1、第四章 耦合电感和谐振电路 一、耦合线圈的自感和互感一、耦合线圈的自感和互感 4-1 4-1 耦合电感元件耦合电感元件内容提要内容提要1、耦合线圈的互感与同名端2、耦合电感的串联，耦合电感的并联与去耦法3、耦合电感电路的计算4、串联谐振和并联谐振111 112121 121222 221212 212112221LiLM iML iLM iM，称为线圈 的自感；，称为线圈 与线圈 的互感；，称为线圈 的自感；，称为线圈 与线圈 的互感。第四章 耦合电感和谐振电路第四章 耦合电感和谐振电路 1、只要磁场的介质是静止的，根据电磁场理论可以证明：M12=M21，所以 M12 和 M21 可统一用 M
2、 表示，称为互感。其SI单位是：H。2、互感的量值反映了一个线圈在另一个线圈产生磁 链的能力。为了表征耦合线圈的紧密程度，通常用耦合 系数表示，其定义为：式中 L1 和 L2 为两个线圈的自感，M为互感。k 的范围为：0k1。说明21defLLMk 第四章 耦合电感和谐振电路 3、耦合线圈之间的耦合因数 k 的大小与两个线圈的结构、相互位置以及磁介质有关。如果两个线圈紧密绕在一起，则 k 值可能接近于1。如图（a）。如果两线圈相隔很远，或者它们的轴线相互垂直，则 k 值很小，甚至可能接近于零。如图（b）。第四章 耦合电感和谐振电路二、耦合线圈的总磁链二、耦合线圈的总磁链取总磁链与自感磁链有相同
3、的参考方向2212221221112111iLMiMiiL2212221221112111iLMiMiiL第四章 耦合电感和谐振电路 即总磁链由自感磁链和互感磁链两部分构成，其中互感磁链有时为正，有时为负，同过同名端来表示互感磁链的正负。同名端：当电流 i1 和 i2 在耦合线圈中产生的磁场方向相同时，电流 i1 和 i2 流入（或流出）的两个端钮称为同名端，用一对符号“”，“”，“”表示。如果两个线圈的电流都由同名端流入，互感磁链与自感磁链方向相同；如果两个线圈的电流由异名端流入，互感磁链与自感磁链方向相反。结论第四章 耦合电感和谐振电路三、耦合线圈的感应电压三、耦合线圈的感应电压 设每个线
4、圈的电压、电流、磁链为关联的参考方向：第四章 耦合电感和谐振电路 互感电压取为“+”或“-”的原则：按照电压的参考方向与引起该电压的另一个线圈中电流的参考方向对同名端是否一致来选取，如两者对同名端一致，则为“+”，反之为“-”。简称为对同名端一致原则。结论 即每个线圈的总电压由自感电压（或 ）和互感电压（或 ）两部分组成。取线圈的总电压与自感电压、互感电压有相同的参考方向，则自感电压总是正的，互感电压可能为“+”，也可能为“-”。11u22u21u12u第四章 耦合电感和谐振电路四、耦合电感元件四、耦合电感元件 由实际耦合线圈抽象出来的理想化的电路模型，由L1、L2和 M 三个参数表征，是一种
5、线性二端口元件。第四章 耦合电感和谐振电路4-2 4-2 含有耦合电感的正弦交流电路含有耦合电感的正弦交流电路一、耦合电感元件一、耦合电感元件 的相量模型的相量模型12121111211jjjjLMUUUL IM IXIXI 12122212222jjjjMLUUUM IL IXIXI 自感电压、互感电压与线圈总电压参考方向相同时：自感电压总是正的，互感电压与产生它的电流对同名端取向一致为正。XM 称为互感电抗，其 SI 单位为：。第四章 耦合电感和谐振电路XM 称为互感电抗，其 SI 单位为：。12121111211jjjjLMUUUL IM IXIXI 12122212222jjjjMLU
6、UUM IL IXIXI 当自感电压、互感电压与线圈总电压参考方向相同时：自感电压总是正的，互感电压与产生它的电流对同名端取向非一致为负。第四章 耦合电感和谐振电路二、耦合电感的串联二、耦合电感的串联1、顺向串联：即把两线圈的异名端相连。111jjj()UL IM ILM I 222jjj()UL IM ILM I 1212j(2)jUUULLM ILI L=L1+L2+2M 两线圈顺向串联时的等效电感：第四章 耦合电感和谐振电路2、反向串联：即把两线圈的同名端相连。111jjj()UL IM ILM I 222jjj()UL IM ILM I 1212j(2)jUUULLM ILI L=L1
