1、 东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学） 2019 届高三第一次模拟考试数学试题（文） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数的虚部是（ ） A. 4 B. -4 C. 2 D. -2 【答案】D 【解析】复数= ， 所以虚部为-2， 故选 D. 2.集合， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为可得，集合， 所以 故选 B 3.已知向量的夹角为， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 所以 故选 C. 4.设直线与圆 相交于两点，且
2、，则圆 的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】圆的圆心坐标为,半径为， ， 直线与圆相交于两点，且， 圆心到直线的距离， 所以，解得， 圆的半径， 所以圆的面积，故选 C. 5.等差数列的前 项和为，且 ，则（ ） A. 30 B. 35 C. 42 D. 56 【答案】B 【解析】因为是等差数列，所以， 所以公差 ， 根据求和公式 故选 B 6.已知， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为， 所以， 所以，且 解得，故选 A. 7.执行两次下图所示的程序框图，若第一次输入的 的值为 4，第二次输入的 的值为 5，记第一次输出的 的 值为，第二次输
3、出的 的值为，则（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 【答案】D 【解析】当输入 x 的值为 4 时， 第一次不满足 ，但是满足 x 能被 b 整除，输出； 当输入 x 的值为 5 时， 第一次不满足 ，也不满足 x 能被 b 整除，故 b=3 第二次满足 ，故输出 则-1 故选 D 8.设， ，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为指数函数是减函数，,所以,即， 所以，故选 B. 9.已知是不重合的平面， 是不重合的直线，则的一个充分条件是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】对于答案 A：，得出 与 是相交的或是垂直
4、的，故 A 错； 答案 B：，得出 与 是相交的、平行的都可以，故 B 错； 答案 C：，得出，再得出，故 C 正确； 答案 D: ， ，得出 与 是相交的或是垂直的，故 D 错 故选 C 10.圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母 表示，早在公元 480 年左右，南北朝时期的数学家祖 冲之就得出精确到小数点后 7 位的结果，他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第七位的人，这 比欧洲早了约 1000 年，在生活中，我们也可以通过设计下面的实验来估计 的值；从区间内随机抽取 200 个数，构成 100 个数对，其中满足不等式的数对共有 11 个，则用随机模拟的方法得 到的 的近似
5、值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】在平面坐标系中作出边长为 1 的正方形和单位圆， 则符合条件的数对表示的点在 轴上方、正方形内且在圆外的区域， 区域面积为， 由几何概型概率公式可得 解得，故选 A. 11.双曲线 的左焦点为 ，点 的坐标为，点 为双曲线右支上的动点，且 周长的最小值为 8，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】由题易知双曲线的右焦点，即 ， 点 P 为双曲线右支上的动点，根据双曲线的定义可知 所以周长为： 当点共线是，周长最小 即解得 故离心率 故选 D. 12.若函数在区间上有两个极值点 ，则实数 的取值范围是（
6、） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】，可得, 要使恰有 2 个正极值点， 则方程有 2 个不相等的正实数根， 即有两个不同的正根， 的图象在 轴右边有两个不同的交点， 求得， 由可得在上递减， 由可得在上递增， ， 当时，；当时， 所以，当，即时， 的图象在 轴右边有两个不同的交点， 所以使函数在区间上有两个极值点， 实数 的取值范围是，故选 D. 二、填空题二、填空题 13.已知满足约束条件： ，则的最大值是_ 【答案】3 【解析】满足约束条件：，可行域如图： 解得 由题，当目标函数过点 A 时取最大值， 即 故答案为 3 14.甲、乙、丙三人中，只有一个会弹钢琴，甲说：“我会”
