1、第三章 量子力学导论2主要内容：主要内容：3.1 3.1 波尔理论的困难波尔理论的困难3.2 3.2 波粒二象性波粒二象性3.3 3.3 不确定关系不确定关系3.4 3.4 波函数及其统计解释波函数及其统计解释3.5 3.5 薛定谔方程薛定谔方程3.6 3.6 平均值与算符平均值与算符3.7 3.7 氢原子的薛定谔方程解氢原子的薛定谔方程解3经典物理学的成功经典物理学的成功 19世纪末，物理学理论在当时看来已经发展到相当完善世纪末，物理学理论在当时看来已经发展到相当完善的阶段。主要表现在以下两个方面：的阶段。主要表现在以下两个方面：(1)应用牛顿力学讨论了从天体到地上各种尺度的力学客应用牛顿力
2、学讨论了从天体到地上各种尺度的力学客体的运动。牛顿力学应用于分子运动也取得有益的结果。体的运动。牛顿力学应用于分子运动也取得有益的结果。1897年汤姆逊发现了电子，这个发现表明电子的行为类似年汤姆逊发现了电子，这个发现表明电子的行为类似于一个牛顿粒子。于一个牛顿粒子。(2)光的波动性在光的波动性在1803年由杨氏干涉实验有力揭示出来，年由杨氏干涉实验有力揭示出来，麦克斯韦在麦克斯韦在1864年发现的光和电磁现象之间的联系把光的年发现的光和电磁现象之间的联系把光的波动性置于更加坚实的基础之上。波动性置于更加坚实的基础之上。4经典物理学的困难经典物理学的困难主要是以下以个问题：主要是以下以个问题：
3、1 1）黑体辐射问题）黑体辐射问题 ；2 2）光电效应）光电效应 ；3 3）氢原子光谱）氢原子光谱 进入进入20世纪后，经典物理学受到冲击。经典理论在解世纪后，经典物理学受到冲击。经典理论在解释一些新的试验结果上遇到了严重的困难。释一些新的试验结果上遇到了严重的困难。19001900年，普朗克在解释黑体辐射问题时提出能量量子化年，普朗克在解释黑体辐射问题时提出能量量子化的概念；的概念；19051905年，爱因斯坦在解释光电效应时提出光量子概年，爱因斯坦在解释光电效应时提出光量子概念。念。19131913年，玻尔引入量子态概念建立玻尔模型并成功地解年，玻尔引入量子态概念建立玻尔模型并成功地解释了
4、氢光谱。释了氢光谱。然而，至此形成的量子论称为然而，至此形成的量子论称为旧量子论旧量子论，有严重的缺陷。，有严重的缺陷。5在在“物质粒子的波粒二象性物质粒子的波粒二象性”思想的基础上，于思想的基础上，于1925-1928年间由海森堡、玻恩、薛定谔、狄拉克等人建立了量年间由海森堡、玻恩、薛定谔、狄拉克等人建立了量子力学，它与相对论成了近代物理学的两大理论支柱。子力学，它与相对论成了近代物理学的两大理论支柱。海森堡海森堡WERNER HEISENBERG(1901-1976)薛定谔薛定谔ERWIN SCHRODINGER(1887-1961)狄拉克狄拉克PAUL DIRAC(1902-1984)量
5、子力学的本质特征在量子力学的本质特征在1927年海森堡提出的不确定关系年海森堡提出的不确定关系中得到明确的反映，它是微观客体波粒二象性的必然结果。中得到明确的反映，它是微观客体波粒二象性的必然结果。玻恩玻恩M.Born(1882-1970)一张世界上智慧最集中的照片！一张世界上智慧最集中的照片！6第五次索尔维会议与会者合影（第五次索尔维会议与会者合影（1927）2 2、波粒二象性、波粒二象性3 3、不确定关系、不确定关系4 4、波函数及其统计解释、波函数及其统计解释5 5、薛定谔方程、薛定谔方程1 1、玻尔理论的困难、玻尔理论的困难6、量子力学问题的几个简例、量子力学问题的几个简例7、量子力学
6、对氢原子的描述、量子力学对氢原子的描述1、两个重要概念：、两个重要概念：量子化量子化概念及概念及波粒二象性波粒二象性概念概念2、一个重要关系式：不确定关系一个重要关系式：不确定关系3、一个基本原理：态叠加原理一个基本原理：态叠加原理4、两个基本假设：波函数的统计解释及薛定谔方程两个基本假设：波函数的统计解释及薛定谔方程5、三个重要实验：三个重要实验：电子对晶体的衍射、单缝衍射及双缝干涉电子对晶体的衍射、单缝衍射及双缝干涉 今天量子力学的发展不仅仅在基础科学方面，在其他今天量子力学的发展不仅仅在基础科学方面，在其他领域也有广阔的应用前景。领域也有广阔的应用前景。量子力学是关于量子力学是关于微观世
