1、 开放探究题 专题概述 1开放型问题的类型通常有：条件开放、结论开放等.解决这类问题，首先经过探索确定结论或补全 条件将开放型问题转化为封闭型问题，然后作答. 2探索型问题的类型通常有：结论探索型、存在型等. 解决结论探索型问题，首先要探索出结论，然 后加以证明；解决存在型问题，首先假设结论存在，然后推理，若推出矛盾，即否定假设，若推出合理结 论，则肯定假设. 考点分析 考点一、考点一、条件开放型问题条件开放型问题 【例 1】 （2019 湖南中考真题）如图，在四边形ABCD中，若ABCD，则添加一个条件_，能得到 平行四边形ABCD （不添加辅助线，任意添加一个符合题意的条件即可） 【答案】
2、ADBC 【解析】根据平行四边形的判定，可再添加一个条件：ADBC 故答案为：ADBC（答案不唯一） 【点睛】此题主要考查平行四边形的判定是一个开放条件的题目，熟练掌握判定定理是解题的关键 考点二、考点二、结论开放型问题结论开放型问题 【例 2】 （2018绍兴）小敏思考解决如下问题： 原题：如图 1，点 P，Q 分别在菱形 ABCD 的边 BC，CD 上，PAQ=B，求证：AP=AQ （1）小敏进行探索，若将点 P，Q 的位置特殊化；把PAQ 绕点 A 旋转得到EAF，使 AEBC，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，如图 2此时她证明了 AE=AF，请你证明 （2）受以上（1）的启发，在
3、原题中，添加辅助线：如图 3，作 AEBC，AFCD，垂足分别为 E，F请 你继续完成原题的证明 （3）如果在原题中添加条件：AB=4，B=60 ，如图 1，请你编制一个计算题（不标注新的字母） ，并直接 给出答案（根据编出的问题层次，给不同的得分） 【解析】 （1）四边形 ABCD 是菱形， B+C=180 ，B=D，AB=AD， EAF=B， EAF+C=180 ， AEC+AFC=180 ， AEBC， AFCD， 在AEB 和AFD 中， AEBAFD BD ABAD , AEBAFD， AE=AF. （2）由（1）得，PAQ=EAF=B，AE=AF， EAP=FAQ， 在AEP 和A
4、FQ 中， AEPAFQ AEAF EAPFAQ ， AEPAFQ， AP=AQ； （3）答案不唯一，如求四边形 APCQ 的面积. 连接 AC、BD 交于 O， ABC=60 ，BA=BC， ABC 为等边三角形， AEBC，BE=EC，同理，CF=FD， 四边形 AECF 的面积= 1 2 四边形 ABCD 的面积， 由（2）得，四边形 APCQ 的面积=四边形 AECF 的面积， OA= 1 2 AB=2，OB= 3 2 AB=2 3， 四边形 ABCD 的面积= 1 2 22 3 4=8 3， 四边形 APCQ 的面积=4 3 考点三、考点三、结论探索型问题结论探索型问题 【例 3】
5、（2019 河南中考模拟） （1）操作：如图1，点O为线段MN的中点，直线PQ与MN相交于点O， 请利用图1画出一对以点O为对称中心的全等三角形， （不写画法）. 根据上述操作得到的经验完成下列探究活动： （2）探究一：如图2，在四边形ABCD中，/ /,ABDC E为BC边的中点，,BAEEAF AF 与DC的 延长线相交于点F，试探究线段AB与AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论. （3）探究二，如图3DE，BC相交于点E，BA交DE于点A，且 :1:2,/ /BE ECBAEEDFCFAB ，若5,1ABCF，求DF的长度. 【答案】 （1）如图1所示见解析； （2）ABAFCF，理
6、由见解析； （3）DF=9. 【解析】 （1）如图1所示 连接MG，过点N作/NHMG交PQ于点H. （2）解：ABAFCF，理由如下：如图2，延长AE交DC的延长线于点G. /ABDC，BAEEAF ，GBAEEAF，BECG ， AFFG. E为BC中点， ,BECE， ()ABEGCE AAS ， ABCG CGGFCFAFCF ABAFCF （3）延长DE交CF的延长线于点G，如图3 / /,ABCFBAEEDF ,GBAEEDFBECG DFFG， ABEGCE ABBE CGCE 5,:1:2ABBE CE ，10CG 1CF ， 9GFCG CF， 9DF 【点睛】考查全等三角形
7、的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握辅助线的作法是解题的关键. 考点四、存在型问题考点四、存在型问题 （2019 山西中考真题）综合与探究 如图，抛物线 2 6yaxbx经过点 A(-2,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点 C，点 D 是抛物线上一个动点， 设点 D 的横坐标为(14)mm.连接 AC，BC，DB，DC (1)求抛物线的函数表达式； (2)BCD 的面积等于AOC 的面积的 3 4 时，求m的值； (3)在(2)的条件下，若点 M 是x轴上的一个动点，点 N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点 M,使 得以点 B，D，M，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请
