1、 一个半径为一个半径为R的球体内，分布着电荷体密度的球体内，分布着电荷体密度=kr，式，式中中r是径向距离，是径向距离，k是常量。求空间的场强分布，并画出是常量。求空间的场强分布，并画出E-r图图.补充题补充题球内时球内时,qdV据高斯通量定理，得据高斯通量定理，得22001,()44qkrErRr内解：4kr204rkrr drRdr球外时，球外时，204RqdVkrr dr422001,()44qkRErRrr外4kROErR204kRE1rE E21rRr例例：*图为一球对称电荷分布的静电场的图为一球对称电荷分布的静电场的 曲线曲线 请指出它是下面哪一种带电体产生的？请指出它是下面哪一种
2、带电体产生的？ArrA1.半径为半径为R的均匀带电球面的均匀带电球面2.半径为半径为R的均匀带电球体的均匀带电球体4.4.半径为半径为R,R,电荷体密度电荷体密度 (A(A为常数）为常数）的非均匀带电球体的非均匀带电球体3.3.半径为半径为R,R,电荷体密度电荷体密度 (A(A为常数）为常数）的非均匀带电球体的非均匀带电球体 Rr 0E解：解：(1)Rr rE03（2）2014iSE dSErq 内（3）rdrdV24rdrrAdVdq24rdrAdqqr0344Ar40214ArrE204rAE()rROrdrr（4）2014iSE dSErq 内rdrdV24rdrArdrrAdVdq44
3、222 Ar202214ArrErdrAdqqr0402AE（常数）（常数）()rR2 半径为半径为R的无限长圆柱体，柱内电荷体密度的无限长圆柱体，柱内电荷体密度=ar-br,r为某点到圆柱轴线的距离，为某点到圆柱轴线的距离，a、b为常量。试求带电圆柱体内外电为常量。试求带电圆柱体内外电场分布。场分布。解解:选取长为选取长为l，半径为，半径为r，与带电圆柱同轴的柱形高斯，与带电圆柱同轴的柱形高斯面面S.2SSEd(d dd柱 面）上 底）下 底）sssE SE SE S02 qrl E补充题补充题 Rlr因此可用高斯定理求解。因此可用高斯定理求解。由高斯定理可知由高斯定理可知:当rR时，高斯面
4、S内所包围电荷的代数和为:qVdV2340()22()34Rabarbrrl drlRR代入(1)可得:34043()12aRbRErRr因为电荷相对轴线呈对称分布，所以距轴线为因为电荷相对轴线呈对称分布，所以距轴线为r的场点的的场点的场强数值相等，场强方向沿圆柱径向场强数值相等，场强方向沿圆柱径向.S3 实验发现实验发现,在地球大气层的一个广大区域中存在地球大气层的一个广大区域中存在着电场在着电场,其方向是竖直向下的其方向是竖直向下的.在在2.0102米高度米高度,场强为场强为1.0102伏伏特特/米米;而在而在3.0102米高度米高度,场强为场强为0.60102伏特伏特/米米.求从离地求从
5、离地200米至米至300米之间大气中电荷的平均体密度米之间大气中电荷的平均体密度解：选取厚为选取厚为h，半径为，半径为r的园的园柱形高斯面柱形高斯面S.由高斯定理由高斯定理:qsdEs0101E SE Ssh下上0()EEh下上311105.3mC得hrEE下E上补充题补充题4补充题补充题 如图所示，一半径为R的半球面，其上均匀地带有正电荷，电荷面密度为，试求球心处的电场强度E。解解:取坐标轴取坐标轴OX，将带电半球面分成许多宽度，将带电半球面分成许多宽度极窄的半径不同的带电圆环，其上任意一个极窄的半径不同的带电圆环，其上任意一个圆环上的带电量为圆环上的带电量为:为便于计算，可采用角量描述。为
6、便于计算，可采用角量描述。因为:dqdS2sindSRRddqdS2sinRRd 据带电圆环在轴线上一点的场强公式，201cos4qdEr223 2014()qxR可得该带电圆环在P点产生场强dE的大小为201cos4dqdER注意:斜边斜边由于dq为正，故dE方向沿X轴正方向。将dq带入上式，可得:2012sincos4RRddER 0sincos2d则整个半球面在球心P点处产生的场强的大小为:EdE200sincos2d04方向沿X轴正方向5补充题补充题 如图所示，一无限大均匀带电平面，电荷面密度为+，其上挖去一半径为R的圆孔。通过圆孔中心O，并垂直于平面的X轴上有一点P，OP=x。试求P