7、界微观世界的基本理论，它能够正确地描的基本理论，它能够正确地描述述微观世界微观世界粒子运动的基本规律，它正确地反映了实物粒子粒子运动的基本规律，它正确地反映了实物粒子波粒二象性的客观事实。它与某些经典物理概念是不相容的，波粒二象性的客观事实。它与某些经典物理概念是不相容的，也突破了玻尔理论的局限性。也突破了玻尔理论的局限性。等等无一不是立足于量子力学的概念与方法。也可以说，等等无一不是立足于量子力学的概念与方法。也可以说，量子物理的科学已与我们今天的生活息息相关。量子物理的科学已与我们今天的生活息息相关。“光电技术光电技术”领域领域“纳米物理与纳米技术纳米物理与纳米技术”领域领域“分子器件分子
8、器件”小尺度发展领域小尺度发展领域“量子生物量子生物”、“量子化学量子化学”交叉学科交叉学科量子力学的建立量子力学的建立 1900年，普朗克能量量子化年，普朗克能量量子化 1905年，爱因斯坦光量子说年，爱因斯坦光量子说 1913年，玻尔提出原子结构模型年，玻尔提出原子结构模型 1924年，德布罗意提出物质波概念年，德布罗意提出物质波概念 1925-1928年，海森堡、玻恩、薛定谔、狄拉克年，海森堡、玻恩、薛定谔、狄拉克等人建立了完整的量子力学理论等人建立了完整的量子力学理论量子力学的内容量子力学的内容1、产生新概念的一些重要实验。、产生新概念的一些重要实验。2、不同于经典理论的新思想。、不同
9、于经典理论的新思想。3、解决具体问题的方法。、解决具体问题的方法。3.1、玻尔理论的困难、玻尔理论的困难原因：原因：将微观粒子看作经典力学中的质点，把经典力学将微观粒子看作经典力学中的质点，把经典力学规律应用于微观粒子。规律应用于微观粒子。薛定谔的非难。薛定谔的非难。卢瑟福的质疑。卢瑟福的质疑。逻辑上的恶性循环逻辑上的恶性循环1E2Eh“遭透的跃迁遭透的跃迁”玻尔理论不仅对这些逻辑上的矛盾和困难束手玻尔理论不仅对这些逻辑上的矛盾和困难束手无策，而且，当人们用这一理论去解释周期表中第无策，而且，当人们用这一理论去解释周期表中第二号元素氦时，也遇到了无法克服的困难。二号元素氦时，也遇到了无法克服的
10、困难。对于更复杂的原子，则更加暴露玻尔和索末菲对于更复杂的原子，则更加暴露玻尔和索末菲理论的不足。就是对于氢原子，它们也不是十分完理论的不足。就是对于氢原子，它们也不是十分完善的。例如无法解释善的。例如无法解释光谱线的强弱光谱线的强弱，也无法解释用，也无法解释用更加精确的方法测得的更加精确的方法测得的“谱线的精细结构谱线的精细结构”。3.2、波粒二象性、波粒二象性一、经典物理中的波和粒子一、经典物理中的波和粒子两种不同的能量传播方式，不能同时使用。两种不同的能量传播方式，不能同时使用。经典粒子经典粒子 完全定域性，可精确确定其质量、动量和电荷。完全定域性，可精确确定其质量、动量和电荷。可视为一
11、个质点，并可根据牛顿力学进行完全描述。可视为一个质点，并可根据牛顿力学进行完全描述。经典的波经典的波是某种实在的物理量随空间和时间作周期性变是某种实在的物理量随空间和时间作周期性变化，满足叠加原理，可产生干涉、衍射等现象。化，满足叠加原理，可产生干涉、衍射等现象。具有确定的频率、波长。具有确定的频率、波长。可精确测定频率和波长，在空间无限扩展。可精确测定频率和波长，在空间无限扩展。确定的空间位置确定的空间位置粒子为一质点粒子为一质点确定波的频率、波长确定波的频率、波长在空间无限扩展在空间无限扩展波长的测定波长的测定拍频：拍频：12观察一个拍的时间：观察一个拍的时间：1则则1t 或或1t 可得可
12、得2x 又又xv t 即即1xv如果两者频率相等，如果两者频率相等，则没有拍出现。但则没有拍出现。但是要完全肯定没有是要完全肯定没有拍现象出现，必须拍现象出现，必须观察无限长时间才观察无限长时间才行，而此时所测量行，而此时所测量的波已经在的波已经在空间无空间无限扩展限扩展。二、光的波粒二象性二、光的波粒二象性 1672年，牛顿，光的微粒说年，牛顿，光的微粒说1678年，惠更斯，光的波动说年，惠更斯，光的波动说19世纪末，麦克斯韦和赫兹肯定光是一种电磁波世纪末，麦克斯韦和赫兹肯定光是一种电磁波20世纪初，光量子世纪初，光量子1905年，爱因斯坦年，爱因斯坦Eh 1917年，爱因斯坦年，爱因斯坦p
13、hpk 通过通过h把波动性与粒子性联系起来！把波动性与粒子性联系起来！,hE Pv 光在传播时显示出波动性，而在转移能量光在传播时显示出波动性，而在转移能量时显示出粒子性！时显示出粒子性！康普顿实验结论康普顿实验结论两者不会同时出现！两者不会同时出现！光既不是经典意义上的粒子，也不是经典意义光既不是经典意义上的粒子，也不是经典意义上的波，是一种兼有波动性和粒子性的客观存在。上的波，是一种兼有波动性和粒子性的客观存在。1、粒子性、粒子性 指它与物质相互作用的指它与物质相互作用的“颗粒性颗粒性”或或“整体性整体性”。但不是经典的粒子！在空间以概率出现。但不是经典的粒子！在空间以概率出现。没有没有确
