1、物体的力学平衡状态物体的力学平衡状态基本知识与方法基本知识与方法应用平衡条件解题注意（二）应用平衡条件解题注意（二）（二）刚体转动轴的选定是任意的但必须合理，应使尽量多的（二）刚体转动轴的选定是任意的但必须合理，应使尽量多的未知力（特别是不需求的）的力矩为零未知力（特别是不需求的）的力矩为零 例题、例题、证明如图所示的三个人抬一匀质三角形木板时所用的力相等。证明如图所示的三个人抬一匀质三角形木板时所用的力相等。ABC证明：证明：木板受力如图所示。木板受力如图所示。以以BC为转动轴，为转动轴，F1F2F3GOO2O1O30331OOGAOF所以所以GAOOOF 331分别以分别以AC、AB边为轴
2、则可得到边为轴则可得到；GF312 GF313 所以有所以有321FFF G31 有平衡条件有：有平衡条件有：（三）正确判断受力方向（三）正确判断受力方向 （1）当刚体受三个非平行力处于平衡时，若其中的两个力的方向已知，）当刚体受三个非平行力处于平衡时，若其中的两个力的方向已知，则可准确确定第三个力的方向则可准确确定第三个力的方向依据：刚体受三个非平行力作用而处于平衡时，该三力必依据：刚体受三个非平行力作用而处于平衡时，该三力必共面共点。共面共点。PF1F2F3墙壁对横杆墙壁对横杆AB 的作用力的作用力R 的方向由此得以确定。的方向由此得以确定。GTR 1、准确确定力的方向、准确确定力的方向
3、用用“反证法反证法”证明依据的正确性证明依据的正确性 若若F3 不在不在 F1 和和F2所决定的平面内，则所决定的平面内，则F1 与与 F2 的合力的合力F12 就不可能与就不可能与 F3 反向；反向；若若F3 不过不过F1 与与F2 的交点的交点 P，则对过，则对过P 点的不点的不 与与F3 平行的转动轴来说，合力矩必定不为零。平行的转动轴来说，合力矩必定不为零。（2）若）若n个力平衡，其中的（个力平衡，其中的（n-1）个力交于一点且交点已知，）个力交于一点且交点已知，则可准确确定第则可准确确定第n个力的方向。个力的方向。12n-1nP 依据：若依据：若n个力平衡，且其中的（个力平衡，且其中
4、的（n-1）个力交于）个力交于 一点，则第一点，则第n个力的作用线必过此点。个力的作用线必过此点。用反证法证明依据用反证法证明依据若第若第n个力不过此点，则该力对过此点的转个力不过此点，则该力对过此点的转轴的力矩不为零，而其它（轴的力矩不为零，而其它（n-1）个力对此）个力对此转轴的力矩为零，所以该转轴的力矩为零，所以该n个力对此转轴的个力对此转轴的合力矩不为零。这与平衡条件矛盾。合力矩不为零。这与平衡条件矛盾。应用平衡条件解题注意（三）应用平衡条件解题注意（三）用一根细线悬挂圆规时，为使其旋转点抬升得最高，应该让圆用一根细线悬挂圆规时，为使其旋转点抬升得最高，应该让圆规的张角等于规的张角等于
5、 。（假定圆规两臂等长，考虑一个简。（假定圆规两臂等长，考虑一个简单模型，以一个无质量的旋转点连接的两个相同的均质细木棍单模型，以一个无质量的旋转点连接的两个相同的均质细木棍替代实际中的圆规）替代实际中的圆规）两虚线分别为角平分线和两边中点两虚线分别为角平分线和两边中点的边线。所以即为重心。则绳子的边线。所以即为重心。则绳子的延长线过点。的延长线过点。角角越大，越大，A点越高点越高 tgtgtgtgtgtg)(1)()()(2 tgtg)()(21)(211)(212tgtgtgtgtgO)()(2tgtg2)(tg22)(ctgtg33sin)()(21)(211)(212tgtgtgtgt
