1、 2019 天津市高考压轴卷天津市高考压轴卷 数学理科数学理科 一、选择题（共一、选择题（共 8 题，每题题，每题 5 分，共分，共 40 分）分） 1.Z M表示集合M中整数元素的个数， 设集合18Axx ，5217Bxx， 则Z A B（ ） A3 B4 C5 D6 2i为虚数单位，若复数1i 1 im是纯虚数，则实数m （ ） A1 B0 C1 D0 或 1 3.阅读如图的框图，运行相应的程序，若输入 n的值为 6，则输出 S的值为 A. 7 3 B. 9 4 C. 7 6 D. 9 8 4.不等式组 0 34 34 x xy xy 所表示的平面区域的面积等于（ ） A 3 2 B. 2
2、 3 C. 4 3 D. 3 4 5.下列函数中，既是奇函数，又是R上的单调函数的是（ ） A ln1f xx B 2 2 2 ,0 2 ,0 xxx f x xxx C 20 0,0 1 0 2 , , x x x f xx x D 1 f xx 6. 8 34 1 32xx x 展开式中 2 x的系数为（ ） A1280 B4864 C4864 D1280 7.已知棱长为 1 的正方体被两个平行平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积 为（ ） A 2 3 B33 C 93 2 D2 3 8函数 2 ln0f xxxax恰有两个整数解，则实数a的取值范围为（ ） A
3、ln2 21 2 a B21a C31a D ln3ln2 32 32 a 二、填空题：本大题共有二、填空题：本大题共有 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分分. . 9.已知两点 )2, 2(),2 , 0(NM以线段MN为直径的圆的方程为_. 10.学校艺术节对A、B、C、D四件参赛作品只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲，乙，丙，丁四位同学 对这四件参赛作品预测如下： 甲说：“是C或D作品获得一等奖”； 乙说：“B作品获得一等奖”； 丙说：“A、D两件作品未获得一等奖”； 丁说：“是C作品获得一等奖” 评奖揭晓后，发现这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一
4、等奖的作品是_ 11.已知长方体的长、宽、高分别为 2，1，2，则该长方体外接球的表面积为_ 12.在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为 3 2 5 4 5 xt yt （t为参数） ，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴 建立极坐标系，圆C的极坐标方程为sina直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的3倍，求a的 值 13.如图， 在ABC中， 2 3 ANNC，P是BN上一点， 若 1 3 APtABAC，则实数t的值为 14.设函数 ln ,1 1,1 x x f x x x ， 若 1f m ， 则实数m的取值范围是_ 三、解答题：本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明
5、过程或演算步骤. (15) (本小题满分 13 分) 设ABC的内角, ,A B C所对边的长分别是, ,a b c，且BAcb2, 1, 3 ()求a的值； ()求) 6 2cos( A的值. 16 (本小题满分 13 分) 田忌赛马是史记中记载的一个故事，说的是齐国将军田忌经常与齐国众公子赛马，孙膑发现他们 的马脚力都差不多，都分为上、中、下三等于是孙膑给田忌将军制定了一个必胜策略：比赛即将开 始时，他让田忌用下等马对战公子们的上等马，用上等马对战公子们的中等马，用中等马对战公子们的下等 马，从而使田忌赢得公子们许多赌注假设田忌的各等级马与某公子的各等级马进行一场比赛获胜的 概率如表所示：
6、 田忌的马 获胜概 率 公子的马 上等马 中等马 下等马 上等马 0.5 0.8 1 中等马 0.2 0.5 0.9 下等马 0 0.05 0.4 比赛规则规定：一次比由三场赛马组成，每场由公子和田忌各出一匹马出骞，结果只有胜和负两种，并且毎 一方三场赛马的马的等级各不相同，三场比赛中至少获胜两场的一方为最终胜利者 （1）如果按孙膑的策略比赛一次，求田忌获胜的概率； （2）如果比赛约定，只能同等级马对战，每次比赛赌注 1000 金，即胜利者赢得对方 1000 金，每月比赛一次， 求田忌一年赛马获利的数学期望 17（本小题 13 分） 如图，在四棱锥PABCD中，ABPC，ADBC，ADCD，且
