1、 天水市一中天水市一中 2019 届高三第五次模拟考试届高三第五次模拟考试 数学试题（理科）数学试题（理科） （满分：150 分 时间：120 分钟） 一、一、选择题（本大题共选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 1. 复数z为纯虚数，若3 izai （i为虚数单位） ，则实数a的值为（ ）. A 1 3 B3 C 1 3 D3 2. 已知 222 |,|2MyR yxNxR xy，则MN （ ）. A( 1,1),(1,1) B0, 2 C0,1 D 1 3. 若非零向量, a b满足 2 2 3 ab，且()(32 )abab，则a与b的夹角为
2、（ ）. A. B. 2 C. 3 4 D. 4 4. 如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）. A220 B320 C224 D324 5. 已知等差数列 n a的前n项和为 n S，且满足 32 1 32 SS ，则数列 n a的公差d为（ ） A1 B2 C4 D6 6. 直线3ykx与圆 22 324xy相交于,M N两点， 若2 3MN ， 则k的取值范围是 （ ） . A 3 ,0 4 B 3 (,0,) 4 C 33 , 33 D 2 ,0 3 7. 中、美、俄等 21 国领导人合影留念，他们站成两排，前排 11 人，后排 10 人，中国领导人站在第一排正 中间位置，
3、美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他领导人所站的位置不做要求，那么不 同的站法共有（ ）. A. 18 18 A种 B. 20 20 A种 C. 2310 31810 A A A种 D. 218 218 A A种 8.函数),()( cos xxexf x 的图象大致是（ ）. 俯视图俯视图 侧视图侧视图 正视图正视图 1 12 2 2 2 2 2 2 2 9. 设x，y满足约束条件 ,0, 1, 3, x y xy xy 则目标函数2zxy的最大值为（ ）. A3 B3 C4 D2 10. 我国古代数学名著九章算术中的更相减损法的思路 与下面的程序框图相似执行该程序框图，若输
4、入的, a b 分别为 14，18，则输出的a等于（ ）. A2 B4 C6 D8 11. 设k是一个正整数，在1+)k x k （的展开式中，第四项的系数为 1 16 ，记函数 2 yx与ykx的图象所围成 的阴影部分面积为S，任取0,4x，0,16y，则点( , )x y恰好落在阴影区域S内的概率是（ ）. A 2 3 B 1 3 C 2 5 D 1 6 12.已知函数 2 ( )exf xxaxb，当1b 时，函数( )f x在, 2 ，1,+上均为增函数，则 2 ab a 的取 值范围是（ ）. A 2 2, 3 B 1 ,2 3 C 2 , 3 D 2 ,2 3 二、填空题（本大题共
5、二、填空题（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分）分） 13. 某校在一次测试中约有 600 人参加考试，数学考试的成绩 2 100,XNa（0a，试卷满分 150 分） ， 统计结果显示数学考试成绩在 80 分到 120 分之间的人数约为总人数的 3 5 ， 则此次测试中数学考试成绩不低于 120 的学生约有_人 14 已知数列满足，那么成立的 的最大值为 15已知函数，若在区间- ， 上单调递增，则 的最小值 是_ 16. 设 12 FF、分别是双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点，P是C的右支上的点，射线PT平 分
6、 12 FPF,过原点O作PT的平行线交 1 PF于点M,若 12 1 | 3 MPFF,则C的离心率为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分，解答请写出必要的文字说明和演算步骤分，解答请写出必要的文字说明和演算步骤. .） 17. 已知向量( 3sin ,cos ),(cos ,cos ),mxx nxx xR，设( )f xm n （1）求函数( )f x的解析式及单调增区间； （2）在ABC中，, ,a b c分别为角, ,A B C的对边，且1,2,( )1abcf A，求ABC的面积 18.自 2016 年 1 月 1 日起，我国全面二孩政
7、策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要 再生一个” ， “生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题为了解针对产 假的不同安排方案形成的生育意愿， 某调查机构随机抽取了 200 户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查， 得到如下数据： 产假安排（单位：周） 14 15 16 17 18 有生育意愿家庭数 4 8 16 20 26 （1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为 14 周与 16 周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多 少？ （2）假设从 5 种不同安排方案中，随机抽取 2 种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主 选择
