1、 - 1 - 小题考法专训（二）小题考法专训（二） 三角恒等变换与解三角形三角恒等变换与解三角形 A 级级保分小题落实练保分小题落实练 一、选择题一、选择题 1(2019 昆明诊断昆明诊断)在平面直角坐标系中，角在平面直角坐标系中，角 的始边与的始边与 x 轴的正半轴重合，终边与单位轴的正半轴重合，终边与单位 圆交于点圆交于点 P 3 5， ，4 5 ，则，则 sin 4 ( ) A. 2 10 B 2 10 C.7 2 10 D7 2 10 解析：解析：选选 A 由题意，得由题意，得 sin 4 5， ，cos 3 5，所以 ，所以 sin 4 sin cos 4 cos sin 4 2 1
2、0.故选 故选 A. 2已知已知 cos 23cos 1，则，则 cos ( ) A. 3 2 B 3 2 C.1 2 D1 2 解析：解析：选选 C 由题意，得由题意，得 2cos23cos 20，所以，所以(cos 2)(2cos 1)0，解得，解得 cos 1 2或 或 cos 2(舍去舍去)，故选，故选 C. 3已知已知 sin 6 1 2，且 ，且 0， 2 ，则，则 cos 3 ( ) A0 B1 2 C1 D 3 2 解析：解析：选选 C 由由 sin 6 1 2，且 ，且 0， 2 ，得，得 3，所以 ，所以 cos 3 cos 01，故，故 选选 C. 4已知已知 cos 2
3、 2cos()，则，则 tan 4 ( ) A3 B3 C1 3 D1 3 解析：解析：选选 A cos 2 2cos()，sin 2cos ，tan 2，tan 4 1 tan 1tan 3，故选，故选 A. - 2 - 5已知已知 f(x)tan x 1 tan x，则 ，则 f 12 的值为的值为( ) A2 3 B4 3 3 C2 D4 解析：解析： 选选 D 因为因为 f(x)tan x 1 tan x sin x cos x cos x sin x 1 sin xcos x 2 sin 2x， 所以 ， 所以 f 12 2 sin 6 4，故选，故选 D. 6已知已知 4， ， ，
4、若若 sin 24 5，则 ，则 cos ( ) A2 5 5 B2 5 5 C 5 5 D 5 5 解析：解析：选选 D 因为因为 sin 22sin cos 4 5， ，sin2 cos21，所以，所以 25cos425cos24 0，解得，解得 cos21 5或 或 cos24 5(舍去 舍去)，故，故 cos 5 5 . 7若角若角 满足满足 sin 1cos 5，则，则1 cos sin ( ) A.1 5 B5 2 C5 或或1 5 D5 解析：解析：选选 D 因为因为 tan 2 sin 1cos 1 cos sin 1 5，所以 ，所以1 cos sin 5.故选故选 D. 8
5、(2020 届高三届高三 湘东六校联考湘东六校联考)若若ABC 的三个内角满足的三个内角满足 6sin A4sin B3sin C，则，则 ABC 的形状是的形状是( ) A锐角三角形锐角三角形 B直角三角形直角三角形 C钝角三角形钝角三角形 D以上都有可能以上都有可能 解析：解析：选选 C 由题意，利用正弦定理可得由题意，利用正弦定理可得 6a4b3c， 则可设则可设 a2k，b3k，c4k，k0， 则则 cos C4k 2 9k216k2 22k3k 0，所以，所以 C 是钝角，是钝角， 所以所以ABC 是钝角三角形是钝角三角形 9在在ABC 中，角中，角 A，B，C 的对边分别为的对边分
6、别为 a，b，c.已知已知 a 3b，AB 2，则角 ，则角 C ( ) - 3 - A. 12 B 6 C. 4 D 3 解析：解析：选选 B 因为因为ABC 中，中，AB 2， ， 所以所以 AB 2，所以 ，所以 sin Asin B 2 cos B， 因为因为 a 3b，所以由正弦定理得，所以由正弦定理得 sin A 3sin B， 所以所以 cos B 3sin B，所以，所以 tan B 3 3 ， 因为因为 B(0，)，所以，所以 B 6， ， 所以所以 C 6 2 6 6，故选 ，故选 B. 10(2019 济南模拟济南模拟)在在ABC 中，中，AC 5，BC 10，cos A
7、2 5 5 ，则，则ABC 的的面积面积 为为( ) A.5 2 B5 C10 D 10 2 解析：解析：选选 A 由由 AC 5，BC 10，BC2AB2AC22AC ABcos A，得，得 AB24AB5 0，解得，解得 AB5，而，而 sin A 1cos2A 5 5 ，故，故 SABC1 2 5 5 5 5 5 2.故选 故选 A. 11若若 ， 都是锐角，且都是锐角，且 sin 2 5 5 ，sin() 10 10 ，则，则 sin ( ) A.7 2 10 B 2 2 C.1 2 D 1 10 解析：解析：选选 B 因为因为 sin 2 5 5 ， 为锐角，所以为锐角，所以 cos