7、222 2PCBCADCD，2PA （1）证明：PA平面ABCD； （2）在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角MACD的大小为60？如果存在，求 PM PD 的值；如 果不存在，请说明理由 18.（本小题 13 分） 在平面直角坐标系xOy中，设椭圆1 3 2 2 2 y a x 3a的右焦点为F，右顶点为A，已知 1 OFOA，其中O为原点，e为椭圆的离心率. （）求椭圆的标准方程及离心率e； （）设过点A的直线l与椭圆交于点轴上不在xBB，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点 H，若HFBF ，且MAOMOA，求直线l的斜率的取值范围. 19.(本小题满分 14 分) 数列 n a
8、是等比数列，公比大于0，前n项和 n SnN ， n b是等差数列， 已知 1 1 2 a ， 32 11 4 aa ， 3 46 1 a bb ， 4 57 1 2 a bb . （）求数列 n a， n b的通项公式 n a， n b； （）设 n S的前n项和为 n TnN ， （i）求 n T； （ii）证明： 2 1 1 21 311 n i ii iii bb bbT . 20. (本小题满分 14 分) 设函数)0()(kxexf kx . () 求曲线)(xfy 在点)0(, 0(f处的切线方程； () 讨论函数)(xf的单调性； () 设42)( 2 bxxxg,当1k时,若
9、对任意的Rx 1 ，存在2 , 1 2 x，使得 )( 1 xf)( 2 xg，求实数b的取值范围. 参考答案： 1【答案】C 【解析】1,8A ， 5 17 , 22 B ， 5 ,8 2 AB ，5Z AB 故选 C 2【答案】C 【解析】 1i 1 i11immm是纯虚数， 10 10 m m ，即1m ，故选 C 3.【答案】A 【解析】由题意，模拟执行程序，可得： ， 满足条件， 满足条件， 满足条件， 不满足条件，退出循环，输出S的值为 故选：A 4.【答案】 【解析】由 340 340 xy xy ，得(1,1)C，如图 7-8 所示，故 1 2 ABCC SAB x 14 (4
10、) 1 23 4 3 340xy 340xy y x (1,1)C B A O 5【答案】B 【解析】对于 A， ln1f xx，有 ln1ln1fxxxf x，则函数 f x为偶函数，不符 合题意； 对于 B， 2 2 2 ,0 2 ,0 xxx f x xxx ，有 fxf x，函数 f x为奇函数，且在R上的单调递增，符合题 意； 对于 C， 20 0,0 1 0 2 , , x x x f xx x ，有 fxf x，函数 f x为奇函数，但在R上不是单调函数，不符合 题意； 对于 D， 1 1 f xx x ， f x的定义域为0x x ，在R上不是单调函数，不符合题意； 故选 B
11、6.【答案】A 【解析】根据二项式的展开式，可以得到第一个括号里出 3 3x项，第二个括号里出 1 x 项，或者第一个括号里 出 4 x，第二个括号里出 2 1 x ，具体为 2 317426 88 CC 11 322xx xx ，化简得到 2 1280x，故答案为 A 7.【答案】B 【解析】由三视图可得，该几何体为如图所示的正方体 1111 ABCDA B C D截去三棱锥 1 DACD和三棱锥 111 BA B C后的剩余部分 其表面为六个腰长为 1 的等腰直角三角形和两个边长为2的等边三角形， 所以其表面积为 2 2 13 612233 24 ，故选 B 8.【答案】D 【解析】函数
12、2 ln0f xxxax恰有两个整数解，即 ln x ax x 恰有两个整数解， 令 ln x g xx x ，得 2 2 1ln xx gx x ，令 2 1lnh xxx ，易知 h x为减函数 当0,1x， 0h x ， 0g x， g x单调递增； 当1,x， 0h x ， 0g x， g x单调递减 11g ， ln2 22 2 g， ln3 33 3 g 由题意可得： 32gag， ln3ln2 32 32 a故选 D 9【答案】 【解析】由题得圆心的坐标为（1,0） ，|MN|= 所以圆的半径为所以圆的方程为. 故答案为： 10【答案】B 【解析】若 A 为一等奖，则甲、乙、丙、
