1、数学思想方法 专题概述 初中数学思想方法主要有：整体思想；方程思想；类比思想；数形结合思想；分类讨论思想等. 考点分析 考点一、整体思想考点一、整体思想 【例 1】 （2019 浙江）已知 m 是方程 2 x3x0的一个根，求 2 (m 3)m2m2的值 【解析】m是方程 2 x3x10 的一个根， 2 m3m 10 ， 2 m3m 1， 原式= 22 m6m9m4 = 2 2 m3m5=3. 考点二、方程思想考点二、方程思想 【例 2】 （2019 河北）如图，有一块三角形余料ABC，120BCmm，高线80ADmm，要把它加工成 一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P，M分别在AB，AC
2、上，若满足:3:2PM PQ ，则PM 的长为_. 【解析】解：如图，设 PM 交 AD 于点 E， 四边形 PQNM 是矩形，ADBC，PMBC，ADPM， APMABC， AEPM ADBC ， :3:2PM PQ ，设 PM=3x，PQ=2x，则 AE=802x， 8023 80120 xx ，解得 x=20，即 PM=60mm. 故答案为：60mm. 考点三、类比思想考点三、类比思想 【例 3】 （2019 吉林）阅读下面材料: 小明遇到下面一个问题： 如图 1 所示，AD是ABC的角平分线，,ABm ACn，求 BD DC 的值. 小明发现，分别过B，C作直线AD的垂线，垂足分别为,
3、E F.通过推理计算，可以解决问题（如图 2）. 请回答， BD DC _. 参考小明思考问题的方法，解决问题： 如图 3，四边形ABCD中，2,6,60 ,ABBCABCBD平分ABC，ABAC，CDBD.AC 与BD相交于点O. （1） AO OC =_. （2）tanDCO=_. 【解析】由作法可知：BAD=CAD，AEB=AFC=90 ， ABEACF， ABBE ACCF ， BDE=CDF，AEB=AFC=90 ， BDECDF， BDBE CDCF ， BDABm CDACn . （1）借助上面的结论可知： 21 63 AOAB OCBC ； （2）ABODCO， 3 tanta
4、n 2 DCOABO . 考点四、数形结合思想考点四、数形结合思想 【例 4】（2019 安徽） 某班级同学从学校出发去太阳岛研学旅行， 一部分乘坐大客车先出发， 余下的同学 20min 后乘坐小轿车沿同一路线出行，大客车中途停车等候 5min，小轿车赶上来之后，大客车以出发时速度的10 7 继续行驶，小轿车保持原速度不变小轿车司机因路线不熟错过了景点入口，在驶过景点入口 6 km 时，原 路提速返回，恰好与大客车同时到达景点入口两车距学校的路程 S(单位：km)和行驶时间 t(单位：min)之 间的函数关系如图所示 请结合图象解决下面问题： (1)学校到景点的路程为_km，a_； (2)在小
5、轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有多远？ (3)小轿车司机到达景点入口时发现本路段限速 80 km/h，请你帮助小轿车司机计算折返时是否超速？ 【解析】 （1）由图形可得：学校到景点的路程为 40km， 小轿车的速度： 40 1 6020 （千米/分） ， 大客车中途停车等候 5min， (30520) 115a ， 故答案为：40，15； （2）由（1）得：15a，得大客车原来的速度： 151 302 （千米/分） ， 小轿车赶上来之后，驶过景点入口时，大客车又行驶了： 101125 (6035) 727 （千米） ， 12550 4015 77 （千米） 答：在小轿车司机驶过景点
6、入口时，大客车离景点入口还有 50 7 千米. （3）设直线 AF 的解析式为：Sktb，小汽车驶过景点入口时为点 F， (20,0)A，(60,40)F， 200 6040 kb kb ， 解得： 1 20 k b ， 直线 AF 的解析式为：20St 当46S 时，4620t ，66t ，小轿车赶上来之后，大客车又行驶的时间： 4015 35 110 27 ， 小轿车司机折返时的速度： 3 6(353566) 2 （千米/分）90千米/时80千米/时， 小轿车折返时已经超速 考点集训 1 （2019 安徽）如图中的图象（折线 ABCDE）描述了一汽车在某一直道上的行驶过程中，汽车离出发地的
