1、 2019 北京市压轴卷北京市压轴卷 数学试题（理科）数学试题（理科） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1. 已知(1i)i1 i(bb R)，则b的值为（） A.1 B.1 C. i D.i 2下列函数中，值域为 R 的偶函数是（ ） Ay=x 2+1 By=e xex Cy=lg|x| D2 xy 3若变量yx,满足约束条件 2, 1, 0 xy x y ,则yxz 2的最大值为（ ） A0 B2 C3 D4 4. 某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的a值为 1，则输出的a值为（） 输出 输入 开始 结束 是 否
2、 A.1 B.2 C.3D.5 5.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（） A27 B30 C32D36 6.6. “4ab”是直线210xay 与直线220bxy平行的（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7 7.已知点(2 2,0)Q及抛物线 2 4xy上一动点( , )P x y，则|yPQ的最小值是（） A 1 2 B1 C2 D 3 8.设函数( )f x的定义域D， 如果存在正实数m， 使得对任意xD， 都有()( )f xmf x， 则称( )f x 为D上的“m型增函数” ，已知函数( )f x是定义在R上的奇
3、函数，且当0x时，( )f xxaa （aR） 若( )f x为R上的“20 型增函数” ，则实数a的取值范围是（） A0a B5a C10a D20a 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 6 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 3030 分分. .把答案填在题中的横线上 ）把答案填在题中的横线上 ） 9.函数2sin(2) 1 6 yx 的最小正周期是 ，最小值是 10已知，且 1 14 yx ，若恒成立，则实数的取值范围 是_ 11. 如果平面直角坐标系中的两点(1,1)A aa，( , )B a a关于直线l对称，那么直线l的方程 为 12. 5 1 x x
4、的二项展开式中x项的系数为_ （用数字作答） 13.若01ab， b xa， a yb，logbza，则x，y，z有小到大排列为 14.数列 n a满足： * 11 2(1,) nnn aaa nnN ，给出下述命题： 若数列 n a满足： 21 aa，则 * 1( 1,) nn aannN 成立； 存在常数c，使得 * () n ac nN成立； 若 * (, ,)pqmnp q m nN其中，则 pqmn aaaa； 存在常数d，使得 * 1 (1)() n aand nN都成立 上述命题正确的是_(写出所有正确结论的序号) 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，
5、共 8080 分解答应写出文分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程字说明，演算步骤或证明过程 15.（本小题满分 13 分） 在ABC中，已知 312 ,cos 413 AC ，13.BC （）求AB的长； （）求BC边上的中线AD的长. 16.（本小题满分 13 分） 自由购是通过自助结算方式购物的一种形式 某大型超市为调查顾客使用自由购的情况， 随机抽取了 100 人，统计结果整理如下： 20 以下 20,30 30,40 40,50 50,60 60,70 70 以上 使用人数 3 12 17 6 4 2 0 未使用人数 0 0 3 14 36 3 0 （1）现随机抽取 1 名顾客，试
