1、数学物理方程主要内容三种基本方程、五种基本解法、两个基本原理、两个特殊函数通解法行波法（达朗贝尔公式）分离变量法(Fourier级数法)积分变换法格林函数法波动方程热传导拉普拉斯方程贝塞尔函数勒让德函数叠加原理齐次化原理三种基本问题初值问题边值问题混合问题回顾一：哈密尔顿算子或梯度算子，读作nabla kzjyix22222223zyx222222yuxuuuugradAAdivAArot拉普拉斯算子 一些常见符号与梯度算子有关的场论运算 平面上的拉普拉斯算子(4)按未知函数及其导数的系数是否变化分为常系数和按未知函数及其导数的系数是否变化分为常系数和 变系数微分方程变系数微分方程；(5)按自
2、由项是否为零分为按自由项是否为零分为齐次方程齐次方程和和非齐次方程非齐次方程(1)按自变量的个数，分为二元和多元方程按自变量的个数，分为二元和多元方程；(2)按未知函数及其导数的幂次，分为线性微分方程和按未知函数及其导数的幂次，分为线性微分方程和 非线性（包括半线性，拟线性，完全非线性）微分方程非线性（包括半线性，拟线性，完全非线性）微分方程；(3)按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二阶按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二阶 和高阶微分方程和高阶微分方程；回顾二：偏微分方程的一般分类偏微分方程的一般分类 判断下列方程类型：20;uuxyxy330;uuuutxx22()()0;
3、uuxy一阶线性三阶拟线性一阶非线性Warm-up调和方程调和方程：热传导方程：波动方程：回顾三：三类典型偏微分方程 琴弦的振动；杆、膜、液体、气体等的振动；电磁场的振荡等 热传导中的温度分布；流体的扩散、粘性液体的流动 空间的静电场分布；静磁场分布；稳定温度场分布 22222(,)uuaf x ttx2(,)uauf x y z tt fu fu2或 1.3 1.3 定解条件和定解问题定解条件和定解问题 通解和特解 定解条件 定解问题第一章第一章 偏微分方程定解问题偏微分方程定解问题1.5 1.5 叠加原理和齐次化原理（冲量原理）叠加原理和齐次化原理（冲量原理）7举例举例（设未知函数为二元函
4、数）（设未知函数为二元函数）0 xu1.0 xuatu2.atxx作变量代换解为：)(yfu 解为：)(atxfu0ua1.2.1 通解与特解通解与特解)(1atx为任意函数f为任意函数f8举例举例（未知函数为二元函数）（未知函数为二元函数）022222xuatu4.02txu3.解为：)()(thxguatxatx变换02u解为：)()(atxhatxgu例 验证(,)()()u x tf xatg xat222220uuatx是方程的解，其中f,g是任意两个二阶连续可微函数，a为正常数。解：222222()()()()()()()()uafxatag xattua fxata gxattu
5、fxatg xatxufxatgxatx 故22222,uuatx移项即证。例：二维Laplace方程 的一些特解：特解特解)0(1lnrru011222222urrurruuyeuxsin 中心对称解：周期称解：多项式称解：22yxu什么是定解问题？什么是定解问题？泛定方程泛定方程：描述某类物理现象共同规律的数学表达 式偏微分方程（比如，波动方程、热传导方程、拉普拉斯方程等等）。注-它的解可含任意函数，因而不能用来确定或反映一个真实的物理过程。定解条件定解条件：伴随一个完整的物理过程发生的具体条件，一般包括初始条件初始条件与边界条件边界条件。初始条件：初始条件：用来说明某一具体物理现象初始状
6、态的条件初始状态的条件。边界条件边界条件：用来说明某一具体物理现象边界上的约束情况的条件边界上的约束情况的条件。注注：初始条件的个数与方程中出现的未知函数u对时间变量t的导数的阶数有关。边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史，即个性。其他条件其他条件：能够用来说明某一具体物理现象情况的条件。定解问题：定解问题：泛定方程加上适当的定解条件就构成一个定解问题，即定解问题定解问题=泛定方程泛定方程+定解条件定解条件。基本概念基本概念 初始时刻的温度分布：B、热传导方程的初始条件0(,)|()tu M tMC、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件不含初始条件，只含边界条件条件不含初始条件，只含边
