1、第三章第三章 圆圆数学数学新课标（新课标（BSBS）1确定圆的要素确定圆的要素圆心确定其位置，半径确定其大小只有圆心没有半径，圆心确定其位置，半径确定其大小只有圆心没有半径，虽圆的位置固定，但大小不定，因而圆不确定；只有半径而没虽圆的位置固定，但大小不定，因而圆不确定；只有半径而没有圆心，虽圆的大小固定，但圆心的位置不定，因而圆也不确有圆心，虽圆的大小固定，但圆心的位置不定，因而圆也不确定；只有圆心和半径都固定，圆才被唯一确定定；只有圆心和半径都固定，圆才被唯一确定2点与圆的位置关系点与圆的位置关系(1)点与圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在点与圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上
2、、点在圆内圆内第第3章复习章复习2 知识归类知识归类点在圆外，即这个点到圆心的距离点在圆外，即这个点到圆心的距离 半径；半径；点在圆上，即这个点到圆心的距离点在圆上，即这个点到圆心的距离 半径；半径；点在圆内，即这个点到圆心的距离点在圆内，即这个点到圆心的距离 半径半径判断点与圆的位置关系可由点到圆心的距离判断点与圆的位置关系可由点到圆心的距离d与圆的半径与圆的半径r来比较得到来比较得到(2)设设 O的半径是的半径是r，点，点P到圆心的距离为到圆心的距离为d，则有，则有dr点点P在圆内；在圆内；dr点点P在圆上；在圆上；大于大于等于等于小于小于第第3章复习章复习2 知识归类知识归类dr点点P在
3、圆外在圆外点拨点拨 点与圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半点与圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半径之间的关系；反过来，也可以通过这种数量关系判断点与圆径之间的关系；反过来，也可以通过这种数量关系判断点与圆的位置关系的位置关系3垂径定理垂径定理(1)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的对的.注意注意 条件中的条件中的“弦弦”可以是直径；结论中的可以是直径；结论中的“平分平分弧弧”指平分弦所对的劣弧、优弧指平分弦所对的劣弧、优弧弧弧第第3章复习章复习2 知识归类知识归类数学数学新课标（新课标（BSBS）(2)垂径定理的推论
4、：平分弦垂径定理的推论：平分弦(不是直径不是直径)的直径垂直于弦，并且的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧平分弦所对的弧4圆的旋转不变性圆的旋转不变性(1)中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心为中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心为 .(2)探究圆中角的一些性质探究圆中角的一些性质定理定理1：在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的：在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等弧相等，所对的弦相等定理定理2：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相中有一组量相等，那么它们所
5、对应的其余各组量都分别相等等圆心圆心两条弦两条弦第第3章复习章复习2 知识归类知识归类5圆周角与圆心角的关系圆周角与圆心角的关系(1)圆周角的定义：顶点在圆上，且角的两边还与圆相交的角圆周角的定义：顶点在圆上，且角的两边还与圆相交的角叫做圆周角叫做圆周角注意注意 圆周角有两个特征：角的顶点在圆上，两边在圆内的圆周角有两个特征：角的顶点在圆上，两边在圆内的部分是圆的两条弦部分是圆的两条弦(2)圆周角与圆心角的关系：一条弧所对的圆周角等于它所对圆周角与圆心角的关系：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的的圆心角的 .(3)圆周角的性质圆周角的性质性质：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角性质：在