14、定的确定的轨道轨道 应摒弃应摒弃“轨道轨道”的概念！的概念！2、波动性波动性 指它在空间传播有指它在空间传播有“可叠加性可叠加性”，有，有“干涉干涉”、“衍衍射射”、等现象。、等现象。但不是经典的波！因为它但不是经典的波！因为它不代表实在物理量的波动。不代表实在物理量的波动。波粒二象性波粒二象性三、德布罗意假设三、德布罗意假设 光具有波动性和粒子性。那么，光具有波动性和粒子性。那么，实物粒子，就是那些静止质量不为零实物粒子，就是那些静止质量不为零的粒子，是否具有波的性质呢？的粒子，是否具有波的性质呢？年轻的法国学者德布罗意（年轻的法国学者德布罗意（De Broglie），当时他在物），当时他在
15、物理界并不知名，在理界并不知名，在1923年首先提出了这个问题。年首先提出了这个问题。在玻尔理论中，原子中的电子的角动量、能量都只在玻尔理论中，原子中的电子的角动量、能量都只能取一些值的整数倍，如电子轨道的角动量能取一些值的整数倍，如电子轨道的角动量 ，他认为这种整数现象是波的特征，如波的衍射现象。他认为这种整数现象是波的特征，如波的衍射现象。Ln(Louis Victor due de Broglie 1892-1960)The Nobel Prize in Physics 1929发现电子的波动性发现电子的波动性 在在1923年年9-10月，德布罗意一连写了三篇论文，提月，德布罗意一连写了
16、三篇论文，提到所有的物质粒子都具有波粒二象性，认为任何物体伴随到所有的物质粒子都具有波粒二象性，认为任何物体伴随以波，而且不可能将物体的运动和波的传播分开。以波，而且不可能将物体的运动和波的传播分开。给出粒子的动量给出粒子的动量p与这伴随着的波的波长与这伴随着的波的波长之间的关之间的关系为：系为：h p它们是近代物理学中最重要的两个关系式。前者，通过普它们是近代物理学中最重要的两个关系式。前者，通过普朗克常量把粒子性和波动性联系起来；后者，通过光速把朗克常量把粒子性和波动性联系起来；后者，通过光速把能量与质量联系起来能量与质量联系起来。相对论中的质能关系相对论中的质能关系2mcE 人们称同实物
17、粒子联系着的这种波为人们称同实物粒子联系着的这种波为德布德布罗意波罗意波，此波长也为，此波长也为德布罗意波长德布罗意波长。kkEmchcmEhph222nmeVEeVEeVnmeVkk)(226.1)(10511.0212406普朗克常数的意义普朗克常数的意义 在普朗克的能量量子说中，在普朗克的能量量子说中，h是量子化的度量；而在这是量子化的度量；而在这里是联系物质波动性和粒子性的桥梁。里是联系物质波动性和粒子性的桥梁。量子化和波粒二象性是量子力学的两个最基本的概量子化和波粒二象性是量子力学的两个最基本的概念，而在这两个概念中，都出现了念，而在这两个概念中，都出现了h，说明他们之间有着，说明他
18、们之间有着本质的联系。本质的联系。在任何表达式中，只要出现了在任何表达式中，只要出现了h，就必然意味着这一，就必然意味着这一表达式的量子力学特征。表达式的量子力学特征。1918年普朗克荣获诺贝尔物理学奖。他的墓碑上只年普朗克荣获诺贝尔物理学奖。他的墓碑上只刻着他的姓名和刻着他的姓名和h=6.62607551034 Js。四、戴维逊四、戴维逊-革末实验革末实验 德布罗意关于物质波的观点德布罗意关于物质波的观点是否可以用实验来验证呢？实物是否可以用实验来验证呢？实物粒子的粒子性是由大量实验事实粒子的粒子性是由大量实验事实所揭示的。所揭示的。具有确定的轨迹、能量、动量等具有确定的轨迹、能量、动量等电
19、子是电子是粒子粒子产生干涉和衍射现象产生干涉和衍射现象 具有具有波动性波动性 在各类实物粒子中，电子的质量最小，当它低速运动在各类实物粒子中，电子的质量最小，当它低速运动时，相应的波长较长。时，相应的波长较长。戴维逊在戴维逊在19221923年期间在贝尔实验室研究电子和年期间在贝尔实验室研究电子和金属弹性散射的特性，发现了弹性散射电子的强度随散射金属弹性散射的特性，发现了弹性散射电子的强度随散射的角度而变化。在德布罗意论文发表以后，一直到的角度而变化。在德布罗意论文发表以后，一直到1926年，年，戴维逊才认识到衍射实验将能证实电子波的存在。因而开戴维逊才认识到衍射实验将能证实电子波的存在。因而