6、g 静摩擦角静摩擦角1、静摩擦角的概念、静摩擦角的概念（1）定义：）定义：)2(tan0000 称为静摩擦角称为静摩擦角的角的角满足满足 Nfm（2）几何意义：）几何意义：0 最大静摩擦力最大静摩擦力fm和正压力和正压力N 的合力与正压力的合力与正压力N 夹角。夹角。Nf(0是全反力是全反力R与与N 的最大夹角。的最大夹角。)全反力全反力NfR （3）静摩擦角概念的应用）静摩擦角概念的应用fmR 注意：注意：0的大小仅由两接触面的材料性质所决定的大小仅由两接触面的材料性质所决定)(tan)(tan0NfNfm物体静平衡时：物体静平衡时：利用静摩擦角解题有时会很方便利用静摩擦角解题有时会很方便
7、例题、例题、如图所示，有一长为如图所示，有一长为l，重为，重为W0匀质杆匀质杆AB，A端顶在竖直的粗糙墙壁上，端顶在竖直的粗糙墙壁上，杆端与墙壁的静摩擦系数为杆端与墙壁的静摩擦系数为。B端用一强度足够而不可伸长的轻绳悬挂，绳的另一端端用一强度足够而不可伸长的轻绳悬挂，绳的另一端固定在墙壁的固定在墙壁的C点。木杆呈水平状态，绳与杆的夹角为点。木杆呈水平状态，绳与杆的夹角为。（1）求杆能保持平衡时）求杆能保持平衡时与与应满足的条件应满足的条件;（2）杆保持平衡时，杆上有一点）杆保持平衡时，杆上有一点P存在：若在存在：若在P点与点与A点之间的任一点悬挂一重物，点之间的任一点悬挂一重物，则当重物的总量
8、则当重物的总量W足够大时总可以使平衡被破坏足够大时总可以使平衡被破坏;而在而在P点与点与B点之间的任一点悬挂任意点之间的任一点悬挂任意重量的重物，都不能使平衡破坏。求出这一点重量的重物，都不能使平衡破坏。求出这一点P与与A点的距离。点的距离。分析：分析：（1）杆未挂重物时受力如图）杆未挂重物时受力如图TABCW0你能否确定你能否确定R的方的方向？向？.TR ；由力的平衡条件及几何关系知由力的平衡条件及几何关系知RNf既然杆能保持平衡，既然杆能保持平衡，所以应有所以应有0tantan 即即0tan ABCTW0（2）杆挂上重物）杆挂上重物W时时重物挂在何处能使重物挂在何处能使1、R和和N的夹角的
9、夹角0 2、R和和N的夹角的夹角0P作出墙壁和杆间的静摩擦角作出墙壁和杆间的静摩擦角0 =BAD。又作又作DP AB，所得交点所得交点P 即为所求。即为所求。若重物若重物W挂在挂在P、B之间：之间：WW0DD2W2W1D1RR无论无论W多大，均有多大，均有0若重物若重物W挂在挂在P、A之间：之间：当当W足够大时，就能使足够大时，就能使0由几何关系得由几何关系得 tan)(tan0APlAP 由此解得由此解得 cottan10 lAP cot10 l如何计算如何计算AP=?W如图所示，放在水平地面如图所示，放在水平地面上的两个圆柱体相互接触上的两个圆柱体相互接触，大、小圆柱的半径分别，大、小圆柱
10、的半径分别为为R和和r，大圆柱体上缠有，大圆柱体上缠有绳子，现通过绳子对大圆绳子，现通过绳子对大圆柱体施加一水平力柱体施加一水平力F，设，设各接触处的静摩擦因数都各接触处的静摩擦因数都是是，为使大圆柱体能翻，为使大圆柱体能翻过小圆柱体，问过小圆柱体，问应满足应满足什么条件？什么条件？FA 解：解：FA图图系统的受力情况如图所示系统的受力情况如图所示.(1)由于小圆柱既不滑动，也不滚动，由于小圆柱既不滑动，也不滚动，而大圆柱在小圆柱上作无滑滚动，故而大圆柱在小圆柱上作无滑滚动，故B、C两处都必定有静摩擦力作用两处都必定有静摩擦力作用.(2)大圆柱刚离开地面时，它受三个大圆柱刚离开地面时，它受三个
11、力作用：拉力力作用：拉力F，重力，重力G1，小圆柱对，小圆柱对它的作用力它的作用力R1.由于这三个力平衡，由于这三个力平衡，所以它们的作用线必相交于一点所以它们的作用线必相交于一点,这这点就是点就是A点点.角不大于最大摩擦角角不大于最大摩擦角m(3)由于小圆柱受力平衡，所以它所受的三个由于小圆柱受力平衡，所以它所受的三个力作用：重力力作用：重力G2，大圆柱对它的作用力，大圆柱对它的作用力R1，地面对它的作用力地面对它的作用力R2必组成一个闭合三角形必组成一个闭合三角形.1tanm即有即有BDCO1O2G1G2R1R2R11tanmG2R2R1图图2如图如图2所示，同样应该有所示，同样应该有1t