8、 5 5 . 因为因为 0 2， ，0 2， ，所以所以 2 2. 又因为又因为 sin() 10 10 0， 所以所以 0 2，所以 ，所以 cos()3 10 10 ， 所以所以 sin sin() sin cos()cos sin() - 4 - 2 5 5 3 10 10 5 5 10 10 2 2 . 12已知已知ABC 的内角的内角 A，B，C 的对边分别为的对边分别为 a，b，c，ABC 的面积为的面积为 4 3，且，且 2bcos Aa2c，ac8，则其周长为，则其周长为( ) A10 B12 C8 3 D82 3 解析：解析：选选 B 因为因为ABC 的面积为的面积为 4 3
9、，所以，所以1 2acsin B 4 3.因为因为 2bcos Aa2c，所以，所以 由正弦定理得由正弦定理得 2sin Bcos Asin A2sin C，又又 ABC，所以，所以 2sin Bcos Asin A2sin Acos B2cos Asin B，所以，所以 sin A2sin Acos B，因为，因为 sin A0，所以，所以 cos B1 2，因为 ，因为 0B ，所以，所以 B 3，所以 ，所以 ac16，又，又 ac8，所以，所以 ac4，所以，所以ABC 为等边三角形，所以为等边三角形，所以 ABC 的周长为的周长为 3412.故选故选 B. 二、填空题二、填空题 13
10、(2019 安徽五校联考安徽五校联考)若若 是锐角，且是锐角，且 cos 6 3 5，则 ，则 cos 3 2 _. 解析：解析：因为因为 0 2，所以 ，所以 6 6 2 3 ， 又又 cos 6 3 5，所以 ，所以 sin 6 4 5， ， 则则 cos 3 2 sin sin 6 6 sin 6 cos 6 cos 6 sin 6 4 5 3 2 3 5 1 2 4 3 3 10 . 答案：答案：4 3 3 10 14ABC 中，已知中，已知 AC2，BC 7，BAC60 ，则，则 AB_. 解析：解析：在在ABC 中，由余弦定理中，由余弦定理 BC2AB2AC22AB ACcosBA
11、C，得，得 AB22AB3 0，又，又 AB0，所以，所以 AB3. 答案：答案：3 15 在 在ABC 中， 已知中， 已知 AC6， BC8， cos(AB)3 4， 则 ， 则 sin(BC)_. 解析：解析：如图，作如图，作BADB，则，则 ADDB，cosDACcos(AB) 3 4，设 ，设 ADDBx，则，则 DC8x，在，在ADC 中，由余弦定理可得中，由余弦定理可得(8x)2 - 5 - x26226x3 4， 解得 ， 解得 x4， 所以， 所以 ADBDDC4， 所以， 所以BAC90 ， 所以， 所以 sinB3 4， ， 所以所以 sin(BC)sin(2B90 )c
12、os 2B2sin2B11 8. 答案：答案：1 8 16在在ABC 中，中，A，B，C 所对的边分别为所对的边分别为 a，b，c，已知，已知 a2b2c2 3ab，且，且 acsin B2 3sin C，则，则ABC 的面积为的面积为_ 解析：解析：因为因为 a2b2c2 3ab，所以由余弦定理得，所以由余弦定理得 cos Ca 2 b2c2 2ab 3ab 2ab 3 2 ，又，又 0 C，所以，所以 C 6.因为 因为 acsin B2 3sin C，所以结合正弦定理可得，所以结合正弦定理可得 abc2 3c，所以，所以 ab 2 3.故故 SABC1 2absin C 1 2 2 31
13、 2 3 2 . 答案：答案： 3 2 B 级级拔高小题提能练拔高小题提能练 1若若ABC 的三个内角的三个内角 A，B，C 成等差数列，其外接圆半径为成等差数列，其外接圆半径为 2，且有，且有 sin Asin C 2 2 cos(AC) 2 2 ，则，则ABC 的面积为的面积为( ) A.3 3 4 B 3 C. 3或或 3 3 D 3 4 或或3 3 5 解析：解析：选选 C 由题意知由题意知 AC2B，解得，解得 AC2 3 ， B 3，所以 ，所以 C2 3 A. 因为因为 sin Asin C 2 2 cos(AC) 2 2 ， 所以所以1 2sin A 3 2 cos A 2 2
14、 12sin2 A 3 2 2 ， 整理得整理得 sin A 3 1 2sin A 3 0， 则则 sin A 3 0 或或 1 2sin A 3 0. 又因为又因为 A 0，2 3 ，解得，解得 A 3或 或7 12. 当当 A 3时， 时，SABC1 2acsin B 1 2 4sin 3 4sin 3 sin 3 3 3； - 6 - 当当 A7 12时， 时，SABC1 2acsin B 1 2 4sin 7 12 4sin 12 sin 3 3，故选，故选 C. 2多选题多选题在在ABC 中，中，a，b，c 分别是角分别是角 A，B，C 的对边，以下四个结论中，正确的的对边，以下四个