7、界条件条件A、波动方程的初始条件00|()()ttuxuxt1、初始条件、初始条件描述系统的初始状态描述系统的初始状态系统各点的初位移系统各点的初速度1.3 1.3 定解条件定解条件(2)自由端：弹性杆x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。2、边界条件、边界条件描述系统在边界上的状况描述系统在边界上的状况A、波动方程的边界条件(1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：0|0,xu(,)0u a t 或：0 x aux(,)0 xu a t(3)弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k 的弹簧的支承。x ax auTkux 或0 x aukuxT或：B、热传导方程的边界条件(1)第一类（
8、第一类（Dirichlet）边界条件）边界条件|()suf t(设S为给定区域V 的边界)(2)第二类（第二类（Neumann）边界条件）边界条件()0q t当(3)第三类（第三类（Robin）边界条件）边界条件牛顿冷却定律：单位时间内从物体通过边界上单位面积流到周围介质的热量跟物体表面和外面的温差成正比。1()d dd dudQh uuS tkS tn 热交换系数；周围介质的温度,h1u1SSuh ukh un(齐次边界条件)（齐次，表示绝热）k为热传导系数11uu 当=0（第三类齐次边界条件），当0（第三类非齐次边界条件）热场SVnd S1uu()0f t 当()sukq tn1 1、定解
9、问题、定解问题定解问题的概念定解问题的概念(1)初始问题初始问题（Cauchy问题）=泛定方程+初始条件：只有初始条件，没有边界条件的定解问题；(2)边值问题边值问题=泛定方程+边界条件：没有初始条件，只有边界条件的定解问题；(3)混合问题混合问题=泛定方程+初始条件+边界条件：既有初始条件，也有边界条件的定解问题。波动方程波动方程输运方程输运方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程泊松方程泊松方程第一类边界条件第一类边界条件第二类第二类第三类第三类周期性周期性边界条件边界条件有界性有界性条件条件 演化方程演化方程 稳定方程稳定方程线性边界条件线性边界条件自然边界条件自然边界条件初始状态初始状态初始速度初
10、始速度泛定方程泛定方程边界条件边界条件初始条件初始条件定解问题定解问题2、定解问题的适定性、定解问题的适定性一个定解问题是否能够反映实际，从数学的角度看主要是三个方面的问题：解的存在性解的存在性:在给定的定解条件下，定解问题是否有解定解问题是否有解?解的唯一性解的唯一性:在给定的定解条件下，定解问题的解若存在，解若存在，是否唯一是否唯一?解的稳定性解的稳定性：当定解条件当定解条件及方程中的参数及方程中的参数有微小变动时，有微小变动时，解是否有相应的微小变动解是否有相应的微小变动。如果当定解条件及方程中的参数有微小变化时，其解仅有微小的变动,则称该定解问题的解是稳定的稳定的，否则称它的解是不稳定
11、的不稳定的。因为定解条件中的一些已知量，通常总是利用实验得到的数据，不可避免地会有一定的误差，所以人们自然会关心定解条件的微小扰动是否会导致解的变化很大。定解问题的适定性（定解问题的适定性（存在存在 +唯一唯一 +稳定稳定）：）：如果一个定解问题存在唯一的稳定解，则此问题是适定的。否则就称它为不适定的。由于许多数学物理问题均可以用适定的定解问题由于许多数学物理问题均可以用适定的定解问题来处理，长期以来，人们认为不适定数学物理问题来处理，长期以来，人们认为不适定数学物理问题的研究是没有意义的，然而在实际问题中经常遇到不的研究是没有意义的，然而在实际问题中经常遇到不适定的问题。适定的问题。例如，对