6、估计该顾客年龄在30,50且未使用自由购的概率； （2）从被抽取的年龄在50,70使用自由购的顾客中，随机抽取 3 人进一步了解情况，用 表示这 3 人中年龄 在50,60的人数，求随机变量 的分布列及数学期望； （3） 为鼓励顾客使用自由购， 该超市拟对使用自由购的顾客赠送 1 个环保购物袋 若某日该超市预计有 5000 人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋 17（本小题满分 13 分） 如图， 在四棱锥 PABCD 中， 底面 ABCD 是平行四边形， BCD=135， 侧面 PAB底面 ABCD， BAP=90， AB=AC=PA=2，E，F 分别为 BC，AD 的中点，点
7、 M 在线段 PD 上 （）求证：EF平面 PAC； （）若 M 为 PD 的中点，求证：ME平面 PAB； （）如果直线 ME 与平面 PBC 所成的角和直线 ME 与平面 ABCD 所成的角相等，求的值 18. （本小题满分 14 分） 已知函数 2 ( )e(1)(0) 2 x m f xxxm. （）当0m时，求函数( )f x的极小值； （）当0m时，讨论( )f x的单调性； （）若函数( )f x在区间,1上有且只有一个零点，求m的取值范围. 19.（本小题满分 14 分） 已知圆:O 22 1xy的切线l与椭圆:C 22 34xy相交于A，B两点 （1）求椭圆C的离心率； （2
8、）求证：OAOB； （3）求OAB面积的最大值. 20.（本小题共 13 分） 已知曲线 n C的方程为： * 1() nn xynN. （1 ）分别求出1,2nn时，曲线 n C所围成的图形的面积; （2）若() n SnN 表示曲线 n C所围成的图形的面积，求证：() n SnN 关于n是递增的; （3）若方程(2,) nnn xyznnN，0xyz ，没有正整数解，求证：曲线(2,) n C nnN 上任 一点对应的坐标( , )x y，, x y不能全是有理数. 1.【答案】A 【解析】试题分析：因为（1+bi）i=i+bi2=-b+i=-1+i，所以 1b ， 1b 2 【答案】C
9、 【解析】试题分析：y=x2+1 是偶函数，值域为：1，+） y=exex 是奇函数y=lg|x|是偶函数， 值域为：R 2 xy 的值域：0，+） 故选：C 3 【答案】D 【解析】作出约束条件表示的可行域，如图 ABC 内部（含边界） ，作直线 :20lxy ，z是直线 2xyz 的纵截距，向上平移直线l，z增大，当直线l过点 (2,0)B 时， 24zxy 为最大值故选 D 4.【答案】C 【解析】由题知：a=1，i=1，a=2-1=1，i=2，否；a=3，i=3，否；a=6-3=3，i=4，是， 则输出的 a 为 3 5.【答案】A. 【解析】四棱锥的底面是边长为 3 的正方形，侧面是
10、两个直角边长为 3，4 的直角三角形， 两个直角边长为 3，5 的直角三角形，该四棱锥的侧面积是27253 2 1 243 2 1 ，故选 A. 6 【答案】B 【解析】0a时，直线012ayx与直线022 ybx不平行，所以直线012ayx与直线 022 ybx平行的充要条件是 1 22 2 a b ，即4ab且)4( 1ba，所以“4ab”是直线 012ayx与直线022 ybx平行的必要不充分条件故选 B 7.【答案】C. 【解析】由抛物线的定义知： (0,1)F ，| |1PFy ， 22 | | 1 | | 1(2 20)(0 1)13 12yPQPFPQFQ ，即当P，Q，F三点
11、共线时，值最小，故选 C. 8.【答案】B. 【解析】若 0a ：当 0x 时， ( ) |f xxaaxx ，又 ( )f x 是定义在R上的奇函数， ( )f xx ，符合题意；若 0a ：当 0x 时， , 0 ( ) | 2 , xxa f xxaa xa xa ， 又 ( )f x 是定义在R上的奇函数， ( )f x 大致的函数图象如下图所示，根据题意可知 (20)( )fxfx 对于任意x R 恒成立，问题等价于将 ( )f x 的图象向左平移 20 个单位后得到的新的函 数 (20)f x 图象恒在 ( )f x 图象上方，根据图象可知4 20a ，即0 5a ，综上实数a的取