13、丁的说法均错误，不满足题意； 若 B 为一等奖，则乙、丙的说法正确，甲、丁的说法错误，满足题意； 若 C 为一等奖，则甲、丙、丁的说法均正确，不满足题意； 若 D 为一等奖，则乙、丙、丁的说法均错误，不满足题意； 综上所述，故 B 获得一等奖 11【答案】 【解析】由题意，长方体的长宽高分别为，所以其对角线长为，求得球的半径为，利用球的表 面积公式，即可求解. 【详解】由题意，长方体的长宽高分别为，所以其对角线长为， 设长方体的外接球的半径为 ，则，即， 所以球的表面积为. 12【答案】32a 或 32 11 【解析】 圆C的极坐标方程转化成直角坐标方程为： 2 2 2 24 aa xy ，
14、直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的3倍， 3 8 12 522 a a d ，整理得2 3165aa，利用平方法 解得32a 或 32 11 13.【答案】 1 6 【解析】由题意及图， 1APABBPABmBNABm ANABmANm AB， 又 2 3 ANNC， 2 5 ANAC， 2 1 5 APmACm AB， 又 1 3 APtABAC， 1 21 53 mt m ，解得 5 6 m ， 1 6 t . 14【答案】,0e, 【解析】如图所示： 可得 ln ,1 1,1 x x f x x x 的图像与1y 的交点分别为0,1，e,1， 1f m ，则实数m的取值范围是,0e,，
15、可得答案,0e, 15【 答案】 ：() 解:由BA2，知BBBAcossin22sinsin， 由正、余弦定理得 ac bca ba 2 2 222 . 因为1, 3cb，所以12 2 a,则32a. () 解:由余弦定理得 3 1 6 1219 2 cos 222 bc acb A. x k.Com 由于 A0，所以 3 22 9 1 1cos1sin 2 AA 故 4 27 sin2cos2 99 AA ， 18 3724 6 sin2sin 6 cos2cos) 6 2cos( AAA 16.【答案】 （1）0.72； （2）见解析 【解析】 （1）记事件A：按孙膑的策略比赛一次，田忌
16、获胜， 对于事件A，三场比赛中，由于第三场必输，则前两次比赛中田忌都胜， 因此， 0.8 0.90.72P A ； （2）设田忌在每次比赛所得奖金为随机变量， 则随机变量的可能取值为1000和 1000， 若比赛一次，田忌获胜，则三场比赛中，田忌输赢的分布为：胜胜胜、负胜胜、胜负胜、胜胜负， 设比赛一次，田忌获胜的概率为P，则 1121139 3 22522520 P 随机变量的分布列如下表所示： 1000 1000 P 11 20 9 20 119 10001000100 2020 E 因此，田忌一年赛马获利的数学期望为100 121200 金 17.【答案】 （1）见证明； （2）见解析
17、【解析】 （1）在底面ABCD中，ADBC，ADCD，且222 2BCADCD， 2ABAC，2 2BC ，ABAC， 又ABPC，ACPCC，AC 平面PAC，PC 平面PAC，AB 平面PAC， 又PA平面PAC，ABPA， 2PAAC，2 2PC ，PAAC， 又PAAB，ABACA，AB平面ABCD，AC 平面ABCD，PA平面ABCD （2）方法一：在线段AD上取点N，使2ANND，则MNPA， 又由（1）得PA平面ABCD，MN 平面ABCD， 又AC 平面ABCD，MNAC，作NOAC于O， 又MNNON，MN 平面MNO，NO 平面MNO，AC 平面MNO， 又MO 平面MNO
18、，ACMO， 又ACNO，MON是二面角MACD的一个平面角， 设 PM x PD ，则122MNx APx， 22 22 ONANxADx， 这样，二面角MACD的大小为60， 即 22 tantan603 MNx MON ONx ，即42 3 PM x PD ， 满足要求的点M存在，且42 3 PM PD 方法二：取BC的中点E，则AE、AD、AP三条直线两两垂直 可以分别以直线AE、AD、AP为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 且由（1）知0,0,2AP 是平面ACD的一个法向量， 设0,1 PM x PD ，则122MNx APx，2ANxADx， 0, 2 ,22AMxx， 2, 2
