1、00精讲本2021江西数学【基本图形基本图形】微专题三全等三角形常见的四种模型微专题三全等三角形常见的四种模型 平移模型平移模型 【模型分析模型分析】模型特征是有一组边共线或部分重合，另两组边分别平行，模型特征是有一组边共线或部分重合，另两组边分别平行，常要在移动方向上加常要在移动方向上加(减减)公共线段，构造线段相等或利用平行线性质找到公共线段，构造线段相等或利用平行线性质找到对应角相等对应角相等例例1 1 (2020(2020江苏常州江苏常州)已知：如图，点已知：如图，点A A，B B，C C，D D在一条直线上，在一条直线上，EAFBEAFB，EAEAFBFB，ABABCD.CD.(1)
2、(1)求证：求证：E EF F；(2)(2)若若A A4040，D D8080，求，求E E的度数的度数【思路分析思路分析】(1)(1)欲证明欲证明E EF F，只要证明，只要证明ACEACEFBDFBD即可即可(2)(2)由由EACEACFBD FBD 得，得，ACEACED D8080，从而可求出，从而可求出E E的度数的度数【规范解答规范解答】(1)(1)证明：证明：EAFBEAFB，A AFBD.FBD.ABABCDCD，ABABBCBCCDCDBCBC，即即ACACBD.BD.在在EACEAC与与FBDFBD中，中，EACEACFBD(SAS)FBD(SAS)，E EF.F.(2)(
3、2)解：解：EACEACFBDFBD，ECAECAD D8080.AA4040，E E180180404080806060.【基本图形基本图形】轴对称模型轴对称模型 【模型分析模型分析】模型的特征是所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分模型的特征是所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意其隐能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意其隐含条件，即公共边或公共角相等含条件，即公共边或公共角相等例例2 2 (2020(2020福建福建)如图，点如图，点E E，F F分别在菱形分别在菱形ABCDABCD的边的边BCBC，
4、CDCD上，且上，且BEBEDF.DF.求证：求证：BAEBAEDAF.DAF.【思路分析思路分析】根据菱形的性质可知根据菱形的性质可知ABABADAD，B BD D，再结合已知条件，再结合已知条件BEBEDFDF即可证明即可证明ABEABEADFADF后即可求解后即可求解【规范解答规范解答】证明：证明：四边形四边形ABCDABCD是菱形，是菱形，B BD D，ABABAD.AD.在在ABEABE和和ADFADF中，中，ABEABEADF(SAS)BAEADF(SAS)BAEDAF.DAF.【基本图形基本图形】旋转模型旋转模型 【模型分析模型分析】模型可看成是将三角形绕着某个点旋转一定角度所构
5、成的，模型可看成是将三角形绕着某个点旋转一定角度所构成的，旋转后的图形与原图之间一般存在一对隐含的等角，通过对顶角相等或平旋转后的图形与原图之间一般存在一对隐含的等角，通过对顶角相等或平行线性质得到或运用角的和差可得到行线性质得到或运用角的和差可得到例例3 3 (2020(2020浙江绍兴浙江绍兴)如图，点如图，点E E是是 ABCDABCD的边的边CDCD的中点，连接的中点，连接AEAE并延长，并延长，交交BCBC的延长线于点的延长线于点F.F.(1)(1)若若ADAD的长为的长为2 2，求，求CFCF的长的长(2)(2)若若BAFBAF9090，试添加一个条件，并写出，试添加一个条件，并写
6、出F F的度数的度数【思路分析思路分析】(1)(1)由平行四边形的性质得出由平行四边形的性质得出ADCFADCF，则，则DAEDAECFECFE，ADEADEFCE.FCE.由点由点E E是是CDCD的中点，得出的中点，得出DEDECECE，由，由AASAAS证得证得ADEADEFCEFCE，即可得出结果；，即可得出结果；(2)(2)添加一个条件当添加一个条件当B B6060时，由直角三角形的性质即可得出结果时，由直角三角形的性质即可得出结果(答答案不唯一案不唯一)【规范解答规范解答】解：解：(1)(1)四边形四边形ABCDABCD是平行四边形，是平行四边形，ADCFADCF，DAEDAECF
7、ECFE，ADEADEFCE.FCE.点点E E是是CDCD的中点，的中点，DEDECE.CE.在在ADEADE和和FCEFCE中，中，ADEADEFCE(AAS)FCE(AAS)，CFCFADAD2.2.(2)B(2)B6060.当当B B6060时，时，F F909060603030(答案不唯一答案不唯一)【基本图形基本图形】【模型分析模型分析】一线：经过直角顶点的直线；三垂直：直角两边互相垂直，一线：经过直角顶点的直线；三垂直：直角两边互相垂直，过直角的两边向直线作垂直，利用过直角的两边向直线作垂直，利用“同角的余角相等同角的余角相等”转化找等角转化找等角一线三垂直型一线三垂直型 例例4
8、 4 如图，如图，ABCDABCD是正方形，是正方形，E E是是CDCD边上任意一点，连接边上任意一点，连接AEAE，作，作BFAEBFAE，DGAEDGAE，垂足分别为，垂足分别为F F，G.G.求证：求证：BFBFDGDGFG.FG.【思路分析思路分析】根据正方形的性质可得根据正方形的性质可得ABABADAD，再利用同角的余角相等求，再利用同角的余角相等求出出BAFBAFADGADG，证明，证明BAFBAF和和ADGADG全等，根据全等三角形对应边相等全等，根据全等三角形对应边相等可得可得BFBFAGAG，再利用线段的和与差可得结论，再利用线段的和与差可得结论【规范解答规范解答】解：解：四边形四边形ABCDABCD是正方形，是正方形，ABABADAD，DABDAB9090.BFAEBFAE，DGAEDGAE，AFBAFBAGDAGDADGADGDAGDAG9090.DAGDAGBAFBAF9090，ADGADGBAF.BAF.在在BAFBAF和和ADGADG中，中，BAFBAFADG(AAS)ADG(AAS)，BFBFAGAG，AFAFDG.DG.AGAGAFAFFGFG，BFBFAGAGDGDGFGFG，BFBFDGDGFG.FG.
