1、第十章第十章 机械振动机械振动一、理解简谐振动的定义以及描述简谐振动三个特一、理解简谐振动的定义以及描述简谐振动三个特1、简谐振动的表达式、简谐振动的表达式2、三个特征量：、三个特征量：(1)振幅振幅A：A x A，(决定于振动的能量决定于振动的能量)(2)频率频率 、角频率、角频率 、周期、周期T，(决定于振动系统决定于振动系统)cos(tAx或或)sin(tAx)2(的性质的性质)征量的意义和决定因素。征量的意义和决定因素。周期周期T：作一次完全振动所需的时间。：作一次完全振动所需的时间。频率频率 ：单位时间内物体完成全振动的次数。：单位时间内物体完成全振动的次数。角角(圆圆)频率频率 ：
2、单位时间振动相位的变化。：单位时间振动相位的变化。三者之间的关系：三者之间的关系：T1 2 2 T(3)相位相位(位相、周相位相、周相)t t时刻的相位，确定振动系统在任意时刻的相位，确定振动系统在任意时刻时刻t的运动状态（位移和速度）。的运动状态（位移和速度）。t=0时刻的相位，即初相位。确定振动系时刻的相位，即初相位。确定振动系统的初始运动状态。一般，统的初始运动状态。一般，0 2 或或 A1则则 而而)cos()(212 tAAx1 若若A2A1则则 而而)cos()(121 tAAx此结论对讨论各种波的干射、衍射极为有用。此结论对讨论各种波的干射、衍射极为有用。2121AAAAA 3)
3、一般情况一般情况 为任意其它值为任意其它值12 2112 若两分振动频率都很大而频率差很小若两分振动频率都很大而频率差很小tAtAxxx2211212cos2cos 21211(2c o s 2)c o s 2 22Att 1212()2 合振动振幅合振动振幅 合振动频率合振动频率)(cos2211tAA 拍频率拍频率21 拍拍合振动是调幅振动合振动是调幅振动设设A1=A2，则合振动表达式为，则合振动表达式为合振动振幅的大小周期性的变化，合振动振幅的大小周期性的变化，产生产生拍拍现象。现象。3、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成 合成运动的轨迹一般为椭圆，其
4、具体形状等合成运动的轨迹一般为椭圆，其具体形状等决定于两分振动的相差和振幅。决定于两分振动的相差和振幅。(1)012 合成运动仍然是同频率的简谐振动，轨迹在合成运动仍然是同频率的简谐振动，轨迹在1、3象限象限(2)21 合成运动仍然是同频率的简谐振动，轨迹在合成运动仍然是同频率的简谐振动，轨迹在2、4象限象限(3)212 合成运动是正椭圆运动，该椭圆与边长为合成运动是正椭圆运动，该椭圆与边长为2A1和和2A2的矩形内切。的矩形内切。=/2顺时针，顺时针，=/2逆时针逆时针。(4)为其它值时，轨迹为斜椭圆为其它值时，轨迹为斜椭圆例例1(P.40.6)一个沿一个沿X轴作简谐振动的弹簧振子轴作简谐振
5、动的弹簧振子,振幅为振幅为A,周期为周期为T,其振动方程用余弦函数表示其振动方程用余弦函数表示,如果在如果在t=0时时,质点的状态分别是质点的状态分别是:(A)X0=A;(B)过平衡位置向正向运动过平衡位置向正向运动;2 (C)过过X=A/2 处向负向运动处向负向运动;(D)过过X=A/处处向正向运动向正向运动,试求出相应的初相位之值试求出相应的初相位之值,并写出振动方程。并写出振动方程。解解:)2cos(tTAx设设即即由由 cos 0AAx 1cos (A)得得 =)2cos(tTAx Ox AA 0sin2 0 ATv又又0sin 即即由此得由此得)23(2 或或 )232cos()22
6、cos(tTAxtTAx或或2cos )C(0AAx 由由21cos 得得0sin 0sin20 ATv即即又又3 得得)32cos(tTAx0cos0 Ax由由0cos 得得(B)Ox AA Ox AA A/2/22cos 2cos )D(0 AAx得得由由 0sin 0sin2 0 ATv即即又又45 43 或或得得 )432cos(tTAx Ox AA 3/4)452cos(tTAx或或 2A 例例2.(习题册习题册P40.1)一质点作谐振动一质点作谐振动,振动方程为振动方程为 x=6cos(8 t+/5)cm，则则t=2秒时的相位为秒时的相位为 或或 ，质点第一次回到平衡位置所需要的质
