1、 2019 全国卷全国卷高考压轴卷高考压轴卷 数学文科数学文科 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的题目要求的 1已知复数 z 满足 11 i 12 z z ，则复数 z 在复平面内对应点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2已知集合06Mxx， 232 x Nx，则MN（ ） A. ,6 B. ,5 C. 0,6 D. 0,5 3.已知向量2a，1b，22aab，则a与b的夹角为（ ） A30 B60 C90 D150 4.莱因德
2、纸草书是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题目：把 100 个面包分给 5 个人， 使每个人所得面包成等差数列，且较大的三份之和的等于较小的两份之和，问最小的一份为（ ） A. 6 5 B. 6 11 C. 3 5 D. 3 10 5.若n是 2 和 8 的等比中项，则圆锥曲线 2 2 1 y x n 的离心率是（ ） A 3 2 B5 C 3 2 或 5 2 D 3 2 或5 【答案】D 6 九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示， 则该“堑堵”的表面积为( ) A4 B64 2 C44 2 D2 7.在ABC中，内角, ,A B C所
3、对的边分别为, ,a b c，若 sin1 sin2 B C ， 22 1 3cos 2 abBBA BC，则 角C （ ） A. 6 B. 3 C. 2 D. 3 或 2 8. 如图为函数( )yf x的图象，则该函数可能为( ) A sin x y x B cosx y x C sin | x y x D |sin|x y x 9执行如图所示程序框图，若输出的S值为20，在条件框内应填写（ ） A3?i B4?i C4?i D5?i 10已知抛物线 2 20ypx p的焦点为F，准线l与x轴交于点A，点P在抛物线上，点P到准线 l的距离为d，点O关于准线l的对称点为点B， BP交y轴于点M
4、，若BPa BM， 2 3 OMd， 则实数a的值是（ ） A. 3 4 B. 1 2 C. 2 3 D. 3 2 11已知不等式组 20 24 0 xy xy y xym 表示的平面区域为M，若m是整数，且平面区域M内的整点, x y恰有 3 个（其中整点是指横、纵坐标都是整数的点） ，则m的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12已知函数 f x的导函数为 fx，且满足 32 1 2 3 f xxaxbx， 24fxfx， 若函数 6 ln2f xx x恒成立，则实数b的取值范围为（ ） A. 64ln3, B. 5ln5, C. 66ln6, D. 4ln2, 二、填空题
5、：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13某学校选修网球课程的学生中，高一、高二、高三年级分别有 50 名、40 名、40 名现用分层抽样 的方法在这 130 名学生中抽取一个样本，已知在高二年级学生中抽取了 8 名，则在高一年级学生中应抽取的 人数为_ 14 设P为曲线 2 :23C yxx上的点， 且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为0, 4 ， 则点P 横坐标的取值范围为 15已知正四棱锥PABCD内接于半径为 9 4 的球O中（且球心O在该棱锥内部） ，底面ABCD的边长 为 2，则点A到平面PBC的距离是_ 16若双曲线 22 22 10,0 xy
6、 ab ab 上存在一点P满足以OP为边长的正三角形的内切圆的面积等 于 2 36 c （其中O为坐标原点， c为双曲线的半焦距） ，则双曲线的离心率的取值范围是 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.（本小满分题 12 分） 设数列 n a的前n项和为 n S， 11 10,910 nn aaS . （1）求证：lg n a是等差数列； （2） 设 n T是数列 1 3 (lg)(lg) nn aa 的前n项和， 求使 2 1 (5 ) 4 n Tmm对所有的*nN都成立的最大正整 数m的值. 18.（本小题满分 12 分
7、） 进入 11 月份，香港大学自主招生开始报名，“五校联盟”统一对五校高三学生进行综合素质测试，在所有 参加测试的学生中随机抽取了部分学生的成绩，得到如图所示的成绩频率分布直方图： （1）估计五校学生综合素质成绩的平均值； （2）某校决定从本校综合素质成绩排名前 6 名同学中，推荐 3 人参加自主招生考试，若已知 6 名同学中 有 4 名理科生，2 名文科生，试求这 2 人中含文科生的概率 19.（本题满分 12 分）如图，在三棱锥PADE中， 4AD ， 2 2AP ， AP 底面ADE，以 AD为直径的圆经过点E. （1）求证： DE 平面PAE； （2）若60DAE，过直线AD作三棱锥P