8、 求两种安排方案休假周数和不低于 32 周的概率； 如果用表示两种方案休假周数之和求随机变量的分布列及数学期望 ABCD，PABE， 19.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，PA 平面 4ABPA，2BE （1）求证：CE平面PAD； （2）求PD与平面PCE所成角的正弦值； PCE？如果存（3）在棱AB上是否存在一点F，使得平面DEF 平面 在，求 AF AB 的值；如果不存在，说明理由 20. 已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为 1 2 0F ，点 2B 2,在椭 圆C上，直线0ykx k与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N
9、（1）求椭圆C的方程； （2）以MN为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由 21. 已知函数 2 e1 2 x m fxxmx. （1）当1m 时，求证：若0x ，则 0fx ； （2）当1m 时，试讨论函数 yfx 的零点个数. 选做题：请在以下两题中任选一题作答，若两题都做，则按第选做题：请在以下两题中任选一题作答，若两题都做，则按第 2222 题给分题给分. . 22. 在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系， 曲线 1 C的方程为 2cos sin x y （为 参数） ，曲线 2 C的极坐标方程为 2 :cossin1C,若曲线 1 C
10、与 2 C相交于A、B两点 (1)求|AB的值； (2)求点( 1,2)M 到A、B两点的距离之积 23. （1）已知实数ba,满足2, 2ba，证明：abba42 （2）已知 a0，求证： 2 2 1 a a 2a 1 a 2. 天水市一中 2019 届高三第五次模拟考试 数学试题（理科）参考答案与解析 1. A 2.B 3.D 4.B 5.B 6.A 7.D 8.B 9.B 10. A 11. D 由二项展开式的通项公式，得，令， 则， ，所求概率 12.A ,因为函数在，上 均为增函数，所以在，上恒成立，即在， 上恒成立，令，则在，上恒成立，所以有 ，,即满足, 在直角坐标系内作出 可行
11、域， 其中表示的几何意义为点与可行域内的点 两点连线的斜率，由图知k k，所以k k+1+1，即的取值范围为. 13. 14.5 15.1 16. 设交轴于点，则，由OMPT，得，即 ，则，所以，又是的角平分线，则 ，代入得，所以. 17.， 由 可得， 所以函数的单调递增区间为，. （2），. .由 得，. 18.解： （1）由表中信息可知，当产假为 14 周时某家庭有生育意愿的概率为； 当产假为 16 周时某家庭有生育意愿的概率为 （2）设“两种安排方案休假周数和不低于 32 周”为事件，由已知从 5 种不同安排方案中， 随机地抽取 2 种方案选 法共有（种） ， 其和不低于 32 周的选
12、法有（14，18） 、 （15，17） 、 （15，18） 、 （16，17） 、 （16，18） 、 （17，18） ，共 6 种，由 古典概型概率计算公式得 由题知随机变量的可能取值为 29，30，31，32，33，34，35 ， 因而的分布列为 29 30 31 32 33 34 35 01 01 02 02 02 01 01 所以. 19.解：（1）设中点为，连结， 因为/，且，所以/且， 所以四边形为平行四边形，所以/，且 因为正方形，所以/，所以/，且， 所以四边形为平行四边形，所以/ 因为平面，平面，所以/平面 （3）如图，建立空间坐标系，则，所以 ， 设平面的一个法向量为，所以
13、 令，则， 所以 设与平面所成角为， 则 所以与平面所成角的正弦值是 （3）假设存在点满足题意，则， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，所以 因为平面平面，所以，即， 所以， 故存在点满足题意，且 20.解： （1） 设椭圆的方程为， 因为椭圆的左焦点为，所以，因为点在椭圆上，所以，解得 ，所以椭圆的方程为 （2）因为椭圆的左顶点为，则点的坐标为 因为直线与椭圆交于两点，设点（不妨设） ，则点 ，联立方程组，消去，得，所以，则，所 以直线的方程为， 因为直线，分别与轴交于点，令，得，即点， 同理可得点， 所以 设的中点 为，则点的坐标为则以为直径的圆的方程为， 即 令，得，即或 故以为直径的
14、圆经过两定点， 21.解：.解： （1）当时，则， 则 ， 令，得， 当时，即， 函数在上为增函数，即当时， 函数在上为增函数，即当时，. （2）由（1）和式知，当时， 函数的单调递减区间为，单调递增区间为， ，即， （I）当时，又， 由式得，即 ， 函数在上为增函数，又， 当时，当时， 函数在上有且仅有一个零点. （II）当时， ）当时， 函数在时单调递减， 故时，函数在上无零点； ）当时，由，得， 函数在上单调递增，当时， 由 函 数 零 点 存 在 性 定 理 知， 使， 故 当时 ， ， 当时， 函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 又，对， 又当时， 由，再由函数零点存在性定理知，使得 ，综上所述，当时，函数有且仅有一个零点，当时，函数 有两个零点 22. 解析：(1) 曲线的普通方程为，, 则的普通方程为，则的参数方程为： 代入得，. (2) . 23. （1）证明：证法一， ， ，即， ， 即， 证法二：要证，只需证 只需证只需证 即，成立 要证明的不等式成立 （2）证明：要证a2，只需证2a， 只需证a 2 44a 2 222，即证 2，只需证 42，即证a 2 2，此式显然成立 原不等式成立