8、直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明 理由. 【答案】(1) 2 33 6 42 yxx ；(2)3；(3) 1234 (8,0),(0,0),( 14,0),(14,0)MMMM . 【解析】 (1)抛物线 2 yaxbxc经过点 A(-2,0)，B(4,0)， 4260 16460 ab ab ， 解得 3 4 3 2 a b ， 抛物线的函数表达式为 2 33 6 42 yxx ； (2)作直线 DEx轴于点 E，交 BC 于点 G，作 CFDE，垂足为 F， 点 A 的坐标为(-2,0)，OA=2， 由0x，得6y ，点 C 的坐标为(0,6)，OC=6， SOAC= 11 2 6
9、6 22 OA OC ， SBCD= 3 4 SAOC， SBCD = 39 6 42 ， 设直线 BC 的函数表达式为ykxn， 由 B，C 两点的坐标得 40 6 kn n ，解得 3 2 6 k n ， 直线 BC 的函数表达式为 3 6 2 yx ， 点 G 的坐标为 3 ( ,6) 2 mm， 22 3333 6(6)3 4224 DGmmmmm ， 点 B 的坐标为(4,0)，OB=4， SBCD=SCDG+SBDG= 1111 () 2222 DG CFDG BEDG CFBEDG BO， SBCD = 22 133 346 242 mmmm （）， 2 39 6 22 mm，
10、解得 1 1m (舍)， 2 3m ， m的值为 3； (3)存在，如下图所示，以 BD 为边或者以 BD 为对角线进行平行四边形的构图， 以 BD 为边时，有 3 种情况， D 点坐标为 15 (3,) 4 ，点 N 点纵坐标为15 4 ， 当点 N 的纵坐标为 15 4 时，如点 N2， 此时 2 3315 6 424 xx，解得： 12 1,3xx (舍)， 2 15 ( 1,) 4 N， 2(0,0) M； 当点 N 的纵坐标为 15 4 时，如点 N3，N4， 此时 2 3315 6 424 xx ，解得： 12 114,114xx 3 15 (114,) 4 N， 4 15 (11
11、4,) 4 N， 3( 14,0) M， 4( 14,0)M； 以 BD 为对角线时，有 1 种情况，此时 N1点与 N2点重合， 1 15 ( 1,) 4 N ，D(3， 15 4 )， N1D=4， BM1=N1D=4， OM1=OB+BM1=8， M1(8，0)， 综上，点 M 的坐标为： 1234 (80)(00)( 140)(140)MMMM ，. 【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及了待定系数法、三角形的面积、解一元二次方程、平行四 边形的性质等知识，运用了数形结合思想、分类讨论思想等数学思想，熟练掌握和灵活运用相关知识是解 题的关键. 考点集训 1 （2019 江苏）如图，
12、点 P 在ABC 的边 AC 上，要判断ABPACB，添加一个条件，不正确的是（ ） AABP=C BAPB=ABC C APAB ABAC D ABAC BPCB 2 （2019 浙江中考真题）如图，ABC内接于圆O，直径AB的长为 2，过点C的切线交AB的延长线于 点D.张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答. （1）在添加条件30D，求AD的长，请你解答. （2）以下是小明，小聪的对话： 小明：我加的条件是1BD ，就可以求出AD的长. 小聪：你这样太简单了，我加的条件是30A ，连结OC，就可以证明ACB与DCO全等.参考此对 话，在内容中添加条件，编制一道题目（可以添线、添字母）
13、 ，并解答. 3 （2019 湖北中考真题） （1）证明推断：如图（1） ，在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上， DQAE 于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GFAE 求证：DQAE； 推断： GF AE 的值为 ； （2）类比探究：如图（2） ，在矩形ABCD中， BC k AB （k为常数） 将矩形ABCD沿GF折叠，使点A 落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O试探究GF与 AECP 之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，当 2 3 k 时，若 3 tan 4 CGP， 2 10GF ，求CP