12、anm所以由上面三式得所以由上面三式得1tanm由图由图2 知知由图由图1得得RrrRrRBD4)()(222所以所以RrRRrADBD24tan于是于是RrBDCO1O2G1G2R1R2R1FA图图1例例一质量分布均匀的梯子一质量分布均匀的梯子AB，一端放在水平地面上，另一端，一端放在水平地面上，另一端搁在竖直墙上，梯子与地面、梯子与墙面的动摩擦因数分别搁在竖直墙上，梯子与地面、梯子与墙面的动摩擦因数分别为为1、2，求梯子平衡时与地面所成的最小夹角，求梯子平衡时与地面所成的最小夹角。关键：关键：判断临界情况下，判断临界情况下，A、B两端同时达两端同时达到临界，到临界，A端达到端达到B端未达到
13、，或是端未达到，或是B端达端达到而到而A端尚未达到？端尚未达到？结论：结论：梯子与地面成最小夹角梯子与地面成最小夹角而平衡而平衡时，时，A、B端同时达到最大静摩擦力。端同时达到最大静摩擦力。12121arctan212121212121222tgctgAHDEAHDHAHDEDHACBCtg拓变：若已知均匀梯子的质量为拓变：若已知均匀梯子的质量为m m，一端靠在光滑的墙上，另一端置于粗糙的，一端靠在光滑的墙上，另一端置于粗糙的水平地面上，静摩擦系数为水平地面上，静摩擦系数为，一个质量为，一个质量为M M的人沿梯子往上爬，为了保证人的人沿梯子往上爬，为了保证人的安全，对梯子的放置有什么要求？的安
14、全，对梯子的放置有什么要求？切入点在哪里？切入点在哪里？为保证人的安全，必须是人爬到梯顶时，梯子仍不会滑到。为保证人的安全，必须是人爬到梯顶时，梯子仍不会滑到。22222mMmMmMMODBDcot)(22sincostanmMmMBDCECBmtantan)(22tanmMmM（M+m)gDCNENfMmM 1tan二、微元法的应用二、微元法的应用在涉及到绳子内部张力以及形变等问题时，除了采用隔离法外，在涉及到绳子内部张力以及形变等问题时，除了采用隔离法外，对于质量不可忽略的绳子，通常选取长度微元进行研究。对于质量不可忽略的绳子，通常选取长度微元进行研究。例题：已知原长为例题：已知原长为、劲
15、度系数为、劲度系数为的弹簧，其线密度为的弹簧，其线密度为，铅垂悬挂，铅垂悬挂，求由其自重引起的伸长。求由其自重引起的伸长。问题的切入点在哪？问题的切入点在哪？为什么会伸长？为什么会伸长？各部分的伸长是否均匀各部分的伸长是否均匀xx确定研究对象确定研究对象原长为原长为x x的部分的部分受到向下原长为受到向下原长为x x的那部分重力的那部分重力gxF?iikFxkkixxkgxkgxi00如图所示，一个半径为如图所示，一个半径为R的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均匀铁链，其面上放置一光滑均匀铁链，其A端固定在球面的顶点，端固定在球面的顶点，B端
16、恰与桌端恰与桌面不接触，铁链单位长度的质量为面不接触，铁链单位长度的质量为.试求铁链试求铁链A端受的拉力端受的拉力T.解析：以铁链为研究对象，由于整条铁链的解析：以铁链为研究对象，由于整条铁链的长度不能忽略不计，所以整条铁链不能看成长度不能忽略不计，所以整条铁链不能看成质点，要分析铁链的受力情况，须考虑将铁质点，要分析铁链的受力情况，须考虑将铁链分割，使每一小段铁链可以看成质点，分链分割，使每一小段铁链可以看成质点，分析每一小段铁析每一小段铁链链的受力，根据物体的平衡条的受力，根据物体的平衡条件得出整条铁链的受力情况件得出整条铁链的受力情况.在铁链上任取长为在铁链上任取长为L的一小段（微元）为