7、点第一次回到平衡位置所需要的时间为时间为解解 t=2s时，相位是时，相位是)(581)528(rad xo t tx0 t=0 10352 t/5质点第一次回到平衡位置时质点第一次回到平衡位置时25 tx=6cos(8 t+/5)x=Acos(t+)比较比较,)(81 s 得得cmA6)(803810/310/3st 81/516.2(rad)3/80(或或0.0375)s 例例3(P.40.3)如图为以余弦函数表示的谐振动的振如图为以余弦函数表示的谐振动的振动曲线动曲线,则其初周相则其初周相 =/3(或或 )，P时刻的周时刻的周相为相为0。35 解法之一：解法之一：用旋转矢量图示法用旋转矢量
8、图示法 xO3/x0=1cos =x0/A=1/2 x增大，增大，逆时针，逆时针，=/3 t=tp时，时，x第一次达到第一次达到At=tpA=2t=0210Pt(s)x(m)tp tp/3=0例例4(P.40.5)一质量为一质量为0.2kg的质点作谐振动，其运动的质点作谐振动，其运动方程为方程为:x=0.60 cos(5t/2)(SI)。求。求:(1)质点的初速度；质点的初速度；(2)质点在正向最大的位移一半处所受的力。质点在正向最大的位移一半处所受的力。解解 已知已知A=0.60m,=5s-1,2 （1）由）由)sin(:)cos(tAvtAx得得1000.3)2sin(60.05sin,0
9、 smAvt 时时（2）,2 mk xmkxF2 时时当当 2 Ax )(5.160.052.0212122NAmF 例例5、质量、质量m=10g的子弹，以的子弹，以u=1000ms-1的速度射入的速度射入置于光滑平面上的木块并嵌入木块中，致使弹簧压置于光滑平面上的木块并嵌入木块中，致使弹簧压缩而作谐振动。若木块质量缩而作谐振动。若木块质量M=4.99kg，弹簧的劲度，弹簧的劲度系数为系数为k=8103Nm-1，求振动的振幅。以平衡位置，求振动的振幅。以平衡位置为原点，位移以向右为正，写出振动表达式。为原点，位移以向右为正，写出振动表达式。muM O xk解：解：mu=(m+M)V0)(210
10、0099.4101010101330 smuMmmV子弹与木块碰撞动量子弹与木块碰撞动量守恒守恒得得,2 ,0100 smVx)(40510813 sMmk)(05.016004022020mVxA ),cos(tAx设设0cos0 Ax由由得得0cos 0sin ,0sin0得得 AV 由由2 )(240cos(05.0mtx 2A解解:根据题意作旋转矢量图根据题意作旋转矢量图3 ,0,4cm11 AA形形的的对对边边组组成成一一个个正正三三角角及及平平行行四四边边形形中中和和21AAA根据矢量合成的平行形法根据矢量合成的平行形法则作图可知则作图可知:mAAA4c12 323332 P.42
11、.2.一质点同时参与两个两个同方向一质点同时参与两个两个同方向,同频率的谐同频率的谐振动振动,已知其中一个分振动的方程为已知其中一个分振动的方程为x1=4COS3tcm，其合振动的方程为其合振动的方程为 x=4COS(3t+/3)cm,则另一个分则另一个分振动的振幅为振动的振幅为A2=,初位相初位相 2=.x1AAO =/3 2=+/34cm2/3 P.42.3.如图所示质点的谐振动曲线所对应的振动如图所示质点的谐振动曲线所对应的振动方程方程(D)(A)X=2COS(3t/4+/4)(m)(B)X=2COS(t/4+5/4)(m)(C)X=2COS(t/4/4)(m)(D)X=2COS(3t/
12、4/4)(m)X(m)t(s)201Ox20 x4 43 2 A22cos0 Ax 逆时针且逆时针且t 稍大于零时稍大于零时x增大增大 从旋转矢量图可知从旋转矢量图可知4 解解:t=1s时，第一次有时，第一次有x=043)4(2 则则01s内振幅矢量转过的角度为内振幅矢量转过的角度为 0 tst1 t 4314/3 t )443cos(2)cos(ttAxOx20 x4 43 2 A 0 tst1 选选（D）(a)解解:12-2-1x(cm)t(s)(a)1x t=0 x0=1 34 t=0时，时，2 1cos0 Ax t 稍大于零时，稍大于零时，x增大，且增大，且 逆时针方向逆时针方向 P.