6、同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 .一半一半相等相等第第3章复习章复习2 知识归类知识归类数学数学新课标（新课标（BSBS）直径所对的圆周角是直径所对的圆周角是直角直角；90的圆周角所对的弦的圆周角所对的弦是是 .注意注意“同弧同弧”指指“在一个圆中的同一段弧在一个圆中的同一段弧”；“等弧等弧”指指“在同圆或等圆中相等的弧在同圆或等圆中相等的弧”；“同弧或等弧同弧或等弧”不能改为不能改为“同弦或等弦同弦或等弦”6确定圆的条件确定圆的条件不在同一直线上的三个点确定一个圆不在同一直线上的三个点确定一个圆7三角形的外接圆三角形的外接圆直径直径第第3章复习章复习2 知识归类知识归类数学数学新课标（
7、新课标（BSBS）三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的形的 .8直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系设设r为圆的半径，为圆的半径，d为圆心到直线的距离为圆心到直线的距离外心外心第第3章复习章复习2 知识归类知识归类位置位置关系关系相离相离相切相切相交相交图图形形公共公共点个数点个数数量数量关系关系0 01 12 2drdrd dr rdrdr直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系第第3章复习章复习2 知识归类知识归类数学数
8、学新课标（新课标（BSBS）易错点易错点 将圆心到直线上某一点的距离看成是圆心到直线将圆心到直线上某一点的距离看成是圆心到直线的距离的距离9圆的切线的性质及判定圆的切线的性质及判定性质：圆的切线垂直于经过切点的半径性质：圆的切线垂直于经过切点的半径判定：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆判定：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线的切线10三角形的内切圆三角形的内切圆第第3章复习章复习2 知识归类知识归类数学数学新课标（新课标（BSBS）和三角形三边都相切的圆可以作出一个，并和三角形三边都相切的圆可以作出一个，并且只能作出一个，这个圆叫做三角形的内切圆，且只能作出一个，这
9、个圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形角平分线的交点，叫做内切圆的圆心是三角形角平分线的交点，叫做三角形的三角形的 .注意注意 对一个确定的三角形来说，其内切圆对一个确定的三角形来说，其内切圆有且只有一个，其内心也有且只有一个：内心有且只有一个，其内心也有且只有一个：内心就是内切圆的圆心就是内切圆的圆心内心内心第第3章复习章复习2 知识归类知识归类 考点考点一确定圆的条件一确定圆的条件 考点攻略例例1如下图如下图X34，在，在55正方形网格中，一条圆弧经过正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是()A点点P B点点Q C点点R
10、D点点MB B第第3章复习章复习2 考点攻略考点攻略数学数学新课标（新课标（BSBS）解析解析 B圆心既在圆心既在AB的中垂线上又在的中垂线上又在BC的中垂线上，由图可以看出圆心应的中垂线上，由图可以看出圆心应该是点该是点Q.第第3章复习章复习2 考点攻略考点攻略方法技巧方法技巧 过不不在同一条直线条直线上的三的三个点点作圆圆时，只需由两条线条线段的垂的垂直直平分线确定圆心线确定圆心即可，没有必要要作出第三条线三条线段的垂直的垂直平分线线事实上，三条垂直三条垂直平分线线交于同一点点 考点考点二垂径定理及其推论二垂径定理及其推论第第3章复习章复习2 考点攻略考点攻略数学数学新课标（新课标（BSB
11、S）例例2如图如图X35，AB是是 O的弦，半径的弦，半径OCAB于于D点，点，且且AB6 cm，OD4 cm，则，则DC的长为的长为()A5 cmB2.5 cmC2 cmD1 cmD D第第3章复习章复习2 考点攻略考点攻略数学数学新课标（新课标（BSBS）解析解析 D D连接连接AOAO，因为，因为OCABOCAB，所以，所以ADADBDBD3 3 cmcm，因，因为为ODOD4 4 cmcm，在直角三角形，在直角三角形ADOADO中，由勾股定理可以得到中，由勾股定理可以得到AOAO5 5 cmcm，所以，所以OCOC5 5 cmcm，所以，所以DCDC1 1 cmcm.第第3章复习章复习