7、+L2-2M 两线圈反向串联时的等效电感：第四章 耦合电感和谐振电路 两个线圈顺向串联时，等效电感增大；反向串联时，等效电感减小。但其耦合等效电感 L 不可能为负（因为有L1+L2-2M 0）。所以：121()2MLL例例：两个磁耦合线圈反向串联，已知两个线圈的参数为 R1=R2=100，L1=3H，L2=10H，M=5H 电源的电压U=220V，314rad/s。求：线圈的电流及两 个线圈的电压。第四章 耦合电感和谐振电路A78228.0 )52103(314j)100100(0220 )2(j)(2121MLLRRUIV15914578228.0)705j1j942100()jj(111I
8、MLRUV4.835978228.0)705j1j3140100()jj(222IMLRU解：第四章 耦合电感和谐振电路例例：两个磁耦合线圈串联接至50Hz、220V的正弦交流电源，一种连接情况的电流为2.7A，功率为219W；另一种连接情况的电流为7A。试分析哪种情况为顺向串联，哪种情况为反向串联，并求出它们的互感。分析 由于顺向串联时的总感抗、总阻抗都比反向串联时大，在相同的电压下，顺向串联的电流要比反向串联小，所以电流为2.7A的情况是顺向串联，电流为7A的情况是反向串联。解：两线圈的电阻为：307.2219221RR第四章 耦合电感和谐振电路顺向串联时：241H.0307.222031
9、4122221MLL反向串联时：03H.0307220314122221MLL所以：053H.0403.0241.0M测定互感的实验方法 第四章 耦合电感和谐振电路三、耦合电感的并联三、耦合电感的并联121jjUL IM I 221jjUL IM I 12III11jj()UM ILM I 22jj()UM ILM I 由：KVL和KCL可得：1、同侧并联同名端相连第四章 耦合电感和谐振电路 可得去耦等效电路如图，注意去耦等效之后原电路中的结点A的对应点为图中的A点而非A点。则耦合电感按同侧并联的等效阻抗为：212121212j()j()jjjj()j()2LMLML LMZMLLMLMLLM
10、 212122L LMLLLM式中 L 为等效电感：第四章 耦合电感和谐振电路2、异侧并联异名端相连同理可得，去耦等效电路：21212L LMLLL2M则耦合电感按异侧并联的等效电感为：第四章 耦合电感和谐振电路四、具有一个公共端的耦合电感四、具有一个公共端的耦合电感 当耦合电感的两个线圈虽然不是并联，但它们有一个端钮相连接，这是具有一个公共端的耦合电感，去耦法仍然适用，仍可把有耦合电感的电路化为去耦后的等效电路。12131jjUL IM I 21232jjUL IM I 12III1131j()jULM IM I 2232j()jULM IM I 由：得：第四章 耦合电感和谐振电路可得去耦等
11、效电路：如图(a)耦合线圈同名端的位置，同理可推导其去耦等效电路，如图(b)：第四章 耦合电感和谐振电路112111ooj()j()()3+j6 10 013.4 10.3 V3+j4RLMUURLMj M 解：去耦等效电路如图:121234210VRRLLMabcd ：图示电路中，在端口加正弦电压，试求端口电压。例例此题还可以直接列式求解。第四章 耦合电感和谐振电路121234210VRRLLMabcd ：图示电路中，在端口加正弦电压，试求端口电压。例例解：由于cd开路，线圈1中只自感电压没有互感电压，线圈2中只有互感电压没有自感电压。A1.5324 j3010j111LRUIV3.104.