8、ADE的截面ADF交PE于点F，且45FAE， 求截面ADF分三棱锥PADE所成的两部分的体积之比. 20. （本小题满分 12 分） 已知椭圆 C 的两个焦点分别为 F1( 10，0)，F2( 10，0)，且椭圆 C 过点 P(3，2) （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）与直线 OP 平行的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，求 PAB 面积的最大值 21. （本小题满分 12 分） 已知函数 exf xax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线 yf x在点A处的切线斜率为2 （1）求a的值及函数 f x的单调区间； （2）设 2 31g xxx，证明：当0x 时， f xg x恒成立
9、22 （本小题满分 10 分） 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系已知曲线M的参数方程 为 1cos 1sin x y （为参数） ，过原点O且倾斜角为的直线l交M于A、B两点 （1）求l和M的极坐标方程； （2）当 4 0, 时，求OAOB的取值范围 23 （本小题满分 10 分） 【选修 4-5：不等式选讲】 已知函数 121f xxx （1）解不等式 2f xx； （2）若 3231g xxmx，对 1 xR， 2 xR，使 12 f xg x成立，求实数m的取值范围 2019 全国卷全国卷高考压轴卷高考压轴卷数学文
10、科数学文科答案答案 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的题目要求的 1 【答案】D 【解析】设复数izab，, a bR，则izab，因为 11 i 12 z z ，所以 211 izz，所 以2(1)2 iab1 iab，所以可得 22 21 ab ba ，解得 5 3 4 3 a b ，所以 54 i 33 z ，所以复数 z 在复 平面内对应点 54 , 33 在第四象限上故选 D 2【答案】A 【解析】 因为06Mxx， 232 |5 x Nxx
11、 x， 所以 |6MNx x，故选 A. 3.【答案】B 【解析】 2 22422aabaa ba b，1a b设a与b的夹角为，则 1 cos 2 a b a b ，又 0180 ，60，即a与b的夹角为60 4.【答案】C 【解析】分析：根据已知条件，设等差数列的公差为，将已知条件转化为等式，求出等差数列的首 项和公差，再得出答案。 详解：设等差数列 的公差为，由已知有 ，解 得 ，故最小一份是，选 C. 点睛：本题主要考查了等差数列的基本量的计算，属于容易题。注意从已知的条件中找出数学等式。 5.【答案】D 【解析】由 2 2 8n ，得4n，当4n时，曲线为椭圆，其离心率为 4 13
12、42 e ；当4n 时，曲线为双曲线，其离心率为 4 1 5 1 e ，故选 B 6 【答案】B 【解析】 ：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的三棱柱， 底 面 面 积 为 ： 1 2 11 2 ， 底 面 周 长 为 ：22222 2， 故 棱 柱 的 表 面 积 2 12 (22 2)64 2S ，故选：B 7 【答案】B 【解析】 因为 sin1 sin2 B C ，所以由正弦定理，得 1 2 b c ，即2cb， 由 22 1 3cos 2 abBBA BC，得 22 1 3coscos 2 abBacB， 显然 2 B ，所以cos0B， 等式两边同时除以cosB，
13、得 22 1 3 2 abac， 将2cb代入得 22 3abab， 由余弦定理得 2 22 22222 2222 231 cos 222323 abbabcab C ababab ， 又因为0,C，所以 3 C ，故选 B. 8.【解析】 ：根据题意，由( )f x的图象分析可得( )f x为奇函数， 进而依次分析选项： 对于A， sin x y x ，有 sin()sin ()( ) () xx fxf x xx ，函数为偶函数，不符合题意； 对于B， cosx y x ，有 cos()cos ()( ) xx fxf x xx ，函数为奇函数， 且0 2 x 时，( )0f x ， 3
14、22 x 时，( )0f x ，符合题意， 对于C， sin | x y x ，有 sin()sin ()( ) | xx fxf x xx ，函数为奇函数， 且0x时，( )0f x ，2x时，( )0f x ，不符合题意， 对于D， |sin|x y x ，当0x 时，( ) 0f x ，反之当0x 时，( ) 0f x ，不符合题意； 故选：B 9.【答案】D 【解析】模拟执行程序，可得：1i ，10S ， 满足判断框内的条件，第 1 次执行循环体， 1 1028S ，2i ， 满足判断框内的条件，第 2 次执行循环体， 2 824S ，3i ， 满足判断框内的条件，第 3 次执行循环体