13、42.5.已知两谐振动的位置时间及速度时间曲线已知两谐振动的位置时间及速度时间曲线如图所示如图所示,求它们的振动方程求它们的振动方程.63423 t 34 t=1s时，时，x第一次为零第一次为零 2334 t此时的相位此时的相位 A=2t=1sxt=0 x0=1 34 2334 t10-10v(cm/s)t(/10)s.01234(b)(b)解解:)sin(tAv则则110 scmAvm 由由图图知知 )cos(tAx设设时时0 t 10sin 0 Av)346cos(2 txcm6 t 10-10v(cm/s)t(/10)s.01234(b)110 10sin mvA 由由图图知知)(521
14、04 sT )(52 1 sT )(2510cmvAm cmtx)235cos(2 23 TP.42.3.两个同方向同频率的谐振动两个同方向同频率的谐振动,其合振幅为其合振幅为A=20cm,合振动相位与第一个振动的相位差为合振动相位与第一个振动的相位差为60,第一个振动的振幅为第一个振动的振幅为A1=10cm,则第一振动与第二振则第一振动与第二振动的相位差为动的相位差为()(A)0 (B)/2 (C)/3 (D)/4解：解：根据余弦定理根据余弦定理 A22=A2+A122AA1cos60 =400+1004001/2=30021 601 2AA1AOx3103002 A A2=A12+A22+
15、2A1A2cos(1 2)则有：则有：cos(1 2)=(A2 A12 A22)/(2A1A2)=0221 B 第十一章第十一章 机械波基础机械波基础一、一、描述波的几个物理量及它们之间的关系描述波的几个物理量及它们之间的关系u只与介质的性质有关只与介质的性质有关,与波源无关。与波源无关。振动状态（相位）在介质中单位时间内振动状态（相位）在介质中单位时间内传播的距离称为传播的距离称为波速波速 ，也称之，也称之相速相速。同一波线上相邻的位相差为同一波线上相邻的位相差为2 的两质点的两质点的距离的距离。它就是一个周期内振动状态传。它就是一个周期内振动状态传播的距离播的距离,是一个完整波形的长度。是
16、一个完整波形的长度。一个完整波形通过介质中某固定点一个完整波形通过介质中某固定点所所需的时间。需的时间。它等于波源振动的它等于波源振动的周期周期。与与介质的介质的性质无关性质无关。波速波速u：波长波长 ：波周期波周期T：波频率波频率 ：单位时间内通过波线上某一点的完单位时间内通过波线上某一点的完整整波的个数。波的个数。波频率就等于波源的振动频率波频率就等于波源的振动频率。圆频率圆频率 ：波动过程中，介质中各质元单位时间波动过程中，介质中各质元单位时间内振动相位的增加。内振动相位的增加。与介质与介质性质无关性质无关。波的特征物理量之间的关系波的特征物理量之间的关系 21 T Tu二、平面简谐波的
17、表达式二、平面简谐波的表达式简谐波：波源以及介质中各质点的振动都是谐振动。简谐波：波源以及介质中各质点的振动都是谐振动。平面简谐波：波面是平面平面简谐波：波面是平面的简谐波。的简谐波。波动表达式（也叫做波函数、波动方程）：波动表达式（也叫做波函数、波动方程）：介质空间中任一质元在任一时刻的位移；该位介质空间中任一质元在任一时刻的位移；该位移是质元平衡位置的坐标和时间的函数。移是质元平衡位置的坐标和时间的函数。1.沿沿x轴正方向传播的平面简谐波的表达式轴正方向传播的平面简谐波的表达式cos()xAtu cos2()txAT cos2()xAt cos()Atkx (式中式中 叫圆波数叫圆波数)2