20、开展了对一定角度取向的单晶体的弹性散射的研究。展了对一定角度取向的单晶体的弹性散射的研究。1927年，由戴维逊（年，由戴维逊（Davisson）和革末（）和革末（Germer）合作完成了合作完成了镍晶体的电子衍射实验镍晶体的电子衍射实验，对电子波给出了明确，对电子波给出了明确的实验验证。的实验验证。真空真空电子枪电子枪掠射角掠射角I INiNi单晶单晶U U 戴维逊在实验中采用低能电子束，将它们垂直投到晶戴维逊在实验中采用低能电子束，将它们垂直投到晶体表面，如图所示。他们将经过电场加速的电子束射到镍体表面，如图所示。他们将经过电场加速的电子束射到镍单晶上，镍单晶的原子间距是单晶上，镍单晶的原子
21、间距是0.215nm，固定，固定 角，通过角，通过加速电压来控制加速电压来控制 的变化。的变化。实验结果实验结果(1)(1)当当V V不变时，不变时，I I与与 的关系的关系如右图，如右图，不同的不同的，I I不同；不同；在有的在有的 上将出现极值。上将出现极值。(2)(2)当当 不变时，不变时，I I与与V V的关系如的关系如右图，当右图，当V V改变时，改变时，I I亦变；而亦变；而且随着且随着V V周期性的变化。周期性的变化。电子在晶体中的散射是射线电子在晶体中的散射是射线的一个特例，这时的散射平面既的一个特例，这时的散射平面既是一个镜面，又是一个晶面，这是一个镜面，又是一个晶面，这种面
22、被称为布拉格面，所产生的种面被称为布拉格面，所产生的衍射又称为布拉格衍射。由两平衍射又称为布拉格衍射。由两平面衍射的波应该有相同的位相，面衍射的波应该有相同的位相，就是说两束波的波程差应该等于就是说两束波的波程差应该等于波长的整数倍。波长的整数倍。布拉格公式。布拉格公式。如果两个平面的距离是如果两个平面的距离是 sinad sin2sincossin2cos2aaadnsinan 因此由加速电压就可以求得波长。将波长带入因此由加速电压就可以求得波长。将波长带入布拉布拉格关系式格关系式中，得中，得 所以上式中右端是一个常数的整数倍。式子表示，所以上式中右端是一个常数的整数倍。式子表示，当当V值逐
23、渐变化，其平方根等于一个常数的整数倍时，接值逐渐变化，其平方根等于一个常数的整数倍时，接收器收到的电子数量应增加。这与实验结果符合得很好。收器收到的电子数量应增加。这与实验结果符合得很好。sin226.1aEnknkanEksin226.121 另外，实验中他们测得了散射电子强度随散射角变化另外，实验中他们测得了散射电子强度随散射角变化的函数关系。例如，当加速电压为的函数关系。例如，当加速电压为54V时，探测器在散射时，探测器在散射角角 方向上有一个明显的峰值。那么通过德布罗意方向上有一个明显的峰值。那么通过德布罗意关系式计算得出，波长为关系式计算得出，波长为 50再代入到布拉格公式中，得到对
24、于再代入到布拉格公式中，得到对于n=1时，时，和，和实验测量值相符。实验测量值相符。51 同样也可以通过计算波长来证明理论与实验相符。同样也可以通过计算波长来证明理论与实验相符。由德布罗意关系式得出的由德布罗意关系式得出的 ，而由实验结果，而由实验结果并通过布拉格关系式得出的波长为并通过布拉格关系式得出的波长为 因此这因此这些结果都证明了电子的波动性质。些结果都证明了电子的波动性质。0.167nm0.165nm54U(V)IO1.2260.167knmnmE 几个月后，汤姆逊（几个月后，汤姆逊（G.P.Thomson）（）（J.J.Thomson的儿子）用高速电子穿过金属箔进行实验，也获得了电
25、子衍的儿子）用高速电子穿过金属箔进行实验，也获得了电子衍射的图样，并证明了测量准确度范围内射的图样，并证明了测量准确度范围内 的正确性。的正确性。h p 1937年，戴维逊和汤姆逊因电子的衍射现象，证实了年，戴维逊和汤姆逊因电子的衍射现象，证实了电子波而共同获得了电子波而共同获得了诺贝尔物理学奖诺贝尔物理学奖。衍衍射射图图象象 实实验验原原理理 此后，琼森此后，琼森(Jonsson)(Jonsson)实验作了大量电子的单缝、双实验作了大量电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验。缝、三缝和四缝衍射实验。单单缝缝 双双缝缝 三三缝缝 四四缝缝nmVda3100.5kV50m1m3.0基本基本数据数据
