阿基米德三角形在高考中的应用讲解课件.ppt

1、（优选）阿基米德三角形在高考中的应用ppt讲解图1回顾：回顾：过抛物线过抛物线x x2 2=2=2pypy(pp0)0)上的点上的点P(P(x x0 0，y y0 0)处的切线方程？处的切线方程？yx(x0,y0)x0 x=p(y0+y)OFP)(00yypxx可可以以表表示示什什么么直直线线？还还方方程程思思考考：)(00yypxx结论：结论：过抛物线过抛物线x x2 2=2=2pypy(pp0)0)外一点外一点P(xP(x0 0，y y0 0)，分别作抛物线的切线，分别作抛物线的切线PAPA、PBPB，A A、B B分别是切点，则直线分别是切点，则直线ABAB的方程的方程为为 )(00yy

2、pxxyxx0 x=p(y0+y)(x0,y0)POFBA由抛物线的弦与过弦的端点由抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形的两条切线所围成的三角形.OABPF阿基米德阿基米德三角形三角形 阿基米德是阿基米德是伟大数学家与力伟大数学家与力学家学家,并享有并享有“数数学之神学之神”的称号。的称号。xy结论：结论：直线直线ABAB的方程为的方程为 )(00yypxx图2yxx0 x=p(y0+y)(x0,y0)POFBA线？线？的轨迹是否为一条定直的轨迹是否为一条定直点P点P则阿基米德三角形的顶则阿基米德三角形的顶(1,3),(1,3),内一定点内一定点若弦AB过抛物线若弦AB过抛物线)y,

3、(x2002yx(1,3)探究探究1 1：线线？的的轨轨迹迹是是否否为为一一条条定定直直)y y,三三角角形形的的顶顶点点P P(x x则则阿阿基基米米德德c c),点点(0 0,2 2p py y内内一一定定物物线线x x若若弦弦A AB B过过抛抛 0 00 02 2探究探究2 2：(a,b)性质性质1 1：若阿基米德三角形若阿基米德三角形ABPABP的边的边ABAB即弦即弦ABAB过抛物线内定点过抛物线内定点C C，则另一顶点则另一顶点P P的轨迹为一条直线。的轨迹为一条直线。OABPFCxyyxx0 x=p(y0+y)(x0,y0)POFBA则则弦弦A AB B是是否否过过定定点点？2

4、 2p py y无无公公共共点点),1 1(与与x xx xy y在在定定直直线线基基米米德德三三角角形形的的顶顶点点P P上上的的阿阿探探究究3 3：若若抛抛物物线线2 2pyx22性质性质2 2：若直线若直线l l与抛物线没有与抛物线没有公共点，以公共点，以l l上的点为顶点的上的点为顶点的阿基米德三角形阿基米德三角形ABPABP的底边的底边ABAB过定点。过定点。OABPFCxy成成等等差差数数列列.B B三三点点的的横横坐坐标标MM,A A、B B两两点点.求求证证：A A线线，切切点点分分别别为为过过MM引引抛抛物物线线的的两两条条切切2 2p p上上任任意意一一点点，y y:MM为

5、为直直线线l l0 0),(p p2 2p py y如如图图，抛抛物物线线x x例例1 1：(0 08 8.山山东东)2 2MOABxy-2pN思考：思考：把把M M改改成抛物线外任成抛物线外任意一点，结论意一点，结论仍然成立吗？仍然成立吗？POABFxyN性质性质3 3：如图如图,ABP,ABP是阿基米德是阿基米德三角形，三角形，N N为抛物线弦为抛物线弦ABAB中点，中点，则直线则直线PNPN平行于抛物线的对称平行于抛物线的对称轴轴.pyx22断断D.无法判D.无法判 C.垂直C.垂直 B.平行B.平行 A.相交A.相交)(的位置关系的位置关系M。则直线PM与x轴M。则直线PM与x轴弦AB

6、的中点为弦AB的中点为B,B,两条切线，切点为A,两条切线，切点为A,4x的4x的物线y物线y任意一点，过点P作抛任意一点，过点P作抛9上9上y y4)4)x x练习1.动点P是圆(练习1.动点P是圆(2 22 22 2BBPAOxyM.Q Q-c c交交于于点点P P,y y:段段A AB B和和直直线线l l的的直直线线，分分别别与与线线两两点点，一一条条垂垂直直于于x x轴轴 B B相相交交于于A A,x xy y任任作作一一直直线线，与与抛抛物物线线 ，c c)轴轴正正方方向向上上一一点点C C(0 0中中，过过y y 系系x xo oy y 标标)如如图图，在在平平面面直直角角坐坐练

7、练习习2 2：(0 07 7.江江苏苏2 2是否成立？说明理由。是否成立？说明理由。命题命题（2）试问（1）的逆（2）试问（1）的逆O为为此此抛抛物物线线的的切切线线；QQA A 的的中中点点，求求证证：为为线线段段A AB B（1 1)若若P P QABCP PxyM M(M)(M)性质性质4 4：在阿基米德三角形在阿基米德三角形ABPABP，则，则|2FBFAPFOABPFxyB)2,(211pxxApyx22)(2,(21222xxpxxB)2,2(2121pxxxx 的的关关系系？|P PF F|与与F FB B|F FA A|2 2探究探究4：)2,0(p).t t,(s s交交抛抛

