1、Or1r2m2m1第三章第三章 万有引力定律万有引力定律3.3 万有引力定律的应用万有引力定律的应用温馨提示：请做笔记！宇宙中有相距较近，质量可以相比的两颗恒星（其他星体对它们的影响宇宙中有相距较近，质量可以相比的两颗恒星（其他星体对它们的影响忽略不计），围绕它们连线上的某一固定点做同周期的匀速圆周运动。这种忽略不计），围绕它们连线上的某一固定点做同周期的匀速圆周运动。这种由两颗绕着由两颗绕着共同的中心共同的中心旋转的旋转的恒星恒星组成，对于其中一颗来说，另一颗就是其组成，对于其中一颗来说，另一颗就是其“伴星伴星”。其结构叫做双星（其结构叫做双星（binary starsbinary star
2、s）。）。温馨提示：请做笔记！在天体运动中，把两颗相距很近在天体运动中，把两颗相距很近的恒星称为双星，这两颗星必须各自的恒星称为双星，这两颗星必须各自以一定的速率绕某一中心转动才不至以一定的速率绕某一中心转动才不至于由于万有引力而吸在一起。已知两于由于万有引力而吸在一起。已知两恒星的质量分别为恒星的质量分别为M1和和M2两恒星距两恒星距离为离为L L。求：。求：(1)(1)两恒星转动中心的位两恒星转动中心的位置；置；(2)(2)转动的角速度。转动的角速度。L LM M1 1M M2 2r r1 1L-rL-r1 1解：如图，两颗恒星分别以转动中解：如图，两颗恒星分别以转动中心心O作匀速圆周运动
3、，角速度作匀速圆周运动，角速度相相同，设同，设M1的转动半径为的转动半径为r1，M2的的转动半径为转动半径为r2=L-r1；它们之间的；它们之间的万有引力是各自的向心力。万有引力是各自的向心力。22121 122M MGM rML1(L-r)由后两式相等解得得由后两式相等解得得21121212rrM LM LMMMM，由前两式相等解得得由前两式相等解得得212231()GMG MMrLL121221rmLmmG2211rmrm222221rmLmmG解：对解：对m1:对对m2:Or1r2m2m1r 1+r2=L21122121rr mmLmmmLm，得例例1 1：已知两双星的质量：已知两双星的
4、质量m m1 1、m m2 2，他们之间的距离为，他们之间的距离为L L，求各自圆周运动的半径？，求各自圆周运动的半径？121221rmLmmG2211rmrm222221rmLmmG之比？之比？1221mmrrwrv 122121mmrrvv解：对解：对m1:对对m2:Or1r2m2m1例例3 3、两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周、两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为期相同的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为R R，其运动周期为，其运动周期为T T，求两星的总，求两星的总质量。质量。解：
5、设两星质量分别为解：设两星质量分别为m m1 1和和m m2 2，都绕连线上，都绕连线上O O点作周期为点作周期为T T 的圆周运动，星球的圆周运动，星球1 1和星球和星球2 2到到O O 的距离分别为的距离分别为r r1 1和和 r r2 2 121221)2(rTmRmmG222221)2(rTmRmmGr 1+r2=R232214GTRmmOr1r2m2m11222)2(rTRmG2221)2(rTRmG+得)()2(212221rrTRmmG例例5.5.月球与地球质量之比约为月球与地球质量之比约为1 1：8080，有研究者认，有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系为月球和
6、地球可视为一个由两质点构成的双星系统，他们都围绕月球连线上某点统，他们都围绕月球连线上某点O O做匀速圆周运动。做匀速圆周运动。据此观点，可知月球与地球绕据此观点，可知月球与地球绕O O点运动的线速度大点运动的线速度大小之比约为小之比约为()()A.1 A.1：6400 B.16400 B.1：8080 C.80 C.80：1 D.64001 D.6400：1 1 C C万有引力提供向心力求质量和半径的关系结合半径之和为定值写出半径和周期解题引导：例例6 6银河系的恒星中大约四分之一是双星。某双星由银河系的恒星中大约四分之一是双星。某双星由质量不等的星体质量不等的星体S1和和S2构成，两星在相
7、互之间的万构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点有引力作用下绕两者连线上某一定点O做匀速圆周做匀速圆周运动。由天文观察测得其运动周期为运动。由天文观察测得其运动周期为T，S1到到O点的点的距离为距离为r1、S1到到S2间的距离为间的距离为r，已知引力常量为，已知引力常量为G。由此可求出由此可求出S2的质量为的质量为 ()22124().rrrAGT23124.rBGT2324.rCGT22124.r rDGT解解:画出示意图如图示画出示意图如图示 OS2S1r1r12212214rTmrmmG122224rGTrmD小结：小结：注意：注意：万有引力万有引力中两星相距是中两星相
8、距是L L，而，而向心力表达式向心力表达式中半径为中半径为r r1 1、r r2 2，不可混淆。，不可混淆。212211rrLrmrm 222211221 rmrmLmmG1 1、每颗星的、每颗星的向心力大小必然相等向心力大小必然相等2 2、如果两颗星的质量相差悬殊，如、如果两颗星的质量相差悬殊，如m mM M，则，则r=L,R=Or=L,R=O，这时可以把大质量星看作静止的，这时可以把大质量星看作静止的，小质量小质量星围绕大质量星运动。星围绕大质量星运动。温馨提示：请做笔记！mmmOmmm三星问题 例例7.7.宇宙中存在一些离其他恒星较远的，由质宇宙中存在一些离其他恒星较远的，由质量相等的三
9、颗星组成的三星系统，通常可忽略其量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对他们的引力作用他星体对他们的引力作用 已观测到稳定的三已观测到稳定的三星系统存在的一种形式是三颗星位于等边三角形星系统存在的一种形式是三颗星位于等边三角形三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行设每个星体的质量均为运行设每个星体的质量均为m m，相邻的两颗星，相邻的两颗星之间的距离为之间的距离为L L，引力常量为，引力常量为G G，求：该圆形轨道，求：该圆形轨道的半径的半径R R和星体的运行周期。和星体的运行周期。例题：有两行星例题：有两行星A和和B（均可看为匀质球
10、体），质量（均可看为匀质球体），质量之比之比MA MB 2 1，半径之比，半径之比RA：RB 1 2.两两行星各有一卫星分别为行星各有一卫星分别为a和和b，卫星运动的圆形轨道，卫星运动的圆形轨道半径分别为半径分别为ra和和rb,ra rb=1 3.求两卫星运行周期之求两卫星运行周期之比比Ta:Tb.解见下页解见下页解：解：卫星绕各自行星做圆周运动，向心力为行星卫星绕各自行星做圆周运动，向心力为行星对卫星的万有引力对卫星的万有引力对于卫星对于卫星a 22AaaaaaGM mvmrr2aarTv由由可得可得 234aaArTGM同理对于卫星同理对于卫星b可得可得 234bbB rTGM由由可得可得 33aaBbbATr MTr M把数据代入把数据代入得得 16183 6abTT