26、电子衍射实验演示电子衍射实验演示 1993年，年，Crommie等人用扫描隧道显微镜技术，把蒸发到铜等人用扫描隧道显微镜技术，把蒸发到铜（111）表面上的铁原子排列成半径为）表面上的铁原子排列成半径为7.13nm的圆环形量子围栏的圆环形量子围栏（quantum corral），在这些铁原子形成的圆环内，铜的表面态电子），在这些铁原子形成的圆环内，铜的表面态电子波受到铁原子的强散射作用，与入射电子波发生干涉，形成驻波。用波受到铁原子的强散射作用，与入射电子波发生干涉，形成驻波。用实验观测到了在围栏内形成的同心圆状的驻波实验观测到了在围栏内形成的同心圆状的驻波(“量子围栏量子围栏”)，直观地，直观
27、地证实了电子的波动性。证实了电子的波动性。氦原子和氢分子的实验意义更深刻，它们和电子不氦原子和氢分子的实验意义更深刻，它们和电子不同，都是由电子和其它一些粒子组成的复合体系。原子同，都是由电子和其它一些粒子组成的复合体系。原子和分子也具有波动性充分表明了和分子也具有波动性充分表明了波动性的普遍存在波动性的普遍存在。实。实物粒子的波动性已在科学实验和技术中得到了广泛的应物粒子的波动性已在科学实验和技术中得到了广泛的应用。例如，电子显微镜，慢中子衍射技术等。用。例如，电子显微镜，慢中子衍射技术等。后来很多的实验证实了，不仅电子，而且后来很多的实验证实了，不仅电子，而且质子质子、中子中子、氦原子氦原
28、子、氢分子氢分子等都具有波动性。而且其波长等都具有波动性。而且其波长都符合德布罗意关系式。都符合德布罗意关系式。例例1、求动能为求动能为100eV的电子的德布罗意波长（经过的电子的德布罗意波长（经过100V电压加速后的电子的德布罗意波长）。电压加速后的电子的德布罗意波长）。解：解：电子的静止质量能电子的静止质量能 200.511m cMeV它远比其动能大，所以可以采用它远比其动能大，所以可以采用非相对论非相对论的公式。的公式。212.41.2260.12322 511 0.11002ekekhhckeV Anmnmm EkeVm c E 由此可见，当动能相同时，质量由此可见，当动能相同时，质量
29、 越大，波长越越大，波长越短，因此，对于具有相同动能的粒子，质子的波长比电子短，因此，对于具有相同动能的粒子，质子的波长比电子的小很多。的小很多。0m 例例2、一个质量是一个质量是0.01kg的小球，以的小球，以 的速的速度运动时，求它的德布罗意波长。度运动时，求它的德布罗意波长。110m s 解：解：由于小球的速度比光速小得多，则可以采用非由于小球的速度比光速小得多，则可以采用非相对论情形，根据德布罗意关系式相对论情形，根据德布罗意关系式 hp小球的动量小球的动量 10.01 100.1pmvkg m s因此因此 343316.63 106.63 100.1hJ smpkg m s 因此，如
30、果要想观测到小球的德布罗意波，必因此，如果要想观测到小球的德布罗意波，必须采用大小可与波长相比拟的孔径进行干涉、衍射须采用大小可与波长相比拟的孔径进行干涉、衍射实验，而在现实世界中我们无法找到这个数量级的实验，而在现实世界中我们无法找到这个数量级的小孔，故无法观测。小孔，故无法观测。由此可见，德布罗意关系在宏观物体上被它的由此可见，德布罗意关系在宏观物体上被它的粒子性掩盖粒子性掩盖了，它只有在微观粒子中才显示出来。了，它只有在微观粒子中才显示出来。德布罗意波的统计解释德布罗意波的统计解释1、光的衍射、光的衍射 从统计的观点来看：相当于光子到达亮处的几率要远大于光子到达暗从统计的观点来看：相当于
31、光子到达亮处的几率要远大于光子到达暗处的处的几几率。因此可以说，光子在某处附近出现的率。因此可以说，光子在某处附近出现的几几率是与该处波的强率是与该处波的强度成正比的，而波的强度与波的振幅的平方成正比，所以也可以说，度成正比的，而波的强度与波的振幅的平方成正比，所以也可以说，光子在某处附近出现的光子在某处附近出现的几几率是与该处的波的振幅的平方成正比的率是与该处的波的振幅的平方成正比的。根据光的波动性，光是一种电磁波，在衍射图样中，亮处波的强度根据光的波动性，光是一种电磁波，在衍射图样中，亮处波的强度大，暗处波的强度小。而波的强度与大，暗处波的强度小。而波的强度与振幅的平方振幅的平方成正比，所