17、的一小段（微元）为研究对象，其受力分析如图所示研究对象，其受力分析如图所示.由于该元处由于该元处于静止状态，所以受力平衡，在切线方向上于静止状态，所以受力平衡，在切线方向上应满足：应满足：TGTTcoscoscosLgGT由于每段铁链沿切线向上的拉力比沿切由于每段铁链沿切线向上的拉力比沿切线向下的拉力大线向下的拉力大T，所以整个铁链对，所以整个铁链对A端的拉力是各段上端的拉力是各段上T的和，的和，coscosLgLgTTRLcosgRLgTcos如图所示，质量分布均匀的细链，长为如图所示，质量分布均匀的细链，长为L10m，质量为，质量为10kg，其一端系于天花板的，其一端系于天花板的P点处，人
18、提着另一端，点处，人提着另一端，P、Q两点的高度差为两点的高度差为h=2m，设人的提拉力，设人的提拉力F100N，试求天花，试求天花板对细链的作用力板对细链的作用力.图图QP 虚功原理虚功原理 许多平衡状态的问题许多平衡状态的问题,可以假设其状态发生一个微小的变可以假设其状态发生一个微小的变化化,某一个力做了一个微小的功某一个力做了一个微小的功W,使系统的势能发生使系统的势能发生了一个微小的变化了一个微小的变化E,然后利用然后利用W=E求出所需要求出所需要的物理量的物理量,这就是虚功原理这就是虚功原理.该原理是由伯努利首先提出该原理是由伯努利首先提出来的。来的。解解:(虚似法虚似法)由于细链挂
19、在竖直平面内，由于细链挂在竖直平面内，且没有对称性，所以无法用力的平衡方且没有对称性，所以无法用力的平衡方法求解法求解.但可以作如下情景虚似但可以作如下情景虚似:图图1QPhPQTPTQ图图2 人将链条沿其拉力方向缓慢移动一微人将链条沿其拉力方向缓慢移动一微小位移小位移L，在这一过程中保持链条的形，在这一过程中保持链条的形状和位置不变，那么这仅仅相当于把微状和位置不变，那么这仅仅相当于把微元元L从从P点移到点移到Q点，链条的势能减少点，链条的势能减少了了.据功能原理有据功能原理有mghLTLTPQ又又LLmm所以所以)(1202101010100NghLmTTQP三、摩擦平衡系统的处理三、摩擦
20、平衡系统的处理求解有摩擦的物体系统平衡问题，原则上与光滑求解有摩擦的物体系统平衡问题，原则上与光滑系统相似，只是要在接触处加上摩擦力，但由于摩擦系统相似，只是要在接触处加上摩擦力，但由于摩擦力可以在力可以在0 0到到f fmaxmax之间取值，往往使问题复杂化。之间取值，往往使问题复杂化。摩擦平衡问题通常有三类：平衡的判断、求临界摩擦平衡问题通常有三类：平衡的判断、求临界平衡和平衡范围。核心问题是求解临界平衡，其它两平衡和平衡范围。核心问题是求解临界平衡，其它两类问题可归纳为临界平衡，临界平衡状态的判断又是类问题可归纳为临界平衡，临界平衡状态的判断又是求解中需要解决的首要问题。对于多点摩擦，先
21、后滑求解中需要解决的首要问题。对于多点摩擦，先后滑动。这类问题中，有多处摩擦，但系统的临界状态只动。这类问题中，有多处摩擦，但系统的临界状态只要求其中一处或两处达到最大摩擦力。到底哪一处先要求其中一处或两处达到最大摩擦力。到底哪一处先达到最大值呢？若不能事先作出确切判断，就必须把达到最大值呢？若不能事先作出确切判断，就必须把所有可能的情形一一求算，最后选取实际出现的情形。所有可能的情形一一求算，最后选取实际出现的情形。例题例题:如图所示，物块如图所示，物块A A、B B、滚轮、滚轮C C质量均为质量均为m m。滚轮。滚轮C C由固定在一由固定在一起的两个同心圆盘组成，半径分别为起的两个同心圆盘
22、组成，半径分别为2r2r和和r r。各接触面处静摩擦。各接触面处静摩擦系数均为系数均为 ，求维持系统平衡时，求维持系统平衡时，最小值为多少？最小值为多少？mgNcfcNPfPmgNBNPfPfB学生最初的感觉不易下手学生最初的感觉不易下手何为何为的最小值呢的最小值呢?如何理解如何理解?PPCfmgfTmgN2对轮对轮C C有有对对B B物有物有PBfmgNN NC C和和N NB B哪一个大呢哪一个大呢?对轮对轮C C以以O O为轴满足为轴满足rmgrfrfcP222/mgffcPBcNN 而对整体又必须有而对整体又必须有cBff这说明这说明B B和地面之间已经到达最大静摩擦力时轮和地面之间已
