1、5.1 二次根式第5章 二次根式第1课时 二次根式的概念及性质学习目标1.了解二次根式的定义；2.理解二次根式在实数范围内有意义的条件；（重点）3.掌握二次根式的两条重要性质（重点、难点）导入新课导入新课情景引入里约奥运会上，哪位奥运健儿给你留下了深刻的印象？你能猜出下面表情包是谁吗？你们是根据哪些特征猜出的呢？下面来看傅园慧在里约奥运会赛后的采访视频，注意前方高能表情包.通过表情包来辨别人物，最重要的是根据个人的特征，那么数学的特征是什么呢？“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也.”-中科院数学与系统科学研究院 李邦河复习引入问题1 什么叫做平方根?一般地，如果一个数的平方等于a，
2、那么这个数叫做a的平方根.问题2 什么叫做算术平方根?如果 x2=a（x0），那么 x 称为 a 的算术平方根.用 表示.(0)a a 问题3 什么数有算术平方根?我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？(1)如图的海报为正方形，若面积为2m2,则边长为_m；若面积为S m2，则边长为_m(2)如图的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积为6m2，则它的宽为_m 图图2S3（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系 h=5t2，如果用含有h 的式子表示 t
3、，那么t为_5h问题1 这些式子分别表示什么意义？5h分别表示2，S，3，的算术平方根 上面问题中，得到的结果分别是：，2S35h讲授新课讲授新课二次根式的概念及有意义的条件一根指数都为2;被开方数为非负数.问题2 这些式子有什么共同特征？归纳总结 一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式.“”称为二次根号.(0)aa 两个必备特征外貌特征：含有“”内在特征：被开方数a 0注意：a可以是数，也可以是式.例1 下列各式是二次根式吗?典例精析(1 1)3 32 2,(2 2)6 6,(3 3)1 12 2,1a 2 23 3(6 6),(7 7)5 5是不是不是mxy(4 4)-(5 5)，（x,y
4、异号）不是不是是不是不含二次根号被开方数是负数当m0时被开方数是负数xy0非负数+正数恒大于零根指数是3例2 当x是怎样的实数时,在实数范围内有 意义?2x解：由x-20，得x2.当x2时，在实数范围内有意义.2x111x（）；解：由题意得x-10，x1.3(2).1xx解：被开方数需大于或等于零，3+x0，x-3.分母不能等于零，x-10，x1.x-3 且x1.要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数0，列不等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.归纳(1)单个二次根式如 有意义的条件：A0；A(2)多个二次根式相加如 有意义的 条件：.ABN0
5、0.0ABN；(3)二次根式作为分式的分母如 有意义的条件：A0；BA(4)二次根式与分式的和如 有意义的条件：A0且B0.1AB归纳总结1.下列各式：.一定是二次根式的个数有 （）2233;5;112721axxxx；;A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 B2.(1)若式子 在实数范围内有意义，则x的取值 范围是_;12x (2)若式子 在实数范围内有意义，则x的 取值范围是_.12xxx 1 x 0且x2 练一练问题1 当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？2x3x前者x为全体实数；后者x为正数和0.当a0时，表示a的算术平方根，因此 0；当a=0时，表示0的算术平方根，因此 =
6、0.这就是说，当a0时，0.aaaaa问题2 二次根式 的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？a二次根式的双重非负性二 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道：a（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a0；（2）表示一个数或式的算术平方根，可知 0.aa二次根式的被开方数非负二次根式的值非负二次根式的双重非负性归纳总结例3 若 ，求a-b+c的值.223(4)0abc解：由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,解得a=2,b=3,c=4.所以a-b+c=2-3+4=3.多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学
7、过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.归纳典例精析例4 已知y=,求3x+2y的算术平方根.338xx解：由题意得 x=3，y=8，3x+2y=25.25的算术平方根为5，3x+2y的算术平方根为53 030 xx，3264baa解：由题意得a=3，b=4.当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=1130260aa，若 ，则根据被开方数大于等于0，可得a=0.归纳yaab已知|3x-y-1|和 互为相反数，求x+4y的平方根24xy解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0解得x=1，y=2x+4y=1+24=9，x+4y的平方根为3.练一