12、130101.5322 jj112UIMU第四章 耦合电感和谐振电路五、含耦合电感电路的一般计算方法五、含耦合电感电路的一般计算方法 在计算具有耦合电感的正弦电流电路时，采用相量表示电压、电流，这时 KCL 的形式仍然不变，但在 KVL的表达式中，应计及由于耦合电感引起的互感电压。当某些支路具有耦合电感时，这些支路的电压不仅与本支路电流有关，还与有耦合关系的支路电流有关，因而像阻抗串并联公式、结点分析法等不便于直接应用。因为互感电压可以直接计入 KVL 方程中，以电流为求解对象的支路分析法、网孔分析法则可以直接应用。因此，计算含有耦合电感的电路采用支路分析法或网孔分析法较为方便。第四章 耦合电
13、感和谐振电路例例1212 6105RRLLM ：求图示电路的等效电路，其中，。12111222(j)jj(j)RLMUIIMRL0II 解：采用网孔分析法222112222j(j)(j)(j)6j10(6j10)(j5)RLUIRLRLMU 解得：010.8 49UZI所以等效阻抗为：提示：此题还可以用去耦法求解。第四章 耦合电感和谐振电路4-3 4-3 串联谐振串联谐振 谐振是正弦稳态电路中的一种特殊现象。在无线电和电工技术中广泛的应用，但另一方面发生谐振可能造成电路的某种危害而应加以避免。一、串联谐振的条件和谐振频率一、串联谐振的条件和谐振频率 一个电阻、电感、电容的串联电路，在正弦电压作
14、用下，电路的阻抗为：第四章 耦合电感和谐振电路LC1XXLCX00ZR 当：，即：时则：，此二端网络端口电流与外加电压同相，电路呈电阻性，这时电路发生谐振，称为串联谐振。等式 为电路发生谐振的条件。1LC 发生谐振的角频率和频率分别为：00 211fLCLC 第四章 耦合电感和谐振电路 谐振频率又称为电路的固有频率，是由电路的结构参数决定的。串联谐振频率由串联电路中的电感、电容元件的参数决的，与串联电阻的电阻值无关。二、串联谐振的特点二、串联谐振的特点第四章 耦合电感和谐振电路jjLLCCRUX IUX IUURIRR 所以有电感和电容两端的总电压为零。第四章 耦合电感和谐振电路 谐振时会在电
15、感和电容两端出现大大高于外施电压U的高电压，故串联谐振又称为电压谐振。这种高电压有时会损害设备，因此在电力系统中应该避免出现谐振现象，而无线电电路中，却常利用谐振提高微弱信号的幅值。三、频率特性、特性阻抗和品质因数三、频率特性、特性阻抗和品质因数在 RLC 串联电路中，感抗、容抗和电抗随频率变化的曲线称为它们的频率特性。第四章 耦合电感和谐振电路 符号称为串联谐振电路的特性阻抗，其SI单位为：。它是一个只与电路的参数有关而与频率无关的常量。当感抗与容抗相等，电抗为零时，此时为谐振状态。可得谐振时感抗或容抗的值为：001LLCC 串联谐振电路的特性阻抗与电路中的电阻值之比，称为串联谐振电路的品质
16、因数 Q，即：0011LLQRRCRRC第四章 耦合电感和谐振电路0L0C0011LULIUQURUIUQUCCR 品质因数 Q 工程上也称 Q 值。是一个由电路参数R、L、C决定的一个量纲为一的量。引入 Q 值后，电路发生谐振时，电感和电容两端的电压可表示为：四、串联谐振电路的谐振曲线四、串联谐振电路的谐振曲线串联谐振电路对于不同频率的信号具有选择能力。第四章 耦合电感和谐振电路串联电路中电流的有效值为：22222000022001()1()()UUIZRLCULRRRCRUR 1Q =第四章 耦合电感和谐振电路 若以为横坐标，电流比为纵坐标，则可对不同的Q值画出一组不同的曲线。这种曲线称为