15、， 3 424S ，4i ， 满足判断框内的条件，第 4 次执行循环体， 4 4220S ，5i ， 此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出的S值为20， 则条件框内应填写5?i ，故选 D 10 【答案】D 【解析】 由抛物线的定义，得PFd， 因为 2 3 OMd，所以 2 3 OMPF， 又因为点O关于准线l的对称点为B，所以/OMPF，所以 2 3 BMOB BPBF ， 即 3 2 BPBM，所以 3 2 a ，故选 D. 11 【答案】B 【解析】 根据题意可知0m，又m是整数， 所以当1m时，平面区域M为 20 24 0 1 xy xy y xy ，此时平面区域内M内只有
16、整点 0,0 , 1,0，共2个，不 符合题意； 当2m时，平面区域M为 20 24 0 2 xy xy y xy ，此时平面区域内M内只有整点 0,0 , 1,0 , 2,0，共3个， 符合题意； 当3m时，平面区域M为 20 24 0 3 xy xy y xy ，此时平面区域内M内只有整点 0,0 , 1,0 , 2,0， 2,1 , 3,0，共5个，不符合题意； 依次类推，当3m时，平面区域M内的整点一定大于3个，否不符合题意， 综上，整数m的值为2， 故选 B. 12 【答案】C 【解析】 由 32 1 2 3 f xxaxbx，则 2 2fxxaxb， 又由24fxfx，可得 fx的
17、对称轴为3x ，可知 2 33 2 a a ， 所以 32 1 32 3 f xxxbx，由 6 ln2f xx x，可得 32 1 326 ln2 3 xxbxx x， 可得 32 1 36 ln 3 bxxxx x，即 2 1 36ln 3 bxxx，设 2 1 36ln 3 g xxxx， 2 2 2918 2361892 333 xx xxxx gx xxx ， 可知函数 g x在区间0,6内单调递增，在区间6,内单调递减， 可知 max 666ln6g xg，故实数b的取值范围为66ln6,，故选 C. 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分
18、 13 【答案】10 【解析】高一、高二、高三年级分别有 50 名、40 名、40 名， 若在高二年级学生中抽取了 8 名，则在高一年级学生中应抽取的人数为n， 则 8 5040 n ，即10n ，故答案为 10 14 【答案】 1 1, 2 【解析】 22yx ，由于曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为0, 4 ，所以其切线的斜率的 范围为0,1，根据导数的几何意义，得022 1x ，即 1 1 2 x . 15 【答案】 8 17 17 【解析】 如图所示，连接AC与BD交于点 O ，显然球心O在正四棱锥 PABCD的高 PO 上， 因为球O的半径为 9 4 ，所以 9 4 ODOP，
19、又因为底面ABCD的边长为2， 所以 22 222 2BD ， 1 2 2 O DBD,在OOD中，由勾股定理得，所以 2 2 22 97 2 44 OOODO D ,所以 97 4 44 O POPOO ， 在POB中，由勾股定理得 2 222 243 2PBPCOBOP， 设点A到平面PBC的距离为h，则由 A PBCP ABC VV ， 得 2 2 1111 23 212 2 4 3232 h ，解得 8 17 17 h . 16 【答案】 3, 【解析】 由题意以OP为边长的正三角形内切圆的半径为 0 1133 tan30 2236 rOPOPOP， 所以内切圆的面积为 2 2 12
20、SrOP ， 又P为双曲线上一点，从而OPa，所以 2 2 1212 SOPa ， 又以OP为边长的正三角形的内切 圆的面积等于 2 36 c ，所以 2 2 3612 c a ， 得3 c a ，即3e ，所以双曲线的离心率的取值范围是 3, . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.【答案】 （1）见解析（2）5 【解析】 （1）由题意， 1 910(*) nn aSnN 故有 1 910(2,*) nn aSnnN 由-，可得 1 9 nnn aaa ，即 1 10(2,*) nn aa nnN ，所以有 1 10(2
21、,*) n n a nnN a ， 令1n ，代入式，可得 21 910100aa，故 2 1 10 a a ，故有 1 10(*) n n a nN a ， 故数列 n a是以 10 为首项，以 10 为公比的等比数列，故 1 101010 nn n a . 所以lglg10n n an，即有 1 lglg(1)1 nn aann ， 故lg n a是等差数列，且首项为lg101，公差为 1. （2）由（1）可知lglg10n n an，所以 1 3311 3() (lg)(lg)(1)1 nn aan nnn ， 故 1111113 3(1)()()3(1)3 223111 n T nnn
22、n . 由1n ，可知 33 3 12 n T n . 依题意， 2 31 (5 ) 24 mm，解得16m ，则最大正整数m的值为 5. 18.（本小题满分 12 分） 【答案】 （1）平均值为74.6； （2） 4 5 【解析】 （1）依题意可知： 550.12650.18+750.40+850.22+950.0874.6， 所以综合素质成绩的的平均值为74.6 （2）设这 6 名同学分别为a，b，c，d，1，2，其中设 1，2 为文科生， 从 6 人中选出 3 人，所有的可能的结果, ,a b c，, ,a b d，, ,1a b，, ,2a b，, ,b c d，, ,1b c，, ,