18、k 2.沿沿x轴负方向传播的平面简谐波的表达式轴负方向传播的平面简谐波的表达式cos(+)xAtu cos2(+)txAT cos2(+)xAt cos(+)Atkx 3.从某质元的振动表达式写出平面简谐波的表达式从某质元的振动表达式写出平面简谐波的表达式 设波速为设波速为u，已知平衡位置在原点，已知平衡位置在原点O的质元的振的质元的振动表达式为：动表达式为：0(,0)cos()tAt cos()xAtu 波动表达式就是平衡位置在任意波动表达式就是平衡位置在任意P点的质元的振点的质元的振动表达式，设动表达式，设P点的坐标为点的坐标为x，也是，也是O点到点到P点距离。点距离。O点的振动状态点的振
19、动状态(相位相位)传到传到P点所需的时间为：点所需的时间为：(1)沿沿x正方向传播正方向传播xtu 这说明这说明P点的振动状态比点的振动状态比O点的振动状态落后点的振动状态落后 t时间，时间，也就是说，也就是说，P点点t时刻的位移与时刻的位移与O点在点在t t时刻的位移时刻的位移相等。相等。(,)(,0)cos()txttAtt 沿沿x正方向传播的平面简谐波的表达式为：正方向传播的平面简谐波的表达式为：也可以从也可以从沿沿x正方向各点的相位依次落后写出：正方向各点的相位依次落后写出：P点的振动相位比点的振动相位比O点落后点落后2x 02cos()=cos()AtAtT O点：点：任意任意P点：
20、点：22cos()AtxT =cos2()txAT (2)沿沿x负方向传播负方向传播P点的振动相位比点的振动相位比O点超前点超前2x (波动表达式波动表达式)波动表达式为：波动表达式为：22cos(+)AtxT =cos2(+)txAT 4 波线上位置为波线上位置为x1 与与x2的相位差为的相位差为2122()xxx 21=()xxx 其中其中称为两点之间的波程差称为两点之间的波程差5、球面波的表达式球面波的表达式发散球面波：发散球面波：会聚球面波：会聚球面波：)(cos00 urtrA00c o s(+)Artru 三、机械波的能量和能流三、机械波的能量和能流 机械波在弹性介质中传播也是能量
21、的传播，波机械波在弹性介质中传播也是能量的传播，波在介质中任一质元内的能量就是该质元的振动动能在介质中任一质元内的能量就是该质元的振动动能和形变势能之和。质元的动能和势能任一时刻都相和形变势能之和。质元的动能和势能任一时刻都相等，并且随时间和空间周期性变化，其周期是波周等，并且随时间和空间周期性变化，其周期是波周期的一半。期的一半。1、波的能量密度和平均能量密度、波的能量密度和平均能量密度能量密度：能量密度：单位体积介质中所具有的波的能量。单位体积介质中所具有的波的能量。)(sin0222 uxtAdVdEw波的能量密度随时间的变化周期是波的周期的一半波的能量密度随时间的变化周期是波的周期的一
22、半平均能量密度：平均能量密度：一个周期内能量密度的平均值。一个周期内能量密度的平均值。22 21 Aw 2、波的能流和能流密度波的能流和能流密度能流：能流：单位时间内通过介质中某一单位时间内通过介质中某一截面截面 S的能量。的能量。Swup 单位：瓦单位：瓦(W)平均能流：平均能流：在一个周期内能流的平均值。在一个周期内能流的平均值。SuASuwSwup 22 21 能流密度（波的强度）：能流密度（波的强度）：通过垂直于波传播方向的单位面积的平均能流。通过垂直于波传播方向的单位面积的平均能流。uwSpI uAI22 21 2 米米单单位位：瓦瓦四、四、惠更斯原理和波的衍射惠更斯原理和波的衍射
23、介质中波传到的各点都可看作开始发射子波介质中波传到的各点都可看作开始发射子波的点波源，在以后任一时刻。这些子波的包络面的点波源，在以后任一时刻。这些子波的包络面就是该时刻新的波面。就是该时刻新的波面。1、惠更斯原理惠更斯原理2、波的衍射波的衍射 波在向前传播过程中遇到障碍物时波在向前传播过程中遇到障碍物时,其传播方其传播方向发生改变，并能绕过障碍物边缘继续传播的现向发生改变，并能绕过障碍物边缘继续传播的现象，称为波的衍射现象。象，称为波的衍射现象。波长越长，衍射现象越明显；只有障碍物的线波长越长，衍射现象越明显；只有障碍物的线度与波长可以比拟时，才会有明显的衍射效应。度与波长可以比拟时，才会有
