1、 第第4章章 功和能功和能 1 力的功力的功 动能定理动能定理 2 一对内力作功之和一对内力作功之和 3 保守保守(内内)力的功与相应的势能力的功与相应的势能 4 机械能守恒定律机械能守恒定律1 力的功力的功 动能定理动能定理 一、力的功一、力的功 二、二、质点运动的动能定理质点运动的动能定理 三、三、质点系的动能定理质点系的动能定理一、力的功一、力的功 1.恒力作用恒力作用 直线运动直线运动cosSFASFArFAFSr作用物体的位移作用物体的位移2.一般运动一般运动 （变力作用（变力作用 曲线运动）曲线运动）abFrd讨论讨论1）A是标量是标量,单位：单位：J（焦耳）（焦耳）反映了能量的变
2、化反映了能量的变化正负正负：取决于力与位移的：取决于力与位移的夹角夹角 rdFA2）功是过程量功是过程量 3）功的计算中应注意的问题功的计算中应注意的问题a质点问题质点问题iiiiiiLfArdabrd1f2frd)()()(baiifiL)()(baiiFAArd合对对质点质点:各力各力作功之作功之和和等于等于合力合力作的功作的功思考思考：写这个写这个等号等号的的条件条件？b质点系问题质点系问题iiLiiiifArd Liifrd)(?1m2m1L2L对问号的解释：对问号的解释：一般的讨论：一般的讨论：如图，两个质点走的路径不同。如图，两个质点走的路径不同。则，各质点的元位移则，各质点的元位
3、移nrrrrdddd321故不能用一个共同的元位移故不能用一个共同的元位移rd来代替。来代替。所以在所以在计算功的过程中特别要计算功的过程中特别要分清分清研究对象研究对象对质点有：对质点有：)()(baiirFAAd合即，即，各力各力作功之作功之和和等于等于合力合力作的功。作的功。但但对质点系对质点系：写不出像质点那样的简单式，：写不出像质点那样的简单式，即，即，各力各力作功之作功之和和不一定不一定等于等于合力合力的功。的功。二、二、质点运动的动能定理质点运动的动能定理rFAdd思路：思路：与推导动量定理相同，仍然由牛顿第与推导动量定理相同，仍然由牛顿第二定律出发。二定律出发。牛顿力学中定义质
4、点动能为牛顿力学中定义质点动能为rtmdddd m221mEK一种推导：一种推导：元功元功将牛顿第二将牛顿第二定律代入定律代入ddmAd ddcosdddddd dmbadmAAba)()(d222121abmmKEA推导推导dd 质点运动的动能定理质点运动的动能定理ddcos我们应该学会我们应该学会或说或说习惯习惯于这种一般性的推导。于这种一般性的推导。abF FnF FF FrFdAba由由cosrdFbaFFcos而而dtdvmFrdFAbadtrdvrddtdvmbamvdvbavv222121abmvmvA另一种推导：另一种推导：222121abmvmvA动能定理：动能定理：合外力作
5、功的代数和等于质点合外力作功的代数和等于质点动能的增量动能的增量(或末态动能减去初态动能或末态动能减去初态动能)。kkakbEEEA定义动能：定义动能：221mvEk1.动能是描写物体状态的物理量，物体状动能是描写物体状态的物理量，物体状态的改变是靠作功实现的。态的改变是靠作功实现的。单位：焦耳，单位：焦耳，J2.功是功是过程量过程量，动能是，动能是状态量状态量，动能定理，动能定理建立起过程量功与状态量动能之间的关系。建立起过程量功与状态量动能之间的关系。在计算复杂的外力作功时只须求始末两态在计算复杂的外力作功时只须求始末两态的动能变化，即求出该过程的功。的动能变化，即求出该过程的功。3.A为
6、合外力作功的代数和为合外力作功的代数和，不是合外力中，不是合外力中某一个力的功。某一个力的功。4.如果如果 Ek Ek0,A 0,外力对物体做正功；外力对物体做正功；如果如果 Ek Ek0,A 0,外力对物体做负功，外力对物体做负功，或物体克服阻力作功。或物体克服阻力作功。kkkEEEA01.确定研究对象；确定研究对象；2.受力分析，分析作功的力，不作功的力受力分析，分析作功的力，不作功的力不考虑；不考虑；3.分析始末运动状态，确定分析始末运动状态，确定Ek、Ek0；4.应用定理列方程求解。应用定理列方程求解。kkkEEEA0 前面研究了一个质点的动能定理，如前面研究了一个质点的动能定理，如果
