氏变换的主要定理1.1.叠加定理叠加定理拉氏变换服从线性函数的齐次性和叠加性。拉氏变换服从线性函数的齐次性和叠加性。设设 ，则，则 式中：式中：常数。常数。sFtfLL af taF sLa（1 1）齐次性齐次性（2）叠加性叠加性设设 ，则，则 两者结合起来，就有两者结合起来，就有:sFtfL11L sFtfL22L sFsFtfLtfLtftfL2121212.2.微分定理微分定理同样，可得同样，可得 的各阶导数的拉氏变换是：的各阶导数的拉氏变换是：tf设设 ，则，则 。式中：式中：函数函数 在在 时
12、刻的值，即时刻的值，即初始值初始值。sFtfLL)0()(d)(dfssFttfLL)0(f0t tf 式中：式中：，原函数各阶导数在原函数各阶导数在时刻的值。时刻的值。)0(f)0(f 10nf0t如果函数如果函数 及其各阶导数的初始值均为零（称为零初始件），及其各阶导数的初始值均为零（称为零初始件），则则 各阶导数的拉氏变换为各阶导数的拉氏变换为:tf tf 23nnftsF sfts F sfts F sfts F sLLLL设设 ，则，则 。式中式中:积分积分 在在 时刻的值。时刻的值。sFtfL)0(1)(1d)()1(fssFsttfL)0()1(fttfd)(LL0t3.3.积分
13、定理积分定理)(1d)(sFsttfLL当初始条件为零时，当初始条件为零时，L)(1d)(sFsttfLnnn L当初始条件为零时，当初始条件为零时，)0(1)0(1)(1d)()1(nnnnnfsfssFsttfLL对多重积分是对多重积分是 10nf它表明原函数在它表明原函数在 时的数值。时的数值。0t 0limlimtsf tsF s即原函数的初值等于即原函数的初值等于 乘以象函数的终值。乘以象函数的终值。s 4.4.初值定理初值定理5.5.终值定理终值定理设设 ，并且，并且 存在，则存在，则 sFtfL)(limtft)(lim)()(lim0ssFftfstL即原函数的终值等于即原函数
14、的终值等于 乘以象函数的初值。乘以象函数的初值。s2.2.2 2.2.2 拉氏反变换拉氏反变换拉氏反变换的公式为：拉氏反变换的公式为：jj1de)(j21)(ccstssFsFLtf jj1de)(j21)(ccstssFsFLtf1L通常将复杂函数展开成有理分式函数之和，然后由拉氏变换表一一通常将复杂函数展开成有理分式函数之和，然后由拉氏变换表一一查出对应的反变换函数，即得所求的原函数查出对应的反变换函数，即得所求的原函数 。tf式中：式中：表示拉普拉斯反变换的符号表示拉普拉斯反变换的符号1L求解拉氏反变换的方法：求解拉氏反变换的方法：部分分式法部分分式法 在控制理论中，常遇到的象函数是在控
15、制理论中，常遇到的象函数是 的有理分式的有理分式:snnnnmmmmasasasabsbsbsbsAsBsF11101110)()()(为了将为了将 写成部分分式，首先将写成部分分式，首先将 的分母因式分解，则有的分母因式分解，则有:)(sF)(sF 部分分式法部分分式法式中，式中，是是 的根，称为的根，称为 的的极点极点。按照。按照这些根的性质，可分为以下几种情况来研究。这些根的性质，可分为以下几种情况来研究。1p2pnp)(sF0)(sA nmmmmpspspsbsbsbsbsF2111101.1.的极点为的极点为各不相同的实数各不相同的实数时的拉氏反变换时的拉氏反变换)(sF再根据拉氏变
16、换的叠加定理，求原函数。再根据拉氏变换的叠加定理，求原函数。njjjnnpsApsApsApsA12211 jjpssFApsj nmmmmpspspsbsbsbsbsAsBsF211110式中，式中，是是待定系数待定系数，它是，它是 处的留数，其求法如下：处的留数，其求法如下：jps jA （2.37）23)2)(3(2)6(2)(321222sAsAsAsssssssssssF31)2)(3(2)(0201ssssssssssFA158)3()2)(3(2)3)(3232ssssssssssFA)6(2)(22ssssssF例例1 1：求：求 的原函数。的原函数。解解:首先将首先将 的分母