24、明显的衍射效应。五、五、波的叠加原理波的叠加原理 波的干涉波的干涉1、波的叠加原理波的叠加原理 2、波的干涉波的干涉 几列波同时在介质中传播并相遇时，它们仍然几列波同时在介质中传播并相遇时，它们仍然保持各自原有的特性保持各自原有的特性(频率、波长、振幅、振动方频率、波长、振幅、振动方向等）不变，并按照自己原来的方向继续前进。如向等）不变，并按照自己原来的方向继续前进。如同没有遇到其他波一样。在波的相遇处质点的振动同没有遇到其他波一样。在波的相遇处质点的振动位移等于各列波单独存在时在该点引起的位移的矢位移等于各列波单独存在时在该点引起的位移的矢量和。量和。波在叠加时，若满足相干条件，则波在叠加时
25、，若满足相干条件，则在叠加区域在叠加区域内的某些位置上，振动始终加强，而在另一些位置内的某些位置上，振动始终加强，而在另一些位置上振动始终减弱。即波强度在叠加区域有一个稳定上振动始终减弱。即波强度在叠加区域有一个稳定的分布。这种现象称为波的干涉。的分布。这种现象称为波的干涉。3、波的相干条件、波的相干条件频率相同频率相同 振动方向相同振动方向相同 相位差恒定相位差恒定4、相干叠加时介质中各点的振幅和波强度、相干叠加时介质中各点的振幅和波强度 cos2212221AAAAA 合振动的振幅：合振动的振幅：cos22121IIIII 波强度：波强度：两波在任意点引起的振动的相位差：两波在任意点引起的
26、振动的相位差：12122rr 21 ：两波源的初相差：两波源的初相差212rr ：两波源到叠加点的波程差引起的相差：两波源到叠加点的波程差引起的相差5、干涉加强或减弱的条件、干涉加强或减弱的条件(1)在在=2k 处处，(k=0,1,2,3,)max21AAAA 这些点合振动振幅最大这些点合振动振幅最大,波强度最大波强度最大,称称干涉加强。干涉加强。(2)在在=(2k+1)处处，(k=0,1,2,3,)min21AAAA 这些点合振动振幅最小这些点合振动振幅最小,波强度最小波强度最小,称称干涉减弱干涉减弱。2121max2IIIII 2121min2IIIII 若若A1=A2，则，则A=2A1，
27、I=4I1。若若A1=A2，则，则A=0，这些点不振动。，这些点不振动。(3)一般情况，一般情况，任意，任意，则则2121AAAAA 若若 1=2，rrr 2)(2 21 则则而干涉加强或减弱的条件为而干涉加强或减弱的条件为(1)在在 r=k ,（k=0,1,2)处处,干涉加强干涉加强21AAA 21AAA ,（k=0,1,2)处处,干涉减弱干涉减弱 (2)在在(21)2rk 干涉和衍射现象是所有波动的两个重要特征干涉和衍射现象是所有波动的两个重要特征(3)在在 r 为其他值时，为其他值时，1212AAAAA 波的非相干叠加波的非相干叠加:21III 七、驻波七、驻波1、驻波表达式驻波表达式(
28、驻波方程驻波方程)2 cos(1 xtA )2 cos(2 xtA 往往x正方向传播的波正方向传播的波往往x负方向传播的波负方向传播的波22coscosxAt 驻波表达式：驻波表达式：空间变化带来的空间变化带来的相位是不同的。相位是不同的。简谐振动因子，简谐振动因子，时间部分提供的时间部分提供的相位对于所有的相位对于所有的 x 是相同的。是相同的。作作同同频率频率不同不同振幅的简谐振动。振幅的简谐振动。它表明，坐标为它表明，坐标为x的质点，作角频率为的质点，作角频率为，振幅为，振幅为 xAA 2cos2 的振动。即不同位置的质点的振动。即不同位置的质点在在驻波的特佂驻波的特佂：振动既不向：振动