15、结论中，正确的 是是( ) A若若 abc，则，则 sin Asin Bsin C B若若 ABC，则，则 sin Asin Bsin C Cacos Bbcos Ac D若若 a2b2c2，则，则ABC 是锐角三角形是锐角三角形 解析：解析：选选 ABC 对于对于 A，由于，由于 abc，由正弦定理，由正弦定理 a sin A b sin B c sin C 2R，可得，可得 sin A sin Bsin C，故，故 A 正确；对于正确；对于 B，ABC，由大边对大角定理可知，由大边对大角定理可知，abc，由正弦定，由正弦定 理理 a sin A b sin B c sin C 2R，可得，
16、可得 sin Asin Bsin C，故，故 B 正确；对于正确；对于 C，根据正弦定理可，根据正弦定理可 得得 acos Bbcos A2R(sin Acos Bsin Bcos A)2Rsin(BA)2Rsin(C)2Rsin Cc， 故， 故 C 正确；对于正确；对于 D，a2b2c2，由余弦定理可得，由余弦定理可得 cos Ca 2 b2c2 2ab 0，由，由 C(0，)，可得，可得 C 是锐角，故是锐角，故 A 或或 B 可能为钝角，故可能为钝角，故 D 错误故选错误故选 ABC. 3.某小区拟将如图的一直角三角形某小区拟将如图的一直角三角形 ABC 区域进行改建：在三边上区域进行
17、改建：在三边上 各选一点连成等边三角形各选一点连成等边三角形 DEF， 在其内建造文化景观 已知， 在其内建造文化景观 已知 AB20 m， AC10 m，则，则DEF 区域面积区域面积(单位：单位：m2)的最小值为的最小值为( ) A25 3 B75 3 14 C.100 3 7 D75 3 7 解析：解析：选选 D 根据题意知在根据题意知在 RtABC 中，中，B 6，设 ，设DEC，DEa， 则则 CEacos ，FEB 3 2 3 ， 所以所以EFB 5 6 6 ， 在在BFE 中，中， EB sin 6 a sin 6 ， 所以所以 EB asin 6 sin 6 2asin 6 ，
18、 所以所以 BCCEEBacos 2asin 6 10 3， - 7 - 所以所以 a 10 3 cos 2sin 6 10 3 2cos 3sin 10 3 7sin 10 3 7 其中其中tan 2 3 3 ， 所以所以DEF 的的面积面积 S1 2a 2sin 3 3 4 a2 3 4 10 3 7 2 3 4 300 7 75 3 7 . 4在在ABC 中，中，B 3， ，AC 3，D 为为 BC 中点，中点，E 为为 AB 中点，则中点，则 AEBD 的取值范的取值范 围为围为_ 解析：解析：在在ABC 中，设中，设 C， 则则 A2 3 ，且，且 0，2 3 . 由正弦定理由正弦定
19、理 BC sin A AC sin B AB sin C， ， 得得 AB2sin ，BC2sin 2 3 ， 所以所以 AEBD1 2AB 1 2BC sin sin 2 3 sin 3 2 cos 1 2sin 3 2sin 3 2 cos 3sin 6 . 又又 0，2 3 ，则，则 6 6， ，5 6 ， 所以所以 sin 6 1 2， ，1 ， 所以所以 3sin 6 3 2 ， 3 ， 即即 AEBD 的取值范围是的取值范围是 3 2 ， 3 . 答案：答案： 3 2 ， 3 5在在ABC 中，中，BC2 3，AC3，BAC2B，D 是是 BC 上一点且上一点且 ADAC，则，则
20、sin BAC_，ABD 的面积为的面积为_ 解析：解析：BC2 3，AC3，BAC2B， 在在ABC 中，由正弦定理得中，由正弦定理得 BC sinBAC AC sinB， ， 即即 2 3 sinBAC 3 sinB 2 3 2sinBcosB， ， 解得解得 cosB 3 3 ，可得，可得 sinB 6 3 ， - 8 - cosBACcos 2B2cos2B11 3， ， sinBAC 1 1 3 2 2 2 3 . ADAC，sinBADsin BAC 2 cosBAC1 3，可得 ，可得 cosBAD2 2 3 ， sinADBsin(BADB) 1 3 3 3 2 2 3 6 3 5 3 9 . 在在ABC 中，由余弦定理可得，中，由余弦定理可得， AC2AB2BC22AB BC cosB， 32AB2(2 3)22AB 2 3 3 3 ， 解得解得 AB1 或或 3. 当当 ABAC3 时，由时，由BAC2B，可得，可得BC1 2 BAC 4， ，BC 3232 3 2，与，与 BC2 3矛盾，矛盾，AB1. 在在ABD 中，由正弦定理得中，由正弦定理得 AB sinADB AD sinB， ， ADAB sin B sinADB 3 2 5 ， SABD1 2AB AD sin BAD1 2 13 2 5 1 3 2 10. 答案：答案：2 2 3 2 10