17、因式分解，则有：的分母因式分解，则有：sF54)2()2)(3(2)2)(2223ssssssssssFA)0(e54e1583123ttt0t31)(sF1581s5431s21s1L1L1L tf sFL2.2.含有共轭复数极点时的拉氏反变换含有共轭复数极点时的拉氏反变换)1(1)(2sssssF例例2:2:已知已知 ,求求 。)(tf12321ssAsAsA)1(12sssssF112ssss解：解：11)(2sssssF2223211sss22222321212321211ssss222223212323212321211ssss)0(23sine57.023cose1)(2121tt
18、ttftt0t查拉氏变换表得：查拉氏变换表得：2.2.3 2.2.3 应用拉氏变换解线性微分方程应用拉氏变换解线性微分方程应用拉氏变换解线性微分方程时，采用下列步骤：应用拉氏变换解线性微分方程时，采用下列步骤：(2)(2)解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式；解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式；(3)(3)用用拉氏反变换拉氏反变换得到微分方程的时域解。得到微分方程的时域解。(1)(1)对线性微分方程中每一项进行对线性微分方程中每一项进行拉氏变换拉氏变换，使微分方程变为，使微分方程变为 的代数方程；的代数方程；s2.3.1 2.3.1 传递函数的概念传递函数的概念()()()C sG
19、sR s1.1.定义定义 C sG s R s 线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换 与与输入量的拉氏变换输入量的拉氏变换 之比，称为传递函数之比，称为传递函数 。C s R s G s一般系统的传递函数为：一般系统的传递函数为：nnnnmmmmasasasabsbsbsbsRsCsG11101110mn 2.2.传递函数的性质：传递函数的性质：（1 1）传递函数是）传递函数是s s的函数，其中分子表示了系统与外界的联系，分的函数，其中分子表示了系统与外界的联系，分母反映了系统本身的固有特性。母反映了系统本身的固有特性。（3）nm，因为实际系
20、统或元件总存在惯性。，因为实际系统或元件总存在惯性。（4）传递函数可以有量纲，也可以没有；）传递函数可以有量纲，也可以没有；（5）物理性质不同的系统、环节或元件，可以具有相同形式的传递）物理性质不同的系统、环节或元件，可以具有相同形式的传递 函数。函数。（2）若输入给定，则系统的响应为：）若输入给定，则系统的响应为：c tLC sLG s R S零状态响应零状态响应 nnnnmmmmasasasabsbsbsbsRsCsG111011101.1.传递函数可写为如下形式：传递函数可写为如下形式：njjmiisTssKsG11)1()1()(K K称为传递系数或增益，在频率法中使用较多。称为传递系
21、数或增益，在频率法中使用较多。2.3.2 2.3.2 传递函数的零点传递函数的零点(zero)和极点和极点(pole)0 j S平面平面 零、极点分布图：零、极点分布图：2.2.传递函数也可分解为如下形式：传递函数也可分解为如下形式：首首1 1型型尾尾1 1型型 njjmiinmpszskpspspszszszsksRsCsG112121式中式中z zi i称为称为零点零点；p pj j称为称为极点极点；称为传递系数或根轨迹增益。称为传递系数或根轨迹增益。k0 j S平面平面1.1.极点决定系统的稳定性。极点决定系统的稳定性。2.3.3 2.3.3 零点和极点对系统性能的影响零点和极点对系统性
22、能的影响 稳定性、快速性、准确性稳定性、快速性、准确性jjjpj 系统极点的形式：系统极点的形式：当当 时，系统是稳定的。时，系统是稳定的。0jj 越大，系统消除误差的速度越快，快速性越好。越大，系统消除误差的速度越快，快速性越好。j 影响了自由响应的振荡情况，决定了系统在规定时间内接影响了自由响应的振荡情况，决定了系统在规定时间内接 近稳态的情况。近稳态的情况。系统特征方程的根系统特征方程的根当当 时，如果自由响应收敛于时，如果自由响应收敛于0 0，那么系统是稳定的。，那么系统是稳定的。t 必落在复平面的左半平必落在复平面的左半平面面12184()246(1)(2)ttsc tLees ss