29、既不向x正向，也不向正向，也不向x负向传播，负向传播，而是介质中各质点都作稳定的振动。而是介质中各质点都作稳定的振动。2、驻波振幅分布特点、驻波振幅分布特点，波腹与波节波腹与波节,12cos x振振幅幅最最大大，波波腹腹AxA2)(,02cos x振振幅幅最最小小，波波节节0)(xA (0,1,2)2xkk L，波腹位置：波腹位置：1()(0,1,2)22xkk L，波节位置：波节位置：相邻波腹相邻波腹(或相邻波节或相邻波节)间的距离为：间的距离为：2x 相邻波腹与波节间的距离为：相邻波腹与波节间的距离为：4 在在波节两侧点的振动相位相反波节两侧点的振动相位相反。同时达到反向。同时达到反向最大
30、或同时达到反向最小。速度方向相反。最大或同时达到反向最小。速度方向相反。两个两个波节之间的点其振动相位相同波节之间的点其振动相位相同。同时达到。同时达到最大或同时达到最小。速度方向相同。最大或同时达到最小。速度方向相同。3、驻波的位相的分布特点、驻波的位相的分布特点弦驻波的波长：弦驻波的波长：弦驻波的频率：弦驻波的频率：2 (1,2,3,)nlnn L，(1,2,3,)2nn unl L，弦的基频率：弦的基频率：12ul 弦的弦的n次谐频率：次谐频率：1=,(2,3,4,)nnn L4、两端固定的弦中的驻波、两端固定的弦中的驻波 只有半波长的整数倍正好等于弦长的只有半波长的整数倍正好等于弦长的
31、那些振动，那些振动，才能以显著的强度在弦中激发起来。才能以显著的强度在弦中激发起来。波从一种介质进入另一种介质时，在分界面上波从一种介质进入另一种介质时，在分界面上会产生反射和折射。反射波和入射波在界面的反射会产生反射和折射。反射波和入射波在界面的反射点上的位相关系有两种情况点上的位相关系有两种情况:(1)波从波疏介质传向波从波疏介质传向波密介质时，在反射点上，反射波相对于入射波有波密介质时，在反射点上，反射波相对于入射波有 的位相突变；相当于反射波多走了半个波长的波的位相突变；相当于反射波多走了半个波长的波程，这种种变化叫做半波损失。程，这种种变化叫做半波损失。(2)波从波密介质传波从波密介
32、质传向波疏介质时，在反射点上，反射波与入射波位相向波疏介质时，在反射点上，反射波与入射波位相相同，无半波损失。相同，无半波损失。5、半波损失、半波损失46例例.如图所示，平面简谐波沿如图所示，平面简谐波沿Ox轴的负方向传播，波轴的负方向传播，波速大小为速大小为u，若，若P处介质质点的振动方程为处介质质点的振动方程为)(cos tAyP求求(1)O点处的振动方程；点处的振动方程；(2)该波的波动表达式；该波的波动表达式；(3)与与P处质点振动状态相同的那些点的位置。处质点振动状态相同的那些点的位置。解解:luOPx(1)O点处的振动方程点处的振动方程)(cos ultAyO(2)波的波动表达式波
33、的波动表达式)(cos ulxtAy kulx2 (3)与与P处质点振动状态相同的点的位置必须满足处质点振动状态相同的点的位置必须满足得得),2,1(,2-kuklx P.45.5.已知一沿已知一沿X轴正方向传播的平面余弦横波轴正方向传播的平面余弦横波,波波速为速为20cm/s,在在t=1/3s时的波形曲线如图所示时的波形曲线如图所示,BC=20cm,求求:(1)该波的振幅该波的振幅A、波长、波长 和周期和周期T；(2)写出原点的振动方程写出原点的振动方程;(3)写出该波的波动方程写出该波的波动方程.u x(cm)y(cm)10105BC 解解:已知已知120 scmuBC=20cm(1)从图