17、串联谐振电路的通用曲线。2222000001111()1()IIQQUIR所以有：=其中:=第四章 耦合电感和谐振电路010II 10II在谐振时，得 ，；当偏离 时，电流有效值开始下降。在一定的频率偏移下，Q 值越大，电流有效值下降得越快（即曲线越窄），这表明，电路对不是谐振频率点附近的电流具有较强的抑制能力，或者说选择性较好。反之，如果Q 值很小，则在谐振点附近电流变化不大，所以选择性很差。0第四章 耦合电感和谐振电路通用谐振曲线上纵坐标为：010.7072II 这一数值对应的两个频率点之间的宽度工程上称为通频带（或称带宽），它规定了谐振电路允许通过信号的频率范围。综上分析，Q 值越大，电
18、流比就下降得越多，带宽越窄，电路的选择性较好；所以提高选择性要以牺牲贷款为代价。Q 值是反映谐振电路性质的一个重要指标，故称品质因数。第四章 耦合电感和谐振电路4-4 4-4 并联谐振并联谐振 串联谐振电路当信号源的内阻较大时，将使串联谐振电路的品质因数降低，从而影响电路的选择性，这种情况下应采用并联谐振电路。一、并联谐振的条件和谐振频率一、并联谐振的条件和谐振频率工程上采用电感线圈和电容器组成并联谐振电路。22221jjj()()j()jLCYCRLRLCRLRLGBBGBY 电路的导纳为：第四章 耦合电感和谐振电路 当导纳的虚部为零时，此二端网络端口电压与总电流同相，电路呈电阻性，这时电路
19、发生谐振，称为并联谐振。22220220()111112LC0RLRCRLCLLLCCRfLLC 并联谐振时有：解得：谐振频率为：0B 是并联谐振发生的条件。第四章 耦合电感和谐振电路201RRLLLC 而实际电路中一般都能满足:或00112fLCLC 于是：二、电感线圈和电容线圈并联谐振电路的特点二、电感线圈和电容线圈并联谐振电路的特点1.各支路电流可能远远大于总电流2200C00220()()LUUILRLIUCURIIUGRL 第四章 耦合电感和谐振电路00001 LCRLCGLIII 当时：可得：2200()1RLLZGRRC 并联谐振时：输入电导的倒数，其等效阻抗：即两并联支路的电流
20、接近于相等，并且远大于总电流。因此并联谐振也称为电流谐振。上式表明：谐振电路的等效阻抗最大，其值由电路的参数决定而与外加电源频率无关。电感线圈的电阻越小，则谐振时电路等效阻抗越大。2.电路的等效阻抗为最大第四章 耦合电感和谐振电路三、并联谐振电路的特性阻抗和品质因数三、并联谐振电路的特性阻抗和品质因数 并联谐振电路的特性阻抗和品质因数与串联谐振电路一样：000CICUQIGULLZQRCC还可得：等效阻抗：LC 0001CCLLQRCGRRCRL且即电路的品质因数越大，谐振时电路的等效阻抗也越大。第四章 耦合电感和谐振电路四、阻抗谐振曲线四、阻抗谐振曲线Q 值不同时并联谐振电路的阻抗谐振曲线图：电路的品质因数越大（在 L 和 C 值不变时 R 值越小），谐振电路的阻抗也越大，阻抗谐振曲线也越尖锐，选择性也越强。第四章 耦合电感和谐振电路 本章小结本章小结 第四章 耦合电感和谐振电路2、耦合电感的串联或并联均等效为一个电感。去耦法适用于耦合电感并联或有一个公共端钮的耦合电感。含耦合电感元件的正弦交流电路的计算与一般正弦电路相同，但要注意由于耦合电感引起的互感电压。3、含有电抗元件的电路，当电抗或电纳等于零，即电压与电流同相时，叫做谐振。谐振时电路呈电阻性。谐振电路具有选择性。Q 是电路的品质因数，Q 值对谐振曲线的形状有很大影响。