23、经到达最大静摩擦力时轮C C与地面之与地面之间尚未到达最大静摩擦力间尚未到达最大静摩擦力从结构上可看出从结构上可看出B B与与C C和和B B与地面之间同时达到最大静摩擦力与地面之间同时达到最大静摩擦力cPBBffmgNf)(mgffcp21mgfmgfcp)1(23,)1(221考虑到考虑到CPpfNf3/1质量分别为质量分别为m和和M的两个小球用长度为的两个小球用长度为L的轻杆连接，的轻杆连接，并按图所示位置那样处于平衡状态，杆与棱边缘之间并按图所示位置那样处于平衡状态，杆与棱边缘之间的摩擦因数为的摩擦因数为，小球，小球m与竖直墙壁之间的摩擦力可以与竖直墙壁之间的摩擦力可以不计。为达到图示
24、的平衡状态，参数不计。为达到图示的平衡状态，参数m、M、L、d、应满足什么条件？应满足什么条件？受力分析如图所示，根据力的平衡条件可列出：受力分析如图所示，根据力的平衡条件可列出：gmMFNm)(sincoscossin1mFNNsincos)(NgmMFm杆不滑动的条件为：杆不滑动的条件为：NFmNNgmMsincos)()sin(cos)(NgmM以以m所在位置为转动轴得力力矩平衡方程：所在位置为转动轴得力力矩平衡方程：coscosNdMgL)sin(coscos12dLMm以桌棱为轴转动平衡方程为：以桌棱为轴转动平衡方程为：)cos(tan1dLMgdNmgd物体不转动的条件是物体不转动
25、的条件是：01N)cos(dLMgmgdcos1dLMm)sin(cos)(NgmMcoscosNdMgL)sin(coscos12dLMm)sin(coscos1cos2dLMmdL)sin(coscoscos2dLdL1)sin(coscostancos1dLMm如图，如图，AB、CD杆各长杆各长3和和4，AD=DB，A、D、B、C处为光滑铰链，处为光滑铰链，E处为光滑接触，处为光滑接触，ABC=/2，各杆，各杆都是轻杆。现在都是轻杆。现在DE杆上作用一个力偶杆上作用一个力偶m，求，求A、C两处两处的作用力。的作用力。N1N2N1=N2=NmN 22mN NNAxNBXNAYNBY0 xF
26、BXAXNN0DM0BXAXNN0BXAXNNNNNByAyNByNNCyBycyNNN0BM2NNcy2NNNAyBy 浮体问题浮体问题一个装满水的容器底部有一个半径为一个装满水的容器底部有一个半径为r的圆筒，洞由一的圆筒，洞由一个质量为个质量为m、半径为、半径为R的球堵住。容器中的水慢慢减少的球堵住。容器中的水慢慢减少，当达到一个确定值，当达到一个确定值h0时，球从筒中升起，求时，球从筒中升起，求h0切入点，从小球的受力分析：切入点，从小球的受力分析：mgF浮浮同学可能会想到洞边缘的支持力同学可能会想到洞边缘的支持力第一个难点，浮力如何表示？第一个难点，浮力如何表示？2rghgVF从表达式
27、可看出，当从表达式可看出，当h足够大时，足够大时，F为负的，表示力为负的，表示力向下，当向下，当h减小时，减小时，F逐步增大。逐步增大。mgrghgV2mgrghgV2220rmrVh22223)2(23rRrRRV2222222303232rmrRrrRrRh22rRRh30222033hrRhgF22rRRhmghrRhg3022203330222033hrRhgF对上式求导，可得对上式求导，可得2202rRhF有极大值有极大值3)(4322rRgF3)(4322rRm要使小球浮起，须满足要使小球浮起，须满足220rmrVh2rghgVF30222033hrRhgF七、用七、用“三视图三视