32、以成正比，所以衍射图衍射图样中，亮处的波的振幅的平方大，暗处的波的振幅平方小样中，亮处的波的振幅的平方大，暗处的波的振幅平方小。根据光的粒子性：某处光的强度大，表示根据光的粒子性：某处光的强度大，表示单位时间内到达该处的光单位时间内到达该处的光子数多子数多；某处光的强度小，表示；某处光的强度小，表示单位时间内到达该处的光子数少单位时间内到达该处的光子数少。2德布罗意波统计解释德布罗意波统计解释 普遍地说，普遍地说，在某处德布罗意波的振幅平方是与粒子在该处出现的在某处德布罗意波的振幅平方是与粒子在该处出现的几几率成正比的率成正比的。这就是。这就是德布罗意波的统计解释德布罗意波的统计解释。从粒子的
33、观点看，衍射图样的出现，是由于电子不均匀地射向照从粒子的观点看，衍射图样的出现，是由于电子不均匀地射向照相底片各处形成的，有些地方电子密集，有些地方电子稀疏，表示相底片各处形成的，有些地方电子密集，有些地方电子稀疏，表示电子射到各处的电子射到各处的几几率是不同的，率是不同的，电子密集的地方几率大，电子稀疏电子密集的地方几率大，电子稀疏的地方的地方几几率小率小。从波动的观点来看，电子密集的地方表示波的强度大，电子稀疏从波动的观点来看，电子密集的地方表示波的强度大，电子稀疏的地方表示波的强度小，所以，某处附近电子出现的几率就反映了的地方表示波的强度小，所以，某处附近电子出现的几率就反映了在该处德布
34、罗意波的强度。对电子是如此，对其它粒子也是如此。在该处德布罗意波的强度。对电子是如此，对其它粒子也是如此。3德布罗意波与经典波的不同德布罗意波与经典波的不同 德布罗意波德布罗意波是对微观粒子运动的是对微观粒子运动的统计描述统计描述，它，它的振幅的平方表示粒子出现的概率，是的振幅的平方表示粒子出现的概率，是概率波（几率概率波（几率波）波）。机械波、电磁波机械波、电磁波 机械振动或电磁场振动等实际机械振动或电磁场振动等实际的物理量在空间的的物理量在空间的传播。传播。五、五、德布罗意波和量子态德布罗意波和量子态 德布罗意关系用到氢原子中绕核的电子上，要使绕德布罗意关系用到氢原子中绕核的电子上，要使绕
35、核运动的电子能稳定存在，与这个电子相对应的波就必核运动的电子能稳定存在，与这个电子相对应的波就必须是一个驻波。换而言之，要使电子稳定运动，电子绕须是一个驻波。换而言之，要使电子稳定运动，电子绕核回转一圈的周长必须是与其相对应的波长的整数倍，核回转一圈的周长必须是与其相对应的波长的整数倍，2,1,2nmvhnnr 改写一下改写一下2hnmvr 2,1,nnL五、五、德布罗意波和量子态德布罗意波和量子态六、一个在刚性匣子中的粒子六、一个在刚性匣子中的粒子必须满足驻波条件必须满足驻波条件2nd1,2,n 粒子被限制在刚性匣子中运动，粒子被限制在刚性匣子中运动，不能穿透出来不能穿透出来 粒子在其中以驻
36、波的形式存在粒子在其中以驻波的形式存在 匣子壁是驻波的波节匣子壁是驻波的波节 匣子的长度是半波长的整数倍匣子的长度是半波长的整数倍代入德布罗意关系式和动能公式，得代入德布罗意关系式和动能公式，得2nhpd2228kn hEmd动量和能量都是量子化的！动量和能量都是量子化的！不存在动能为零的能级不存在动能为零的能级禁闭的波必然导出量子化条件禁闭的波必然导出量子化条件七、波和非定域性七、波和非定域性 根据德布罗意观点，氢原子实际上就是一个德布罗根据德布罗意观点，氢原子实际上就是一个德布罗意波被关在库仑势场中的情况。意波被关在库仑势场中的情况。粒子的动能粒子的动能2222288khhEmdmrx0a
37、()u x1n 2n 3n 4n 总能量总能量222024eEmrr最小半径为最小半径为20min124rame氢原子基态能量氢原子基态能量422013.642meEeV 代入总能量表达式，得代入总能量表达式，得玻尔玻尔-德布罗意原子德布罗意原子3.3、不确定关系、不确定关系 在经典力学的概念中，一个粒子的在经典力学的概念中，一个粒子的位置和动量是可以同时精确测定的。位置和动量是可以同时精确测定的。但是，由于微观粒子还具有但是，由于微观粒子还具有波动性波动性，它的空间位置需要，它的空间位置需要用用几率波几率波来描述，而几率波只能给出粒子在各处出现的几率，来描述，而几率波只能给出粒子在各处出现的