12、值范围是 (,5) ，故选 B. 9.【答案】1，. 【解析】 2 22 T，最小值是 2 11 ，故填：1，. 10 【答案】 2 , 3 【解析】，恒成立，且， = 因为恒成立， 11.【答案】01 yx 【解析】直线AB斜率为1 1 1 aa aa ，所以l斜率为 1 ，设直线方程为bxy， 由已知直线过点), 1(aa，所以baa1，即1b所以直线方程为01 yx 12.【答案】 5 【解析】展开式通项为 5 3 5 2 155 1 ()()( 1) r rrrrr r TCxC x x ，令 53 1 2 r ， 1r ，所以x项的系数 为 11 5 ( 1)5C 13.【答案】xy
13、z 【解析】取特殊值，令 1 4 a ， 1 2 b ，则 1 211 42 b xa ， 1 411 22 a yb ， 1 2 1 loglog2 4 b za， 则 1 411 2 22 ，即xyz 14.【答案】. 【解析】试题分析：对；因为 21 aa ，所以 21 0aa ，由已知 11nnnn aaaa ， 所以 1121 0 nnnn aaaaaa ，即 1nn aa ，正确 对；假设存在在常数c，使得 n ac ，则有 1 2 nn n aa ca ，所以 11nn aa 应有最大值，错， 对，因为 pqmn ， 22 pqmn ，所以假设 pqmn aaaa ，则应有 22
14、 p qm n aa ，即原数列应为递增数列，错， 对，不妨设 1 1a ， 1nn aan ，则 (1) 1 2 n n n a ，若存在常数d，使得 1 (1) n aand ，应 有 1 12 n aan d n ，显然成立，正确，所以正确命题的序号为 15. （本小题满分 13 分） 解： （）由 12 cos 13 C ，0 2 C ，所以 5 sin 13 C . 由正弦定理得， sinsin ABBC CA ，即 5 sin 13 =135 2 sin2 2 C ABBC A . . 6 分 （）在ABD中， 32217 2 coscos()cossin 42226 BCCC .
15、 由余弦定理得， 222 +2cosADABBDAB BDB, 所以 2 AD 2 16913 17 229 (5 2) +2 5 2 42264 . 所以 29 2 AD . 【答案】 （1） 17 100 ； （2）详见解析； （3）2200 【解析】 （1）在随机抽取的 100 名顾客中，年龄在30,50且未使用自由购的共有31417人，所以随机抽 取 1 名顾客，估计该顾客年龄在30,50且未使用自由购的概率为 17 100 P （2）X所有的可能取值为 1，2，3， 12 42 3 6 C C1 1 5C P X ； 21 42 3 6 C C3 2 5C P X ； 30 42 3
16、 6 C C1 3 5C P X 所以X的分布列为 X 1 2 3 P 1 5 3 5 1 5 所以X的数学期望为 131 1232 555 EX （3）在随机抽取的 100 名顾客中，使用自由购的共有3121764244人， 所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为 44 50002200 100 17 【答案】 （）见解析； （）见解析； （） 33 2 【解析】 试题分析： （）证明 ABACEFAC推出 PA底面 ABCD，即可说明 PAEF， 然后证明 EF平面 PAC （）证明 MFPA，然后证明 MF平面 PAB，EF平面 PAB即可证明平面 MEF平面 PAB，从而证明
17、ME平面 PAB （）以 AB，AC，AP 分别为 x 轴、y 轴和 z 轴，如上图建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，平面 ABCD 的法向量，平面 PBC 的法向量，利用直线 ME 与平面 PBC 所成的角和此直线与平面 ABCD 所成的角相等， 列出方程求解即可 试题解析： （）证明：在平行四边形 ABCD 中，因为 AB=AC，BCD=135，ABC=45 所以 ABAC 由 E，F 分别为 BC，AD 的中点，得 EFAB， 所以 EFAC 因为侧面 PAB底面 ABCD，且BAP=90， 所以 PA底面 ABCD又因为 EF底面 ABCD， 所以 PAEF又因为 PAAC=A，P
