1、仿2022新高考全国卷导数压轴母题：（2022新高考全国卷）22（12分）已知函数和有相同的最小值（1）求a；（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列【解析】22.（1） （2）由（1）可得和的最小值为.当时，考虑的解的个数、的解的个数.设，当时，当时，故在上为减函数，在上为增函数，所以，而，设，其中，则，故在上为增函数，故，故，故有两个不同的零点，即的解的个数为2.设，当时，当时，故在上为减函数，在上为增函数，所以，而，有两个不同的零点即的解的个数为2.当，由（1）讨论可得、仅有一个零点，当时，由（1）讨论可得、均无零点，故若存在直线与
2、曲线、有三个不同的交点，则.设，其中，故，设，则，故在上为增函数，故即，所以，所以在上为增函数，而，故在上有且只有一个零点，且：当时，即即，当时，即即，因此若存在直线与曲线、有三个不同交点，故，此时有两个不同的零点，此时有两个不同的零点，故，所以即即，故为方程的解，同理也为方程的解又可化为即即，故为方程的解，同理也为方程的解，所以，而，故即.例一：已知，（1） 求的单调区间（2） 求证存在直线，与和有四个不同交点，并且从左到右四个交点的横坐标成等比数列例二：已知，（1）求的单调区间（2）直线，与和交于两点，求最大值，最小值（3）求证存在直线，与和有四个不同交点，并且从左到右四个交点的横坐标成等比数列例三：已知，（1） 求在（1，）处的切线，并证明： 或 （2）直线，与和交于两点，求和最小值（3）直线，与和有四个不同交点，四个交点的横坐标从左到右依次为，求证：（4）求在（，）处的切线，并证：例一解析：（1） （2）如图可知，直线与，的四个不同交点满足即 例二解析：（1） （2） （3）如图可知，直线与，的四个不同交点满足：即 例三解析：（1）（2） （3）如图可知，直线与，的四个不同交点依次为： 即 （4） 要证也就是证 也就是证即证 左侧最小值0设最小值根据第一问结论 有：