38、几率，所以在任一时刻粒子不具有确定的位置，与此联系，粒子在所以在任一时刻粒子不具有确定的位置，与此联系，粒子在各时刻也不具有确定的动量。各时刻也不具有确定的动量。也就是说，由于波粒二象性，在任意时刻粒子的位置也就是说，由于波粒二象性，在任意时刻粒子的位置和动量都有一个不确定量。和动量都有一个不确定量。The Nobel Prize in Physics 1932Werner Karl Heisenberg（1901-1976）创立了量子力学第一种有效形式创立了量子力学第一种有效形式矩阵力学矩阵力学一、不确定关系的表述和含义一、不确定关系的表述和含义 海森伯在海森伯在1927年提出，粒子的位置不
39、确定量和在该年提出，粒子的位置不确定量和在该方向上的动量的方向上的动量的不确定量有一个简单的关系不确定量有一个简单的关系。xx ph tEh 粒子在客观上不能同时具有确定的坐标位置及相应的动量！粒子在客观上不能同时具有确定的坐标位置及相应的动量！位置完全确定的粒子，对应于一个位置完全确定的粒子，对应于一个无限窄无限窄的波包；的波包；无限窄的波包是含有各种波长成分的单色波的叠加，无限窄的波包是含有各种波长成分的单色波的叠加，其其动量是完全不确定的动量是完全不确定的。不确定关系的含义不确定关系的含义 动量完全确定的粒子，对应于动量完全确定，即波长完动量完全确定的粒子，对应于动量完全确定，即波长完全
40、确定的全确定的单色波单色波；而该单色波在空间的波列无限长，等效为粒子，该粒子而该单色波在空间的波列无限长，等效为粒子，该粒子在在空间位置是完全不确定的空间位置是完全不确定的。一般的粒子，对应于普通的波包；一般的粒子，对应于普通的波包；是有限长的非单色波列；是有限长的非单色波列；同时有动量的不确定度，以及空间位置的不确定度。同时有动量的不确定度，以及空间位置的不确定度。L=x=2/氢原子中，在第一轨道上运动的电子氢原子中，在第一轨道上运动的电子10.053xrnm 则则26.3phxhcppmcx以以10cm/s速度运动的质量为速度运动的质量为10g的小球的小球410 xcm 25/6.6 10
41、phxhxppmv不确定关系在微观世界里成为一个重要的规律！不确定关系在微观世界里成为一个重要的规律！当当 时，量子物理就过渡到经典物理。时，量子物理就过渡到经典物理。0h 二、不确定关系的简单导出二、不确定关系的简单导出利用上一节中得到的结果利用上一节中得到的结果1t 2x 为了得到一个孤立波，必须用很多个波去叠加。为了得到一个孤立波，必须用很多个波去叠加。根据德布罗意关系，可得根据德布罗意关系，可得2xxhpp22xxhxxpp 则则即即xx ph 如图所示，一束动量为如图所示，一束动量为p p的电的电子通过宽为子通过宽为 的单缝后发生衍的单缝后发生衍射而在屏上形成衍射条纹。射而在屏上形成
42、衍射条纹。x 如果说它在缝前的如果说它在缝前的 等于零，等于零，在过缝后，在过缝后，就不再是零了。就不再是零了。xpxp 忽略次极大，我们可以认为电子都落在中央亮纹内，忽略次极大，我们可以认为电子都落在中央亮纹内，因而电子在通过缝时，运动方向可以有大到因而电子在通过缝时，运动方向可以有大到 角的偏转。角的偏转。0 x利用单缝衍射进行推导利用单缝衍射进行推导根据动量矢量的合成，可知一个电子在通过缝时在根据动量矢量的合成，可知一个电子在通过缝时在x方向方向动量的分量动量的分量 的大小为下列不等式所限的大小为下列不等式所限 xp00sinxpp这表明，一个电子通过缝时在这表明，一个电子通过缝时在x方
43、向上的动量不确定量为方向上的动量不确定量为 0sinxpp考虑到衍射条纹的次极大，可得考虑到衍射条纹的次极大，可得 0sinxpp由单缝衍射公式，第一级暗纹中心的角位置满足由单缝衍射公式，第一级暗纹中心的角位置满足 0sinx根据德布罗意公式，有根据德布罗意公式，有 0sinhp xxx ph 即即更严格的理论给出更严格的理论给出 2xx p 2tE 三、应用举例三、应用举例1、束缚粒子的最小平均动能。、束缚粒子的最小平均动能。xr 粒子被束缚在粒子被束缚在r线度内，则线度内，则根据不确定关系，动量不确定量最小值为根据不确定关系，动量不确定量最小值为22xpxr2xxxppp平均根据定义根据定
44、义对于束缚在空间的粒子，其对于束缚在空间的粒子，其0 xp 则则22xxpp平均又，对于三维空间又，对于三维空间2213xpp平均平均所以最小的平均动能所以最小的平均动能222328kpEmmr平均任何被束缚在空间的粒子，其最小动能都不能为零！任何被束缚在空间的粒子，其最小动能都不能为零！2、电子不能落入核内。、电子不能落入核内。随着随着r越来越小，电子的动量将越来越不确定；越来越小，电子的动量将越来越不确定；平均动能将越来越大。平均动能将越来越大。运动范围：运动范围：0.1nm 3fm平均动能：平均动能：10eV 1GeV 没有其他的能量来源，因此电子不能靠近原子核，没有其他的能量来源，因此