7、研究的对象为质点系，动能定理又如何果研究的对象为质点系，动能定理又如何表示？以最简单的两个质点组成的质点系表示？以最简单的两个质点组成的质点系为研究对象。为研究对象。两个质点质量为两个质点质量为 m1、m2 ，受外力，受外力F F1、F F2，内力为，内力为f f12、f f21，初速度为，初速度为v v10、v v20,末速度为末速度为v v1、v v2,位移为位移为21,r rr r两个或两个以上的质点组成的系统。两个或两个以上的质点组成的系统。112221f f12f f1F F2F F1r r2r r1m2m110vv220vv对对 m1 、m2 应用质点应用质点动能定理，动能定理，1
8、0111kkEEAA内外20222kkEEAA内外由于由于 m1 、m2 为一个为一个系统，将上两式相系统，将上两式相加：加：kinikEE1为质点系的动能，为质点系的动能，内外iniiniAA11 合外力与合内力作功代数和，等于质合外力与合内力作功代数和，等于质点系动能的增量。点系动能的增量。令令内外iniiniAA11011kinikiniEE0kkEEkEKEAA内外思考：思考：为什么为什么内力内力之和之和一定一定为零，而为零，而 内力作功内力作功之和之和不一定不一定为零呢？为零呢？2 一对内力作功之和一对内力作功之和系统中任意两质点系统中任意两质点 m1 m2的相互作用力的相互作用力2
9、dddAAA11m2mo1r2r12f21f2112ff1L2L212112rfrfdd221112rfrfdd)(2112rrfdd 1212rfd 12rd质点质点1相对质点相对质点2的元位移的元位移12f质点质点1受质点受质点2的力的力21211212rfrfAddd2112ff一对内力作功之一对内力作功之和与参考系无关和与参考系无关中学已使用过这个结论。如：中学已使用过这个结论。如：21211212rfrfAddd一对正压力的功一对正压力的功21AAAdddmMmrNd0一对滑动摩擦力作功一对滑动摩擦力作功mMrrfAdmMrrfd 0 0总功一定减少体系的动能总功一定减少体系的动能M
10、mmNrfmMrd中学熟知的例子中学熟知的例子3 保守保守(内内)力的功与相应的势能力的功与相应的势能 一、保守力的定义一、保守力的定义 二、势能二、势能一一.保守力（保守力（conservative force）定义有两种表述）定义有两种表述 表述一（文字叙述）：表述一（文字叙述）：作功与路径无关作功与路径无关,只与始末位置有关的力只与始末位置有关的力 称为保守力称为保守力 表述二（数学表示）表述二（数学表示）：0rfLd保保守力的环流为零。保守力的环流为零。描述矢量场基本性质的方程形式描述矢量场基本性质的方程形式rfLd保Lab12abbarfrf21dd保保rfrfbabadd21保保=
11、0通常：通常：0Llfdld普遍意义：普遍意义：环流为零的力场是保守场，环流为零的力场是保守场，如静电场力的环流也是零，如静电场力的环流也是零，所以静电场也是保守场。所以静电场也是保守场。证明第二种表述：证明第二种表述：0rfLd保环流不为零的矢环流不为零的矢量场是非保守场，量场是非保守场，如磁场。如磁场。二、势能二、势能1.定义定义 令令 PbPabaEElfAd保保若选末态为势能零点若选末态为势能零点PEA保即即rfEaPad势能参考点保)(2.常见的势能函数常见的势能函数地面为势能零点地面为势能零点末态为势能零点末态为势能零点mghEP1)重力势能重力势能2)弹性势能弹性势能221kxE
12、P以弹簧原长为以弹簧原长为势能零点势能零点3)万有引力势能万有引力势能rMmGEP以无限远为以无限远为势能零点势能零点1）只有保守力才有相应的势能只有保守力才有相应的势能2）势能属于有保守力作用的体系（质点系）势能属于有保守力作用的体系（质点系）(对应一对内力作功之和对应一对内力作功之和)3）势能与参考系无关势能与参考系无关(相对位移相对位移)4）质点系的内力质点系的内力 保守内力保守内力 (作功与路径无关作功与路径无关)非保守内力非保守内力 (作功与路径有关作功与路径有关)耗散力耗散力讨论讨论例例1 如图，水平桌面上有质点如图，水平桌面上有质点 m，桌面的摩，桌面的摩擦系数为擦系数为 求：两