23、2.2.零点影响各模态在响应中所占比重。零点影响各模态在响应中所占比重。例例 具有相同极点不同零点的两个系统具有相同极点不同零点的两个系统 ,分别求零初始条件下的单位阶跃响应。分别求零初始条件下的单位阶跃响应。184()(1)(2)sG sss234()(1)(2)sG sss12234()2(1)(2)ttsc tLees ss-1 -2 0 ImRe 1z2z两个系统的极点为两个系统的极点为-1-1、-2-2，零点分别为：，零点分别为：-0.5-0.5、-1.3-1.3。解：解：2.3.42.3.4 典型环节的传递函数典型环节的传递函数 1.1.比例环节：比例环节：2.2.微分环节：微分环
24、节：G sK G ss（1）输出是输入的导数，即输出反映了输入信号的变化趋势）输出是输入的导数，即输出反映了输入信号的变化趋势,有预告的能力。有预告的能力。特点特点:（2）增加系统的阻尼比。）增加系统的阻尼比。（3）强化噪声。既然对输入有预测能力，那么对噪声也能预测。）强化噪声。既然对输入有预测能力，那么对噪声也能预测。因而微分环节常用来改善控制系统的动态性能。因而微分环节常用来改善控制系统的动态性能。3.3.积分环节：积分环节：1G ss（1）输出量取决于输入量对输出量取决于输入量对 时间的积累。时间的积累。（2 2）输出相对于输入有明显）输出相对于输入有明显 的滞后，有滞后作用。的滞后，有
25、滞后作用。特点特点：11)(TssG()1G sTs4.4.一阶微分环节：一阶微分环节：5.5.惯性环节：惯性环节：2222 21()221nnnG sssT sTs6.6.二阶微分环节：二阶微分环节：7.7.振荡环节：振荡环节：8.8.延时环节：延时环节：2221G sT sTs sG sen阻尼比阻尼比无阻尼振荡频率无阻尼振荡频率（1 1）当）当0 1时，输出为一振荡过程，称为振荡环节。时，输出为一振荡过程，称为振荡环节。（2 2）当）当 1时，输出为一指数上升曲线而不振荡，这时不是时，输出为一指数上升曲线而不振荡，这时不是 振荡环节。振荡环节。2.4.1 2.4.1 框图的构成要素框图的
26、构成要素以图形描述系统信号传递关系的数学模型。以图形描述系统信号传递关系的数学模型。方框图（框图）：方框图（框图）：表示对信号进行数学变换。表示对信号进行数学变换。C sG s R s表示对两个或两个以上信号进行加减运算。表示对两个或两个以上信号进行加减运算。1.1.方框：方框：2.2.比较点：比较点：E sR sB s“+”“+”表示相加，表示相加，“-”“-”表示相减。表示相减。注意：只有相同量纲的量才能比较。注意：只有相同量纲的量才能比较。表示同一信号向不同方向传递。表示同一信号向不同方向传递。1.1.框图的建立步骤框图的建立步骤(1)(1)根据系统遵循的定律，建立系统的微分方程；根据系
27、统遵循的定律，建立系统的微分方程；(2)(2)在零初始条件下对微分方程进行拉氏变换，并根据在零初始条件下对微分方程进行拉氏变换，并根据因果关系因果关系 绘出相应的框图；绘出相应的框图；(3(3）按照信号的传递过程，依次将各框图连接起来，系统输入量）按照信号的传递过程，依次将各框图连接起来，系统输入量 置于左端，输出量置于右端，便得到系统的框图。置于左端，输出量置于右端，便得到系统的框图。3.3.引出点：引出点：注：同一位置引出的注：同一位置引出的 信号不仅量纲相信号不仅量纲相 同，数值也相等。同，数值也相等。2.4.2 2.4.2 框图的建立框图的建立方程个数比中间变量多方程个数比中间变量多1
28、 1个个输入输入 中间变量中间变量 输出输出例例1 绘出绘出RC电路的框图。电路的框图。R Cui(t)uo(t)（1）根据电路遵循的定律，根据电路遵循的定律，列写微分方程：列写微分方程：（2 2）对上式进行拉氏变换，并绘出相应框图）对上式进行拉氏变换，并绘出相应框图:i(t)解解:iou tRi tut 1outi t dtC 1oUsI sCs ioUsRI sUs（3 3）将上述各框图按照信号的传递方向连接起来，即构成）将上述各框图按照信号的传递方向连接起来，即构成 RC RC网络的框图网络的框图:输入输入 中间变量中间变量 输出输出 反馈线反馈线2()()()C sG s Y s12(