45、电子不能靠近原子核，更不能落入核内。更不能落入核内。3、谱线的自然宽度。、谱线的自然宽度。根据时间与能量间的不确定关系，电子处在某一根据时间与能量间的不确定关系，电子处在某一能级具有一定的寿命能级具有一定的寿命 ，则能级必定存在一定的宽，则能级必定存在一定的宽度度 ，因此谱线不可能是几何的线，而具有一定的，因此谱线不可能是几何的线，而具有一定的宽度，这称为谱线的宽度，这称为谱线的自然宽度自然宽度。tE例如：例如：810ts 83.3 1022cEeVttc这就是与该激发态相应的谱线的自然宽度，它是由能级的这就是与该激发态相应的谱线的自然宽度，它是由能级的固有寿命所决定的。固有寿命所决定的。4、
46、互补原理。、互补原理。从哲学的角度概括了波粒二象性。从哲学的角度概括了波粒二象性。1928年玻尔首次提出了互补性观点，试图回答当时年玻尔首次提出了互补性观点，试图回答当时关于物理学研究和一些哲学问题。其基本思想是，关于物理学研究和一些哲学问题。其基本思想是，任何任何事物都有许多不同的侧面，对于同一研究对象，一方面事物都有许多不同的侧面，对于同一研究对象，一方面承认了它的一些侧面就不得不放弃其另一些侧面，在这承认了它的一些侧面就不得不放弃其另一些侧面，在这种意义上它们是种意义上它们是“互斥互斥”的；另一方面，那些另一些侧的；另一方面，那些另一些侧面却又不可完全废除的，因为在适当的条件下，人们还面
47、却又不可完全废除的，因为在适当的条件下，人们还必须用到它们，必须用到它们，在这种意义上说二者又是在这种意义上说二者又是“互补互补”的。的。按照玻尔的看法，追究既互斥又互补的两个方面中哪按照玻尔的看法，追究既互斥又互补的两个方面中哪一个更一个更“根本根本”，是毫无意义的；人们只有而且必须把所，是毫无意义的；人们只有而且必须把所有的方面连同有关的条件全都考虑在内，才能而且必能得有的方面连同有关的条件全都考虑在内，才能而且必能得到事物的完备描述。到事物的完备描述。尤其是在他的晚年，他用这种观点论述了物理科学、尤其是在他的晚年，他用这种观点论述了物理科学、生物科学、社会科学和哲学中的无数问题，对西方学
48、术界生物科学、社会科学和哲学中的无数问题，对西方学术界产生了相当重要的影响。产生了相当重要的影响。玻尔认为他的互补原理是一条无限广阔的玻尔认为他的互补原理是一条无限广阔的哲学原理哲学原理。在他看来，为了容纳和排比在他看来，为了容纳和排比“我们的经验我们的经验”，因果性概念，因果性概念已经不敷应用了，必须用已经不敷应用了，必须用互补性概念互补性概念这一这一“更加宽广的思更加宽广的思维构架维构架”来代替它。因此他说，互补性是因果性的来代替它。因此他说，互补性是因果性的“合理合理推广推广”。四、海森伯不确定关系四、海森伯不确定关系 以上得出的不确定关系是海森伯于以上得出的不确定关系是海森伯于1927
49、年提出的，因此常被年提出的，因此常被称为称为海森伯不确定关系海森伯不确定关系。它的根源是波粒二象性。它的根源是波粒二象性。由坐标和动量的不确定关系可以说明粒子的位置坐标不确定量越由坐标和动量的不确定关系可以说明粒子的位置坐标不确定量越小，则同方向上的动量不确定量越大；同样，某方向上动量不确定小，则同方向上的动量不确定量越大；同样，某方向上动量不确定量越小，则此方向上粒子位置的不确定量越大。量越小，则此方向上粒子位置的不确定量越大。不确定关系不是由测量仪器或测量技术造成的，而是微观粒子本不确定关系不是由测量仪器或测量技术造成的，而是微观粒子本身的属性所决定的。身的属性所决定的。海森伯不确定关系对
50、于受激原子体系有非常重要的意义。海森伯不确定关系对于受激原子体系有非常重要的意义。这个关系式有很重要的实际用途。这个关系式有很重要的实际用途。在理论上在理论上通过计算不稳定状态通过计算不稳定状态的平均寿命，可以来估计的平均寿命，可以来估计能量的变化范围能量的变化范围。在实验上在实验上可根据测得的能可根据测得的能谱密度，来估计不稳定状态的谱密度，来估计不稳定状态的平均寿命平均寿命，或根据测得的粒子寿命，来，或根据测得的粒子寿命，来估算粒子的估算粒子的能量宽度能量宽度。例例3、在原子内部，可以算出电子的速度应在在原子内部，可以算出电子的速度应在 范围范围内，否则电子就会从原子中逸出，求电子的位置不