34、可知从图可知cmA10 cmBC402 )(22040suT v48(2)原点的振动表达式和速度表达式分别为原点的振动表达式和速度表达式分别为)cos(10)2cos(ttTAy)sin(10 ttyv时时st31 5)3 cos(10 y0)3sin(10 v,21)3 cos(则则有有0)3sin(32 3 得得3332 49)3 cos(10 ty原点的振动表达式原点的振动表达式(3)波动表达式波动表达式3)(cos10 uxty3)20(cos10 xt3)20(cos10 xty3231 t 33 32 32 t或作旋转矢量图或作旋转矢量图-10y(cm)A-5 3/A(t=0)(t
35、=1/3)O 3 例例.已知一平面简谐波的表达式为已知一平面简谐波的表达式为 y=Acos(4t+2x)(SI).(1)求该波的波长求该波的波长，频率，频率 和波速和波速u的值；的值；(2)写出写出t=4.2s时刻各波峰位置的坐标表达式，并求出时刻各波峰位置的坐标表达式，并求出此时离坐标原点最近的那个波峰的位置；此时离坐标原点最近的那个波峰的位置；(3)求求t=4.2s时离坐标原点最近的那个波峰通过坐标原时离坐标原点最近的那个波峰通过坐标原点的时刻点的时刻t.解：解：)2(4cosxtAy (1)表达式可写为表达式可写为 4 得得m/s2 u2Hz242 1m22 u(2)波峰的位置即波峰的位
36、置即y=A的位置，的位置，由由 cos(4t+2x)=1 得得 (4t+2x)=2k，(k=1，)解上式得：解上式得：x=k 2tt=4.2s时，时，x=(k 8.4)mk=8时，时，x=0.4m的波峰离原点最近的波峰离原点最近(3)t=4.2s时时该波峰由原点传到该波峰由原点传到x=0.4m处所需的时间为处所需的时间为0.2s20.4 uxt 该波峰经过原点的时刻为该波峰经过原点的时刻为t=4.2 0.2=4s52 P.43.1 位于原点的波源产生的平面波以位于原点的波源产生的平面波以u=10m/s的波速沿的波速沿x轴正向传播轴正向传播,使得使得x=10m处的处的P点振动规点振动规律为律为y
37、=0.05cos(2 t /2)(m),该平面波该平面波 23)10(2cos05.0 xt的波动方程为的波动方程为 23)10(2 cos05.0 xty 2)(2cos05.0 uxty解：解：2)1010(2cos05.0 xtyxo o10mx=x-10utt-txuxt P t 时刻时刻x点的位移与点的位移与t时间以前，即时间以前，即tt时刻时刻P点点的位移相同。的位移相同。t=x/u，x=xxP=x1053P.44.6.设平面横波设平面横波1沿沿BP方向传播方向传播,它在它在B的振动方程的振动方程为为 y1=0.2cos2 t(cm)，平面横波，平面横波2沿沿CP方向传播，它在方向
38、传播，它在C点的振动方程为点的振动方程为y2=0.2cos(2 t+)(cm)，PB=0.40m,PC=0.50m,波速为波速为0.20m/s,求求:(1)两波传到两波传到P处时的相位差；处时的相位差；(2)在在P点合振动的振幅点合振动的振幅.解解:(1)u=0.2m/s =u/=0.2m,2 1=2(s-1)=/2 =1Hz=0)(212PBPC (2)A=A12+A22+2A1A2cos 1/2=A12+A22+2A1A21/2=A1+A2=0.4cm=0.410-2mB C P 54P.45.4.图示为一平面谐波在图示为一平面谐波在t=2s时刻的波形图时刻的波形图,波波的振幅为的振幅为0.2m,周期为周期为4s,则图中则图中P点处点的振动方点处点的振动方程为程为解解:已知已知A=0.2m,T=4s =2/T=/2 则则yP=0.2cos(t/2+)vP=(/10)sin(t/2+)t=2s时时,yP=0.2cos(+)=0 即即cos(+)=cos =0 vP=(/10)sin(+)=(/10)sin 0 得得 cos =0,sin 0,=/2 yP=0.2cos(t/2/2)(m)Y(m)uOPX(m)vyP=0.2cos(t/2/2)(m)