7、点处的场强。解解:本题可用取圆环带本题可用取圆环带的方法求解，的方法求解，也可用补偿法求解也可用补偿法求解。解法一 取一细圆环带，取一细圆环带，其半径为其半径为r r（rRrR），），带宽为带宽为drdr，则圆环带的面积为则圆环带的面积为dSdS=2rdr,=2rdr,其上带电量为其上带电量为dqdq=dSdS=2rdr;=2rdr;应用已知带电细圆环在轴线上的场强公式，可得应用已知带电细圆环在轴线上的场强公式，可得该圆环带在轴线上该圆环带在轴线上 6P点产生电场的大小:因此，该系统在P点产生总场强的大小为:方向沿X轴正方向。223/20dd4()x qExr223/202d4()xrrxr2
8、23/202d4()Rxr rEdExr221/202()xxR7解法二解法二 半径为半径为R R的圆孔可以看成是其上均匀地分布的圆孔可以看成是其上均匀地分布着电荷面密度为着电荷面密度为+和和-的两种电荷。的两种电荷。若在圆孔上补一个半径为若在圆孔上补一个半径为R、电荷面密度为、电荷面密度为-的圆的圆盘，则盘，则P点处的场强可以看成是电荷面密度为点处的场强可以看成是电荷面密度为+的无限的无限大均匀带电平面在大均匀带电平面在P点产生的场强点产生的场强E1和电荷面密度为和电荷面密度为-、半径为半径为R的带电圆盘在的带电圆盘在P点产生的场强点产生的场强E2的矢量和，由的矢量和，由于于E1和和E2方向
9、均沿方向均沿X轴方向，轴方向，P点的总场强点的总场强E的大小为的大小为:方向沿X轴正方向。12PEEE221/202()xxR221/200(1)22()xxR8 均匀带电球面的半径为均匀带电球面的半径为R,总电荷量为总电荷量为q.求电场中任求电场中任一点一点p处的电势处的电势,并作出并作出V-r图图.补充题补充题解：据高斯通量定理，得据高斯通量定理，得01240qrE当rR时，2014PrqVdrr当rR时，RrE dr0()rR()rRqROERr014qr014qRRE drrE drrEdrprVE dl.p.pprVE dr2014Rqdrr014qR9 电荷电荷q均匀分布在半径为均
10、匀分布在半径为R的球体内。求距离球的球体内。求距离球心心r处（处（r小于小于R）的电势。）的电势。0q (rR)24rEpVE dl30228)3(RrRqV据高斯通量定理据高斯通量定理,得得.p解：.p0qr (r2.当当0),求球上的感应电荷求球上的感应电荷q 有多少有多少?静电平衡时,导体为一等势体,即为电势为零的等势体,从而球心处的电势零。而感应电荷相距球心是等距的,从而我们有/002qqUKKRR/2qq 补充题补充题解：38 解解:令无限长直线如图放置，电荷线密度为令无限长直线如图放置，电荷线密度为。计计算在算在x轴上距直线为轴上距直线为r的任一点的任一点P处的电势。处的电势。yr
11、OPP1xr1因为无限长带电直线的电荷分布延伸到无限远的，因为无限长带电直线的电荷分布延伸到无限远的，所以在这种情况下不能用连续分布电荷的电势公式所以在这种情况下不能用连续分布电荷的电势公式来计算电势来计算电势V V，否则必得出无限大的结果，显然是没否则必得出无限大的结果，显然是没有意义的。同样也不能直接用公式来计算电势，不有意义的。同样也不能直接用公式来计算电势，不然也将得出电场任一点的电势值为无限大的结果。然也将得出电场任一点的电势值为无限大的结果。计算无限长均匀带电直线电场的电势分布。计算无限长均匀带电直线电场的电势分布。为了能求得为了能求得P点的电势，可先应用电势差和场强的关系式，点的
12、电势，可先应用电势差和场强的关系式，求出轴上求出轴上P点与参考点点与参考点P1的电势差。无限长均匀带电的电势差。无限长均匀带电直线在直线在X轴上的场强为轴上的场强为rE02 过过P点沿点沿X轴积分可算得轴积分可算得P点与参考点点与参考点P1的电势差的电势差11drPPrVVEr 由于由于ln1=0，所以本题中若选离直线为，所以本题中若选离直线为r1=1 m处作为电势零点，则很方便地可得处作为电势零点，则很方便地可得P点点的电势为的电势为 mPrVln20 这个例题的结果再次表明，在静电场中只有两点的电势差有绝对的意义，而各点的电势这个例题的结果再次表明，在静电场中只有两点的电势差有绝对的意义，