14、的 长 4 （2019 辽宁中考真题）如图 1，在平面直角坐标系中，一次函数 y 3 4 x+3 的图象与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于 B 点，抛物线 yx2+bx+c 经过 A，B 两点，在第一象限的抛物线上取一点 D，过点 D 作 DCx 轴于点 C，交直线 AB 于点 E （1）求抛物线的函数表达式 （2）是否存在点 D，使得BDE 和ACE 相似？若存在，请求出点 D 的坐标，若不存在，请说明理由； （3） 如图 2， F 是第一象限内抛物线上的动点 （不与点 D 重合） ， 点 G 是线段 AB 上的动点 连接 DF， FG， 当四边形 DEGF 是平行四边形且周长最大时，请直
15、接写出点 G 的坐标 5 （2019 湖南中考真题）如图 1，AOB 的三个顶点 A、O、B 分别落在抛物线 F1： 2 17 33 yxx的图象 上，点 A 的横坐标为4，点 B 的纵坐标为2.(点 A 在点 B 的左侧) (1)求点 A、B 的坐标； (2)将AOB 绕点 O 逆时针旋转 90 得到AOB，抛物线 F2： 2 4yaxbx经过 A、B两点，已知点 M 为 抛物线 F2的对称轴上一定点，且点 A恰好在以 OM 为直径的圆上，连接 OM、AM，求OAM 的面积； (3)如图 2，延长 OB交抛物线 F2于点 C，连接 AC，在坐标轴上是否存在点 D，使得以 A、O、D 为顶点的
16、 三角形与OAC 相似.若存在，请求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由. 答案 1 【答案】D 【解析】 A当ABP=C 时，又A=A，ABPACB，故此选项错误； B当APB=ABC 时，又A=A，ABPACB，故此选项错误； C当 APAB ABAC 时，又A=A，ABPACB，故此选项错误； D无法得到ABPACB，故此选项正确 故选 D 2 【答案】 （1）3AD，见解析； （2）见解析. 【解析】 （1）连接 OC，如图， CD 为切线， OCCD， OCD=90 ， D=30 ， OD=2OC=2， AD=AO+OD=1+2=3； （2）添加DCB=30 ，求 AC 的长， A
17、B 为直径， ACB=90 ， ACO+OCB=90 ，OCB+DCB=90 ， ACO=DCB， ACO=A， A=DCB=30 ， 在 RtACB 中，BC= 1 2 AB=1， AC= 3BC=3 【点睛】 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定 理图，得出垂直关系也考查了圆周角定理 3 【答案】 （1）证明见解析；解：结论：1 GF AE 理由见解析； （2）结论： FG k AE 理由见解析； （3） 9 5 5 PC 【解析】 （1）证明：四边形ABCD是正方形， ABDA，90ABEDAQ 90QAOOAD AEDH， 90AD
18、OOAD QAOADO ABEDAQ()ASA， AEDQ 解：结论：1 GF AE 理由：DQAE，FGAE， / /DQFG， / /FQDG， 四边形DQFG是平行四边形， FGDQ， AEDQ， FGAE， 1 GF AE 故答案为 1 （2）解：结论： FG k AE 理由：如图 2 中，作GMAB于M AEGF， 90AOFGMFABE ， 90BAEAFO，90AFOFGM， BAEFGM， ABEGMF， GFGM AEAB ， 90AMGDDAM ， 四边形AMGD是矩形， GMAD， GFADBC k AEABAB （3）解：如图 21 中，作PMBC交BC的延长线于M /
19、FBGC，/FEGP， CGPBFE， 3 tantan 4 BE CGPBFE BF ， 可以假设3BEk，4BFk，5EFAFk， 2 3 FG AE ， 2 10FG ， 3 10AE ， 222 (3 )(9 )(3 10)kk， 1k 或1（舍弃） ， 3BE ，9AB ， :2:3BC AB， 6BC ， 3BECE，6ADPEBC， 90BEFFEPPME ， 90FEBPEM，90PEMEPM， FEBEPM ， FBEEMP， EFBFBE PEEMPM ， 543 6EMPM ， 24 5 EM ， 18 5 PM ， 249 3 55 CMEMEC， 22 9 5 5 P
20、CCMPM 【点睛】 本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判 定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参 数构建方程解决问题，属于中考压轴题 4 【答案】 （1）yx2+13 4 x+3； （2）存在点 D 的坐标为（13 4 ，3）或（ 23 12 ， 50 9 ） ； （3）G（ 13 4 ， 9 16 ） 【解析】 （1）在 3 3 4 yx 中，令 0x，得 3y ，令0y ，得4x， (4,0)A ， (0,3)B ， 将(4,0)A， (0,3)B 分别代入抛物线 2 yxbxc