19、,0AC ， 设, ,AQa b c是平面ACM的一个法向量， 则 2220 220 AQ AMxbx c AQ ACab ， 2 22 ab x cb x ， 令22bx，则 22,22, 2AQxxx ，它背向二面角， 又平面ACD的法向量0,0,2AP ，它指向二面角， 这样，二面角MACD的大小为60， 即 2 22 2 21 coscos60 2 222222 , AP AQx AP AQ APAQ xxx ， 即42 3x ， 满足要求的点M存在，且42 3 PM PD 18. 【答案】 （）1 34 22 yx （） , 4 6 4 6 , 【解析】 （）由已知得1ca，即13
20、2 aa，解得2a，所以1c， 得 2 1 a c e，椭圆方程为1 34 22 yx . （）解： 设直线l的斜率为0kk，则直线l的方程为2xky， 设 BB yxB,由方程组 1 34 2 22 yx xky ，消去y， 整理得012161634 2222 kxkxk 解得2x或 34 68 2 2 k k x， 所以B点坐标为 34 12 , 34 68 22 2 k k k k . 由（）知，0 , 1F，设 H yH, 0，有 H yFH, 1， 34 12 , 34 49 22 2 k k k k BF ，由HFBF ,则0FHBF， 所以0 34 12 34 94 22 2 k
21、 ky k k H ，解得 k k yH 12 49 2 ， 因此直线MH的方程为 k k x k y 12 491 2 ，设 MM yxM,， 由方程组 12 491 2 2 k x k y xky 消去y，解得 112 920 2 2 k k xM， 在MAO中，MOMAMAOMOA， 即 222 2 2 MMMM yxyx，化简得1 M x，即 1 112 920 2 2 k k ， 解得 4 6 k，或 4 6 k. 所以，直线l的斜率的取值范围为 , 4 6 4 6 , 19【答案】 （） 1 2 n n a ，1 n bn（） （i） 1 1 2 n n Tn 【解析】 （）解：设
22、数列 n a的公比为q（0q ） 1 2 11 1 2 11 4 a a qa q ， 2 11 20 qq ，=-1q（舍）或=2q ， 1 2 n n a 设数列 n b的公差为d 1 1 11 82(4 ) 11 16316 bd bd 1 1 44 31616 bd bd 1 0 1 b d ，1 n bn. （）解： 11 2 2 1 2 (1) 1 1 12 n n n S 2 11111 (1 11)()(1)1 22222 n nnn Tnn 1 1 1132 1 12 () (2) ()(2) (1)(1) 2 i iii i ii iii Tbbi bbiiii 1 11
23、2(1) 2 ii ii 113 2231 1 12 ()111111 ()()() 1 22 22 23 22(1) 2 n iii nn i ii Tbb bbnn 1 111 2(1) 22 n n 20【答案】 () xy () 当0k时，)(xf在) 1 ,( k 上单调递减，在), 1 ( k 上单调递增 当0k时，此时)(xf在) 1 ,( k 上单调递增，在), 1 ( k 上单调递减 () , 4 1 2 e 【解析】() 解: kx ekxxf)1 ()( , 因为0)0(f且1)0( f, 所以曲线)(xfy 在点)0(, 0(f处的切线方程为 xy () 解:函数)(x
24、f的定义域为R, 令0)1 ()( kx ekxxf，由0 kx e，知01 kx 讨论:当0k时， k x 1 ， 此时)(xf在) 1 ,( k 上单调递减， 在), 1 ( k 上单调递增. 当0k时， k x 1 ，此时)(xf在) 1 ,( k 上单调递增，在), 1 ( k 上单调递减 () 解:由()知，当1k时，)(xf在) 1,(上单调递减，在), 1(上单调递增. 则对任意的Rx 1 ，有)( 1 xf e f 1 ) 1(，即 e xf 1 )( min1 . 又已知存在2 , 1 2 x,使得)( 1 xf)( 2 xg, 所以 e 1 2 , 1),( 22 xxg，即存在2 , 1x，使得42)( 2 bxxxg e 1 ， 即b2 x e x 1 4 .因为2 , 1x时， eex e x 1 5 , 2 1 4 4 1 ， 所以b2 e2 1 4，即b e4 1 2. 所以实数b的取值范围是 , 4 1 2 e .