13、而各点的电势值却只有相对的意义。值却只有相对的意义。补充题补充题10d2rrrr10ln2rr39 均匀带电圆环，带电量为均匀带电圆环，带电量为q，半径为半径为R，求轴线，求轴线上任意一点的上任意一点的P电势。电势。解：解：ddd2qqllRrqV04ddPxxRrrqrqVVLP0044dd2204qxR法一法一)法二法二)223 2014()qxExR22 3 20dd4()Pxxqx xVElxR2204qxRPxxRr补充题补充题40解：解：220dd4qVrx0dRVV 已知均匀带电圆盘，半径为已知均匀带电圆盘，半径为R,面电荷密度为面电荷密度为,求圆盘轴线上任一点求圆盘轴线上任一点
14、P的电势，并从电势出发计算的电势，并从电势出发计算E。oxrdrPdx取圆环取圆环rr+dr)(2220 xxRVxVEx 220()2Rxxx 2222002dd42r rr rrxrx 2200d2Rr rrx220()2Rxx0,0zyEE补充题补充题EV 41解：解：采用采用补偿法补偿法来求解，来求解，电荷密度均匀为电荷密度均匀为 的球体内，有一球形空腔，的球体内，有一球形空腔，将坐标原点建立在球心将坐标原点建立在球心o上，空腔球心的位置矢量为上，空腔球心的位置矢量为 ，试求空试求空腔内任意点的场强。腔内任意点的场强。利用高斯定理可求均匀带电（没有空腔的）球体利用高斯定理可求均匀带电（
15、没有空腔的）球体内的任意点的场强：内的任意点的场强：302434rrErE03R2R1aPoo1rraa同理负电荷均匀带电球体产生的场强：同理负电荷均匀带电球体产生的场强：rE03在空腔内任意点处的场强：在空腔内任意点处的场强：arrEEE003)(3腔内为均匀电场。腔内为均匀电场。补充题补充题42例例7-20 金属球金属球A与金属球壳与金属球壳B同心放置。同心放置。已知球已知球A半径半径为为R1，带电为带电为q，金属壳金属壳B内外半径分别为内外半径分别为R2，R3，带带电为电为Q。求求：(1)系统的电荷分布系统的电荷分布(2)空间电势分布及球空间电势分布及球A和壳和壳B的电势。的电势。(3)
16、若若B接地，结果又如何？接地，结果又如何？ABqQ解：解：（1）静电平衡时，）静电平衡时，导体（净）电导体（净）电荷只能分布在导体表面上。荷只能分布在导体表面上。球球A的电量只可能在球的表面。的电量只可能在球的表面。壳壳B有两个表面，电量分布在内、外有两个表面，电量分布在内、外两个表面。两个表面。由于由于A、B对称中心重合，电荷及场对称中心重合，电荷及场分布应该对该中心是球分布应该对该中心是球对称。对称。电荷在导体表面均匀分布电荷在导体表面均匀分布43qQqq按照高斯定理和电荷守恒定律，按照高斯定理和电荷守恒定律，电荷分布如图所示。电荷分布如图所示。可以等效为：真空中三个中心可以等效为：真空中
17、三个中心相互重合的均匀带电球面。相互重合的均匀带电球面。（2）利用叠加原理求电势）利用叠加原理求电势rqVI04rq04rqQ04rqQ04qqqQ O1R2R3RIIIAB44rqVII0423RrIIRrIBVVV204Rq304RqQ1RrIIAVV304RqQ302010444RqQRqRqqqqQ O1R2R3RIIIAB201044RqRqVVBA45（3）若）若B接地，接地，球壳外表面的电荷将消失。球壳外表面的电荷将消失。04400rqrqVI20044RqrqVII2010441RqRqVVRrIIA03RrIBVVqq O1R2R3RIIIAB201044RqRqVVBA思考
18、：若思考：若A、B用导线连接，结果如何？用导线连接，结果如何？46AB 已知：导体板已知：导体板A，面积为面积为S、带电量带电量Q，在其旁边放入导体板在其旁边放入导体板B。求：求：(1)A、B上的电荷分布及空间的电场分布上的电荷分布及空间的电场分布(2)将将B B板接地，求电荷分布板接地，求电荷分布1 3 2 4 1Ea2E3E4E0222204030201 AB1 2 3 4 b1E2E3E4E0222204030201 a点点QSS 21 043 SS b点点A板板B板板解方程得解方程得:电荷分布电荷分布SQ241 SQ232 47AB1 3 2 4 场强分布场强分布两板之间两板之间板左侧