13、种情况下摩擦力作的功求：两种情况下摩擦力作的功 rfAbarabd圆弧mRab sfbard Rmg RmgrfAbarab2d直径1）沿圆弧；）沿圆弧；2）沿直径）沿直径解：解：rfrd)()(barsfd4 机械能守恒定律机械能守恒定律一、质点系的功能原理一、质点系的功能原理二、机械能守恒定律二、机械能守恒定律一、功能原理一、功能原理利用质点系的动能定理：利用质点系的动能定理：其中内力作功的代数和项其中内力作功的代数和项可分为可分为系统系统内部保守力的功内部保守力的功和和内部非保守力的功内部非保守力的功，内非内保内iniiniiniAAA111由由保守力作功等于势能增量的负值保守力作功等于
14、势能增量的负值的结论，的结论，kkkiniiniEEEAA011内外内iniA1piniEA内保1kiniiniiniEAAA内非内保外111pkiniiniEEAA内非外11定义机械能：定义机械能：为物体系的动能与势能之和。为物体系的动能与势能之和。222121kxmghmvE)(pkEEpkEEE功能原理：功能原理：系统外力与内部非保守力作功系统外力与内部非保守力作功的代数和，等于系统机械能的增量。的代数和，等于系统机械能的增量。1.在应用功能原理时，不必考虑保守力的功，在应用功能原理时，不必考虑保守力的功，因为这部分功以变成势能增量的负值。因为这部分功以变成势能增量的负值。EAAinii
15、ni内非外11功能原理功能原理即当外力对质点系内质点作功之和为正时，即当外力对质点系内质点作功之和为正时，其内部机械能将增加；其内部机械能将增加；2.当当01内非iniA时，时，01EEAini外若若01外iniA00EE则则即当外力对质点系内质点作功之和为负时，即当外力对质点系内质点作功之和为负时，其内部机械能将减少。其内部机械能将减少。若若01外iniA00EE则则EAAiniini内非外113.确定势能确定势能0点，以及始末两态的机械能点，以及始末两态的机械能E0、E。2.受力分析，不考虑保守力和不作功的力。受力分析，不考虑保守力和不作功的力。1.确定研究对象，必须是质点系。确定研究对象
16、，必须是质点系。4.列方程求解。列方程求解。下面举例应用功的定义、动能定理和功能下面举例应用功的定义、动能定理和功能原理三种方法进行比较，看看哪一种方法原理三种方法进行比较，看看哪一种方法好？好？EAAiniini内非外11例：例：质量为质量为 m 的物体从一个半径为的物体从一个半径为 R 的的1/4 圆弧型表面滑下，到达底部时的速度圆弧型表面滑下，到达底部时的速度为为 v,求求 A 到到 B 过程中摩擦力所做的功？过程中摩擦力所做的功？解解1：功的定义：功的定义 以以m为研究对象，为研究对象，建立自然坐标系，受建立自然坐标系，受力分析。力分析。列切向受力方程：列切向受力方程：oRCABNmg
17、fndtdvmmaFdtdvmmafmgcosmdtdvmmgfcos摩擦力的功摩擦力的功fdrA阻droRABNmgfnddrdtdvmdrmgcosmvdvRdmgAv0900cos阻 Rddr由由221mvmgRdtdrv,oRABn解解2：动能定理：动能定理由质点动能定理：由质点动能定理：kkkEEEA0受力分析：只有重力和摩擦力作功，受力分析：只有重力和摩擦力作功，0kkEEAA阻重kEAdrmg阻cosmgf00kERdmgmvAcos219002阻A点物体动能点物体动能mgRmv221foRABn解解3：功能原理功能原理以物体、地球为研究对象，以物体、地球为研究对象，受力分析，不
18、考虑保守受力分析，不考虑保守力重力和不作功的力弹力重力和不作功的力弹力力N，只有摩擦力只有摩擦力-f f 这个系统的外力作功，这个系统的外力作功，由功能原理：由功能原理：EAAiniini内非外11 01内非iniA221mvEB选择选择 B 点为重力点为重力 0 势点，势点，A、B 两点的机两点的机械能：械能：mgREAABEEA阻mgRmv221阻外AAini1可以看出，用功能原理计算最简单。可以看出，用功能原理计算最简单。foRABn由质点系的功能原理由质点系的功能原理EAAiniini内非外11机械能守恒条件机械能守恒条件 01外iniA0E00EEEE0 当合外力与内部非保守力作功代