12、于某物体，希望在某时刻具有一个实际的例如，对于某物体，希望在某时刻具有一个实际的温度分布，那么在初始时刻物体应当具有一个什么样的温度分布，那么在初始时刻物体应当具有一个什么样的温度分布才能达到此目的？温度分布才能达到此目的？这就是一个不适定的问题它是所谓的数学物理问题这就是一个不适定的问题它是所谓的数学物理问题的反问题。的反问题。通过研究，人们找到了处理这类不适定问题的通过研究，人们找到了处理这类不适定问题的一些办法。现在对不适定问题的研究已成为偏微分一些办法。现在对不适定问题的研究已成为偏微分方程的一个重要的研究方向。方程的一个重要的研究方向。线性方程的解具有有限（无限）叠加特性 1.5.1
13、 1.5.1 叠加原理：叠加原理：物理上，几种不同的原因的综合所产生的效果等于这些不同原因单独产生的效果的累加。利用此原理，可以把一个复杂的线性问题分解成若干个简单线性问题来求解。iifLu ffiiiiuuffLuLuiiii0iLuiiuu0Lu12,11(,);nnnijiii jiijiLxxxLabcx xx 这里，为关于空间坐标的偏微分算子，比如：=为常数。-设设 满足方程满足方程 为常数，而级数为常数，而级数 收敛，且能够逐项微分两次，则收敛，且能够逐项微分两次，则 满足方满足方程程 ，若级数，若级数 收敛收敛。另，参见课本另，参见课本230230页的（页的（积分）叠加原理积分）
14、叠加原理3 3。(1,2,3,)iu i(1,2,3,),iiLuf i(1,2,3,)ii1iiiuuuLuf1iiiff叠加原理的应用应用 应用：应用：齐次方程的两个解的线性组合仍为原方程的解；齐次方程的两个解的线性组合仍为原方程的解；非齐次方程的特解加对应的齐次方程的解，结果为非齐次方程的特解加对应的齐次方程的解，结果为非齐次方程的解；非齐次方程的解；两个非齐次方程的解的线性组合，为一个新的非齐两个非齐次方程的解的线性组合，为一个新的非齐次方程的解，新方程的自由项为原方程自由项的同次方程的解，新方程的自由项为原方程自由项的同样组合。样组合。多个非齐次方程的解的线性组合情况类似。一维非齐次
15、波动方程的一维非齐次波动方程的cauchycauchy问题：问题：考虑无界弦的强迫振动问题（A）（B）解记为（C）解记为由叠加原理可知2,0,(,0)(),(,0)().ttxxtua uxtu xx u xx2(,),0,(,0)(),(,0)().ttxxtua uf x txtu xx uxx 1(,)u x t2(,),0,(,0)0,(,0)0.ttxxtua uf x t txu xu x 2(,)ux t（可由达朗贝尔公式给出）1.5.2 齐次化原理（冲量原理）齐次化原理（冲量原理）一维非齐次波动方程的一维非齐次波动方程的cauchycauchy问题：问题：考虑无界弦的强迫振动问
16、题（A）（B）解记为（C）解记为由叠加原理可知2,0,(,0)(),(,0)().ttxxtua uxtu xx u xx2(,),0,(,0)(),(,0)().ttxxtua uf x txtu xx uxx 1(,)u x t2(,),0,(,0)0,(,0)0.ttxxtua uf x t txu xu x 2(,)ux t12(,)(,)(,).u x tu x tu x t（可由达朗贝尔公式给出）1.5.2 齐次化原理（冲量原理）齐次化原理（冲量原理）（D）2,|0,|(,)ttxxtt tatxf x ()()1(,;)(,).2x a tx a tx tfda 由达朗贝尔公式，
17、可得问题（D）的解为定理（齐次化原理齐次化原理1）设 是问题（D）的 解，则 是问题（C）的解。另参见课本231-233页。(,;)x t0(,)(,;)tu x tx td注：齐次化原理的作用就是将齐次化原理的作用就是将非齐次方程非齐次方程的定解的定解问题的求解问题的求解转化为齐次方程转化为齐次方程的定解问题的求解。的定解问题的求解。设设 满足柯西问题满足柯西问题 其中，为关于自变量 的常系数线性偏微分算子。则柯西问题柯西问题 的解为),(,),(3zyxftRzyxLtt);,(zyxtzyx,00,),(),(03tutRzyxzyxtfLututdzyxtu0);,(齐次化原理齐次化原理2L作 业#1DUE Next Wednesday,March 11 第一章习题，234-236页，1(1)，4,6,8,10更正更正：题6中 ，即 是 的函数。),(yxuu yx,u