23、2b c， , ,1c d，, ,2c d，,1,2d，, ,a c d，, ,1a c，, ,2a c，, ,1a d，, ,2a d，, ,1b d，, ,2b d，, ,2c e， , ,1a d，, ,2a d共 20 种， 其中含有文科学生的有, ,1a b，, ,2a b，, ,1b c，, ,2b c，, ,1c d，, ,2c d，,1,2d， , ,1a c，, ,2a c，, ,1a d，, ,2a d，, ,1b d，, ,2b d，, ,2c e，, ,1a d，, ,2a d共 16 种， 所以含文科生的概率为 164 205 19.【答案】 （(1)见解析;(2)
24、2. 【解析】试题分析： （1）由题意得AEDE，再根据因为AP 底面ADE，求得APDE，即可利 用线面垂直的判定定理，证得DE 平面PAE. （2）根据题意得AF是PAE的角平分线，得到截面ADF分三棱锥PADE所成的两部分，即可求 解两部分的体积比. 试题解析： （1）因为以AD为直径的圆经过点E， 所以AEDE. 因为AP 底面ADE， DE 平面ADE， 所以APDE. 又因为AEAPA， 所以DE 平面PAE. （2）若60DAE，则 1 cos6042 2 AEAD . 因为45FAE，又PAAE， 所以45PAF， 即AF是PAE的角平分线. 所以 2 2 2 2 PFAP E
25、FAE . 所以截面ADF分三棱锥PADE所成的两部分， 即三棱锥PADF与三棱锥EADF的体积之比等于2 PF EF . 20.（本小题满分 12 分） 【答案】 （1）x 2 18 y2 81（2）6 【解析】 （1）设椭圆 C 的方程为x 2 a2 y2 b21（ab0） ， 由题意可得 a 2b210， 9 a2 4 b21， 解得 a218， b28 故椭圆 C 的方程为x 2 18 y2 81 5 分 （2）直线 OP 方程为 2x3y0，设直线 AB 方程为 2x3yt0（tR，且 t0） 将直线 AB 的方程代入椭圆 C 的方程并整理得 8x24txt2720 设 A(x1，y
26、1)，B(x2，y2) 当 16t232(t272)16(144t2)0，即 0|t|12 时， 得 x1x2 t 2 ，x1x2t 272 8 所以|AB| 13 3 144t2 2 ，点 O 到直线 AB 的距离为 d |t| 13， PAB 的面积 S 1 2 |AB|d (144t2)t2 12 72 126 等号当且仅当 t272 时成立 故 PAB 面积的最大值为 6 21.（本小题满分 12 分） 【答案】 （1）见解析； （2）见解析 【解析】 （1）令0x ，得1y ，则0,1A， exfxa ， 012fa ，解得3a ， e3 x fx， 当ln3x 时， 0fx， f
27、x单调递增； 当ln3x 时， 0fx， f x单调递减 f x的单调递增区间为ln3,，单调递减区间为,ln3 （2）证明：当0x 时， 2 e10 x f xg xx ， 令 2 e10 x h xxx，则 e2 x h xx， e2 x hx， 当0ln2x时， 0hx， h x递减； 当ln2x 时， 0hx， h x递增， ln2 ln2e2ln222ln20h xh， h x在0,上单调递增， 01 0 10h xh ， 2 e10 x x ，当0x 时， f xg x 22 （本小题满分 10 分） 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 【答案】 （1） R， 2 2 cossin
28、10 ； （2）2,2 2 【解析】 （1）由题意可得，直线 1 l的极坐标方程为 R 曲线M的普通方程为 22 111xy， 因为cosx，siny， 222 xy， 所以极坐标方程为 2 2 cossin10 （2）设 1, A ， 2, B ，且 1 ， 2 均为正数， 将代入 2 2 cos2 sin10 ，得 2 2 cossin10 ， 当 4 0, 时， 2 8sin40 4 ，所以 12 2 cossin， 根据极坐标的几何意义，OA，OB分别是点A，B的极径 从而 12 2 cossin2 2 sin 4 OAOB 当 4 0, 时， , 44 2 ，故OAOB的取值范围是2,2 2 23 【答案】 （1）01xx； （2） 1 5 , 4 4 【解析】 （1）不等式等价于 1 32 x xx 或 1 1 2 22 x xx 或 1 2 32 x xx ， 解得x或 1 0 2 x或 1 1 2 x，所以不等式 2f xx的解集为01xx （2）由 3 ,1 1 2,1 2 1 3 , 2 xx f xxx xx 知，当 1 2 x 时， min 13 22 f xf ； 323121g xxmxm， 当且仅当32310xmx时取等号， 所以 3 21 2 m ，解得 15 44 m故实数m的取值范围是 1 5 , 4 4