19、数和当合外力与内部非保守力作功代数和为为0时，系统的机械能守恒。时，系统的机械能守恒。即即0 ,1内非iniA机械能守恒定律：机械能守恒定律：除保守力以外其它的力除保守力以外其它的力都不作功时，系统的机械能守恒。都不作功时，系统的机械能守恒。1.只有保守力作功时，系统的动能与势能只有保守力作功时，系统的动能与势能可以相互转换，且转换的量值一定相等，可以相互转换，且转换的量值一定相等，即动能增加的量等于势能减少的量，或势即动能增加的量等于势能减少的量，或势能增加量等于动能减少的量。能增加量等于动能减少的量。2.第一类永动机违反了能量守恒定律，因第一类永动机违反了能量守恒定律，因此是制造不出来的。
20、此是制造不出来的。各种形式的能量是可以相互转换的，各种形式的能量是可以相互转换的，但是不论如何转换，能量既不能产生，也但是不论如何转换，能量既不能产生，也不能消灭，只能从一种形式转换成另一种不能消灭，只能从一种形式转换成另一种形式，这一结论叫做能量守恒定律。形式，这一结论叫做能量守恒定律。例例2：一物体质量为一物体质量为 2kg，以初速，以初速 3.0m/s从斜面的点从斜面的点 A 处下滑，它与斜面之间的摩处下滑，它与斜面之间的摩擦力为擦力为 8N，到达点到达点 B 时，压缩弹簧时，压缩弹簧20cm 达到达到C点点停止，然后又被弹送回去。求弹停止，然后又被弹送回去。求弹簧的劲度系数簧的劲度系数
21、k和物体最后能到达的高度和物体最后能到达的高度h。设弹簧系统的质量略去不计。设弹簧系统的质量略去不计。A36.9 4.8m0.2mBC解解：(1)以物体以物体+弹簧弹簧+地地球为研究对象，球为研究对象，受力分析，受力分析，Av 重力、弹力重力、弹力是保守力不考虑，是保守力不考虑，斜面的支持力斜面的支持力 N N 不作功不考虑，不作功不考虑，只有摩擦力只有摩擦力 f f-系统内部非保守系统内部非保守力作功，力作功，重力重力 0 势点选在最低点势点选在最低点 C，弹力，弹力 0 势点选在弹簧原长处势点选在弹簧原长处 B 点，点，f fh4.8m0.2mAB36.9CAv初态机械能：初态机械能：mg
22、hmvEAA2219.36sinACh末态机械能：末态机械能：2)(21BCkEC由功能原理：由功能原理：EAAiniini内非外11f fh4.8m0.2mAB36.9CAvACEEA阻则则)21()(21)(22mghmvBCkACfA,01外iniA阻内非AAini1E2)(21BCkECmghmvEAA221f fh4.8m0.2mAB36.9CAv22)(21)(9.36sin)(21BCACfACmgmvkA1-3mN1039.1f fh4.8m0.2mAB36.9CAv(2)物体从物体从C点点反弹到最高点反弹到最高点D的过程中，的过程中，反弹高度为反弹高度为hD0.2mB36.9
23、Cf fh初态机械能初态机械能2)(21BCkEc末态机械能末态机械能mghED由功能原理由功能原理CDEEA阻9.36sinhfCDf)9.36sin/(2)(2fmgBCkhm84.02)(21BCkmghD0.2mB36.9Cf fh练习1.一匀质链条总长为一匀质链条总长为L,质量为质量为m,放在放在桌面上桌面上,并使其下垂并使其下垂,下垂一端的长度为下垂一端的长度为a,设链条与桌面之间的滑动摩擦系数为设链条与桌面之间的滑动摩擦系数为 ,令链条由静止开始运动令链条由静止开始运动,则则:（1）到链条离开桌面的过程中）到链条离开桌面的过程中,摩擦力对摩擦力对链条作了多少功？链条作了多少功？（
24、2）链条离开桌面时的速率是多少？）链条离开桌面时的速率是多少？ala时，）当链条下落解：（x1Nf摩擦力LmgxL/alxLaLmg2/2摩擦力的功：LmgdxxLLa/)(fdxAfox功：求出下落过程中重力的).2(APLaLmg2/22LxmxgdLa/,2/2/202vvAAmmPf由动能定理：)()(/2222/1 2/1aLaLLgv00v22)(22222vmLaLmgLaLmg12.质量为质量为 m 的小球在外力作用下，由静的小球在外力作用下，由静止开始从止开始从 A 点出发作匀加速直线运动，点出发作匀加速直线运动，到达到达 B 点时撤消外力，小球无摩擦地冲点时撤消外力，小球无