8、物物线线与与另另一一点点B B的的直直线线F FA A4 4y y上上的的点点，过过焦焦点点F F线线x x)是是抛抛物物y y,(x xA A,如如图图.对对每每个个正正整整数数n n)重重庆庆.2 22 2例例2 2：(0 06 6.n nn nn nn n2 2n nn nn n1 1）;4 4（n ns sx x(1 1)试试证证：n nn n4 4y y上上x x2 2).t t,(s sB Bn nn nn n)y y,(x xA An nn nn n1,nyk x 4(1)nnx sn 1,n nnA B证明：证明：（）对任意固定的）对任意固定的因为焦点因为焦点F F（0,10,

9、1）,所以可设直线所以可设直线的方程为的方程为 由一元二次方程根与系数的关系得由一元二次方程根与系数的关系得244 0nxk x 得得由由,412yxxkyn1 12 22 2|F FC C|F FC C|F FC C|点点。试试证证：为为切切点点的的两两条条切切线线的的交交B B以以A A为为抛抛物物线线上上分分别别并并记记C C,2 2(2 2)取取x x1 1n nn nn n2 21 1n nn nn nn nn n 1 1）;4 4（n ns s(1 1)试试证证：x xn nn n4 4y y上上x x2 2性质性质4 4：在阿基米在阿基米德三角形德三角形ABPABP，则则|2nn

10、nFBFAFC).t t,(s sB Bn nn nn n)y y,(x xA An nn nn nF F(0 0,1 1)OABPFxyB)2,(211pxxA)(2,(21222xxpxxB)2,2(2121pxxxx 性质性质5 5：如图：在阿基米德三如图：在阿基米德三角形角形ABPABP，若，若F F为抛物线焦点，为抛物线焦点，则则PFBPFA)2,0(pP PF FB B.=P PF FA A:证证明明.分分别别相相切切于于A A、B B两两点点，且且与与抛抛物物线线C C的的两两条条切切线线P PA A、P PB B线线C C0 0上上运运动动，过过P P作作抛抛物物2 2-y y

11、-x x:直直线线l l的的焦焦点点为为F F，动动点点P P在在 x xy y抛抛物物线线C C：(0 05 5.江江西西）如如图图，2 2OABPFxy高高考考链链接接：,|41)41(|)41)(41(2|cos10221212110110FPxxxxFPxxxxxxFBFPFBFPBFP同理可得：同理可得：分析：分析：)(,(),(0121120 xxxxBxxA设切点设切点 AFP=PFB.,|41)41(|)41)(41(2|cos10220202010010FPxxxxFPxxxxxxFAFPFAFPAFP).,2P(1010 xxxx则).41,(),41,2(),41,(21

12、11010200 xxFBxxxxFPxxFA推论：推论：在阿基米德三角形在阿基米德三角形ABPABP，若弦若弦ABAB过抛物线焦点过抛物线焦点F F，则，则ABPF OABPFOABPFxyB推论：推论：在阿基米德三角形在阿基米德三角形ABPABP，若弦，若弦ABAB过抛物线焦点过抛物线焦点F F，则，则ABPF 课堂小结：课堂小结：2.2.关键点：关键点：阿基米德三阿基米德三角形三个顶点坐标之间角形三个顶点坐标之间的关系。的关系。QOABCF1.1.一个一个阿基米阿基米德三角形德三角形3.3.方法：方法：求导法；主元法；求导法；主元法；设而不求法。设而不求法。OABPFA1B1pyx22F

13、APFAPAPAPA A1 1 AFAF分析：AA分析：AA1 1FAPPAA1AFPPAA11 11 1P PB BP PF FF FP P,P P 同同理理可可得得：BBBPFPA11 11 11 11 11 11 1A AP PB BB BP PA A即即,P PB BP PA AxyOABPFpyx22xy B BF FP P相相似似 P PF FA A与与根根据据刚刚才才的的证证明明，可可得得|F FB B|P PF F|P PF F|F FA A|F FB B|F FA A|P PF F|2 2,0,0,0000101yxxxxx则不妨设由于时)0,2(1x方法方法2 2:当当所以

14、所以P P点坐标为点坐标为的距离为：的距离为：，则，则P P点到直线点到直线AFAF,4141:;2|12111xxxyBFxd的方程而直线即即.041)41(1121xyxxx所以所以P P点到直线点到直线BFBF的距离为：的距离为：2|412|)41()()41(|42)41(|1211212122111212xxxxxxxxxd所以所以d d1 1=d=d2 2，即得，即得AFP=AFP=PFB.PFB.001xx,041)41(),0(041410020020 xyxxxxxxy即2 2|x xx x|4 41 1x x)4 41 1)(x x2 2x xx x|x x)4 41 1(

15、x x|x x4 41 1x xx x)2 2x xx x)(4 41 1(x x|1 10 02 20 02 20 01 10 02 20 02 22 20 00 01 12 20 01 10 02 20 01d2|012xxd当当时，直线时，直线AFAF的方程：的方程：所以所以P P点到直线点到直线AFAF的距离为：的距离为：同理可得到同理可得到P P点到直线点到直线BFBF的距离的距离因此由因此由d d1 1=d=d2 2，可得到，可得到AFP=AFP=PFB.PFB.OABPFA1B1pyx22FAPFAPAPAPA A1 1 AFAF分析：AA分析：AA1 1FAPPAA1AFPPAA11 1PBPB同理可得：PF同理可得：PF PFPA11 11 11 11 11 11 1A AP PB BB BP PA A即即,P PB BP PA AxyOABPFA1B1pyx22N N四四点点共共圆圆P P,F F分分析析：M,B BP PB BF FP PA A1 1MNF FB BP PF FP PA Axy B BF FP P相相似似 P PF FA A与与|F FB B|P PF F|P PF F|F FA A|F FB B|F FA A|P PF F|2 2MNF FF FP PN N