28、图”进行受力分析进行受力分析 有时已知的研究对象是一个立体模型，直接分析有困难，需对有时已知的研究对象是一个立体模型，直接分析有困难，需对研究对象从不同的角度去观察和剖视，得到的平面图称为研究对象从不同的角度去观察和剖视，得到的平面图称为“三视三视图图”。即：正视图、俯视图、侧视图。但也有从平面图转化成立体。即：正视图、俯视图、侧视图。但也有从平面图转化成立体图的情形。图的情形。例题：三根重均为例题：三根重均为G G，长均为，长均为L L的相同均匀铁杆（其直径的相同均匀铁杆（其直径d dL L）对称地搁在一起，三杆底端间均相距对称地搁在一起，三杆底端间均相距L L。若有一重为。若有一重为G G
29、的人坐在的人坐在A A杆杆的中点处，则的中点处，则A A杆顶端所受作用力的大小为多少？方向如何？杆顶端所受作用力的大小为多少？方向如何？2GaOTLAa23LAaAO3332LaO63LLLOO363322对对OA杆：以杆：以A为支点为支点sincos22AOTOOTAOGLTLTLG33sin36cos632sincos2TTG对对OB、OC杆整体、以杆整体、以BC为轴为轴sincos22aOTOOTaOGsincos22TTG22,331tgGT6.半径为半径为r，质量为，质量为m 的三个相同的球放在水的三个相同的球放在水平桌面上，两两相互接触，用一个高为平桌面上，两两相互接触，用一个高为
30、1.5r 的的圆柱形圆筒（上下均无底）将此三个球套在筒圆柱形圆筒（上下均无底）将此三个球套在筒内，圆筒的半径取适当的值，使得各球间以及内，圆筒的半径取适当的值，使得各球间以及球与圆筒壁之间均保持无形变接触球与圆筒壁之间均保持无形变接触.现取一质现取一质量也为量也为m、半径为、半径为R的第四个球，放在三球的的第四个球，放在三球的上方正中，设第四个球的表面、圆筒的内壁表上方正中，设第四个球的表面、圆筒的内壁表面均由相同的材料构成，其相互之间的最大静面均由相同的材料构成，其相互之间的最大静摩擦因数为摩擦因数为=3/（15）1/2，问，问R取何值时，用手取何值时，用手轻轻竖直向上提起圆筒即能将四个球也
31、一起提轻轻竖直向上提起圆筒即能将四个球也一起提起来？起来？解：解：rrOO1O2O3图图1由图由图1(俯视图）可见，俯视图）可见，rOO3321图图2（剖面图）为球（剖面图）为球1的受力图的受力图.当竖直向上提起圆筒时，能把当竖直向上提起圆筒时，能把4个球个球一起提起，下面两式应得到满足一起提起，下面两式应得到满足)1(11NF)2(22NF图图2RrN2mgF1ALLOO1O4F2N1CB 否则上、下球之间及球与筒壁之间会否则上、下球之间及球与筒壁之间会发生相对滑动发生相对滑动.以球以球1为研究对象，取为研究对象，取O1为轴，由力为轴，由力矩平衡条件易得矩平衡条件易得)3(21FF 图图2R
32、rN2mgF1ALLOO1O4F2N1CB)1(11NF)2(22NF)3(21FF 以图以图2中的中的A为轴，可得为轴，可得)4(12LNmgrLN 由此式易知，由此式易知，N1 N2,所以只要所以只要(2)式得到满足，式得到满足，(1)式就自然得到满足式就自然得到满足.又以图又以图2中的中的B为轴，可得为轴，可得)5()cos(sin22rrFmgrrN再以再以4个球为整体作为研究对象，有个球为整体作为研究对象，有)6(431mgF)1(11NF)2(22NF)3(21FF)4(12LNmgrLN)5()cos(sin22rrFmgrrN)6(431mgF 图图2RrN2mgF1ALLOO