18、A平面 PAC，AC平面 PAC， 所以 EF平面 PAC （）证明：因为 M 为 PD 的中点，F 分别为 AD 的中点， 所以 MFPA， 又因为 MF平面 PAB，PA平面 PAB， 所以 MF平面 PAB同理，得 EF平面 PAB 又因为 MFEF=F，MF平面 MEF，EF平面 MEF， 所以平面 MEF平面 PAB又因为 ME平面 MEF， 所以 ME平面 PAB （）解：因为 PA底面 ABCD，ABAC，所以 AP，AB，AC 两两垂直，故以 AB，AC，AP 分别为 x 轴、y 轴和 z 轴，如上图建立空间直角坐标系， 则 A（0，0，0） ，B（2，0，0） ，C（0，2，
19、0） ，P（0，0，2） ，D（2，2， 0） ，E（1，1，0） ， 所以 (2,0, 2)PB ， ( 2,2, 2)PD ， ( 2,2,0)BC ， 设 (0,1) PM PD ，则 ( 2 ,2 , 2 )PM ， 所以 M（2，2，22） ， ( 1 2, 1 2, 22 )ME ， 易得平面 ABCD 的法向量m=（0，0，1） 设平面 PBC 的法向量为n=（x，y，z） ， 由 0n BC ， 0n PB ，得 220 220 xy xz 令 x=1，得n=（1，1，1） 因为直线 ME 与平面 PBC 所成的角和此直线与平面 ABCD 所成的角相等， 所以 cos,cos,
20、ME mME n ，即 ME mME n MEmMEn ， 所以 2 22 3 ， 解得 33 2 ，或 33 2 （舍） 18.（本小题满分 14 分） 解：()当0m时：( )(1)exfxx，令( )0fx解得1x， 又因为当, 1x ，( )0fx，函数( )f x为减函数； 当1,x ，( )0fx，函数( )f x为增函数. 所以，( )f x的极小值为 1 ( 1) e f . （）( )(1)(e) x fxxm. 当0m时，由( )0fx，得1x或lnxm. ()若 1 e m ，则 1 ( )(1)(e)0 e x fxx.故( )f x在, 上单调递增； （）若 1 e
21、m ，则ln1m.故当( )0fx时，1lnxxm 或； 当( )0fx时，1lnxm . 所以( )f x在, 1 ，ln,m 单调递增，在1,lnm单调递减. ()若 1 0 e m，则ln1m.故当( )0fx时，ln1xmx或； 当( )0fx时，ln1mx. 所以( )f x在,lnm，1, 单调递增，在ln, 1m 单调递减. （）(1)当0m时，( )exf xx，令( )0f x ，得0x.因为当0x时，( )0f x ， 当0x时，( )0f x ，所以此时( )f x在区间,1上只有一个零点. (2)当0m时： （） 当 1 e m 时， 由 （） 可知( )f x在, 上
22、单调递增， 且 1 ( 1)0 e f ， 2 (1)e0 e f， 此时( )f x在区间,1上有且只有一个零点. （）当 1 e m 时，由（）的单调性结合( 1)0f ，又(ln)( 1)0fmf， 只需讨论(1)e2fm的符号： 当 1e e2 m时，(1)0f，( )f x在区间1，上有且只有一个零点； 当 e 2 m 时，(1)0f，函数( )f x在区间1，上无零点. ( ) 当 1 0 e m时 ， 由 （ ） 的 单 调 性 结 合( 1)0f ，(1)e20fm， 2 (ln)ln0 22 mm fmm ，此时( )f x在区间,1上有且只有一个零点. 综上所述， e 0
23、2 m. 19.（本小题满分 14 分） 【答案】 （1） 6 3 ； （2）详见解析； （3） 2 3 3 . 【解析】 试题分析： （1）根据题意以及椭圆中a，b，c满足的关系式即可求解； （2）联立直线方程与椭圆方程， 利用韦达定理和平面向量数量积的坐标表示即可得证； （3）建立 OAB S 的函数关系式，将问题转化为求函数 最值. 试题解析： （1）由题意可知 2 4a ， 2 4 3 b ， 222 8 3 cab ， 6 3 c e a ，椭圆C的离心率为 6 3 ； （2）若切线l的斜率不存在，则 :1l x ，在 22 3 1 44 xy 中令 1x 得 1y ，不妨设 (1,