12、2 考点攻略考点攻略 考点考点三圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系三圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 例例3如图如图X36，O中，弦中，弦AB、CD相交于点相交于点P，若，若A30，APD70，则，则B等于等于()A30B35C40D50C C第第3章复习章复习2 考点攻略考点攻略数学数学新课标（新课标（BSBS）解析解析 C C由三角形的外角求得由三角形的外角求得C C4040，所以，所以B BC C4040.第第3章复习章复习2 考点攻略考点攻略数学数学新课标（新课标（BSBS）解析解析 由同弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的由同弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2倍，得倍，得O2B44，又
13、因为又因为ABCO，所以，所以AO44.第第3章复习章复习2 考点攻略考点攻略数学数学新课标（新课标（BSBS）考点考点四圆心角与圆周角四圆心角与圆周角第第3章复习章复习2 考点攻略考点攻略数学数学新课标（新课标（BSBS）例例4如图如图X37，点，点A，B，C在在 O上，上，ABCO，B22，则，则A_.44?怎样解答 考点考点五与圆有关的开放性问题五与圆有关的开放性问题第第3章复习章复习2 考点攻略考点攻略数学数学新课标（新课标（BSBS）例例5如图如图X38，在边长为，在边长为2的圆内接正方形的圆内接正方形ABCD中，中，AC是对角线，是对角线，P为边为边CD的中点，延长的中点，延长AP
14、交圆于点交圆于点E.(1)E_度；度；(2)写出图中现有的一对不全等的相似三角形，并说明理由；写出图中现有的一对不全等的相似三角形，并说明理由；(3)求弦求弦DE的长的长第第3章复习章复习2 考点攻略考点攻略数学数学新课标（新课标（BSBS）第第3章复习章复习2 考点攻略考点攻略数学数学新课标（新课标（BSBS）第第3章复习章复习2 考点攻略考点攻略数学数学新课标（新课标（BSBS）考点考点七计算扇形面积七计算扇形面积 C第第3章复习章复习2 考点攻略考点攻略数学数学新课标（新课标（BSBS）考点考点八计算弧长八计算弧长 第第3章复习章复习2 考点攻略考点攻略例例8如图如图X39，已知正方形的
15、边长为，已知正方形的边长为2 cm，以对角的两，以对角的两个顶点为圆心，个顶点为圆心，2 cm长为半径画弧，则所得到的两条弧长度之长为半径画弧，则所得到的两条弧长度之和为和为_cm(结果保留结果保留)2数学数学新课标（新课标（BSBS）考点考点九圆的切线性质九圆的切线性质 数学数学新课标（新课标（BSBS）解析解析 连接连接BD，则在，则在RtBCD中，中，BEDE，利用角的互余证明，利用角的互余证明CEDC.第第3章复习章复习2 考点攻略考点攻略数学数学新课标（新课标（BSBS）第第3章复习章复习2 考点攻略考点攻略数学数学新课标（新课标（BSBS）第第3章复习章复习2 考点攻略考点攻略数学
16、数学新课标（新课标（BSBS）考点考点十圆的切线的判定方法十圆的切线的判定方法 第第3章复习章复习2 考点攻略考点攻略数学数学新课标（新课标（BSBS）例例10如图如图X311，已知，已知RtABC，ABC90，以直角边以直角边AB为直径作为直径作 O，交斜边，交斜边AC于点于点D，连接，连接BD.(1)若若AD3，BD4，求边，求边BC的长；的长；(2)取取BC的中点的中点E，连接，连接ED，试证明，试证明ED与与 O相切相切第第3章复习章复习2 考点攻略考点攻略数学数学新课标（新课标（BSBS）解析解析 先由勾股定理求出先由勾股定理求出AB，再利用相似求出，再利用相似求出BC.只要证明只要证明ODDE就能说明就能说明ED与与 O相切，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到等边转化为等角，相切，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到等边转化为等角，进而算出进而算出ODE是直角是直角第第3章复习章复习2 考点攻略考点攻略数学数学新课标（新课标（BSBS）第第3章复习章复习2 考点攻略考点攻略数学数学新课标（新课标（BSBS）第第3章复习章复习2 考点攻略考点攻略数学数学新课标（新课标（BSBS）