19、板左侧A板右侧板右侧BEEESQE0012 SQE003022 SQE0042 48 半径为半径为R的导体球，放在内、外半径为的导体球，放在内、外半径为 和和 的同心导体的同心导体球壳内，若球和球壳分别带电球壳内，若球和球壳分别带电q和和Q，试求：（，试求：（1）球和球壳的电）球和球壳的电势；（势；（2）若用导线将球和球壳连接，）若用导线将球和球壳连接，此时它们的电势又为多少？此时它们的电势又为多少？1R2RO O R R 1 1 2 2 R R R R qqQ 由于静电感应，球壳内表面带电，外表面带电，利用高斯定理求出场强分布12012220 (RrR)40 (RrR)(rR)4IIIIII
20、qErrEqQErr 1212200 44 RRRRqqQUE drdrdrrr2 qQ（）当用导线将球和球壳连接后，两者成为一个导体，则电荷全部分布在球壳外表面，且两者电势相等，此时：21202U 4RqQUEdrR0121qqqQ-4R RR （）2202U 4IIIRqQEdrR1（）球的电势球壳电势解：解：-qq+Q49补充题补充题 由无限长直线电荷的场推导无限大平面电荷的场。由无限长直线电荷的场推导无限大平面电荷的场。设电荷面密度设电荷面密度,场点距平面场点距平面a,如图如图1.7,电荷元线密度电荷元线密度=dy利用长直电荷的结果，有利用长直电荷的结果，有2202ddyayE利用对称
21、关系，可只考虑方向利用对称关系，可只考虑方向)(2ddd22022yayaEyaaExyaa2222sinayctg2sindday 00022ddExExdydEdExdEyya图图1.7 大平面电荷大平面电荷50 均匀带电圆环，带电量为均匀带电圆环，带电量为q，半径为半径为a，求轴线上任意一点的求轴线上任意一点的P势。势。解：解：laqlqd2ddrqV04ddPxxarrqrqVVLP0044dd2204axq法一法一)法二法二)23220)(41axqxEdPxVEl2204axqPxxar22 3 20d4()xqx xxa51解：解：220dd4qVrx22000dd2RRr rV
22、Vrx例例 已知均匀带电圆盘，半径为已知均匀带电圆盘，半径为R,面电荷密度为面电荷密度为,求圆盘轴线上求圆盘轴线上任一点任一点P的电势，并从电势出发计算的电势，并从电势出发计算E。oxrdrPdx取圆环取圆环rr+dr2222002dd42r rr rrxrx 220()2RxxxVEx 220()2Rxxx 220(1)2xRx0,0zyEE52 例例 在氢原子内在氢原子内,电子和质子的间距为电子和质子的间距为 求它们之间电相互作用和万有引力求它们之间电相互作用和万有引力,并比较它们的大小并比较它们的大小.m103.511解解N101.8 416220ereFN107.347-2pegrmm
23、GFkg101.931emkg1067.127pm2211kgmN1067.6GC106.119e391027.2geFF53 在真空中有电量分别为在真空中有电量分别为+Q和和-Q的的A、B两带两带电平板，相距为电平板，相距为d（已知（已知d很小），面积为很小），面积为S。试分析两板间的相互作用力的大小。试分析两板间的相互作用力的大小。补充题补充题 对于两板间的相互作用力，有人说，对于两板间的相互作用力，有人说，根据库仑定律，则根据库仑定律，则 又有人说，根据又有人说，根据F=QE，据题意可知，据题意可知A、B两板两板可近似认为是无限大带电板，于是可近似认为是无限大带电板，于是则则实际上两种说