7、 距离 s（千米）和行驶时间 t（小时）之间的函数关系根据图中提供的信息，给出下列说法： 汽车共行驶了 120 千米； 汽车在行驶途中停留了 0.5 小时； 汽车在整个行驶过程中的平均速度为 160 3 千米/时； 汽车自出发后 3 小时至 4.5 小时之间行驶的速度在逐渐减少 其中正确的说法有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 2 （2019 湖北）当 x=1 时，代数式 ax3+bx+4 的值为 5则 x=1 时，ax3+bx+4 的值为 3 （2019 江苏）已知 a 是方程 x22013x+1=0 一个根，求 a22012a+ 2 2013 1a 的值为_ 4 （2019
8、山东）如图，在矩形 ABCD 中，AB6，BC10，将矩形 ABCD 沿 BE 折叠，点 A 落在 A处，若 EA的延长线恰好过点 C，则 sinABE 的值为_ 5 （2019 江苏）运动会上，小捷掷出的铅球在场地上砸出一个小坑（图示是其主视图） ，其中 AB 为 8cm， 小坑的最大深度为 3cm，则该铅球的半径为_cm 6 （2019 台州）如图，直线 y2x+6 与反比例数 y x k （x0）的图象交于点 A（1，m） ，与 x 轴交于点 B， 与 y 轴交于点 D （1）求 m 的值和反比例函数的表达式； （2）观察图像，直接写出不等式 2x+6- k x 0 的解集 （3） 在反
9、比例函数图像的第一象限上有一动点 M， 当 SBOM1； （3）0y6. 【解析】解： （1）当 x1 时，m2x+68， 点 A 的坐标为（1，8） 点 A（1，8）在反比例数 y k x 的图象上， k1 88， 反比例函数的解析式为 y 8 x ； （2）观察图像可知：直线在双曲线上方时，对应的 x 的取值范围为 x1， 不等式260 k x x 的解集为 x1； （3）由图可知，BOD 与BOM 有相同的底 BO， 由直线 y2x+6 可得，点 D 坐标为(0，6)， 又SBOMSBOD， 0y6. 【名师点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，熟练掌握一次函数、反比例函数的图像
10、性质是 解题的关键. 7 【答案】 （1）y=-5x2+20x； （2）不能，理由见解析. 【解析】解： （1）x=0 时，y=0， 设 y 与 x 之间的函数关系式为 y=ax2+bx（a0） ， x=1 时，y=15；x=2 时，y=20， 15 4220 ab ab 解得 5 20 a b y 与 x 之间的函数关系式为 y=-5x2+20x； （2）不能，理由是： y=-5x2+20x=-5（x-2）2+20， 小球飞行的最大高度为 20m， 2220， 小球的飞行高度不能达到 22m 【名师点睛】此题主要考查了二次函数的应用，关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握配方法化顶点 解析式
11、 8 【答案】 （1）75；4 3； （2）CD=413. 【解析】解： （1）BDAC， ADB=OAC=75 BOD=COA， BODCOA， ODOB1 OAOC3 又AO=3 3， OD= 1 3 AO= 3， AD=AO+OD=4 3 BAD=30 ，ADB=75 ， ABD=180 -BAD-ADB=75 =ADB， AB=AD=4 3 故答案为：75；4 3 （2）过点 B 作 BEAD 交 AC 于点 E，如图所示 ACAD，BEAD， DAC=BEA=90 AOD=EOB， AODEOB， BOEOBE DOAODA BO：OD=1：3， EOBE1 AODA3 AO=3 3, EO= 3， AE=4 3 ABC=ACB=75 ， BAC=30 ，AB=AC， AB=2BE 在 RtAEB 中，BE2+AE2=AB2，即（4 3） 2+BE2=（2BE）2， 解得：BE=4， AB=AC=8，AD=12 在 RtCAD 中，AC2+AD2=CD2，即 82+122=CD2， 解得：CD=4 13. 【名师点睛】 本题考查了相似三角形的性质、 等腰三角形的判定与性质、 勾股定理以及平行线的性质， 解题的关键是： （1） 利用相似三角形的性质求出 OD 的值； （2）利用勾股定理求出 BE、CD 的长度