29、)()()C sC sC s2.4.3 2.4.3 框图的等效变换法则框图的等效变换法则2.方框的并联等效方框的并联等效1.1.方框的串联等效方框的串联等效21()()()G s G s R s12()()()G sG s R s12()()()()G s R sG s R s()()()1()()C sG sR sG s H s3.反馈连接的框图等效反馈连接的框图等效 B sG s H sE s称为开环传递函数称为开环传递函数 E sR sB s B sH s C s C sG s E s G sR sB s G sR sH s C s如果如果 ，称为单位反馈。，称为单位反馈。1H s 称为
30、闭环传递函数称为闭环传递函数 BGs KGs（3 3）将上述各框图按照信号的传递方向连接起来，即构成）将上述各框图按照信号的传递方向连接起来，即构成 RC RC网络的框图网络的框图:惯性环节（一阶系统）惯性环节（一阶系统）4.4.引出点的移动等效引出点的移动等效G(s)R(s)G(s)1R(s)a.a.引出点前移引出点前移 C(s)=G(s)R(s)b.b.引出点后移引出点后移加加“本身本身”加加“倒数倒数”5.5.比较点的移动等效比较点的移动等效 C sG sR sB s a.a.比较点前移比较点前移 b.b.比较点后移比较点后移 加加“本身本身”加加“倒数倒数”1G sR sB sG sC
31、(s)=G(s)R(s)-B(s)G s R sG s B sC(s)=E(s)-B2(s)=R(s)-B1(s)-B2(s)=R(s)-B2(s)-B1(s)6.6.相邻的相加点可互换位置或合并相邻的相加点可互换位置或合并7.7.相邻的引出点可互换位置或合并相邻的引出点可互换位置或合并2.4.4 2.4.4 框图的化简框图的化简（1 1）判断有无交叉情况。）判断有无交叉情况。（2 2）如无交叉情况，利用等效法则）如无交叉情况，利用等效法则1 1、2 2、3 3化简即可。化简即可。（3 3）如有交叉情况，先利用等效法则）如有交叉情况，先利用等效法则4 4、5 5、6 6、7 7消去交叉，消去交
32、叉，然后按照步骤然后按照步骤2 2化简即可。化简即可。1.1.框图化简步骤框图化简步骤a ab b2.4.5 2.4.5 反馈系统的传递函数反馈系统的传递函数1.1.系统开环传递函数系统开环传递函数 断开系统的主反馈通路。把断开系统的主反馈通路。把G G1 1(s)G(s)G2 2(s)H(s)(s)H(s)之积称为该之积称为该系统的开系统的开环传递函数环传递函数。12()()()()()B sG s G s H sE s 2.2.R R(s s)作用下的闭环传递函数作用下的闭环传递函数 令令N N(s s)=0)=0，此时，此时C C1 1(s s)对对R R(s s)的闭环传递函数为：的闭
33、环传递函数为：sHsGsGsGsGsRsCsRC2121113.3.N N(s s)作用下系统的闭环传递函数作用下系统的闭环传递函数令令R R(s s)=0)=0，此时，此时C C2 2(s s)对对N N(s s)的闭环传递函数为的闭环传递函数为:sHsGsGsGsNsCsNC212214.4.系统的总输出系统的总输出 C RC N1221212()()()()()()()()()()1()()()1()()()C ss R ss N sG s G sG sR sN sG s G s H sG s G s H s 根据线性叠加原理，系统的总输出等于各外作用引起的输出的根据线性叠加原理，系统的
34、总输出等于各外作用引起的输出的总和。总和。5.5.闭环系统的误差传递函数闭环系统的误差传递函数 闭环系统在输入信号和扰动信号的作用下，闭环系统在输入信号和扰动信号的作用下，以误差信号作为输出以误差信号作为输出量量时的传递函数为时的传递函数为系统误差传递函数系统误差传递函数。E R12()1()()1()()()E ssR sG s G s H s 令令N N(s s)=0)=0，此时，此时E E(s s)对对R R(s s)的误差传递函数为：的误差传递函数为：2E N12()()()()()1()()()G s H sE ssN sG s G s H s 令令R R(s s)=0)=0，此时，