24、法都不对。实际上两种说法都不对。在第一种说法中，因为在第一种说法中，因为d很小，因此两带电板已不能看作是点电荷系统。很小，因此两带电板已不能看作是点电荷系统。因此，该问题不能直接用库仑定律求解。因此，该问题不能直接用库仑定律求解。在第二种说法中，虽然在第二种说法中，虽然F=QE是正确的，但对是正确的，但对E的理解有误。因为的理解有误。因为F=QE中的中的E是指是指Q所在处的场强，而在第二种说法却把两板的合场强看作为所在处的场强，而在第二种说法却把两板的合场强看作为Q所在处的场强，因此也是所在处的场强，因此也是不对的。不对的。正确的解法是，正确的解法是，A A板上的电荷板上的电荷Q Q在在B B
25、板板Q Q产生的场中，其产生的场中，其因此，因此，A板上的电荷板上的电荷Q能受的电场力为能受的电场力为:同理同理,这是一对作用力和反作用力。这是一对作用力和反作用力。2204QFd20QFS0QES02E02QS202QFS解：dAB+Q-Q54 如图所示，有一无限长均匀带电直线，其电荷如图所示，有一无限长均匀带电直线，其电荷线密度为线密度为+1.另外，在垂直于它的方向放置着一根长为另外，在垂直于它的方向放置着一根长为L的均匀带的均匀带电线电线AB,其电荷线密度为其电荷线密度为+2.试求它们间的相互作用力。试求它们间的相互作用力。由无限长带电直线场强公式可知，由无限长带电直线场强公式可知，dq
26、处的场强为处的场强为:方向沿X轴正向。于是有:由于各电荷元所受力的方向均沿X轴正向，所以:ABaL+1+2解：补充题补充题 带电直线带电直线L处于无限长带电直线产生的电场中，处于无限长带电直线产生的电场中，若把带电直线若把带电直线L视为许多电荷元视为许多电荷元dq的集合，的集合，则电场对每个电荷元的作用力为则电场对每个电荷元的作用力为dF=Edq各电荷元的各电荷元的dF的矢量和，即为带电直线的矢量和，即为带电直线L所受的电场力。所受的电场力。在距无限长带电直线x处,任取一电荷元dq=2dx，XOxdx101 2Ex dFEdq XFF1201dx2x dF1201dx2a Lax 120ln2
27、aLa 根据作用力和反作用力的关系可知，无限长带电直线所受的作用力根据作用力和反作用力的关系可知，无限长带电直线所受的作用力F，其大小与其大小与F相等，方向相反。相等，方向相反。55例题例题1 电荷量电荷量q均匀分布在半径为均匀分布在半径为R的金属圆环上，在环的金属圆环上，在环的轴线上有一条均匀带电的直线，单位长度的电荷量为的轴线上有一条均匀带电的直线，单位长度的电荷量为 ，直线，直线的一端在环心，另一端趋向无穷远。试求它们之间的相互作用力。的一端在环心，另一端趋向无穷远。试求它们之间的相互作用力。dq d22xR pdF 0 x【解解】如图，环上电荷元如图，环上电荷元 作用在直线上作用在直线
28、上p处电荷处电荷元元 上的库仑力为上的库仑力为 dqdq2 dx 220222084xRdxdqxRdxdqdF q 根据对称性，根据对称性，整个圆环的电荷整个圆环的电荷 作用在作用在 上的力为上的力为dx dxRdxqdFdFxcos8cos2220 232204xRxdxq RqxRxdxqF002322044 力的方向沿轴线向外（当力的方向沿轴线向外（当 时）或向内（当时）或向内（当 时）时）0q0q故故 整个直线上的电荷整个直线上的电荷受到的作用力为受到的作用力为56例题例题1 电荷量电荷量q均匀分布在半径为均匀分布在半径为R的金属圆环上，在环的金属圆环上，在环的轴线上有一条均匀带电的
29、直线，单位长度的电荷量为的轴线上有一条均匀带电的直线，单位长度的电荷量为 ，直线，直线的一端在环心，另一端趋向无穷远。试求它们之间的相互作用力。的一端在环心，另一端趋向无穷远。试求它们之间的相互作用力。dq d22xR pdF 0 x【解解】如图，如图，环上电荷元环上电荷元 作用在作用在直线上直线上p处电荷处电荷元元 上的库仑力为上的库仑力为 dqdq2 dx 220222084xRdxdqxRdxdqdF q 根据对称性，根据对称性，整个圆环的电荷整个圆环的电荷 作用在作用在 上的力为上的力为dx dxRdxqdFdFxcos8cos2220 232204xRxdxq RqxRxdxqF002322044 力的方向沿轴线向外（当力的方向沿轴线向外（当 时）或向内（当时）或向内（当 时）时）0q0q故故 整个直线上的电荷整个直线上的电荷受到的作用力为受到的作用力为57