21、 中，得： 2 440 3 bc c ，解得： 13 4 3 b c ， 抛物线的函数表达式为： 2 13 3 4 yxx （2）存在如图 1，过点B作BHCD于H，设 ( ,0)C t ，则 2 13 ( ,3) 4 D ttt ， 3 ( ,3) 4 E tt ， ( ,3)H t ； 3 3 4 ECt ，4ACt，BHt， 2 13 4 DHtt ， 2 4DEtt BDE和ACE相似，BEDAEC BDEACE或DBEACE 当BDEACE时，90BDEACE， BDAC DECE ，即：BD CEAC DE 2 3 (3)(4)(4 ) 4 ttttt ，解得： 1 0t （舍去）
22、 ， 2 4t （舍去） ， 3 13 4 t ， 13 ( 4 D，3) 当DBEACE时，BDECAE BHCD 90BHD， tantan BHCE BDECAE DHAC ，即：BH ACCE DH 2 313 (4)(3)() 44 ttttt ，解得： 1 0t （舍)， 2 4t （舍)， 3 23 12 t ， 23 (12D， 50) 9 ； 综上所述，点D的坐标为 13 ( 4 ，3)或 23 (12， 50) 9 ； （3）如图 3，四边形DEGF是平行四边形 / /DEFG，DEFG 设 2 13 ( ,3) 4 D mmm， 3 ( ,3) 4 E mm， 2 13
23、( ,3) 4 F nnn， 3 ( ,3) 4 G nn ， 则： 2 4DEmm ， 2 4FGnn ， 22 44mmnn ，即：( )(4)0mn mn ，0m n 40mn，即：4mn 过点G作GKCD于K，则/ /GKAC EGKBAO coscos GKAO EGKBAO EGAB ，即：GK ABAO EG 5()4nmEG ，即： 5 () 4 EGnm DEGF周长 22 5389 2()2(4 )()2() 448 DEEGmmnmm 20 ， 当 3 4 m 时，DEGF周长最大值 89 8 ， 13 ( 4 G， 9 ) 16 5 【答案】(1)点 A 坐标为(4，4
24、)，点 B 坐标为(1，2)；(2)SOAM8；(3)点 D 坐标为(4，0)、(8，0)、 (0，4)或(0，8)时，以 A、O、D 为顶点的三角形与OAC 相似. 【解析】 (1)当 x4 时， 217 y444 33 ， 点 A 坐标为(4，4)， 当 y2 时， 2 17 xx2 33 ， 解得：x11，x26， 点 A 在点 B 的左侧， 点 B 坐标为(1，2)； (2)如图 1，过点 B 作 BEx 轴于点 E，过点 B作 BGx 轴于点 G， BEOOGB90 ，OE1，BE2， 将AOB 绕点 O 逆时针旋转 90 得到AOB， OBOB，BOB90 ， BOE+BOGBOE
25、+OBE90 ， BOGOBE， 在BOG 与OBE 中 B B B OGBEO OGOBE OBO ， BOGOBE(AAS)， OGBE2，BGOE1， 点 B在第四象限， B(2，1)， 同理可求得：A(4，4)， OAOA 22 444 2 ， 抛物线 F2：yax2+bx+4 经过点 A、B， 16444 4241 ab ab ， 解得： 1 4 3 a b ， 抛物线 F2解析式为： 2 1 yx3x4 4 ， 对称轴为直线： 3 x6 1 2 4 ， 点 M 在直线 x6 上，设 M(6，m)， OM262+m2，AM2(64)2+(m+4)2m2+8m+20， 点 A在以 OM
26、 为直径的圆上， OAM90 ， OA2+AM2OM2， (4 2) 2+m2+8m+2036+m2， 解得：m2， AM 2 m8m204 16202 2 ， SOAM 1 2 OAAM 1 4 22 28 2 ； (3)在坐标轴上存在点 D，使得以 A、O、D 为顶点的三角形与OAC 相似， B(2，1)， 直线 OB解析式为 y 1 2 x， 2 1 2 1 x34 4 yx yx ， 解得： 1 1 x2 y1 (即为点 B)， 2 2 x8 y4 ， C(8，4)， A(4，4)， ACx 轴，AC4， OAC135 ， AOC45 ，ACO45 ， A(4，4)，即直线 OA 与
27、x 轴夹角为 45 ， 当点 D 在 x 轴负半轴或 y 轴负半轴时，AOD45 ，此时AOD 不可能与OAC 相似， 点 D 在 x 轴正半轴或 y 轴正半轴时，AODOAC135 (如图 2、图 3)， 若AODOAC， 则 ODOA 1 A COA ， ODAC4， D(4，0)或(0，4)； 若DOAOAC， 则 DOOA4 2 2 OAAC4 ， OD 2OA8， D(8，0)或(0，8)， 综上所述，点 D 坐标为(4，0)、(8，0)、(0，4)或(0，8)时，以 A、O、D 为顶点的三角形与OAC 相似. 【点睛】 本题考查的是二次函数与几何的综合题，涉及了待定系数法，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判 定与性质，圆周角定理等知识，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 注意数形结合思想与分类讨论思想的运用.