33、1O4F2N1CB由由(3)、(5)、(6)式可得式可得cos41sin422NF再结合再结合(2)式可得式可得153cos41sin4两边平方，整理后可得两边平方，整理后可得077cos24cos1282153cos41sin4077cos24cos1282由此可解得由此可解得1611cos87cos（另一解（另一解 舍去）舍去）设设 Rnr,由图由图2的几何关系可得的几何关系可得图图2RrN2mgF1ALLOO1O4F2N1CB)1(332)1(332cos411nrnrOOOO所以所以1333321cos332nrrOO1O2O3图图11333321cos332n故故rrnrR68.0)
34、133332(又为使第又为使第4个球不至于从下面三个球中间掉下，因此须个球不至于从下面三个球中间掉下，因此须rrrOOR15.0)1332(1结合上面两式可知第结合上面两式可知第4个球的半径必须满足下式个球的半径必须满足下式rRr)133332()1332(例题：三个半径均为例题：三个半径均为r r，质量相等的球放在一个半球形的碗中，现，质量相等的球放在一个半球形的碗中，现把第四个半径也为把第四个半径也为r r，质量相等的球放到这三个球的正上方，要使，质量相等的球放到这三个球的正上方，要使这四个球都能静止，半球形碗的半径这四个球都能静止，半球形碗的半径R R应满足的条件？不考虑各处应满足的条件
35、？不考虑各处的摩擦。的摩擦。这里为什么强调半球形碗的半径这里为什么强调半球形碗的半径R R应满足的条件？应满足的条件？若半球形碗的半径太大，第四球放上去会使下面三个球互相散开，那么，碗若半球形碗的半径太大，第四球放上去会使下面三个球互相散开，那么，碗半径的最大值出现在什么时候呢？半径的最大值出现在什么时候呢？上面的球放了以后，下面的上面的球放了以后，下面的3 3个球尽管还接触，但相互之间无相互作用，则个球尽管还接触，但相互之间无相互作用，则4 4个球的球心在空间呈什么形状呢？个球的球心在空间呈什么形状呢？22tan22BOABBOAOBOmgNcos3mgFN对对B B球在竖直方向分析球在竖直
36、方向分析0coscosNmgF在水平方向有在水平方向有0sinsinNF2414/tantanrBORrR633.7rctgABBOBO633.61sinsin2例题：在水平例题：在水平M M上有一个正方形薄木板上有一个正方形薄木板ABCDABCD，在木板上静放一质量，在木板上静放一质量为为m m的小物块，如图所示，现保持木板的的小物块，如图所示，现保持木板的ABAB边不动，将木板以边不动，将木板以ABAB边边为轴缓慢向上转动，使木板为轴缓慢向上转动，使木板ADAD边与水平面成边与水平面成角度；然后再木板的角度；然后再木板的ADAD边不动，将木板以边不动，将木板以ADAD边为轴缓慢向上转动，使
37、木板的边为轴缓慢向上转动，使木板的ABAB边与水平边与水平面成相同的面成相同的角度；若转动过程中小物块始终相对于木板静止，则角度；若转动过程中小物块始终相对于木板静止，则最终小物块所受的静摩擦力大小为多少？最终小物块所受的静摩擦力大小为多少？学生的可能解法：学生的可能解法：sin1mgf sin2mgf sin2mgf mgN1F1F1N1N2F222221cos1sinmgFFf三、静平衡的稳定性三、静平衡的稳定性 反映的是处于静平衡的物体克服反映的是处于静平衡的物体克服 所遭遇的（破坏平衡的）微小扰动所遭遇的（破坏平衡的）微小扰动 的性能。的性能。（一）概念：（一）概念：1、稳定平衡、稳定
38、平衡静平衡按稳定性分类：静平衡按稳定性分类：（二）（二）2、非稳定平衡、非稳定平衡23、随遇平衡、随遇平衡3平衡的稳定性平衡的稳定性1下列处于平衡的物体，在遭遇扰动时有不同表现：下列处于平衡的物体，在遭遇扰动时有不同表现：平衡的稳定性平衡的稳定性1、稳定平衡、稳定平衡2、非稳定平衡、非稳定平衡3、随遇平衡、随遇平衡（三）物体平衡的稳定性的判定（三）物体平衡的稳定性的判定1、受力分析：看物体偏离平衡位置后，所受力是否总是使物体移向平衡位置。、受力分析：看物体偏离平衡位置后，所受力是否总是使物体移向平衡位置。2、受力矩分析：看物体偏离平衡位置后，所受力矩是否总是使物体转向平衡位置。、受力矩分析：看