35、此时E E(s s)对对N N(s s)的误差传递函数为：的误差传递函数为：根据叠加原理，系统总误差为根据叠加原理，系统总误差为:E RE N21212()()()()()()()1()()1()()()1()()()E ssR ssN sGs H sR sN sG s Gs H sG s Gs H s 对于一个闭环系统，当输入的取法不同时，前向通道的传递对于一个闭环系统，当输入的取法不同时，前向通道的传递函数不同，反馈回路的传递函数不同，系统的传递函数不同，但函数不同，反馈回路的传递函数不同，系统的传递函数不同，但系统传递函数的分母不变，因为分母反映了系统本身的固有特性，系统传递函数的分母不
36、变，因为分母反映了系统本身的固有特性，与外界无关。与外界无关。对于复杂的系统，方框图的简化过程是冗长的。对于复杂的系统，方框图的简化过程是冗长的。梅逊梅逊(S.J.(S.J.Mason)Mason)提出了一种信号流图法，可以不需要经过任何简化，直提出了一种信号流图法，可以不需要经过任何简化，直接确定系统输入和输出变量间的联系，再利用接确定系统输入和输出变量间的联系，再利用梅逊公式梅逊公式求出系统求出系统的传递函数。的传递函数。一、信号流图及其术语一、信号流图及其术语1.1.节点节点:表示变量或信号的点。用表示变量或信号的点。用“”表示，在旁边注上信号表示，在旁边注上信号的代号。例如：的代号。例
37、如：、和和 是图中的节点。是图中的节点。i()X s)(sEo()Xs2.2.输入节点输入节点:它是只有输出的节点，也称它是只有输出的节点，也称源点源点。例如，图中。例如，图中 是一个输入节点。是一个输入节点。i()X s3.3.输出节点输出节点:它是只有输入的节点，也称它是只有输入的节点，也称汇点汇点。例如，图中。例如，图中为输出节点。为输出节点。o()Xs4.4.混和节点混和节点:是既有输入又有输出的节点。例如，图中是既有输入又有输出的节点。例如，图中 是一个是一个混和节点。混和节点。)(sE5.5.支路支路:定向线段称为支路，其上的箭头表明信号的流向，各支路定向线段称为支路，其上的箭头表
38、明信号的流向，各支路上还标明了增益，即支路的传递函数。例如，图中从节点上还标明了增益，即支路的传递函数。例如，图中从节点 到到 为一支路，其中为一支路，其中 为该支路的增益。为该支路的增益。sG)(sEo()Xs6.6.通路：通路：沿支路箭头方向穿过各相连支路的路径。沿支路箭头方向穿过各相连支路的路径。7.7.前向通道：前向通道：从输入节点到输出节点的通路上通过任何节点从输入节点到输出节点的通路上通过任何节点不多于不多于 一次的通路一次的通路。8.8.回路：回路：始端与终端重合且与任何节点相交不多于一次的通道。始端与终端重合且与任何节点相交不多于一次的通道。9.9.不接触回路：不接触回路：没有
39、任何公共节点的回路称为不接触回路。没有任何公共节点的回路称为不接触回路。二、信号流图的绘制二、信号流图的绘制 注：比较点、分支点都是节点，比较点之前的分支点一定要用节点注：比较点、分支点都是节点，比较点之前的分支点一定要用节点 单独表示出来。单独表示出来。三、梅逊公式三、梅逊公式 fefeddccbbaaLLLLLL,1式中：式中：P系统系统总传递函数总传递函数第第 条条前向通路前向通路的传递函数的传递函数kkP流图的特征式流图的特征式NKKKPP1)(1N 前向前向通路通路的条数的条数第第 条前向通路特征式的余因子，即对于流图的特条前向通路特征式的余因子，即对于流图的特 征式征式 ，将与，将
40、与第第 条前向通路相接触的回路传递函条前向通路相接触的回路传递函 数代以零值数代以零值，余下的余下的 即为即为 。kkkk。aaL所有所有不同回路的传递函数不同回路的传递函数之和之和ccbbLL,所有所有两两互不接触回路传递函数两两互不接触回路传递函数乘积之和乘积之和fefeddLLL,所有三个互不接触回路传递函数乘积之和所有三个互不接触回路传递函数乘积之和例例1:1:试用梅逊公式求取图所示系统的传递函数试用梅逊公式求取图所示系统的传递函数 C sR s 11221C sPPR s 123414341123421421Gs Gs Gs GsGs GsGs Gs HsGs Gs Gs Gs HsGs Gs Hs例例2.2.试用梅逊公式求取图所示系统的传递函数试用梅逊公式求取图所示系统的传递函数 C sR s 123411342311232123411C sGG G GPR sG GG G HGG G HGG G G