8、练问题1 下列数字谁能顺利通过下面两扇门进入客厅？14算术平方根之门 平方之门 0 -4 -1 a2()aa a01 1214我们都是非负数哟 （a0）的性质三2()a问题2 若下列数字想从客厅出来，谁能顺利通过两扇门出来呢？算术平方根之门 平方之门 140 -4 -1 1 16 4 1 116142a2aa a为任意数我们都是非负数，可出来之前我们有正数，零和负数.思考 你发现了什么？正方形的边长为 ，用边长表示正方形的面积为 ，又面积为a，即 .活动1 如图是一块具有民族风的正方形方巾，面积为a，求它的边长，并用所求得的边长表示出面积，你发现了什么？a2aa2a这个式子是不是对所有的二次根
9、式都成立呢？活动2 为了验证活动1的结论是否具有广泛性，下面根据算术平方根及平方的意义填空，你又发现了什么？.算术平方根平方运算 0 2 4 .004213a(a0)a2)(a 02 =0 .1321133观察两者有什么关系？2 22=42222_1.322_;24_;20_;41320根据活动2直接写出结果，然后根据活动2的探究过程说明理由：是2的算术平方根，根据算术平方根的意义，是一个平方等于2的非负数.因此 .同理，分别是0,4，的算术平方根，即得上面的等式.2222210,4,313归纳总结 的性质：2()(0)aa 一般地，a (a 0).2()a即一个非负数的算术平方根的平方等于它
10、本身.注意：不要忽略a0这一限制条件.这是使二次根式 有意义的前提条件.a典例精析例5 计算：2(1)(1.5);2(2)(2 5)；解：2(1)(1.5)1.5.222(2)(2 5)2(5)4 520.(2)可以用到幂的哪条基本性质呢？积的乘方：（ab）2=a2b2练一练 计算：22(1)(5)(2)(2 2).；解:2(1)(5)5 .222(2)(2 2)=2(2)=4 2=8.平方运算算术平方根 2 0.1 0 .449a(a0)2a2a 2 .23观察两者有什么关系？0.010.10230 的性质四2a填一填：a(a0).2a .平方运算算术平方根 -2 -0.1 .4492a2a
11、 2 .23观察两者有什么关系？0.010.123a(a0)思考：当a0时，=2a？-a归纳总结a(a0)2aa-a(a0)即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.的性质：2(0)aa 例6 化简：(1)16;2(2)(5)；解：2(1)1644.22(2)(5)55.2(3)10;2(4)(3.14).22111(3)10=10=10=10.2(4)(3.14)=3.14=3.14.，而3.14，要注意a的正负性.注意2aa 计算：22(1)(-2)(2)(-1.2).；练一练解:22 1(-2)=2=2 ().().22 2 (-1.2)=1.2 =1.2().().辨一辨：请同
12、学们快速分辨下列各题的对错（）（）（）（）2222(1)22(2)22(3)22(4)22 议一议：如何区别 与？2a2()a2()a2a从运算顺序看从取值范围看从运算结果看先开方,后平方先平方，后开方a0a取任何实数a|a|意义表示一个非负数a的算术平方根的平方表示一个实数a的平方的算术平方根例7 实数a、b在数轴上的对应点如图所示，请你化简:222.abab解：由数轴可知a0，b0，a-b0，原式=|a|-|b|+|a-b|=-a-b-（a-b）=-2a.ab【变式题】实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简：.2244aabbab解：根据数轴可知ba0，a+2b0，a-b0，则=|a+2
13、b|+|a-b|=-a-2b+a-b=-3b2244aabbab 利用数轴和二次根式的性质进行化简，关键是要要根据a,b的大小讨论绝对值内式子的符号.注意例8 已知a、b、c是ABC的三边长，化简：222.abcbcacba解：a、b、c是ABC的三边长，a+bc，b+ca，b+ac，原式=|a+b+c|-|b+c-a|+|c-b-a|=a+b+c-（b+c-a）+（b+a-c）=a+b+c-b-c+a+b+a-c =3a+b-c分析：利用三角形三边关系三边长均为正数，a+bc两边之和大于第三边，b+c-a0，c-b-a0当堂练习当堂练习2.式子 有意义的条件是 （）236xA.x2 B.x2
14、 C.x2 D.x23.若 是整数，则自然数n的值有 （）A.7个 B.8个 C.9个 D.10个95nD1.下列式子中，不属于二次根式的是（）CDa CA4.当x为何值时，在实数范围内有意义？解：要使在实数范围内有意义，必须同时满足被开方数x30和分母x10，解得x3且x1.方法总结：使一个代数式有意义的未知数的取值范围通常要考虑三种情况：一是分母不为零，二是偶次方根的被开方数是非负数，三是零次幂的底数不为零113xx 5.计算：2 1 -3()()()()；25 2 2()().()().答案：3答案：54 6.计算：2 1 7 ()()；2 2 -3 ()()；23 3 -4 ()()；2 4 -0.01 ().().答案：7答案：3答案：0.0134 答答案案：6.若x，y是实数，且y ,求 的值.1112xx 11yy解：根据题意得，x=1.y ,y ，.1112xx 1211111yyyy 1 010 xx，课堂小结课堂小结二次根式二次根式的概念二次根式的表示二次根式有意义的条件被开方数0性质2()(0)aa a2(0)aa a应用见名师学案本课时练习课后作业课后作业