24、1)A ， (1, 1)B ，则 1 10OA OB ，OA OB ，同理，当 :1l x 时，也有 OAOB ，若切线l的斜率存在，设 : l ykxm ，依题意 2 1 1 m k ，即 22 1km ，由 22 34 ykxm xy ，得 222 (31)6340kxkmxm 显然 0 ，设 11 ( ,)A x y ， 22 (,)B xy ,则 12 2 6 31 km xx k ， 2 12 2 34 31 m x x k ， 22 12121212 ()()()y ykxm kxmk x xkm xxm ， 1 212 OA OBx xy y 22 1212 (1)()kx xk
25、m xxm 2 22 22 346 (1) 3131 mkm kkmm kk 222222 2 (1)(34)6(31) 31 kmk mkm k 22 2 444 31 mk k 22 2 4(1)44 0 31 kk k ， OA OB ，综上所述，总有OA OB 成立； （3）直线AB与圆O相切，则圆O半径即为 OAB 的 高， 当l的斜率不存在时，由（2）可知 2AB ，则 1 OAB S ，当l的斜率存在时，由（2）可知， 22 121 2 (1)()4ABkxxx x 2 22 22 634 1()4 3131 kmm k kk 2 2222 2 2 1 9(34)(31) 31
26、k k mmk k 2 22 2 2 1 1234 31 k km k 22 222 22 2 12 1 123(1)491 3131 kk kkk kk ， 22422 2 224242 4(1)(91)4(9101)4 4(1) (31)961961 kkkkk AB kkkkk 2 42 2 2 16416 4 1644 1 96133 96 k kk k k （当且仅当 3 3 k 时，等号成立） ， 4 3 3 AB ，此时 max 2 3 (S) 3 OAB ，综上所述，当且仅当 3 3 k 时， OAB 面积的最大值为 2 3 3 20.（本小题共 13 分） 【答案】 （1）；
27、 （2）详见解析； （3）详见解析 【解析】 试题分析： （1）画出对应n的取值的图形，根据图形即可求解； （2）由于曲线 n C 具有对称性，只需证明曲线 n C 在第一象限的部分与坐标轴所围成的面积递增，再根据 式子推导； （3）根据条件中给出的结论利用反证法推导 试题解析： （1）当 1,2n 时，由图可知 1 1 41 12 2 C ， 2 C ； （2）要证 (*) n S nN 是关于n 递增的，只需证明： * 1( ) nn SSnN ，由于曲线 n C 具有对称性，只需证明曲线 n C 在第一象限的部分与坐 标轴所围成的面积递增，现在考虑曲线 n C 与 1n C ，因为 *
28、|1() nn xynN （1） 因为 11* |1() nn xynN ，在(1)和(2)中令 0 xx ， 0 (0,1)x ，当 0 (0,1 )x ，存在 1 y ， 2 (0,1)y 使 得 01 1 nn xy ， 11 01 1 nn xy 成立，此时必有 21 yy ， 因为当 0 (0,1)x 时 1 00 nn xx ， 所以 1 21 nn yy ，两边同时开n次方有， 1 221 n n yyy .（指数函数单调性）这就得到了 21 yy ， 从而 * () n SnN 是关于n递增的； （3）由于 (2,) nnn xyznnN 可等价转化为 ( )( )1 nn x
29、y zz ， 反证：若曲线 * (2,) n C nnN 上存在一点对应的坐标( , ) x y ，x， y 全是有理数， 不妨设 q x p ， t y s ， * , , ,p q s tN ，且 , p q 互质， , s t 互质，则由 |1 nn xy 可得， |1 nn qt ps ，即| | nnn qsptps ，这时qs， pt ， ps 就是 (2,) nnn xyznnN 的一组解， 这与方程 (2,) nnn xyznnN ， 0xyz ，没有正整数解矛盾， 所以曲线 * (2,) n C nnN 上任一点对应的坐标( , ) x y ， , x y 不能全是有理数.
