1、第三章 数学教育的基本理论（1）琼州学院教育科学学院琼州学院教育科学学院弗赖登塔尔的数学教育理论弗赖登塔尔的数学教育理论第三章 数学教育的基本理论弗赖登塔尔的数学教育理论弗赖登塔尔的数学教育理论波利亚的解题理论波利亚的解题理论建构主义的学习理论建构主义的学习理论我国我国“双基双基”数学教学数学教学 作为一位数学家，弗赖登塔尔作为一位数学家，弗赖登塔尔3030年代就享有盛誉，从年代就享有盛誉，从5050年代起年代起就逐渐转向数学教育的研究。他的数学教育理论与思想，完全是从就逐渐转向数学教育的研究。他的数学教育理论与思想，完全是从数学教育的实际出发，用数学家和数学教师的眼光审视一切，可以数学教育的
2、实际出发，用数学家和数学教师的眼光审视一切，可以说已经摆脱了说已经摆脱了“教育学教育学”(或或“心理学心理学”)加数学例子这种加数学例子这种“传统的传统的”数学教育研究模式，抽象概括成他独有的系统见解。数学教育研究模式，抽象概括成他独有的系统见解。荷兰数学家、数学教育家，国际知名数荷兰数学家、数学教育家，国际知名数学教育方面的权威学者。在他担任国际数学学教育方面的权威学者。在他担任国际数学教育委员会教育委员会(1CMl)(1CMl)主席期间，召开了第一届主席期间，召开了第一届国际数学教育大会国际数学教育大会(ICME1)(ICME1)。Hans Hans FreudenthalFreudent
3、hal：“对于数学教育，本世纪的上半叶对于数学教育，本世纪的上半叶Felix KleinFelix Klein做出了不做出了不朽的功绩；本世纪的下半叶朽的功绩；本世纪的下半叶Hans Hans FreudenthalFreudenthal做出了巨大做出了巨大贡献。贡献。”加亨加亨(KahaneKahane)（现任（现任ICMIICMI主席主席)弗赖登塔尔的数学教育理论的主要部分：现代数学的特性现代数学的特性数学教育的目的数学教育的目的数学教学的原则数学教学的原则“数学现实数学现实”原则；原则；“数学化数学化”原则；原则；“再创造再创造”原则；原则；“严谨性严谨性”原则原则弗赖登塔尔的几个观点：
4、数学来源于现实，也必须扎根于现实，并且应用于现实；数学来源于现实，也必须扎根于现实，并且应用于现实；这是弗赖登塔尔的基本出发点，也是我们历来提倡的基这是弗赖登塔尔的基本出发点，也是我们历来提倡的基本思想。本思想。数学应该是属于所有人的，必须将数学教给所有人。数学应该是属于所有人的，必须将数学教给所有人。数学教育体系的内容应该是与现实密切联系的数学，能数学教育体系的内容应该是与现实密切联系的数学，能够在实际中得到应用的数学，即够在实际中得到应用的数学，即“现实的数学现实的数学”。如果。如果过于强调了数学的抽象形式，忽视了生动的具体模型，过于强调了数学的抽象形式，忽视了生动的具体模型，过于集中于内
5、在的逻辑联系，割断了与外部现实的密切过于集中于内在的逻辑联系，割断了与外部现实的密切关系，那必然会给数学教育带来极大的损害。关系，那必然会给数学教育带来极大的损害。何谓“数学现实”?“每个人都有自己生活、工作和思考着的特定客观世界以及每个人都有自己生活、工作和思考着的特定客观世界以及反映这个客观世界的各种数学概念、它的运算方法、规律和有反映这个客观世界的各种数学概念、它的运算方法、规律和有关的数学知识结构关的数学知识结构”。这就是说，每个人都有自己的一套。这就是说，每个人都有自己的一套“数数学现实学现实”。从这个意义上说，所谓从这个意义上说，所谓“数学现实数学现实”不一定限于具体的事不一定限于
6、具体的事物，作为属于这个现实世界的数学本身，也是物，作为属于这个现实世界的数学本身，也是“现实现实”的一部的一部分，或者可以说，每个人也都有自己所接触到的特定的分，或者可以说，每个人也都有自己所接触到的特定的“数学数学现实现实”。大多数人的数学现实世界可能只限于数和简单的几何。大多数人的数学现实世界可能只限于数和简单的几何形状以及它们的运算，另一些人可能需要熟悉某些简单的函数形状以及它们的运算，另一些人可能需要熟悉某些简单的函数与比较复杂的几何，至于一个数学家的数学现实可能就要包含与比较复杂的几何，至于一个数学家的数学现实可能就要包含HilbertHilbert空间的算，子、拓扑学以及纤维丛等