7、，乙说：“我不会”，丙说：“甲不会”，如果这三句 话，只有一句是真的，那么会弹钢琴的是_ 【答案】乙 【解析】假设甲会，那么甲、乙说的都是真话，与题意矛盾，所以甲不会； 假设乙会，那么甲、乙说的都是假话，丙说的是真话，符合题意， 假设丙会，那么乙、丙说的都是真话，与题意矛盾； 故答案是乙 15.四面体中，底面， ， 则四面体的外接球的表面积为_ 【答案】 【解析】由题意，可得 BCCD， 又因为底面，所以 ABCD，即 CD平面 ABC，所以 CDAC 取 AD 的中点 O，则 OC=OA=OB=OD 故点 O 为四面体外接球的球心，因为 所以球半径 故外接球的表面积 故答案为 三、解答题三、
8、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.设函数 . （1）当时，求函数的值域； （2）中，角的对边分别为，若，且，求的面积. 解： （1） ， 函数的值域为； （2）， ，即 由余弦定理，即 又， . 17.世界卫生组织的最新研究报告显示，目前中国近视患者人数多达 6 亿，高中生和大学生的近视率均已超过 七成，为了研究每周累计户外暴露时间（单位：小时）与近视发病率的关系，对某中学一年级 200 名学生进 行不记名问卷调查，得到如下数据： 每周累积户 外暴露时间 （单位：小 时） 不少于 28 小时 近视人数 21 39 37 2 1
9、不近视人数 3 37 52 5 3 （1）在每周累计户外暴露时间不少于 28 小时的 4 名学生中，随机抽取 2 名，求其中恰有一名学生不近视的 概率； （2）若每周累计户外暴露时间少于 14 个小时被认证为“不足够的户外暴露时间”，根据以上数据完成如下列 联表，并根据（2）中的列联表判断能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为不足够的户外暴露时间与 近视有关系？ 近视 不近视 足够的户外暴露时间 不足够的户外暴露时间 附: P 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 解： （1）设“随机抽取 2 名，其中恰有一名学生不近视”为事件 ，则 故随机抽取
10、2 名，中恰有一名学生不近视的概率为 . （2）根据以上数据得到列联表： 近视 不近视 足够的户外暴露时间 40 60 不足够的户外暴露时间 60 40 所以的观测值， 故能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系. 18.如图，四棱锥中，底面是平行四边形，平面 ，垂足为 ， 在上，且， ，四面体的体积为 . （1）求点 到平面的距离； （2）若点 是棱上一点，且，求的值. 解： （1） （方法一） ：由已知 平面，平面， 设点 到平面的距离为 , , 法二：由已知 平面， 平面 平面平面 平面 平面 在平面 ABCD 内，过 作，交延长线于 ， 则平面 的
11、长就是点 到平面的距离 在中，= = 点 到平面的距离为 （2）在平面内，过 作于 ，连结，又因为, 平面 ，平面 平面，平面 由 得： 19.已知分别是椭圆 ： 的左右焦点，点在椭圆 上，且抛物线的焦 点是椭圆 的一个焦点. （1）求椭圆 的标准方程； （2）过点作不与 轴重合的直线 ，设 与圆相交于两点，且与椭圆 相交于两点，当 时，求的面积. 解： （1）焦点为，则， 解得，所以椭圆 的标准方程为 （2）由已知，可设直线 方程为， 联立 得 易知则 = 因为，所以 ，解得 联立，得， 设，则 20.已知函数（ 为自然对数的底数） ， . （1）当时，求函数的极小值； （2）若当时，关于
12、的方程有且只有一个实数解，求 的取值范围. 解： （1）当时， 令 则 列表如下： 1 单调递减 极小值 单调递增 所以. （2）设， ， 设， 由得， ，在单调递增， 即在单调递增， 当，即时，时，在单调递增, 又，故当时，关于 的方程有且只有一个实数解，符合题意. 当，即时，由（1）可知， 所以，又 故，当时，单调递减，又， 故当时， 在内，关于 的方程有一个实数解 1. 又时，单调递增， 且，令， ,故在单调递增，又 在单调递增，故，故， 又，由零点存在定理可知， 故在内，关于 的方程有一个实数解. 又在内，关于 的方程有一个实数解 1，不合题意. 综上，. 21.选修 4-4：坐标系与
13、参数方程 在直角坐标系中，曲线 的参数方程为（ 为参数） ，直线 的方程为， 以坐标原点 为极点，以 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线 的极坐标方程； （2）曲线 与直线 交于两点，若，求 的值. 解： （1）由题，曲线 的参数方程为（ 为参数） ， 化为普通方程为： 所以曲线 C 的极坐标方程： （2）直线 的方程为，的参数方程为为参数)， 然后将直线 得参数方程带入曲线 C 的普通方程，化简可得： ， 所以 故解得 22.选修 4-5：不等式选讲 已知函数. （1）若不等式对恒成立，求实数 的取值范围； （2）设实数 为（1）中 的最大值，若实数满足，求的最小值. 解： （1）因为函数 恒成立， 解得 ； （2）由第一问可知，即 由柯西不等式可得： 化简： 即 当且紧当：时取等号， 故最小值为