25、摩擦地冲上一竖直半径为上一竖直半径为 R 的半圆环，恰好能到的半圆环，恰好能到达最高点达最高点 C，而后又刚好落到原来的出发，而后又刚好落到原来的出发点点 A 处，如图所示，试求小球在处，如图所示，试求小球在 AB 段段运动的加速度为多大？运动的加速度为多大？ABCoR解：解：以小球、地为系统，机械能守恒。以小球、地为系统，机械能守恒。RmgmvmvCB2212122因小球在因小球在C点恰能作圆周运动，故点恰能作圆周运动，故 2RmvmgC小球从小球从 C 到到 A 是平是平抛运动，以抛运动，以 vc 为初为初速度，小球从速度，小球从 C 到到A 所需时间为所需时间为 t ,2122gtRAB
26、CoR(2)(1)gRt4AB 的长度为的长度为gRRgtvsC4小球在小球在AB段作匀加速直线运动段作匀加速直线运动(3)22asvB由（由（1）、（）、（2）得）得RgvB52 4522gsvaBR22sm5.120411一质点在如图所示的坐标平面内作圆周运动,有一力 作用在质点上,在该质点从坐标原点运动到(0,2R)位置过程中,此力对它作的功为(A)F0R2(B)2F0R2(C)3 F0R2(D)4F0R2)(0j yi xFFxyRO 0107图中外力 通过不可伸长的绳子和一倔强系数K=200N/m 的轻弹簧缓慢地拉地面上的物体,物体的质量M=2Kg,忽略滑轮质量及摩擦,刚开始拉时弹簧
27、为自然长度,则往下拉绳子,拉下20cm的过程中 所做的功为(重力加速度g取10m/s2)(A)2J(B)1J(C)3J(D)4J(E)20JF20cmFF物体悬空时，弹簧伸长量为mkMgL1.0力F下拉的过程中，有10cm是弹簧伸长，10cm重物上升。J3212kLMghA5020有一 倔强系数为k 的轻弹簧,原长为 L0,将它吊在天花板上,当它下端挂一托盘平衡时,其长度变为L1.然后在托盘中放一重物,弹簧长度变为L2,则伸长至L2的过程中,弹性力所作的功为(A)(B)(C)(D)21LLkxdx0201LLLLkxdx0201LLLLkxdx21LLkxdx(本题3分)5019对功的概念有以
28、下几种说法:(1)保守力作正功时,系统内相应的势能增加.(2)质点运动经一闭合路径,保守力对质点作的功为零.(3)作用力和反作用力大小相等方向相反,所以两者所作的功的代数和必为零.上述说法中(A)(1),(2)是正确的(B)(2),(3)是正确的(C)只有(2)是正确的(D)只有(3)是正确的.减少错，相互吸引力的功都是正的。5397当重物减速下降时,合外力对它做的功(A)为正值(B)为负值(C)为零(D)先为正值,后为负值0206两质量分别为m1,m2 的小球,用一倔强系数为k的轻弹簧相连,放在水平光滑桌面上,如图所示,今以等值反向的力分别作用于两小球时,若以两小球和弹簧为系统,则系统的(A
29、)动量守恒,机械能守恒,(B)动量守恒,机械能不守恒,(C)动量不守恒,机械能守恒,(D)动量不守恒,机械能不守恒m2m1FF0221如图所示,质量分别为m1和m2的物体A和B，置于光滑桌面上,A和B之间连有一轻弹簧,另有质量为m1和m2物体C和D分别置于物体A和B上,且物体A 和C,B和D之间的摩擦系数均不为零.首先用外力沿水平方向相向推压A和B使轻弹簧被压缩.然后撤掉外力.则在A和B弹开的过程中,对A,B,C,D弹簧组成的系统(A)动量守恒,机械能守恒,(B)动量不守恒,机械能守恒,(C)动量不守恒,机械能不守恒,(D)动量守恒,机械能不一定守恒BACD可能产生滑动，摩擦力做功（本题3分）
30、0660 物体在恒力F作用下作直线运动，在时间t1内速度由0增加到v，在时间t2内由v增加到2v，设F在t1内作的功是W1，冲量是I1，在t2内作的功为W2，冲量是 I2，那么，（A）W2=W1，I2 I1（B）W2=W1，I2 I1 （C）W2 W1,I2 =I1 （D）W2 W1 ,I2 =I122122121mvmvW12vmvmI（本题3分）0477一光滑的圆弧形槽M置于光滑水平面上，一滑块m自槽的顶部由静止释放后沿槽滑下，不计空气阻力，对于这一过程，以下哪种分析是对的？（A）由M和m组成的系统动量守恒（B）由M和m组成的系统机械能守恒（C）由M和m和地球组成的系统机械能守恒（D）M对m的正压力恒不做功Mm