7、等。空间的算，子、拓扑学以及纤维丛等等。数学教育的任务就在于，随着学生们所接触的客观数学教育的任务就在于，随着学生们所接触的客观世界越来越广泛，应该确定各类学生在不同阶段必世界越来越广泛，应该确定各类学生在不同阶段必须达到的须达到的“数学现实数学现实”，并且根据学生所实际拥有，并且根据学生所实际拥有的的“数学现实数学现实”，采取相应的方法予以丰富，予以，采取相应的方法予以丰富，予以扩展，从而使学生逐步提高所具有的扩展，从而使学生逐步提高所具有的“数学现实数学现实”的程度并扩充其范围。的程度并扩充其范围。何谓“数学现实”?对弗赖登塔尔的“数学现实”教学原则的理解：数学来自于现实世界的实际需要，是
8、现实世界的抽数学来自于现实世界的实际需要，是现实世界的抽象反映和人类经验的总结。因而数学教育的内容应象反映和人类经验的总结。因而数学教育的内容应为最能反映现代生产、现代社会生活需要的最基本、为最能反映现代生产、现代社会生活需要的最基本、最核心的数学知识和技能。最核心的数学知识和技能。数学教育的内容不能仅仅局限于数学内部的内在联数学教育的内容不能仅仅局限于数学内部的内在联系。系。数学教育应为不同的人提供不同层次的数学知识。数学教育应为不同的人提供不同层次的数学知识。与其说是学习数学，还不如说是学习与其说是学习数学，还不如说是学习“数学数学化化”；与其说是学习公理系统；还不如说是学习与其说是学习公
9、理系统；还不如说是学习“公公理化理化”；与其说是学习形式体系，还不如说是学习与其说是学习形式体系，还不如说是学习“形形式化式化”。弗赖登塔尔的名言：何谓“数学化”人们在观察、认识和改造客观世界的过程中，运用人们在观察、认识和改造客观世界的过程中，运用数学的思想和方法来分析和研究客观世界的种种现数学的思想和方法来分析和研究客观世界的种种现象并加以整理和组织的过程，就叫数学化。象并加以整理和组织的过程，就叫数学化。是数学抽象发展与现实世界的紧密结合。是数学抽象发展与现实世界的紧密结合。数学化是一个由浅入深，具有不同层次、不断发展的数学化是一个由浅入深，具有不同层次、不断发展的过程。过程。对弗赖登塔
10、尔的“数学化”教学原则的理解：数学化要求在数学教育过程中，让学生学会数学地思考数学化要求在数学教育过程中，让学生学会数学地思考与研究各种现象，形成数学的概念，运算的法则，构造与研究各种现象，形成数学的概念，运算的法则，构造数学模型，也就是让学生经历一个数学化的过程。数学模型，也就是让学生经历一个数学化的过程。“数学化数学化”有着各种不同的水平，这就要求我们在数学有着各种不同的水平，这就要求我们在数学教学过程中，不是笼统地提教学过程中，不是笼统地提“学生实际学生实际”，而要能确切，而要能确切地针对学生所处的不同地针对学生所处的不同“数学化数学化”水平，在此基础上作水平，在此基础上作进一步的提高。
11、进一步的提高。现实数学教育的现实数学教育的“数学化数学化”有两种形式：一是实际问题有两种形式：一是实际问题转化为数学问题的数学化；一是从符号到概念的数学化。转化为数学问题的数学化；一是从符号到概念的数学化。弗赖登塔尔的几个观点：数学教育方法的核心是学生的数学教育方法的核心是学生的“再创造再创造”。所谓所谓“再创造再创造”是指学生要经历知识形成的过程。是指学生要经历知识形成的过程。数学实质上是人们常识的系统化，每个学生都可能数学实质上是人们常识的系统化，每个学生都可能在一定的指导下，通过自己的实践来获得这些知识。在一定的指导下，通过自己的实践来获得这些知识。所以我们必须遵循这样的原则，那就是数学
12、教育必所以我们必须遵循这样的原则，那就是数学教育必须以须以“再创造再创造”的方式来进行。的方式来进行。弗赖登塔尔的观点：数学与其他的思维训练相比而言，有个最大的优点，数学与其他的思维训练相比而言，有个最大的优点，就是就是“确定性确定性”，对每个命题你可以判断它的对或，对每个命题你可以判断它的对或错，其他科学就不是如此，常常依赖于有关的现实错，其他科学就不是如此，常常依赖于有关的现实情况，涉及到所适用的范围，所选定的标准，只有情况，涉及到所适用的范围，所选定的标准，只有数学可以强加上一个有力的演绎结构，由此可以确数学可以强加上一个有力的演绎结构，由此可以确定结果是否正确，或是结果能否找到，这就是所谓定结果是否正确，或是结果能否找到，这就是所谓数学的严谨性，是数学的度量标准，也是数学教学数学的严谨性，是数学的度量标准，也是数学教学必须遵循的原则。必须遵循的原则。严谨性应该是相对的，对于严谨性的评价，必须根严谨性应该是相对的，对于严谨性的评价，必须根据具体的时代、具体的问题来作出判断。据具体的时代、具体的问题来作出判断。