39、物体偏离平衡位置后，所受力矩是否总是使物体转向平衡位置。3、重心升降（如果有重心变化）分析：看物体偏离平衡位置后，其重心高度如何变、重心升降（如果有重心变化）分析：看物体偏离平衡位置后，其重心高度如何变化。化。4、势能分析：看物体偏离平衡位置后，其势能如何变化。、势能分析：看物体偏离平衡位置后，其势能如何变化。例题：如图装置，它是由一个长为例题：如图装置，它是由一个长为L L的木钉、从木钉上端向左右斜伸出两个下的木钉、从木钉上端向左右斜伸出两个下垂的长为垂的长为b b的细木杆，及在木杆的末端装有质量同为的细木杆，及在木杆的末端装有质量同为m m的小重球而做成。木钉及的小重球而做成。木钉及木杆的
40、重量忽略不计，木钉与木杆间的夹角为木杆的重量忽略不计，木钉与木杆间的夹角为 。此装置放在硬质木柱上。此装置放在硬质木柱上。试求：间应当满足什么关系才能使木钉由竖直位置稍偏斜后，此装置以试求：间应当满足什么关系才能使木钉由竖直位置稍偏斜后，此装置以O O点为点为支点左右摆动而不至倾倒。支点左右摆动而不至倾倒。分析：木钉由竖直位置稍偏斜后，此装置以分析：木钉由竖直位置稍偏斜后，此装置以O O点为支点左点为支点左右摆动而不至倾倒，即处于稳定平衡。因此，也就是要求右摆动而不至倾倒，即处于稳定平衡。因此，也就是要求此装置稳定平衡的条件。此装置稳定平衡的条件。方法一：力矩判断法方法一：力矩判断法sin)s
41、in(sin)sin(LbmgLbmgM以逆时针方向为正以逆时针方向为正)cos(sin2LbmgM要求要求0MLbcos方法二：方法二：重心升降法重心升降法装置平衡时，重心离装置平衡时，重心离O O点的高度点的高度cosbLhmbLmbLmh2)cos(cos)cos(cos)cos(cosbLh)cos)(1(cosbLhh图示正方形轻质刚性水平桌面由四条完全相同的轻质细桌腿图示正方形轻质刚性水平桌面由四条完全相同的轻质细桌腿1、2、3、4支撑于桌角支撑于桌角A、B、C、D处，桌腿竖直立在水平粗糙刚性地面处，桌腿竖直立在水平粗糙刚性地面上。已知桌腿受力后将产生弹性微小形变。现于桌面中心点上
42、。已知桌腿受力后将产生弹性微小形变。现于桌面中心点O至角至角A的连线的连线OA上某点上某点P施加一竖直向下的力施加一竖直向下的力F，令，令 ，求桌面对桌，求桌面对桌腿腿1的压力的压力F1。cOAOPABCD1234OPF分析：分析：设桌面对四条腿的作用力皆为压力，设桌面对四条腿的作用力皆为压力，分别为分别为F1、F2、F3、F4因轻质刚性的桌面因轻质刚性的桌面处在平衡状态，可推得处在平衡状态，可推得1234FFFFF由于对称性，由于对称性，24FF考察对桌面对角线考察对桌面对角线BD的力矩，由力矩平衡条件可得的力矩，由力矩平衡条件可得13FcFF根据题意，根据题意，10 cc=0对应于力对应于
43、力F的作用点在的作用点在O点，点，c=1对应于对应于F作用点在作用点在A点点.设桌腿的劲度系数为设桌腿的劲度系数为k,在力在力F的作用下，腿的作用下，腿1的形变为的形变为F1/k，腿，腿2和和4的形变均为的形变均为F2/k，腿，腿3的形变为的形变为F3/k 依题意，桌面上四个依题意，桌面上四个角在同一平面上，因此满足角在同一平面上，因此满足 13212FFFkkk1322FFF1214cFF3124cFF当当 12c 03F30F 表示腿表示腿3无形变；无形变；30F 表示腿表示腿3受到桌面的作用力为拉力，这是不可能的，故受到桌面的作用力为拉力，这是不可能的，故应视应视 30F 1FcFABCD1234OPF13FcFF1234FFFFF综合以上讨论得综合以上讨论得FcF4121102ccFF 1121 c
